第五章模型參考自適應控制系統

圖5.1線性狀態觀測器第五章模型參考自適應控制系統在觀測器技術中建造了一個對象的模型，模型與對象由同一個輸入量所激勵。用真實對象的輸出與觀測模型的輸出之差經過適當的增益修正之后，作為一個附加的修正輸入加到觀測模型中以確保：第五章模型參考自適應控制系統圖5.2含有參考模型的自適應控制系統第五章模型參考自適應控制系統在模型參考跟蹤系統中，參考模型是控制系統的一部分。所要求的系統期望特性由參考模型狀態的動態響應所確定，所定義的誤差矢量在每一時刻直接測量參考模型特性與被控對象實際特性之間的差，并對自適應機構的參數進行修正，產生一個輔助的控制信號以保證可調系統達到參考模型規定的性能第五章模型參考自適應控制系統

比較圖5.1和圖5.2，可以看到線性模型跟蹤控制系統與線性觀測器之間存在著相似性，盡管它們目的不同，但它們結構卻相似：在兩種情況中，都含有兩個子系統；一個真實的對象和一個人為構造的模型。兩種情況都要求兩個狀態矢量具有相似的動態性能。為了達到這一目的，狀態矢量或輸出矢量之差被用來作為主要的信息來源第五章模型參考自適應控制系統一、模型參考自適應系統的結構類型

1）并聯模型參考自適應系統

第五章模型參考自適應控制系統2）串并聯模型參考自適應系統第五章模型參考自適應控制系統3）串聯模型參考自適應系統第五章模型參考自適應控制系統二、模型參考自適應系統的構成

1）參考模型2）可調系統3）自適應機構其中，可調系統包括被控對象，前置控制器和反饋控制器第五章模型參考自適應控制系統按照參考模型、可調系統以及自適應機構的實現方式，模型參考自適應系統也可以分為連續型、離散型和混合型

從參考模型的種類上，可分為理想模型參考自適應控制和可調模型參考自適應控制

第五章模型參考自適應控制系統參考模型與可調系統兩者性能之間的一致性，由自適應機構保證，性能一致性程度由狀態廣義誤差或輸出廣義誤差式中xm和ym分別為參考模型和可調系統的狀態和輸出，只要誤差向量不為零，自適應機構就按減少偏差方向修正或更新控制器的參數，以使系統實際性能指標達到或接近希望的性能指標。具體實施時，可更新前置和反饋控制器的參數，也可直接改變加到對象輸入端的信號，前者稱為參數自適應方案，后者稱為信號綜合自適應方案第五章模型參考自適應控制系統按照年代先后出現的次序，理想模型參考自適應系統的設計基本理論有以下三種：1、局部參數最優化理論2、李雅普諾夫函數3、超穩定性與正性概念第五章模型參考自適應控制系統為了減少設計和實現中的困難，做如下假設：

1）參考模型是時不變系統

2）參考模型和可調模型是線性的，有時為了分析方便，還假設它們的階次相同

3）廣義誤差可測

4）在自適應控制過程中，可調參數或輔助信號僅依賴于自適應機構假設4)意味著自適應速度應大于被控對象參數的變化速度，否則就不可能實現漸近自適應第五章模型參考自適應控制系統5.1局部參數最優化的設計方法

局部參數最優化設計方法：通常稱為MIT律，設計原理是構造一個由廣義誤差和可調參數組成的目標函數，并把它視為位于可調參數空間的一個超曲面，再利用參數最優化方法使這個目標函數逐漸減少，直到目標函數達到最小或位于最小值的某個鄰域為止，從而滿足可調系統與參考模型之間的一致性要求第五章模型參考自適應控制系統在MIT律中，常用到誤差的二次型目標函數，在單變量情況下，大多采用誤差平方積分的目標函數，為使目標函數達到最小的參數最優化的常用方法有：最速下降法，牛頓-拉富遜（Newton-Raphson）法，共軛梯度法和變尺度法等，其中最速下降法比較簡單第五章模型參考自適應控制系統在應用局部參數最優化設計方法時，除了前面的假設外，還要附加另外兩條假設：

