流體力學習題和解答

中國海洋大學海洋環境學院

流體力學教研室

習題一場論和張量代數

1.證明(〃?▽)〃=rot〃，其中〃為單位向量。

2.證明〃[gradS?〃)-「ot(ax〃)]=diva,其中。是變矢量，〃是單位常矢量。

3.用兩種方法證明(▽xa)x=-(a-V)^-oxrot4-rotax+?divb。

4.有一張量，將其分解為對稱的和反對稱的兩部分，并以w表示相當于反對稱部分的矢

量,叱="小。試證

V)-V(PM)=2w(wxv),

其中〃及y為任意矢景。

5.張景尸為反對稱張量的充分必要條件是：對任意矢量。有下述恒等式成立：

習題二流體運動描述

1.流體質點繞。Z軸以等角速度/旋轉，

(1)試以歐拉變量寫出流體運動的速度場；

(2)試以拉哥朗H變量寫出流體質點的運動規律；

(3)試分析流場的流線和軌跡；

(4)試求流體質點的加速度；

(5)用極坐標解此題。

2.一維收縮管內的不可壓縮流動，其速度分布為：V=V1(l+x/L),試決定：

(1)流場內任一質點的加速度

(2)給出任0時刻位于l=玉)點的質點的運動規律，并比較用兩種方法得到的加速度。

3.流體質點在定常流場內運動，流體質點是否具有加速度，為什么？

22

4.設流場為；u=Xtfv=Yt,w=0a試求流場的流線，流體質點的軌跡和加速度，

并以拉哥朗日變數表示質點的速度和加速度。

5.設流場為：u=ky,v=k(x-Al),卬=(),其中L和/1均為常數。試求：時經

過點M(a,b,c)的流線及f=0時經過M(a,b,c)處的流體質點的軌跡，最后考慮4=0

時的情形。

6.考慮下述速度分量定義的二維流動：

其中A、B、C為常數。試證流線為直線，質點的優跡為拋物線。

7.二維流場u=?,v=kyt,試決定其流線與軌跡。

8.設流場的速度分布為;

其中k為常數，試求流線、軌跡和流體質點的加速度，并用極坐標解上題。

9.試證明由直角坐標系到極坐標系和由極坐標系到直角坐標系速度的變換公式如下：

10.已知流體運動的速度大小和流線的方程分別為\/=向了了和/一丁？=constant,試

求速度場兩速度分量。

11.已知二維流動：w=x,v=-y,試求流線方程和通過點(2,3)的流線。

12.一定常流管，其中心線上的流速在40cm的一段距離內由14m/s變為15m/s。若變化是

均勻的，求這段上起點和終點的對流加速度。

13.試導出在極坐標，柱坐標及球坐標系中之流線和凱跡的微分方程。

14.速度場為V=ayi4-bj,其中，速度的單位為m/sec,y以米給出，a=2ni/sec,b=1m/sec,

試決定場點（1,2,0）上的速度分量〃，V,卬，以及通過該點的流線的斜率。

15.在二維不定場流場內，同一時刻測的速度分量為：

XyUV

002010

102215

0i145

在x=0>）=0點上，于不同時刻也進行了速度測量，測量結果為:

