第9章整式乘法與因式分解（壓軸題+易錯題專練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一已知多項式乘積不含某項求字母的值】 1【考點二單項式乘多項式、多項式乘多項式與圖形面積】 3【考點三通過對完全平方公式變形求值】 6【考點四求完全平方式中的字母系數(shù)】 8【考點五整式乘法中新定義型運算問題】 10【考點六平方差公式與幾何圖形】 14【考點七完全平方公式與幾何圖形】 18【考點八十字相乘法因式分解】 21【考點九分組分解法因式分解】 26【考點十因式分解的應(yīng)用】 31【考點一已知多項式乘積不含某項求字母的值】例題：（2023上·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的多項式不含項和項，則當(dāng)時，這個多項式的值為．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖南衡陽·八年級衡陽市外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）如果的乘積中不含項，則m=．2．（2023上·湖北·八年級校考周測）已知關(guān)于的一次二項式與的積不含二次項，一次項的系數(shù)是4．求：(1)系數(shù)與的值；(2)二項式與的積．【考點二單項式乘多項式、多項式乘多項式與圖形面積】例題：（2023上·上海青浦·七年級統(tǒng)考期末）如圖，兩個相連的正方形的邊長分別是a、b.完成下面兩題（如果含有，請在結(jié)果中保留的形式）．

(1)用含a、b的式子表示陰影部分的面積；(2)當(dāng)，時，求陰影部分的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·吉林長春·八年級校考期末）如圖，某社區(qū)有兩塊相連的長方形空地，一塊長為，寬為；另一塊長為，寬為．現(xiàn)將兩塊空地進行改造，計劃在中間邊長為的正方形（陰影部分）中種花，其余部分種植草坪．(1)求計劃種植草坪的面積；(2)已知，，若種植草坪的價格為30元/，求種植草坪應(yīng)投入的資金是多少元？2．（2023上·江西上饒·七年級統(tǒng)考期中）如圖，一個長方形運動場被分隔成，，，，，共個區(qū)，區(qū)是邊長為的正方形，區(qū)是邊長為的正方形．

(1)列式表示每個區(qū)長方形場地的周長，并將式子化簡；（用含、的代數(shù)式表示）(2)列式表示整個長方形運動場的周長，并將式子化簡；（用含、的代數(shù)式表示）(3)如果，，求整個長方形運動場的面積．【考點三通過對完全平方公式變形求值】例題：（2023上·河南南陽·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，求下列各式的值．(1)(2)【變式訓(xùn)練】1．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）閱讀理解：已知，，求的值．解：∵，∴，即，∵，∴，參考上述過程解答：(1)若，．①___________；②求的值；(2)已知，，求的值．2．（2024上·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：若滿足，求的值．解：設(shè)，，則，所以請仿照上例解決下面的問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足，求：的值．(2)若，求：的值．【考點四求完全平方式中的字母系數(shù)】例題：（2023上·寧夏吳忠·八年級校考期末）如果是一個完全平方式，那么k的值是．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川內(nèi)江·八年級四川省內(nèi)江市第一中學(xué)校考期中）已知是完全平方式，為常數(shù)，則的值為(

)A．或 B．或 C．或 D．2．（2024上·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期末）若是x的完全平方式，則3．（2023上·全國·八年級期末）若多項式的結(jié)果是一個多項式的平方，則單項式．【考點五整式乘法中新定義型運算問題】例題：（2023上·江西南昌·八年級校考期中）閱讀下列材料：規(guī)定一種新運算：．例如：，按照這種運算的規(guī)定，請解答下列問題：(1)當(dāng)，求的值；(2)若，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·湖南株洲·七年級株洲二中校考期末）閱讀下列材料，回答問題：材料一：我們定義一種新運算：我們把形如這樣的式子叫作“行列式”，行列式的運算方式是：．例如：；；．材料二：在探究的時候，我們不妨利用多項式和多項式的乘法將其打開：，我們把這個公式叫作“差的完全立方公式”．按同樣的方法我得出“和的完全立方公式”為：．這兩個公式常運用在因式分解和簡便運算等過程中．(1)計算：______；______．(2)已知，，求的值．(3)已知，，，求的值．2．（2023上·北京海淀·八年級北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負數(shù)的意義來解決一些問題．例如，把二次三項式進行配方．解：我們定義：一個整數(shù)能表示成（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因為．再如，（x，y是整數(shù)），所以M也是“完美數(shù)”．(1)解決問題：請你再寫一個小于16的“完美數(shù)”______；并判斷40是否為“完美數(shù)”______；(2)若二次三項式（x是整數(shù)）是“完美數(shù)”，可配方成（m，n為常數(shù)），則的值為______；(3)探究問題：已知（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，則符合條件的k值為______；拓展結(jié)論：已知實數(shù)x，y滿足，求的最小值．【考點六平方差公式與幾何圖形】例題：（2023上·吉林·八年級統(tǒng)考期末）探究活動：（1）如圖1是邊長分別為a、b的正方形，可以求出陰影部分的面積是．（寫成兩數(shù)平方差的形式）（2）如圖2，若將圖1中陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，面積是．（寫成多項式乘積的形式）（3）比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到等式：．知識應(yīng)用：①計算：；②計算【變式訓(xùn)練】1．（2022上·湖南衡陽·八年級衡陽市外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）實踐與探索：如圖1，在邊長為的大正方形里挖去一個邊長為的小正方形，再把圖1中的剩余部分（陰影部分）拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗證的等式是：______（請選擇正確的一個）A．B．C．(2)請應(yīng)用這個等式完成下列各題：①已知，則______．②計算：．2．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．請你利用數(shù)形結(jié)合的思想解決以下數(shù)學(xué)問題．從邊長為a的正方形減掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．

