高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省大連市三校聯考2025屆高三下學期模擬考數學試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，又因為集合，則.故選：B.2.復數，則在復平面內對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因為，則，所以，復數在復平面內對應的點的坐標為，位于第二象限.故選：B.3.有四張卡片，每張卡片的一面上寫著英文字母，則另外一面上寫著數字.現在規定：當牌的一面寫著數字7時，另外一面必須寫著字母.你的任務是：為了檢驗下面4張卡牌是否有違反規定的寫法，你需要翻看哪些牌？（）A.①② B.②③ C.②④ D.④③【答案】B【解析】根據題意可知：數字7后面一定是字母H，H后面可以不是數字7，即M后面是數字7就違反規則，所以只用看7和M，其他卡牌無此顧慮.故選：B.4.若正實數滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】正實數滿足，又，則，當且僅當時取等號，設則，代入整理可得，解得或，因，故，故當時，取得最小值為2.故選：B.5.某教學樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學從二樓到三樓準備用7步恰好走完，則第二步走兩級臺階的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】10級臺階要用7步走完，則4步是上一級，三步是上兩級，共種走法，若第二步走兩級臺階，則其余6步中有兩步是上兩級，共，所以第二步走兩級臺階的概率為.故選：C6.墻上掛著一幅高為1m的畫，畫的上端到地面的距離為2m，某攝像機在地面上拍攝這幅畫．將畫上端一點A、下端一點B與攝像機連線的夾角稱為視角（點A，B與攝像機在同一豎直平面內），且把最大的視角稱為最佳視角．若墻與地面垂直且攝像機高度忽略不計，則當攝像機在地面上任意移動時，最佳視角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示：最佳視角,且當最大時，最大，且最大，又，又設所以當且僅當時取等號，此時解得：故選：A.7.已知點M是橢圓上一點，，分別是C的左、右焦點，且，點N在的平分線上，O為原點，，，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，，延長ON交于A，如圖所示.由題意知，O為的中點，∴點A為中點.又，點N在的平分線上，∴，∴是等腰三角形，∴，則，所以.又，所以.又在中，由余弦定理得，即，即，化簡得：.又，所以，所以，即故選：B.8.，不等式恒成立，則正實數的最大值是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】將不等式變形可得，即，構造函數，可得，令，則，所以當時，，即上單調遞減，當當時，，即在上單調遞增，所以，即，所以函數在上單調遞增，利用單調性并根據可得，則有，又，即可得，即對恒成立，因此即可，令，，則，顯然當時，，即函數在上單調遞減，當時，，即函數在上單調遞增，所以，即，因此正實數的最大值是.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，若及其導函數的部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數在上單調遞減C.的圖象關于點中心對稱D.的最大值為【答案】AB【解析】因為，所以，根據圖象可知，當時，，所以單調遞增，故，從而．又，所以，由得，故，．選項A：的最小正周期為，故，A正確．選項B：令，解得，故函數在上單調遞減，B正確．選項C：由于，，故的圖象不關于點中心對稱，故C錯誤．選項D：，其中為銳角，且，（輔助角公式的應用）,所以的最大值為，D錯誤．故選：AB10.已知正四棱錐的棱長均為2，下列說法正確的是（）A.平面與平面夾角的正弦值為B.若點滿足，則的最小值為C.在四棱錐內部有一個可任意轉動的正方體，則該正方體表面積的最大值為D.點在平面內，且，則點軌跡的長度為【答案】BCD【解析】如圖，對于A，∵正四棱錐的棱長為2，∴正四棱錐的高為，設點P為AB中點，根據正四棱錐的性質，得，，則平面與平面的夾角為，則，故A錯誤；對于B，∵，，根據空間向量基本定理可得點P在平面MAD上，∴當平面時，最小，此時根據等體積法可求出，即可求得，即的最小值為，故B正確；對于C，設正方體的棱長為，則正方體的體積為，正方體可以在正四棱錐內部任意轉動，所以正方體對角線的長度不超過該正四棱錐內切球的直徑，設內切球的半徑為r，正四棱錐的體積為，根據另一個體積公式，可得，∴正方體對角線，，∴正方體表面積，故C正確；對于D，如圖，以A為原點，，所在直線為，軸，過點A向上作垂線為軸建立空間直角坐標系，則，，設，∵，∴，即，化簡整理可得，∴點的軌跡是在平面ABCD內以為圓心，半徑為的圓在四邊形ABCD內的部分（圓弧）如圖，由于，則點Q的軌跡長度為，故D正確.故選：BCD.11.