taV

02010

1/23010

其中〃、V的單位為in/sec,t的單位為sec,x、y的單位為m,試求出x=y=O點上分

別沿x和>'方向的平均加速度分量。

習題三質量連續性方程

1.試證明不可壓縮流體作定常流動時，速度必沿等密度面進行，反之亦然

2.已知某平面不可壓流場的速度沿、軸方向的分量為：u=ax2+by

求沿y軸方向速度分量v,已知y=O時，v=O

3.某流場，以拉哥朗日變數表示為：

其中為常數，”，力為拉哥朗日變數，試證明此流場為不可壓流場。

4.流體在彎曲的細管中流動，試分別以拉哥朗日變數和歐拉變數給出連續方程式。

5.設有一明渠，寬為b（.r）,水深為h（x,6x代表明渠任一界面的位置。如果認為同一截

面上速度相同，即V=V（X）>試求連續方程。

6.在上題中，如果靜止時h=h（x）（即渠底不平），由于外部擾動，使自由表面產生了一波

動，此時任一截面的水深可表為力=力（工）+二（%/），其中，4（工/）為波剖面。設流

體為不可壓流體，試證明此時連續方程為：

7.設。為一細流管的截面面枳，試證明連續方程為：

8.流體質點的運動對于某固定中心對稱，求其連續方程。如流體為不可壓，闡明此連續方

程的物理意義。

9.流體質點在通過。z軸的諸平面上運動，求連續方程式。

10.流體質點的軌跡為圓，且這些圓的圓心都位于某一固定軸上，試證明連續方程為：

式中。為流體質點繞。z軸轉動的角速度。

II.如果流體質點的軌跡位于共軸的圓柱面上，試求其連續方程式。

12.不可壓流體在一平面內運動，在極坐標系下，已知：

其中女為常量，試給出速度的％分量和速度的大小。

13.如果流體質點在一球面上運動，證明連續方程為：

此處講口。分別為緯度和經度，◎和獷分別為質點位置經度和緯度的變化率。

14.流體質點的運動位于軸線與z軸共軸并有共同頂點的圓錐面匕試求連續方程。

15.一脈沖在一均勻直管中傳播，已知夕=4①（0-幻，求質點的速度分布，設原點處

質點的速度為功。

16.說明〃=x,u=y是否為一不可壓流動。假設一個不可壓流動的速度x分量為〃=筋那

么，其)，分量卜的函數形式是什么形式？

習題四速度分析有旋運動和無旋運動

1.流速在平板附近的速度分布為：〃=攵,、==(),卬=0,試求流體微團的膨脹速度，和轉

動角速度。

2.在無旋流動中，/°時刻組成小球T+772+42=正的質點在時間后必然構成橢球

面，試證之。

3.在勻變形情況下，位于同一平面上的質點永遠位于同一平面上，位于同一直線上的質點

永遠位于同一直線上，試證之。

4.以A代表某個流動的變形速度張量，試證明剪切速度42,43和423可分別被解釋為由于

剪切變形引起的位于x-y,x-z和y-z三個坐標面上的正方形對角線的相對伸長速度。

5.流體運動時，流線為繞0Z軸之同心圓，角速度與離0Z軸距離的n次方成正比，求旋度

及流體的自轉角速度。

6.驗證下列平面流動是否為不可壓縮流動。并證明哪一個是有旋的，哪一個是無旋的，對

于無旋場給出速度勢函數。

u=kxu=ax2+bxy

v-kyv=ay+bs\ny

7.一平面流場：u=x2-y2+x,v=-2xy-y,證明其代表一不可壓流場，并且是無

旋的，并試給出其速度勢函數。