(1)通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證的一個等式是．(2)若，，求的值．(3)計算的值是．【考點七完全平方公式與幾何圖形】例題：現(xiàn)有長與寬分別為、的小長方形若干個，用兩個這樣的小長方形，拼成如圖1的圖形，用四個相同的小長方形拼成圖2的圖形，請認真觀察圖形，解答下列問題：(1)根據(jù)圖中條件，請寫出圖1和圖2所驗證的關(guān)于、的關(guān)系式：（用、的代數(shù)式表示出來）；圖1表示：；圖2表示：；根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(2)若，，則；；(3)如圖3，點是線段上的一點，以，為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【變式訓(xùn)練】1．將完全平方公式進行適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問題，例如：若，，求的值．解：因為，所以，即．又因為，所以．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若，，則；(2)若，，求的值；(3)兩個正方形如圖擺放，面積和為34，，則圖中陰影部分面積和為．2．如圖①，正方形是由兩個長為a、寬為b的長方形和兩個邊長分別為a、b的正方形拼成的．(1)利用正方形面積的不同表示方法，直接寫出、、之間的關(guān)系式，這個關(guān)系式是；(2)若m滿足，請利用（1）中的數(shù)量關(guān)系，求的值；(3)若將正方形的邊、分別與圖①中的、重疊，如圖②所示，已知，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個具體數(shù)值）．【考點八十字相乘法因式分解】例題：（2023春·安徽阜陽·七年級校考階段練習(xí)）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次項系數(shù)2可以寫成，常數(shù)項可以寫成或；第二步：如下圖，畫“×”號，將1、2寫在“×”號左邊，將、3或1、寫在“×”號的右邊，共有如下圖的四種情形：

第三步：驗算“交叉相乘兩個積的和”是否等于一次項的系數(shù)：①的系數(shù)為；②的系數(shù)為；③的系數(shù)為；④的系數(shù)為．顯然，第②個“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)，因此有：．像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．問題：(1)分解因式：；①完善下圖中“×”號右邊的數(shù)使得；“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善橫線上的數(shù)字；

②分解因式：________．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西北海·七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)2．（2023春·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解題在因式分解中有一種常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，這個方法其實就是運用乘法公式運算來進行因式分解，基本式子為：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘積相加等于，得到，這就是十字相乘法．利用上述方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．3．（2023春·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．第一步：二次項；第二步：常數(shù)項，畫“十字圖”驗算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項．即．像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運用結(jié)論：(1)將多項式進行因式分解，可以表示為_______________；(2)若可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．4．（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根據(jù)材料，把下列式子進行因式分解．(1)；(2)；(3)．【考點九分組分解法因式分解】例題：（2023春·陜西西安·八年級高新一中校考期末）《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版》關(guān)于運算能力的解釋為：運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力，因此，我們面對沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)題時，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于已學(xué)過的方法進行分解．例題：用拆項補項法分解因式．解：添加兩項．原式請你結(jié)合自己的思考和理解完成下列各題：(1)分解因式：；(2)分解因式；(3)分解因式：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇泰州·七年級靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．2．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）【問題提出】：分解因式：（1）

（2）【問題探究】：某數(shù)學(xué)“探究學(xué)習(xí)”小組對以上因式分解題目進行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲發(fā)現(xiàn)該多項式前兩項有公因式，后兩項有公因式，分別把它們提出來，剩下的是相同因式，可以繼續(xù)用提公因式法分解．解：另：乙發(fā)現(xiàn)該多項式的第二項和第四項含有公因式，第一項和第三項含有公因式，把，提出來，剩下的是相同因式，可以繼續(xù)用提公因式法分解．解：探究2：分解因式：（2）分析：甲發(fā)現(xiàn)先將看作一組應(yīng)用平方差公式，其余兩項看作一組，提出公因式6，則可繼續(xù)再提出因式，從而達到分解因式的目的．解：【方法總結(jié)】：對不能直接使用提取公因式法，公式法進行分解因式的多項式，我們可把被分解的多項式分成若干組，分別按“基本方法”即提取公因式法和公式法進行分解，然后，再從總體上按“基本方法”繼續(xù)進行分解，直到分解出最后結(jié)果．這種分解因式的方法叫做分組分解法：【學(xué)以致用】：嘗試運用分組分解法解答下列問題；（1）分解因式：；（2）分解因式：；【拓展提升】：（3）分解因式：．【考點十因式分解的應(yīng)用】例題：（2023秋·廣東深圳·九年級校考開學(xué)考試）小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：，，，，，分別對應(yīng)下列六個字：華、愛、我、中、游、美，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）A．我愛美 B．中華游 C．愛我中華 D．美我中華【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