Page第30講排列組合12類【題型一】人坐座位模型1：捆綁與插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有倆個女生相鄰:2.有四男生，4女生站一排，女生若相鄰，則最多2個女生相鄰：解答（1）：先捆綁倆女生，再排列捆綁女生，然后排列四個男生，兩個“女生”插孔即可，（2）分類討論【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來坐，來的是誰；5、必要時，座位拆遷，剩余座位隨人排列。主要典型題：1.捆綁法;2.插空法；3.染色。出現(xiàn)兩個實踐重疊，必要時候，可以使用容斥原理來等價處理：容斥原理【變式演練】1.在某班進行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為A．30 B．36 C．60 D．72【答案】C【分析】記事件位男生連著出場，事件女生甲排在第一個，利用容斥原理可知所求出場順序的排法種數(shù)為，再利用排列組合可求出答案．【詳解】記事件位男生連著出場，即將位男生捆綁，與其他位女生形成個元素，所以，事件的排法種數(shù)為，記事件女生甲排在第一個，即將甲排在第一個，其他四個任意排列，所以，事件的排法種數(shù)為，事件女生甲排在第一位，且位男生連著，那么只需考慮其他四個人，將位男生與其他個女生形成三個元素，所以，事件的排法種數(shù)為種，因此，出場順序的排法種數(shù)種，故選C．2.某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（

）A．144 B．120 C．72 D．48【答案】B【分析】先求出只有3個歌舞類節(jié)目不相鄰的方法，然后求出3個歌舞類節(jié)目不相鄰且2個小品類節(jié)目相鄰的排法，相減可得．【詳解】先考慮只有3個歌舞類節(jié)目不相鄰，排法有種，再考慮3個歌舞類節(jié)目不相鄰，2個小品類節(jié)目相鄰的排法有：，因此同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是．故選：B．3.2021年4月15日，是第六個全民國家安全教育日，教育廳組織宣講團到某市的六個不同高校進行國家安全知識的宣講，時間順序要求是：高校甲必須排在第二或第三個，且高校甲宣講結(jié)束后需立即到高校丁宣講，高校乙?高校丙的宣講順序不能相鄰，則不同的宣講順序共有（

）A．28種 B．32種 C．36種 D．44種【答案】B【分析】由題意，對高校甲排在第二或第三個進行分類討論，接著考慮乙和丙的排法，最后考慮其他兩所高校的排法，綜合利用分類和分步計數(shù)原理進行分析即可.【詳解】根據(jù)題意：分成以下兩種情況進行分類討論高校甲排在第二個時，高校丁必排在第三個，當乙或丙排在第一個時共有種排法，當乙或丙不排在第一個時，乙和丙只能排在第四個和第六個，此時共有種排法，所以高校甲排在第二個時共有16種排法；高校甲排在第三個時，高校丁必排在第四個，乙或丙只能一個排在第一二個，一個排在第五六個，則共有種排法；綜上：共有32種排法滿足題意.故選：B.【題型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如圖為我國數(shù)學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)涂色，規(guī)定每個區(qū)域只能涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則A、C區(qū)域顏色不相同的概率是A.1/7b.2/7c.3/7D.4/7答案：D【方法技巧】染色問題：1.用了幾種顏色2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。【變式演練】1.正方體六個面上分別標有A、B、C、D、E、F六個字母，現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個面染色，要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有（

）種.A．420 B．600 C．720 D．780【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對面的顏色是否相同，分①三對面染相同的顏色、②兩對面染相同顏色，另一對面染不同顏色、③一對面染相同顏色，另兩對面染不同顏色，分別求出不同的染色方案，最后加總即可.【詳解】分三類：1、若三對面染相同的顏色，則有種；2、若兩對面染相同顏色，另一對面染不同顏色，則有種；3、若一對面染相同顏色，另兩對面染不同顏色，則有種；∴共有種.故選：D2.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有（

）.A．40320種 B．5040種 C．20160種 D．2520種【答案】D【解析】【分析】先從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對的區(qū)域內(nèi)，再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個區(qū)域內(nèi)，結(jié)合圖形的對稱性，即可求解.【詳解】先從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對的區(qū)域內(nèi)，有種方法，再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個區(qū)域內(nèi)，共有種方法，由于圖形是軸對稱圖形，所以上述方法正好重復一次，所以不同的涂色方法，共有種不同的涂法.故選：D.3.如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有（

）A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不對【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合計數(shù)原理，先排E，F(xiàn)，G，然后根據(jù)A，B，C，D的情況討論．【詳解】解：E，F(xiàn)，G分別有4，3，2種方法，當A與F相同時，A有1種方法，此時B有2種，若與F相同有C有1種方法，同時D有3種方法，若C與F不同，則此時D有2種方法，故此時共有：種方法；當A與G相同時，A有1種方法，此時B有3種方法，若C與F相同，C有1種方法，同時D有2種方法，

若C與F不同，則D有1種方法，

故此時共有：種方法；當A既不同于F又不同于G時，A有1種方法，若B與F相同，則C必須與A相同，同時D有2種方法；若B不同于F，則B有1種方法，Ⅰ若C與F相同則C有1種方法同時D有2種方法；Ⅱ若C與F不同則必與A相同，C有1種方法，同時D有2種方法；故此時共有：種方法；綜上共有種方法．故選：C．【題型三】人坐座位模型3：染色（空間）:【典例分析】如圖所示的幾何體由三棱錐與三棱柱組合而成，現(xiàn)用種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（