5）可調系統參數已位于參考模型參數的某個鄰域內；

6）可調參數的調節速度低，即自適應增益假設5)是MIT律自身能力限制的。假設6)是為了從廣義誤差測量中將參數調節作用與指令輸入信號的作用分離出來所必須的第五章模型參考自適應控制系統設被控對象的傳遞函數為：其中,D(s)和N(s)為已知的常系數多項式，Kp為對象的增益當系統受到干擾時，被控系統的增益Kp可能發生變化,使動態特性發生偏離，Kp的變化是不可測量的。為了克服由Kp的漂移所造成的影響，在控制系統中設置了一個可調增益Kc，來補償由Kp的變化所造成的影響第五章模型參考自適應控制系統

具有可調增益的MIT方案

系統控制結構圖第五章模型參考自適應控制系統設理想模型的傳遞函數為：其中，增益Km是根據期望的動態響應來確定的定義廣義輸出誤差e為：其中，ym為理想模型的輸出，y為被控系統的輸出，e表示輸入信號為r(t)時，理想系統的響應與實際系統響應之間的偏離第五章模型參考自適應控制系統設計目標：確定可調增益Kc(t)的自適應調節律，使得下列性能指標J達到最?。?5.1)

首先求出J對的偏導數：

下面采用梯度法來尋求Kc(t)的最優調節律第五章模型參考自適應控制系統根據梯度法，值應沿梯度下降的方向移動，在一定的步距下，的變化量將取如下的數值：其中k為正常數則調整后的Kc為第五章模型參考自適應控制系統式中，為調整前的初值。將上式兩邊分別對時間求導數后，得到的變化率與廣義誤差e的關系為：(5.2)為了計算，先求由參數輸入R(s)到輸出偏差E(s)傳遞函數：第五章模型參考自適應控制系統

將上述拉普格斯變換式轉化為微分方程的時域算子形式，令：則e滿足下列微分方程：其中，p為微分運算子上式兩端對Kc求導數，得：(5.3)第五章模型參考自適應控制系統另一方面，考慮到參考模型的輸出與輸入之間滿足下列關系：(5.4)令(5.3)式與(5.4)式相除，整理后得：將此式代入(5.2)式，得：第五章模型參考自適應控制系統令則有：(5.5)(5.5)式就是所要求的可調增益Kc的調節律，即系統的自適應規律，有時被稱為MIT規則。從(5.5)式中可看出，這種自適應機構是由一個乘法器和一個積分器組成，具體實現的結構圖如下圖所示第五章模型參考自適應控制系統MIT控制方案的實現圖

可以綜合出閉環自適應控制系統的數學模型為：第五章模型參考自適應控制系統【例5.1】考慮一個一階系統，其傳遞函數特性為：根據MIT規則設計的閉環的自適應控制系統應為：第五章模型參考自適應控制系統

下面我們通過解方程的解，看一下系統的穩定性假定在時，y和均為零，且當輸入一個幅度為R的階躍信號時，考慮后，參考模型的出為：所以自適應調節律為：第五章模型參考自適應控制系統對閉環系統的微分方程求導數使得誤差的動態方程為：或可見，當時，上式右端第三項e中的系數趨近于，即有：此系統方程是漸近穩定的，即時，有：e=0，即第五章模型參考自適應控制系統從以上分析可以看出：①對于一階系統，按照MIT規則設計的閉環自適應系統是穩定的②跟蹤速度或自適應速度是按指數規律進行的，從理論上說，只有當所以，自適應速度的是比較相當慢的時，誤差才趨于零，第五章模型參考自適應控制系統MIT方案的主要優點：它設計出的自適應律所需要的信號都容易獲得，利用的輸出偏差e和期望輸出均可直接獲得MIT方案的缺點：不能保證設計的自適應控制系統總是穩定的對于一個理想的自適應控制系統，在任何參考輸入的情況下，總是希望當時，有但這種系統可能是不穩定的。下面舉例說明。第五章模型參考自適應控制系統

【例5.2】考慮被控對象為：理想系統模型為：根據前面推導出的結果，閉環自適應控制系統由以下微分方程組所決定：第五章模型參考自適應控制系統假定在的階躍信號，即r(t)=A，來研究偏差e的穩定性。時，由參考輸入加上一個幅值為A第五章模型參考自適應控制系統對上式偏差微分方程的兩端求導，并整理得：假設ym(t)的動態響應比e(t)自適應調整過程快得多。即在研究e(t)的調節過程時，認為ym(t)已達到了它的穩定值KmA，那么e(t)的微分方程就可簡化為下式：