8.給出下述有旋運動的速度場及渦線：

a)流體與剛體一樣具有角速度/繞0Z軸旋轉；

b)流場：u=cy,v=c,vv=c；

c)流體質點的速度與質點到0X軸的距離成正比，并且與OX軸平行。

9.已知速度勢。如下，試求對應的速度場、流體質點加速度及流線。

a)(p=xy\

b)(p=

10.不可壓流體在單連通區域內做無旋運動，試證明對于任何的封閉曲面s均有

11.在不可壓縮無旋流動中，流場內任一內點」一，速度勢群不可能取得極值，試證明之。

習題五量綱分析和相似理論

1.截面為半圓形的無限長直管中的不可壓縮流體做層流運動，沿管軸方向某一長度/上的

壓降為切。管中的平均流速U,管的半徑。，流體粘性系數〃有關。試由量?綱分析原

理推出管中體積流量Q如何隨U、。、〃、助和/變化。

2.?右圖示水壩溢流，水的密度與粘度為p和〃。試用量綱分析導出溢過單位寬度水壩的體

積流量Q與那些氤有什么無品綱關系「又若已知來流速度為匕/求H/九與什么無量

綱量有關。

3.在很低雷諾數下,

繞某物體的流動服

從下述Stokes方程

組：VV=0,

Vp=，在物

面4=

±V=0,在無窮遠處丫=匕,（沿％軸方向）。試用量綱分析論證：此物體所受阻力的

大小F應該與特征尺寸L的幾次方成正比？

4.用1：30的模型在水槽中研究潛艇阻力問題。若實際潛艇水下航速為lOknol,試確定研

究摩阻時，模型拖拽速度多大。

5.一模型港尺度比為280：1,設真實stormwave振幅1.524m,波速9.l44m/s,那么模型

實驗中的這振幅和波速分別是多少？

習題六理想流體動力學方程組和邊界條件

（本習題中除特殊說明外，流體均為均勻不可壓理想流體）

1.流體邊界如下，求邊界面的法向速度。

2.橢圓柱以速度〃作垂直于其軸線的直線運動，試寫出橢圓柱的曲面方程式。

3.試導出在柱坐標和球坐標系下，活動邊界的邊界條件。

4.炸彈在水下很深的地方爆炸，證明水中任一點的壓強與這點到炸彈中心的距離成正比。

5.一垂直折管ABC（ZABC=乃/2）,C端封閉，人卜T

并使AB段豎直放置（如圖4-1）。管中充滿液體。

如果將C端開放，試證明在開后的瞬間，垂直管|

中的壓強減少一半（如果AB=BC）,并求水平||

管中壓強的變化（不計大氣壓強）。Bc

6.設有不可壓重流體，盛在直立的圓柱形容器內，以等角圖4“速

度。繞圓柱軸線穩定旋轉。若已知流體靜止時液面的高度為h,圓柱半徑為a,不計大

氣壓強，試求：

（1）流體內部的壓強分布；

（2）自由表面的形狀;

（3）容器底部受的總壓力。

7.設某流動的速度勢在柱坐標系下可以表示為0且自由表面壓強為常值，于，?為

無窮遠處，水面高為h,試求自由表面的方程式。

8.水平直細管內有一長為2L的不可壓縮流體，流體受管中點的吸引，引力與到管中點的

距離呈正比。求流體的速度及壓強分布。不考慮大氣壓強。

9.截面均勻的垂直細管在下端分為水平的兩A

個小管BC和CD,其截面積為垂直管截面一[-1-

積一半，（見圖4-2）,在管子結合處各有龍；

頭開關，關閉龍頭并使液體在垂直管中的高,,小

度為a。當兩龍頭打開后，試求液體的運動--------Pj[——

規律。『:

CD

圖4-2

10.設空氣中有一肥皂泡，成球狀，如果肥皂泡以規律R=R（t）膨脹，且認為膨脹率很小，

因而空氣可以看作是不可壓縮的，試求肥皂泡的表面壓強，設無窮遠處氣體的壓強為

Po，且不計質量力。

11.液體置于封閉的圓柱形筒內，受外力的作用自靜止開始繞筒的軸線運動，已知外力在

x和），方向的兩分力分別為X=ca+fty.y=/+?證明：

已知角速度①僅為時間，的函數，且。，B，%5均為常數，不考慮重力的作用。

12.在流體內部突然形成了一個半徑為a的球形空穴，假定流體為不可壓縮并且充滿整個

空間，試決定流體充滿空穴所需要的時間。（假定無窮遠處流體的速度為0,壓強為Po）

13.?完全浸沒在不可壓縮流體內部的球照規律R=R⑴膨脹，試決定球面上的流體壓力。

14.均勻截面直細管內的氣體服從Boyle定律（〃=k7）,試證明：

式中。為密度，V為速度，x為離開參考點的距離。

15.試從歐拉觀點出發，對于小微元推導平面輻射流動［/=/（/?）,匕=匕=0］沿徑向

（R方向）的運動方程（應力形式）。

16.在直角坐標系（居y,z）下，均質不可壓縮流體定常運動的速度為〃=qy,i;=0,

切=0（Q是常數），流體內能U和溫度7只是），的函數。設流體粘度〃等于常數，熱傳導

系數攵=4（7）,質量力只考慮重力g（沿z方向），無其它熱源（q=0）。試從歐拉觀點出發,

取一小微元，推導出能量方程。

17.一個無限大的平板原來靜止，其一側的半空間充滿原來也是靜止的均質不可壓縮粘性流

體（粘度為常數）。，=（）時刻此平板突然以常速度。沿板面某一方向滑移。假設半空間中

流體速度都與U平行，且只與到平板的距離及時間1有關，壓強〃處處均勻，不計質量力。

（1）請選擇適當的坐標系，畫圖注明；（2）指出應力張量中哪些分量恒為零，并把全部非

零分顯用流體速度和壓強表示出來：（3）選擇適當的小微元體積（畫圖），從歐拉觀點出發,

推導運動方程（最后的方程用速度表達），并列出定解條件。

習題七理想流體動力學方程的積分

（本習題中，除特殊說明外，流體均為理想不可壓流體）

1.絕熱氣體（〃=切丫）沿一直細管流動，如果不計質量力，試證明多項式

沿管子為常值。式中v為流體的流速，p、P分別表示壓強和密度。如果沿流動方向管

子是收縮的，那么當尸夕＜小時，V將沿流動的方向增加，〃/0將沿流動的方向減少。

2.設氣體狀態滿足〃="/,氣體通過一細導管流出一大的密閉容器。已知容器內的壓強

為大氣壓強Po的〃倍。不考慮容器內流體的勢能，證明流出的速度V由下式給出：

y2=

（…）八）

式中.為出口處的密度。

3.有一?截面變化的長方形溝渠，底部水平，水定常地道過此渠。如果匕h分別為流體的

速度和流體表面的高度，當V2cg〃時，則高度"將隨溝渠寬度的增加而增加，而流速

將隨溝渠寬度的增加而減少，試證明之。

4.在一流管中取兩個斷面，兩斷面間流體總質量為

M,兩個斷面上的速度勢分別為

=,、％=g,試證明此兩斷面間流體的動

能可寫為：7=—(q-c2)o

5.如圖51,虹吸管2y=2m,h=6m,管的直徑為

15cm,求

a)管內的流量

b)最高點s處的壓強

c)假如y為未知，求虹吸管吸不出水時之y為

何值。

6.任意形狀的物體置于等速定常流動的無限流體

中。試證明流體不受任何阻力。

7.有一均勻截面之折管內充以不可壓縮流體(圖5-2),B處有一開關，當tVO時，開關

緊閉，CA=AB=h,微面積為單位面積。求剛打開開關時(t=0)及打開開關后(1>0)壓強

之分布規律。

8.勻速地將水注入直立的圓柱形盆內，注入流量為q=l5cm3/s。盆底有一極小的孔，其截

面積為s=0.5cn?,問盆中水面保持多大的高度。

9.兩個截面積相等的高度為C的封閉圓柱，將其放在同一水平面上，一管充滿水，一管充

以空氣。空氣壓強為p，與水柱h平衡(h<c)o如果連通兩管之底部(圖5-3),設空氣

運動時是等溫壓縮的，求X最大值。

題

習

，I

想

理

體

流

流

勢

題

問

I已

知速度勢小及流函數中：

ror

(a)6=---中=———Inr

2萬2萬

(b)<b=—2xy*=x2—y2

試寫出復勢W=W(z)的表達式。

2.如果速度勢。=(m/2/r)lnr,求此流動之復勢。

3.對于二維可壓縮流動，相應流函數存在的條件是定常運動，試證之。

4.設卬=/^z,試證明質點的速度和加速度與到原點的距離成正比。

5.求偶相對于某一直線的像。

6.求偶相對于半徑為a之圓的像，并證明其強度與原偶之強度的比為a?/F2,此處F為原

偶至圓中心的距離。

7.試研究由復勢：

1

W=mInz——(m>0)