）A．種 B．種C．種 D．種【答案】C【解析】三棱錐三個側(cè)面的顏色各不相同，先進行染色，然后再給三棱柱的側(cè)面染色，保證組合體中相鄰的側(cè)面顏色不同即可.【詳解】先涂三棱錐的三個側(cè)面，有種情況，然后涂三棱柱的三個側(cè)面，有種情況，共有種不同的涂法．故選：C．【方法技巧】空間幾何體，可以“拍扁”，轉(zhuǎn)化為平面圖形【變式演練】1.如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)是()A．420 B．210 C．70 D．35【答案】A【解析】【分析】將不同的染色方案分為：相同和不同兩種情況，相加得到答案.【詳解】按照的順序：當相同時：染色方案為當不同時：染色方案為不同的染色方案為：種故答案為A2.在如圖所示的十一面體中，用種不同顏色給這個幾何體各個頂點染色，每個頂點染一種顏色，要求每條棱的兩端點異色，則不同的染色方案種數(shù)為__________．【答案】6【解析】【詳解】分析：首先分析幾何體的空間結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合排列組合計算公式整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：空間幾何體由11個頂點確定，首先考慮一種涂色方法：假設(shè)A點涂色為顏色CA，B點涂色為顏色CB，C點涂色為顏色CC，由AC的顏色可知D需要涂顏色CB，由AB的顏色可知E需要涂顏色CC，由BC的顏色可知F需要涂顏色CA，由DE的顏色可知G需要涂顏色CA，由DF的顏色可知I需要涂顏色CC，由GI的顏色可知H需要涂顏色CB，據(jù)此可知，當△ABC三個頂點的顏色確定之后，其余點的顏色均為確定的，用三種顏色給△ABC的三個頂點涂色的方法有種，故給題中的幾何體染色的不同的染色方案種數(shù)為6.3.用五種不同顏色給三棱臺的六個頂點染色，要求每個點染一種顏色，且每條棱的兩個端點染不同顏色.則不同的染色方法有___________種.【答案】1920.【解析】【詳解】分析：分兩步來進行，先涂，再涂，然后分若5種顏色都用上、若5種顏色只用4種、若5種顏色只用3種這三種情況，分別求得結(jié)果，再相加，即可得結(jié)果.詳解：分兩步來進行，先涂，再涂.第一類：若5種顏色都用上，先涂，方法有種，再涂中的兩個點，方法有種，最后剩余的一個點只有2種涂法，故此時方法共有種；第二類：若5種顏色只用4種，首先選出4種顏色，方法有種；先涂，方法有種，再涂中的一個點，方法有3種，最后剩余的兩個點只有3種涂法，故此時方法共有種；第三類：若5種顏色只用3種，首先選出3種顏色，方法有種；先涂，方法有種，再涂，方法有2種，故此時方法共有種；綜上可得，不同涂色方案共有種，故答案是1920.點睛：該題考查的是有關(guān)排列組合的綜合題，在解題的過程中，涉及到的知識點有分步計數(shù)乘法原理和分類計數(shù)加法原理，要認真分析題的條件，列式求得結(jié)果.【題型四】書架插書模型【典例分析】有12名同學合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（

）A．168 B．260 C．840 D．560【答案】C【分析】先從后排8人中抽2人，把抽出的2人插入前排保證前排人順序不變可用倍縮法，再由分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】解：從后排8人中抽2人有種方法；將抽出的2人調(diào)整到前排，前排4人的相對順序不變有種，由分步乘法計數(shù)原理可得：共有種，故選：C.【方法技巧】（1）書架上原有書的順序不變；（2）新書要一本一本插；【變式演練】1.從A，B，C，D，a，b，c，d中任選5個字母排成一排，要求按字母先后順序排列（即按先后順序，但大小寫可以交換位置，如或都可以），這樣的情況有__________種．（用數(shù)字作答）【答案】160【分析】先根據(jù)A、B、C、D選取的個數(shù)分為四類：第一類:A、B、C、D中取四個，a、b、c、d中取一個；第二類:A、B、C、D中取三個，a、b、c、d中取二個；第三類:A、B、C、D中取二個,a、b、c、d中取三個；第四類:A、B、C、D中取一個,a、b、c、d中取四個.【詳解】分為四類情況：第一類：在A、B、C、D中取四個，在a、b、c、d中取一個，共有；第二類：在A、B、C、D中取三個，在a、b、c、d中取兩個，分兩種情況：形如AaBbC(大小寫有兩個字母相同)共有，形如AaBCd（大小寫只有一個字母相同）共有；第三類：在A、B、C、D中取兩個，在a、b、c、d中取三個，取法同第二類情況；第四類：在A、B、C、D中取一個，在a、b、c、d中取四個，取法同第一類情況；所以共有：2(8++)=1602.．在一張節(jié)目表上原有6個節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對順序不變，再添加進去三個節(jié)目，求共有多少種安排方法【答案】504.【分析】由題意知添加的三個節(jié)目且保持這些節(jié)目的相對順序不變，有三類辦法排進去，三個節(jié)目連排，三個節(jié)目互不相鄰，有且僅有兩個節(jié)目連排，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．【詳解】解：添加的三個節(jié)目有三類辦法排進去①三個節(jié)目連排，有C71A33種方法；②三個節(jié)目互不相鄰，有A73種方法；③有且僅有兩個節(jié)目連排，有C31C71C61A22種方法．根據(jù)分類計數(shù)原理共有C71A33+A73+C31C71C61A22＝504種，答：共有504種安排方法．3.書架上有排好順序的6本書，如果保持這6本書的相對順序不變，再放上3本書，則不同的放法共有（

）.A．210種 B．252種 C．504種 D．505種【答案】C【分析】可看成一共有9本書，9個位置，將3本書排列到這9個位置中的3個位置即可.【詳解】可轉(zhuǎn)換為將3本書排列到所有的9本書中的其中3個位置上.共種情況.故選：C【題型五】球放盒子模型1：球不同，盒子也不同【典例分析】已知有5個不同的小球，現(xiàn)將這5個球全部放入到標有編號1、2、3、4、5的五個盒子中，若裝有小球的盒子的編號之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（