第五章模型參考自適應控制系統利用勞斯（Routh）穩定性判斷，很容易得到以下不等式，即當(5.8)時，系統不穩定，即當滿足條件式(5.8)時，輸出偏差e（yp情況也相同）將出現不穩定，這是不容許的。因此在應用參數最優化方法進行設計時，最后必須對整個系統的穩定性進行分析和檢驗，而這一步工作往往是很麻煩的第五章模型參考自適應控制系統5.2李雅普諾夫穩定性理論設計法一、引言

李雅普諾夫穩定性理論：研究線性或非線性、定?；驎r變系統的重要基礎，也是自適應控制系統設計的重要理論基礎李雅普諾夫穩定性分析方法：分為第一方法和第二方法。李雅普諾夫第一方法是通過求解系統微分方程來分析系統的穩定性；李雅普諾夫第二方法則不需要求解系統微分方程，而是通過分析虛構的李雅普諾夫函數來判定或設計系統的穩定性。因此，李雅普諾夫第二方法被廣泛應用于自適應控制系統設計中第五章模型參考自適應控制系統二、穩定性的一般概念及定義

一個動態系統的狀態方程為其中，若f與t無關，則上式描述的系統稱為自治的或時不變的；反之，被稱為非自治的或時變的。方程解在狀態空間的軌跡稱為軌線第五章模型參考自適應控制系統若狀態空間中存在某一狀態Xe，滿足方程則Xe就是系統的一個平衡點。如果沒有外力作用于系統，則系統保持平衡。如果系統受到外來作用，則必須考慮系統能否保持這個平衡狀態。于是提出了系統平衡狀態的穩定性問題第五章模型參考自適應控制系統三、李雅普諾夫函數與第二方法

李雅普諾夫函數：李雅普諾夫引出了一個虛構的能量函數，利用李雅普諾夫函數的性質，可分析得到系統的穩定性，這種分析方法叫做李雅普諾夫第二方法定義一個對時間連續可微的狀態x的標量函數V(x,t)，稱為李雅普諾夫函數。對于一般的控制系統，V(x,t)是狀態變量的函數，也是一個廣義的“能量函數”，它具有以下性質：第五章模型參考自適應控制系統1）V(0,t)=0，且具有連續偏導數；2）V(x,t)是正定的，而且是x的單調非降函數，即V(x,t)>0，當，，其中S是狀態空間中包含原點在內的某個域這樣定義的李雅普諾夫函數V(x,t)可以作為狀態x距離空間原點（平面點）遠近距離的一種量度，也可以代表狀態為x時系統的總能量。第五章模型參考自適應控制系統對于線性系統，尋求李雅普諾夫函數比較簡單，通常選為系統狀態變量X的二次型函數，即為了使正定，P應是正定矩陣對于復雜系統，尋求較為困難，需要相當經驗第五章模型參考自適應控制系統四、李雅普諾夫穩定定理設系統方程為即原點為系統的平衡點，對此有如下三個重要定理。定理5.1：李雅普諾夫基本定理。對于上式所描述的系統，如果在包含原點0在內的某個域D內，存在李雅普諾夫函數>0且，則系統在原點0是穩定的。第五章模型參考自適應控制系統定理5.2：李雅普諾夫漸近穩定性定理。對于上式所描述的系統，如果在包含原點0在內的某個域D內，存在李雅普諾夫函數>0且則系統在原點0是漸近的定理5.3：李雅普諾夫全局漸近穩定性定理。如果在包含原點0在內的某個域D內，存在李雅普諾夫函數正定，且有上界和負定，又當有，則系統在原點的穩定是全局漸近穩定第五章模型參考自適應控制系統五、線性時不變系統穩定定理設線性時不變系統的自由運動方程為：其中，A為n維狀態轉移矩陣。令以下二次型函數：作為選定的李雅普諾夫函數，其中P為實對稱矩陣。對V(x)求時間導數得：第五章模型參考自適應控制系統其中，恒等式(5.9)被稱為李雅普諾夫方程利用這個方程可以決定平衡點x=0處的穩定性一般有兩種具體方法：一種是先給定一個正定對稱陣P，由于矩陣A是已知的，可以從方程(5.9)中解出Q，然后檢驗Q的正定性。另一種方法是先設定正定對稱陣Q，例如可以設Q為單位陣，代入方程(5.9)中求出矩陣P，然后再判斷P的正定性。如果P>0，則系統是漸近穩定的第五章模型參考自適應控制系統現將上述結果總結如下：線性時不變系統在平衡點x=0是漸近穩定的，當且僅當對任意給定的對稱矩陣Q，都存在一個正定對稱陣P，并滿足：標量函數就是該系統的李雅普諾夫函數第五章模型參考自適應控制系統【例5.3】判斷線性定常系統在坐標原點的穩定性，系統狀態方程為第五章模型參考自適應控制系統