z

所確定的流動。源和匯在哪些點上？設z=?〃，求速度勢及流函數，并證明可以將運

動看作在坐標軸及半徑為I的圓所圍繞的象限之內；求通過連接馬=1和z2=0.5兩點

的線段的流體體積通量。

8.如果z=l+i點有強度為m的源，在z=0點有同等強度的匯，求在x,y坐標軸所限的

象限內流體運動的復勢以及極坐標系卜.的流線方程，并求在z=l點的速度值。

9.平面邊界附近有強度為m的源，求：

a)邊界上的速度分布及最大值點：

b)邊界上的壓強分布及壓強最小值點；

O設邊界為單位寬度且無限長，求源對邊界的作用力。

1也求圓柱外之葉作用在圓柱上的力，取圓柱高為一個單位。

TT■品圓柱外之伸作用在圓柱上的力，取圓柱高為一個單位。

12.通輿咨第圓央寺一源m和匯(-m),在極坐標系下，它們分別位于(不0)和(4,a)

處.求漏電復勢,并研究a=4且］=r2的情況。

13.二^廂橫置于速度為V且無限遠處壓強為“°的均勻水流中，試求作用

在。=心原5^之間的柱體上的作用力。式中6=()指向上游。

14.兩個強度為小的源分別在(-。，0)和(a,0)處，另有一個強度為2〃？的匯在原點，證

明流線為：

(x2+y2)*=a2^x2-y2+A,xy^；

再證明任意一點的速率為：

..2ma2

V=--------?

7M

其中小G和，3分別為該點到兩個源和匯的距離。

15.設在G〃，0)和(a,0)兩點有強度均為m的源，在(0,a)和(0,辿)點有相同強度的

匯，證明過此四點的圓及兩坐標軸皆為流線；進一步證明任一點的速率為

4ma2r

q=/?o

(/+6?-2r4^4cos4一

16.半徑為〃的圓內有偏心渦，求復勢，速度分布和流線。

17.兩個同心的無窮長圓柱面之間充滿均質不可?壓縮理想流體做無旋運動。外柱面7?=b

不動，內柱面R=a以常速度。沿％軸做直線運動。現在欲求這一瞬時的流體速度分

布。試用⑶速度勢(b)流函數和(c)復勢分別給出問題的完整數學提法，但不必求解C

18.設半徑為a的無窮長的圓柱在無窮的理想不可壓靜止流體中沿％軸(與柱軸垂直的方向)

作不定常平動，速度為〃(￡),求流體對圓柱的慣性阻力，并寫出該圓柱體的運動微分方

程。

19.半徑為。和b的兩球面間充滿密度為夕的理想不可壓縮流體（b>a）。設外球面靜止,

內球面沿％軸以速度U（。平移，某一瞬時恰好兩球面同心。若流體運動無旋，試求流

場所含動能。

習題九粘性流體的運動

I.粘性系數為〃的流體沿水平圓截面管子做定常流動，設速度為q,壓強梯度為p,

（1）訐明.2（陛）=一色

drdr〃

式中，「是流體質點到管子中心軸線的距離。

（2）給出通過管子的體積流量。

2.粘性流體在兩共軸圓柱面之間的區域內作平行于軸線的定常運動，兩共軸圓柱面的半徑

分別為〃和證明流量為：

式中，p為壓強梯度；求平均速度。

3.討論兩無限長水平平行平板間的定常層流運動。如其中一平板固定另一平板以速度U在

共所在平面內等速平移運動，求作用在上下平板上的摩擦應力。

4.把上題的平行平板傾斜放置，與水平成a角，運動情況如何？如設下平板固定，上平板

平移的速度為何值時可使作用在下平板上的摩擦應力為零？分別就在水平方向上有無

壓