）A．150 B．240 C．390 D．1440【答案】C【分析】分析可得可以將5個球放到編號2、4、5的三個盒子中或者放到編號1、2、3、5的四個盒子中，分別計算每種放球方法種數(shù)，再利用分類相加計數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】因為或所以5個球放到編號2、4、5的三個盒子中或者放到編號1、2、3、5的四個盒子中（1）5個球放到編號2、4、5的三個盒子中，因為每個盒子中至少放一個小球，所以在三個盒子中有兩種方法：各放1個，2個，2個的方法有種.各放3個，1個，1個的方法有種.（2）5個球放到編號1、2、3、5的四個盒子中，則各放2個，1個，1個，1個的方法有種.綜上，總的放球方法數(shù)為種.故選：C【方法技巧】球不同，盒子不同（主要的）方法技巧：無限制，指數(shù)冪形式，，有限制“先分組再排列”分類討論【變式演練】1.將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，至多2個球，則不同的放法種數(shù)有（）A．30種 B．90種 C．180種 D．270種【答案】B【分析】對三個盒子進行編號1，2，3，則每個盒子裝球的情況可分為三類：1，2，2；2，1，2；2，2，1；且每一類的放法種數(shù)相同.【詳解】先考慮第一類，即3個盒子放球的個數(shù)為：1，2，2，則第1個盒子有：，第2個盒子有：，第3個盒子有：，第一類放法種數(shù)為，不同的放法種數(shù)有.2.將編號分別為1，2，3，4，5的5個小球分別放入3個不同的盒子中，每個盒子都不空，則每個盒子中所放小球的編號奇偶性均不相同的概率為A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷奇偶性不同則只能是2,2,1，再計算概率【詳解】由題知，要求每個盒子都不空，則3個盒子中放入小球的個數(shù)可分別為3,1,1或2,2,1,若要求每個盒子中小球編號的奇偶性不同則只能是2,2,1，且放入同一盒子中的兩個小球必須是編號為一奇一偶，故所求概率為故答案選C3.將A，B，C，D四個小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，若每個盒子中至少放一個球且A，B不能放入同一個盒子中，則不同的放法種數(shù)為（

）A．15 B．30 C．20 D．42【答案】B【分析】按照放入同一盒子的球進行分類，最后由分類加法計數(shù)原理計算即可.【詳解】當放入一個盒子的是時，有種不同的放法當放入一個盒子的是時，有種不同的放法當放入一個盒子的是時，有種不同的放法當放入一個盒子的是時，有種不同的放法當放入一個盒子的是時，有種不同的放法則共有種不同的放法故選：B【題型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同【典例分析】把1995個不加區(qū)別的小球分別放在10個不同的盒子里，使得第個盒子中至少有個球（），則不同放法的總數(shù)是A． B． C． D．【答案】D【詳解】先在第個盒里放入個球，，即第1個盒里放1個球，第2個盒里放2個球，…，這時共放了個球，還余下個球.故轉(zhuǎn)化為把1940個球任意放入10個盒子里（允許有的盒子里不放球）.把這1940個球用9塊隔板隔開，每一種隔法就是一種球的放法，1940個球連同9塊隔板共占有1949個位置，相當于從1949個位置中選9個位置放隔板，有種放法.選D.【方法技巧】球相同，盒子不同方法技巧：擋板法【變式演練】1.將7個相同的球放入4個不同的盒子中，則每個盒子都有球的放法種數(shù)為（

）A．22 B．25 C．20 D．48【答案】C【分析】將7個相同的球放入4個不同的盒子中，即把7個相同的球分成4組，不妨將7個球擺成一排，中間形成6個空，只需在這6個空插入3個隔板將它們隔開，即分成4組，據(jù)此即可的解.【詳解】解：將7個相同的球放入4個不同的盒子中，即把7個相同的球分成4組，因為每個盒子都有球，所以每個盒子至少又一個球，不妨將7個球擺成一排，中間形成6個空，只需在這6個空插入3個隔板將它們隔開，即分成4組，不同插入方法共有種，所以每個盒子都有球的放法種數(shù)為20.故選：C.2.把20個相同的小球裝入編號分別為①②③④的4個盒子里，要求①②號盒每盒至少3個球，③④號盒每盒至少4個球，共有種方法.A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)四個盒子中裝的小球個數(shù)分別為，，，，則，要求①②號盒每盒至少3個球，③④號盒每盒至少4個球，令，，，，則，，，都大于或等于1，且，問題相當于將10個球分成四部分，使用“隔板法”即可【詳解】設(shè)四個盒子中裝的小球個數(shù)分別為，，，，則，要求①②號盒每盒至少3個球，③④號盒每盒至少4個球，令，，，，則，，，都大于或等于1，且，問題相當于將10個球分成四部分，在10個球的9個間隔里選三個隔開，有種方法，故選擇A【點睛】在排列組合中，對于將不可分辨的球裝入到可以分辨的盒子中，每盒至少一個，求方法數(shù)的問題，常用隔板法．實際運用隔板法解題時，在確定球數(shù)、如何插隔板等問題上形成了一些技巧．3.將7個相同的小球放入，，三個盒子，每個盒子至少放一球，共有（