解：利用來判斷系統的穩定性。設正定對稱陣記則李雅普諾夫矩陣方程為第五章模型參考自適應控制系統據此可得到三個方程：解此聯立方程可得第五章模型參考自適應控制系統故矩陣P有下列子行列式：所以有P>0第五章模型參考自適應控制系統故該系統是漸近穩定的。該系統的李雅普諾夫函數為第五章模型參考自適應控制系統【例5.4】試分析下列系統的穩定性解：由解得系統平衡點為構造李雅普諾夫函數對時間t求導數得顯然，系統全局漸近穩定。第五章模型參考自適應控制系統六、基于狀態空間方程的設計

設被控對象是單輸入/單輸出的線性系統，對象的結構已知，但參數未知，其狀態方程和觀測方程為：

(5.10)其中，是未知參數矩陣；是未知參數向量；是未知參數向量；u(t)是對象的輸入控制作用標量；是對象的輸出標量；是對象的n維狀態向量第五章模型參考自適應控制系統給定參考模型，其輸入為系統的參考輸入r(t)；其輸出為控制系統期望的輸出響應ym(t)。參考模型的狀態方程和觀測方程分別為：(5.11)其中，，和為給定的常數矩陣或向量，其階數分別與Ap，Bp和Cp相同。Am為穩定矩陣；xm(t)為參考模型的狀態向量第五章模型參考自適應控制系統自適應控制系統結構圖

第五章模型參考自適應控制系統

為了使對象輸出yp(t)能夠與模型的輸出ym(t)相一致，必須設置參數可調的控制器?？刂破髋c對象一起組成參數可調系統，如上圖所示，其中，G為可調前饋增益矩陣作為前置控制器；F為可調反饋增益矩陣作為反饋控制器。根據系統結構圖可以寫出以下關系式：(5.12)第五章模型參考自適應控制系統

將(5.12)式代入(5.10)式可得下列可調系統的方程為：定義廣義誤差方程為：(5.13)設計任務是：利用李雅普諾夫穩定性理論尋求可調參數G和F的自適應律，以達到狀態收斂性：(5.14a)第五章模型參考自適應控制系統和（或）參數收斂性：(5.14b)即：使可調系統對參考輸入r(t)的動態響應與參考模型完全一致若令：(5.15)第五章模型參考自適應控制系統其中，和分別表示模型參數與系統參數的狀態偏差和參數偏差，并且它們應當滿足以下微分方程：(5.16)現在的控制任務等價于設計一個F(e,t)和G(e,t)的自適應調節律，使得微分方程(5.15)和(5.16)漸近穩定，即當時，e(t)，和都趨于零第五章模型參考自適應控制系統構造下列二次函數作為李雅普諾夫函數：式中此處稱為矩陣A的跡，它等于矩陣A的特征多項式中項系數的(-1)倍。比如：矩陣A的特征多項式為：第五章模型參考自適應控制系統則有稱為矩陣A的跡滿足下列分配律和交換律的性質：第五章模型參考自適應控制系統

【例5.5】對于求第五章模型參考自適應控制系統

解：由變換為的多項式為：所以第五章模型參考自適應控制系統在二次型的李雅普諾夫函數V中選用矩陣跡的運算主要關心的是其符號，而不是數值的大小求V對時間的導數：由性質：以及表示的項為標量，所以有：第五章模型參考自適應控制系統

將(5.16)式代入的表達式中有：由于上式中以及項均為標量，所以有：又因為有：第五章模型參考自適應控制系統

將這些關系式代入的表達式中得：(5.17)式(5.17)右邊第一項是負的。為了保證負定，可令(5.17)式右邊的后兩項分別為零，由此可得：第五章模型參考自適應控制系統

由此可得自適應控制律為：(5.18)自適應控制律(5.18)可以保證閉環系統的全局漸近穩定性，滿足狀態收斂性和參數收斂性第五章模型參考自適應控制系統【例5.6】用李雅普諾夫穩定理論重新設計例5.1

解：由輸入/輸出方程：得：得