）種不同的放法．A．60種 B．36種 C．30種 D．15種【答案】D【分析】7個小球有6個空，采用插空法可求.【詳解】將7個小球分成三組即可，可采用插空法，7個小球有6個空，則有種不同的方法.故選：D.【題型七】相同元素排列模型1：數(shù)字化法【典例分析】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓才加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為A.24B.18C.12D.9【答案】B解答：向右走，記為數(shù)字1，向上走，記為數(shù)字2.E到F:向右兩個，向上兩個，相當于1，1，2，2四個數(shù)字排列：同理F到G，相當于2，1，1排列故答案：B【方法技巧】數(shù)字化法：標記元素為數(shù)字或字母，重新組合，特別適用于“相同元素”，可以和擋板法配合使用【變式演練】1.一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個單位或者兩個單位距離的能力，且每次飛行至少一個單位.若小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實數(shù)3位于的點處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種？A．5 B．25 C．55 D．75【答案】D【詳解】由題意知：小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實數(shù)3位于的點處，共有以下四種情形：一、小蜜蜂在5次飛行中，有4次向正方向飛行，1次向負方向飛行，且每次飛行一個單位，共有種情況；二、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行一個單位，1次向正方向飛行，且每次飛行兩個單位，1次向負方向飛行，且每次飛行兩個單位，共有種情況；三、小蜜蜂在5次飛行中，有1次向正方向飛行每次飛行一個單位，2次向正方向飛行，且每次飛行兩個單位，2次向負方向飛行，且每次飛行一個單位，共有種情況；四、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行兩個單位，有1次向負方向飛行且飛行兩個單位，有1次向負方向飛行且飛行一個單位，共有種情況；故而共有種情況，故選：D．2.跳格游戲：如圖，人從格子外只能進入第1個格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格子外跳到第8個格子的方法種數(shù)為A．8種 B．13種 C．21種 D．34種【答案】C【詳解】解：設(shè)跳到第n格的方法有an，則達到第n格的方法有兩類，①是向上跳一格到達第n格，方法數(shù)為an-1，②向上跳2格到達第n格，方法數(shù)是an-2，則an=an-1+an-2，有數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列的前8項分別是1，1，2，3，5，8，13，21∴跳到第8格的方法數(shù)是21，故選C．3.如圖所示，甲?乙兩人同時出發(fā)，甲從點到，乙從點到，且每人每次都只能向上或向右走一格.則甲?乙的行走路線沒有公共點的概率為（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出甲從點到，乙從點到總的路徑的對數(shù)，再計算甲從點到，乙從點到的相交路徑的對數(shù)，其等于甲從點到，乙從點到相交路徑的對數(shù)，進而可得甲?乙的行走路線沒有公共點的路徑的對數(shù)，再由古典概率公式即可求解.【詳解】首先考慮甲從點到，乙從點到總的路徑的對數(shù)，甲從點到，需要向上走步，向右走步，共步，所以甲從點到有種方法；乙從點到，需要向上走步，向右走步，共步，所以乙從點到有種方法；由分步乘法計數(shù)原理可知：甲從點到，乙從點到，有種方法；下面計算甲從點到，乙從點到的相交路徑的對數(shù)，證明：甲從點到，乙從點到相交路徑的對數(shù)等于甲從點到，乙從點到相交路徑的對數(shù)，事實上，對于甲從點到，乙從點到的每一組相交路徑，他們至少有一個交點，如圖，設(shè)從左到右，從下到上的第一個交點為點，如圖，實線路徑表示甲從到的路徑，虛線路徑表示乙從點到的路徑，將點以后的實線路徑改為虛線，虛線路徑改為實線，就得到一組甲從點到，乙從點到相關(guān)路徑，如圖，反之，對于甲從點到，乙從點到的任意一組相交路徑，也都可以用同樣的方法將之變換成甲從到，乙從點到的一組相交路徑，即這兩者之間的相交路徑是一一對應的，又因為甲從點到，乙從點到的任意一組路徑都是相交路徑，所以甲從點到，乙從點到共有種方法；所以甲?乙的行走路線沒有公共點的有種方法；甲?乙的行走路線沒有公共點的概率為，故選：C【題型八】相同元素排列模型2：空車位停車等【典例分析】1.某單位有8個連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（

）A．240 B．360 C．480 D．720【答案】C【分析】給8個車位編號：1，2，3，4，5，6，7，8，按照連在一起的3個車位分6類計數(shù)可得結(jié)果.【詳解】給8個車位編號：1，2，3，4，5，6，7，8，當1，2，3號為空時，有種停放方法；當2，3，4號為空時，有種停放方法；當3，4，5號為空時，有種停放方法；當4，5，6號為空時，有種停放方法；當5，6，7號為空時，有種停放方法；當6，7，8號為空時，有種停放方法；所以不同的停放方法的種數(shù)為種.故選：C.極簡潔解法：四輛車標記為ABCD,四個空車位，三個組合一起，標記為3，剩余一個標記為1，則變成數(shù)字1，3與四個字母排列，且數(shù)字不相鄰，插空法即可2.馬路上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有種答案：直接數(shù)字化法，標記為123456與AAA排列，只選不排。為【方法技巧】這類題，就是簡單的數(shù)字化法，大多可以及簡潔的解決問題，參考本專題【典例分析】解法二思維【變式演練】1.某公共汽車站有6個候車位排成一排，甲、乙、丙三個乘客在該汽車站等候228路公交車的到來，由于市內(nèi)堵車，228路公交車一直沒到站，三人決定在座位上候車，且每人只能坐一個位置，則恰好有2個連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是A．48 B．54 C．72 D．84【答案】C根據(jù)題意，分2步進行分析：①先將3名乘客全排列，②3名乘客排好后，有4個空位，在4個空位中任選1個，安排2個連續(xù)空座位，再在剩下的3個空位中任選1個，安排1個空座位，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：①先將3名乘客全排列，有種情況，②3名乘客排好后，有4個空位，在4個空位中任選1個，安排2個連續(xù)空座位，有4種情況，在剩下的3個空位中任選1個，安排1個空座位，有3種情況，則恰好有2個連續(xù)空座位的候車方式有種；故選：．2.現(xiàn)有一排10個位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有_________種.【答案】40【分析】根據(jù)題意，先將甲、乙、丙三輛不同的車排列，使得甲車在乙、丙兩車之間，有2種排法，再將剩余的7個空車位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車形成的四個空上，然后，求出不同的分組方法，最后利用分步乘法計數(shù)原理即可求解【詳解】先將甲、乙、丙三輛不同的車排列，使得甲車在乙、丙兩車之間，有2種排法，再將剩余的7個空車位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車形成的四個空上，有1，1，1，4；1，1，2，3；1，2，2，2三種分組方法，則不同的分組方法共有種，由分步乘法計數(shù)原理得不同的停放方式共有種.3.地面上有并排的七個汽車位，現(xiàn)有紅、白、黃、黑四輛不同的汽車同時倒車入庫.當停車完畢后，恰有兩個連續(xù)的空車位，且紅、白兩車互不相鄰的情況有________種.【答案】336根據(jù)題意從反面考慮，恰有兩個連續(xù)空車位的排法，再算出恰有兩個連續(xù)空車位，且紅、白兩車相鄰時的排法，兩數(shù)作差即可求解.【詳解】從反面考慮，恰有兩個連續(xù)空車位時有（種）情況；恰有兩個連續(xù)空車位，且紅、白兩車相鄰時有（種）情況，故所求情況有（種）故答案為：336【題型九】相同元素排列模型3：上樓梯等【典例分析】欲登上第10級樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級或兩級，則不同的走法共有A．34種 B．55種C．89種 D．144種【答案】C【詳解】解法1：分類法：第一類：沒有一步兩級，則只有一種走法；第二類：恰有一步是一步兩級，則走完10級要走9步，9步中選一步是一步兩級的，有種可能走法；第三類：恰有兩步是一步兩級，則走完10級要走8步，8步中選兩步是一步兩級的，有種可能走法；依此類推，共有=89，故選(C)．解法2：遞推法：設(shè)走級有種走法，這些走法可按第一步來分類，第一類：第一步是一步一級，則余下的級有種走法；第二類：第一步是一步兩級，則余下的級有種走法，于是可得遞推關(guān)系式，又易得，由遞推可得，故選(C)．【方法技巧】依舊可以歸結(jié)為數(shù)字化法也可以歸結(jié)為“斐波那契數(shù)列”【變式演練】1.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.因數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列以如下被遞推的方法定義：，，.這種遞推方法適合研究生活中很多問題.比如：一六八中學食堂一樓到二樓有15個臺階，某同學一步可以跨一個或者兩個臺階，則他到二樓就餐有（

）種上樓方法.A．377 B．610 C．987 D．1597【答案】C【分析】分析出，，，，進而得到遞推關(guān)系，滿足斐波那契數(shù)列，列舉即可得到結(jié)果.【詳解】由題意若只有一個臺階，則有種上樓方法；若有兩個臺階，則有種上樓方法；若有三個臺階，則有種上樓方法；若有四個臺階，則有種上樓方法；以此類推：若要到達第n個臺階，前一步可能在第n-1個臺階上再跨一臺階上去，也可能是在第n-2個臺階上跨兩個臺階上去，∴滿足，符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律，由此規(guī)律列舉出前15項：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987∴有15個臺階，則他到二樓就餐有987種上樓方法.故選：C.2.從一樓到二樓共有12級臺階，可以一步邁一級也可以一步邁兩級，要求8步走完，則從一樓到二樓共有走法．A．12 B．8 C．70 D．66【答案】C【分析】一步上一級或者一步上兩級，8步走完樓梯，可以從一級和兩級各幾步來考慮．【詳解】解：設(shè)一步一級x步，一步兩級y步，則故走完樓梯的方法有種．故答案為C.3.某人從上一層到二層需跨10級臺階.他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步.從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階.則他從一層到二層可能的不同過程共有（

）種.A．6 B．8 C．10 D．122010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽山東賽區(qū)預賽試題【答案】C【詳解】按題意要求，不難驗證這6步中不可能沒有三階步，也不可能有多于1個的三階步.因此，只能是1個三階步，2個二階步，3個一階步.為形象起見，以白、黑、紅三種顏色的球來記錄從一層到二層跨越10級臺階的過程：白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步.每一過程可表為3個白球、2個黑球、1個紅球的一種同色球不相鄰的排列.下面分三種情形討論.（1）第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側(cè).此時，共有4個黑白球之間的空位放置紅球.所以，此種情況共有4種可能的不同排列.（2）第1球不是白球.（i）第1球為紅球，則余下5球只有一種可能的排列；（ii）若第1球為黑球，則余下5球因紅、黑球的位置不同有兩種不同的排列，此種情形共有3種不同排列.（3）第6球不是白球，同（2），共有3種不同排列.總之，按題意要求從一層到二層共有種可能的不同過程.【題型十】多事件限制重疊型【典例分析】班班會準備從含甲、乙、丙的7名學生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一個發(fā)言，且甲、乙都發(fā)言時丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，分種情況討論，若甲乙其中一人參加，有種情況，若甲乙兩人都參加，則丙不能參加，有種情況，其中甲乙相鄰的有種情況，則甲、乙兩人都發(fā)言順序不相鄰的概率為，故選C.【方法技巧】可以直接法，可以間接法【變式演練】1.某同學計劃用他姓名的首字母，身份證的后4位數(shù)字（4位數(shù)字都不同）以及3個符號設(shè)置一個六位的密碼．若必選，且符號不能超過兩個，數(shù)字不能放在首位和末位，字母和數(shù)字的相對順序不變，則他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為（

）A．864 B．1009 C．1225 D．1441【答案】D【分析】先按照符號的個數(shù)分類，利用分步乘法計數(shù)原理分別計算每類的情況種數(shù)，再利用分類加法計數(shù)原理求解即可.【詳解】①當符號的個數(shù)為0時，六位密碼由字母及身份證的后4位數(shù)字組成，此時只有1種情況；②當符號的個數(shù)為1時，六位密碼由母，3個數(shù)字及1個符號組成.若末位是符號，則首位是字母，可能的種數(shù)為；若末位是字母，則可能的種數(shù)為；③當符號的個數(shù)為2時，六位密碼由字母，2個數(shù)字及2個符號組成.若首位和末位均為符號，則可能的種數(shù)為；若首位和末位均為字母，則可能的種數(shù)為；若首位和末位一個是字母、一個是符號，則可能的種數(shù)為.故他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為.故選：D.2.年月日至日，北京師范大學出版集團攜手北師大版數(shù)學教材編寫組在廣東省珠海市聯(lián)合舉辦了以“新課程，我們都是追夢人”為主題的北師大版中小學數(shù)學教材交流研討會，會議期間舉辦了一場“互動沙龍”，要求從位男嘉賓，位女嘉賓中隨機選出位嘉賓進行現(xiàn)場演講，且女嘉賓至少要選中位，如果位女嘉賓同時被選中，她們的演講順序不能相鄰，那么不同演講順序的種數(shù)是（

）A．B．C．D．【答案】C根據(jù)女嘉賓被選中等人數(shù)進行分類，選中兩位女嘉賓時用插空法進行排列.【詳解】由題可知可分為兩類：第一類，位女嘉賓只有位被選中，則還需從位男嘉賓里選出位，然后全排列，∴不同的演講順序有種；第二類，位女嘉賓同時被選中，則還需從位男嘉賓里選出位，∴位女嘉賓的演講順序不相鄰的不同演講順序有種；綜上，不同演講順序的種數(shù)是，故選：C.3.有2輛不同的紅色車和2輛不同的黑色車要停放在如圖所示的六個車位中的四個內(nèi)，要求相同顏色的車不在同一行也不在同一列，則共有______種不同的停放方法．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】首先在第一行停放一輛紅色車與一輛黑色車，再在第二行分類討論停放剩下車，最后利用分步計數(shù)原理即可得出結(jié)果.【詳解】因為要求相同顏色的車不在同一行也不在同一列，所以第一行只能停放一輛紅色車與一輛黑色車，共有種停法,再在第二行分類討論停放剩下車,第二輛紅車如果停在第一輛黑車下方，則第二輛黑車有2種方法，如果第二輛紅車不停在第一輛黑車下方，則第二輛黑車有1種方法，共有3種情況，因此共有種情況；故答案為：.【題型十一】多重限制分類討論【典例分析】高一新生小崔第一次進入圖書館時看到了館內(nèi)樓梯（圖1），她準備每次走1級或2級樓梯去二樓，并在心中默默計算這樣走完25級樓梯大概有多少種不同的走法，可是當她走上去后發(fā)現(xiàn)（圖2）原來在13級處有一寬度達1.5米的平臺，這樣原來的走樓梯方案需要調(diào)整，請問，對于剩下的15級樓梯按分2段的走法與原來一次性走15級的走法相比較少了______種．【答案】288【分析】由題知，登上樓梯的走法符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律，分別列出走到15級臺階的走法，然后分兩段計算走法，作差即可.【詳解】由題知，登上樓梯的走法符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律：登上第一級臺階：有1種走法；登上第二級臺階：有2種走法；登上第三級臺階：有3種走法；登上第四級臺階：有5種走法；登上第五級臺階：有8種走法；登上第六級臺階：有13種走法；登上第七級臺階：有21種走法；登上第八級臺階：有34種走法；登上第九級臺階：有55種走法；登上第十級臺階：有89種走法；登上第十一級臺階：有144種走法；登上第十二級臺階：有233種走法；登上第十三級臺階：有377種走法；登上第十四級臺階：有610種走法；登上第十五級臺階：有987種走法；所以分兩段走，先走十二級臺階有233種走法，再走3級臺階有3兩種，這樣走完15級臺階共有種，比直接走完15級臺階987中走法少了種走法.故答案為：288【方法技巧】有更多的限制條件，可以采取分類討論的方法。【變式演練】1.市內(nèi)某公共汽車站有7個候車位(成一排),現(xiàn)有甲，乙，丙，丁，戊5名同學隨機坐在某個座位上候車,則甲，乙相鄰且丙，丁不相鄰的不同的坐法種數(shù)為______；（用數(shù)字作答）3位同學相鄰，另2位同學也相鄰，但5位同學不能坐在一起的不同的坐法種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】

480

720【詳解】甲，乙相鄰用捆梆法有種，然后從4個位置中選兩個安排甲，乙，戊有種排法，最后用插空法安排丙，丁2人，即從5個空檔中插入2人，有種.故甲，乙相鄰且丙，丁不相鄰的不同的坐法種數(shù)為.3人相鄰另2人也相鄰，但5位同學不能坐在一起，即要把5人分成3，2兩組，每組的人要相鄰，兩組的人要互不相鄰，先捆梆有種，把兩組排列有種，再把兩個空位插入有3種，共有.2.2021年某地電視臺春晚的戲曲節(jié)目，準備了經(jīng)典京劇、豫劇、越劇、粵劇、黃梅戲、評劇6個劇種的各一個片段．對這6個劇種的演出順序有如下要求：京劇必須排在前三，且越劇、粵劇必須排在一起，則該戲曲節(jié)目演出順序共有(

)種．A．120 B．156 C．188 D．240【答案】A【分析】解決問題有類辦法：京劇排第一，排在一起的兩個算一個與余下三個元素作全排列，京劇排二三之一，排在一起的兩個只有三個位置可選，再排余下三個得解.【詳解】完成排戲曲節(jié)目演出順序這件事，可以有兩類辦法：京劇排第一，越劇、粵劇排在一起作一個元素與余下三個作全排列有，越劇、粵劇有前后，共有：種；京劇排二三之一有，越劇、粵劇排在一起只有三個位置并且它們有先后，有，余下三個有，共有：種；由分類計數(shù)原理知，所有演出順序有：(種)故選：A3.甲、乙、丙、丁等六名退休老黨員相約去觀看黨史舞臺劇《星火》．《星火》的票價為50元/人，每人限購一張票．甲、乙、丙三人各帶了一張50元鈔，其余三人各帶了一張100元鈔．他們六人排成一列到售票處買票，而售票處一開始沒有準備50元零錢，那么他們六人共有多少種不同排隊順序能使購票時售票處不出現(xiàn)找不出錢的狀態(tài)．（

）A．720 B．360 C．180 D．90【答案】C【分析】先分類列出攜帶50元鈔人員和攜帶100元鈔人員的位置，再乘以每一類情況總數(shù).【詳解】記攜帶50元鈔人員為A，攜帶100元鈔人員為B，要使不出現(xiàn)找不出錢的狀態(tài)，可能的情況為五類情況，每類情況有種排列方式，所以一共有種情況.故選：C【題型十二】綜合應用【典例分析】設(shè)十人各拿一只水桶，同到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第i(i＝1，2，…，10)個人的水桶需Ti分鐘，假設(shè)Ti各不相同，當水龍頭只有一個可用時，應如何安排他(她)們的接水次序，使他(她)們的總的花費時間(包括等待時間和自己接水所花費的時間)最少()A．從Ti中最大的開始，按由大到小的順序排隊B．從Ti中最小的開始，按由小到大的順序排隊C．從靠近Ti平均數(shù)的一個開始，依次按取一個小的取一個大的的擺動順序排隊D．任意順序排隊接水的總時間都不變【答案】B【分析】表示出拎小桶者先接水時等候的時間，然后加上拎大桶者一共等候者用的時間，用（2m+2T+t）減去二者的和就是節(jié)省的時間；由此可推廣到一般結(jié)論【詳解】事實上，只要不按從小到大的順序排隊，就至少有緊挨著的兩個人拎著大桶者排在拎小桶者之前，仍設(shè)大桶接滿水需要T分鐘，小桶接滿水需要t分鐘，并設(shè)拎大桶者開始接水時已等候了m分鐘，這樣拎大桶者接滿水一共等候了（m+T）分鐘，拎小桶者一共等候了（m+T+t）分鐘，兩人一共等候了（2m+2T+t）分鐘，在其他人位置不變的前提下，讓這兩個人交還位置，即局部調(diào)整這兩個人的位置，同樣介意計算兩個人接滿水共等候了2m+2t+T分鐘，共節(jié)省了T-t分鐘，而其他人等候的時間未變，這說明只要存在有緊挨著的兩個人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以這樣調(diào)整，從而使得總等候時間減少．這樣經(jīng)過一系列調(diào)整后，整個隊伍都是從小打到排列，就打到最優(yōu)狀態(tài)，總的排隊時間就最短．故選B.【變式演練】1.由1，2，3，4，5組成的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個，則其恰好為“前3個數(shù)字保持遞減，后3個數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個數(shù)字“431”保持遞減，后3個數(shù)字“125”保持遞增）的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)已知條件“定位”中間數(shù)字，其次在剩余的四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字，放置在首或末位，則其余數(shù)字排列方式唯一確定.最后由古典概型計算公式即可得解【詳解】由1，2，3，4，5組成的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)共個，前3個數(shù)字保持遞減，后3個數(shù)字保持遞增，說明中間數(shù)字為1；在剩余的四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字，按照遞減順序,僅有一種排列方式放置在首兩位（或末兩位），則剩余兩位數(shù)字排列方式唯一確定，放置在最后兩位（或首兩位）.因此“前3個數(shù)字保持遞減，后3個數(shù)字保持遞增”的五位數(shù)有個，所以所求的概率．故選：A．2.設(shè)A是集合的子集，只含有3個元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集A的個數(shù)為（

）A．32 B．56 C．72 D．84【答案】B【分析】分類列舉出每一種可能性即可得到答案.【詳解】若1,3在集合A內(nèi)，則還有一個元素為5,6,7,8,9,10中的一個；若1,4在集合A內(nèi)，則還有一個元素為6,7,8,9,10中的一個；若1,8在集合A內(nèi)，則還有一個元素為10；共有6+5+4+3+2+1=21個.若2,4在集合A內(nèi)，則還有一個元素為6,7,8,9,10中的一個；若2,5在集合A內(nèi)，則還有一個元素為7,8,9,10中的一個；若2,8在集合A內(nèi)，則還有一個元素為10；共有5+4+3+2+1=15個.若3,5在集合A內(nèi)，則還有一個元素為7,8,9,10中的一個；若3,6在集合A內(nèi)，則還有一個元素為8,9,10中的一個；若3,8在集合A內(nèi)，則還有一個元素為10；共有4+3+2+1=10個.若4,6在集合A內(nèi)，則還有一個元素為8,9,10中的一個；若4,7在集合A內(nèi)，則還有一個元素為9,10中的一個；若4,8在集合A內(nèi)，則還有一個元素為10；共有3+2+1=6個.若5,7在集合A內(nèi)，則還有一個元素為9,10中的一個；若5,8在集合A內(nèi)，則還有一個元素為10；共有2+1=3個.若6,8,10在在集合A內(nèi)，只有1個.總共有21+15+10+6+3+1=56個故選：B.3.為迎接第24屆冬季奧林匹克運動會，某校安排甲?乙?丙?丁?戊共五名學生擔任冰球?冰壺和短道速滑三個項目的志愿者，每個比賽項目至少安排1人.則學生甲不會被安排到冰球比賽項目做志愿者的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)古典概型計算公式，結(jié)合排列和組合的定義進行求解即可.【詳解】所有的安排方法，若只有1人去冰球項目做志愿者，有；若恰有2人去冰球項目做志愿者，有；若有3人去冰球項目做志愿者，有，所以共有種安排法，所以學生甲不會被安排到冰球比賽項目做志愿者的概率為.故選：B【經(jīng)典題專練】1.如圖為我國數(shù)學家趙爽約3世紀初在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域涂色不相同的概率為A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用分步計數(shù)原理求出不同的涂色方案有420種，其中，區(qū)域涂色不相同的情況有120種，由此根據(jù)古典概型概率公式能求出區(qū)域涂色不相同的概率．【詳解】提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，根據(jù)題意，如圖，設(shè)5個區(qū)域依次為,分4步進行分析：，對于區(qū)域，有5種顏色可選；，對于區(qū)域與區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；，對于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；，對于區(qū)域，若與顏色相同，區(qū)域有3種顏色可選，若與顏色不相同，區(qū)域有2種顏色可選，區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域有種選擇，則不同的涂色方案有種，其中，區(qū)域涂色不相同的情況有：，對于區(qū)域，有5種顏色可選；，區(qū)域，有4種顏色可選；對于區(qū)域，有3種顏色可選；，若與顏色相同，區(qū)域有2種顏色可選；若與顏色不相同，區(qū)域有2種顏色可選，區(qū)域有1種顏色可選；所以區(qū)域有種選擇；不同的涂色方案有種，區(qū)域涂色不相同的概率為,故選D．2.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法的總數(shù)是A．540 B．480 C．420 D．360【答案】C【解析】【詳解】分兩步，由題設(shè)四棱錐的頂點所染顏色互不相同，則共有，當染好時，不妨設(shè)所染顏色依次為，若染，則可染或或，共三種，若染，則可染或，共種，若染，則可染或，共種，即當染好時，還有種染法，所以共有，故選C.3.清明節(jié)前夕，某校團委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時代英雄”主題演講比賽，經(jīng)過初賽，共有10人進入決賽，其中高一年級3人，高二年級3人，高三年級4人，現(xiàn)采用抽簽方式?jīng)Q定演講順序，則在高二年級3人相鄰的前提下，高一年級3人不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】基本事件總數(shù)，其中高一3人不相鄰包含的基本事件個數(shù)，由此能求出高一年級3人不相鄰的概率．【詳解】解：共有10人進入決賽，其中高一年級3人，高二年級3人，高三年級4人，采用抽簽方式?jīng)Q定演講順序，高二年級3人相鄰，基本事件總數(shù)，其中高一3人不相鄰包含的基本事件個數(shù)，高一年級3人不相鄰的概率．故選：D．4.10名同學合影，站成前排4人后排6人，現(xiàn)攝影師要從后排6人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分兩步：1.首先先從后排6人中選2人出來；2.將這2人與前排4人排列，且前排4人的相對順序不變，可以看成有6個位置，先選2個位置排這2人，其他4人按原順序排列，再由乘法原理計算即可.【詳解】首先先從后排6人中選2人出來，共種不同選法，將這2人與前排4人排列，且前排4人的相對順序不變，可以看成有6個位置，先選2個位置排這2人有種不同排法，其余位置按4人原順序排好只有1種排法，由乘法原理，得不同調(diào)整方法的總數(shù)是.故選：C5.將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分兩步進行：（1）在個小球中任選個放入相同編號的盒子里；（2）將剩下的個小球放入與其編號不同的盒子里.利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，分以下兩步進行：（1）在個小球中任選個放入相同編號的盒子里，有種選法，假設(shè)選出的個小球的編號為、；（2）剩下的個小球要放入與其編號不一致的盒子里，對于編號為的小球，有個盒子可以放入，假設(shè)放入的是號盒子.則對于編號為的小球，有個盒子可以放入，對于編號為、的小球，只有種放法.綜上所述，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的放法種數(shù)為種.故選：B.6.現(xiàn)有9個相同的球要放到3個不同的盒子里，每個盒子至少一個球，各盒子中球的個數(shù)互不相同，則不同放法的種數(shù)是（

）A．28 B．24 C．18 D．16【答案】C【分析】把9個球分成3組，每組個數(shù)不相同，然后每組球放到盒子中，即可得．【詳解】把9個球分成3組，每組個數(shù)不相同，分法（按球的個數(shù)）為：126，135，234共三種，然后每組球放到3個盒子中有種方法，方法數(shù)為．故選：C．7.某單位有7個連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為A．16 B．18 C．32 D．72【答案】D【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①分析3輛不同型號的車的停放方法，②利用插空法分析剩余的4個車位中恰有3個連在一起的排法，由分步計數(shù)原理計算即可得．【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：①，3輛不同型號的車需停放，共有種方法，②，要求剩余的4個車位中恰有3個連在一起，利用插空法，有種方法，所以不同的停放方法有種．故選．8.校園某處并排連續(xù)有6個停車位，現(xiàn)有3輛汽車需要停放，為了方便司機上下車，規(guī)定：當有汽車相鄰停放時，車頭必須同向；當車沒有相鄰時，車頭朝向不限，則不同的停車方法共有__________種．（用數(shù)學作答）【答案】528【詳解】(1)當三輛車都不相鄰時有(種)(2)當兩輛車相鄰時有(種)(3)當三輛車相鄰時有(種)則共有(種)9.如圖，在某城市中，?兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的個交匯處.今在道路網(wǎng)?處的甲?乙兩人分別要到?處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達?處為止.則下列說法正確的是（

）A．甲從到達處的方法有種B．甲從必須經(jīng)過到達處的方法有種C．甲?乙兩人在處相遇的概率為D．甲?乙兩人相遇的概率為【答案】C【分析】A．考慮從到向上走的步數(shù)和向下走的步數(shù)，利用組合數(shù)求解出結(jié)果；B．先利用組合數(shù)分析從到的方法數(shù)，然后再利用組合數(shù)分析從到的方法數(shù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可求解出結(jié)果；C．先確定出甲經(jīng)過的方法數(shù)，再確定出乙經(jīng)過的方法數(shù)，由此確定出甲、乙兩人在處相遇的方法數(shù)，結(jié)合A選項的結(jié)果求解出對應概率；D．先確定出甲、乙只能在、、、處相遇，然后根據(jù)C選項的計算方法分別計算出對應方法數(shù)，結(jié)合A選項的結(jié)果求解出對應概率【詳解】A選項，甲從M到達N處，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，則甲從M到達N處的方法有種，A選項錯誤；B選項，甲經(jīng)過到達N處，可分為兩步：第一步，甲從M經(jīng)過需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法數(shù)為種；第二步，甲從到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法數(shù)為種.∴甲經(jīng)過到達N的方法數(shù)為種，B選項錯誤；C選項，甲經(jīng)過的方法數(shù)為種，乙經(jīng)過的方法數(shù)也為種，∴甲?乙兩人在處相遇的方法數(shù)為種，甲?乙兩人在處相遇的概率為，C選項正確；D選項，甲?乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，若甲?乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向上走，乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向左走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種；若甲?乙兩人在處相遇，由C選項可知，走法種數(shù)為81種；若甲?乙兩人在處相遇，甲到處，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到處，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，所以，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；若甲?乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向右走，乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向下走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種；故甲?乙兩人相遇的概率，D選項錯誤.故選：D.10.有一道樓梯共10階，小王同學要登上這道樓梯，登樓梯時每步隨機選擇一步一階或一步兩階，小王同學7步登完樓梯的概率為___________.【答案】【分析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，①步：即步兩階，有種；②步：即步兩階與步一階，有種；③步：即步兩階與步一階，有種；④步：即步兩階與步一階，有種；⑤步：即步兩階與步一階，有種；⑥步：即步一階，有種；綜上可得一共有種情況，滿足7步登完樓梯的有種；故7步登完樓梯的概率為故答案為：11.2020年疫情期間，某縣中心醫(yī)院分三批共派出6位年齡互不相同的醫(yī)務人員支援武漢六個不同的方艙醫(yī)院，每個方艙醫(yī)院分配一人.第一批派出一名醫(yī)務人員的年齡為，第二批派出兩名醫(yī)務人員的年齡最大者為，第三批派出三名醫(yī)務人員的年齡最大者為，則滿足的分配方案的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】假設(shè)6位醫(yī)務人員年齡排序為，由必在第三批，將派遣方式按第一批所派遣的人員不同分成四類，求出滿足的派遣方法數(shù)，再計算總派遣方法數(shù)，即可求概率.【詳解】假設(shè)6位醫(yī)務人員年齡排序為，由題意知，年齡最大的醫(yī)務人員必在第三批，派遣方式如下：1、第一批派，第二批年齡最大者為，第三批年齡最大者為：剩下的醫(yī)務人員一個在第二批，兩個在第三批有種方法，2、第一批派，第二批年齡最大者為或，第三批年齡最大者為：當?shù)诙畲笳邽椋瑒t有種方法，當?shù)诙?/p>