設數列滿足，記數列的前項和為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，，因為，根據二次函數的性質，所以，所以，故A正確；對于B，，所以，，，所以，故B正確；對于C，，，所以，累乘可得：，所以，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，所以，數列的前項和為，所以，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數，寫出一個使得不等式成立的自然數的值__________.【答案】3或4（寫對一個即可）【解析】因為為冪函數，所以，解得，則，不等式可化為，解得，所以符合條件的自然數可以是3或4.故答案為：3或4（寫對一個即可）13.點為圓上的一個動點，點，則向量在方向上的投影數量的最大值為__________.【答案】2【解析】因為點為圓上的一個動點，所以設點，則,又，所以，，所以在方向上的投影數量為，又，所以在方向上的投影數量的取值范圍為，即在方向上的投影數量的最大值為.故答案：.14.記表示三個數中的最大數．若函數的值域為，則的最小值為______．【答案】【解析】若函數的值域為，記，則，故，由，得，且，所以，又，所以，故.則由且，可得，當且僅當，即時等號成立.的最小值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，點是棱上靠近端的三等分點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，以點為坐標原點，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，又，點是棱上靠近端的三等分點則，設平面的一個法向量為，則，即，令，得，則，又，可得，因為平面，所以平面.（2）解：易知，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，由（1）知，平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.16.為了解居民體育鍛煉情況，某地區對轄區內居民體育鍛煉進行抽樣調查.統計其中400名居民體育鍛煉的次數與年齡，得到如下的頻數分布表.年齡次數[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]每周0~2次70553659每周3~4次25404431每周5次及以上552010（1）若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據小概率值的獨立性檢驗判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關聯；（2）從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數分別為，求ξ的分布列與期望；（3）已知小明每周的星期六、星期天都進行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運動項目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運動項目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為，求小明星期天選擇跑步的概率.參考公式：附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設：體育鍛煉頻率的高低與年齡無關，由題得列聯表如下：青年中年合計體育鍛煉頻率低12595220體育鍛煉頻率高75105180合計200200400，根據小概率值的獨立性檢驗推斷不成立，即認為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（2）由數表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在內的人數分別為1，2，依題意，的所有可能取值分別為為0，1，2，所以，，，所以的分布列：：012所以的數學期望為.（3）記小明在某一周星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件A，B，C，星期天選擇跑步為事件，則，，所以所以小明星期天選擇跑步的概率為.17.已知函數．（1）討論函數的單調區間；（2）若曲線在處的切線垂直于直線，對任意恒成立，求實數b的最大值；（3）若為函數的極值點，求證：．解：（1），定義域為，所以，當時，，故在上單調遞增，當時，由，得；由，得，故在上單調遞增，在上單調遞減，綜上：當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）因為，曲線在處的切線垂直于直線，則在處的切線的斜率為，即，解得：，則.對任意恒成立，即對任意，即對任意恒成立，令，，令，得，當時，，為減函數；當時，，為增函數；，，則實數b的最大值．（3）函數，因為為函數的極值點，所以，所以，要證明不等式：成立，只需證，令，當時，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，即，所以，當時，因為，所以．當時，因為，所以，所以，要證成立，只需證，即證對成立．令，因為，當時，單調遞增；當時，單調遞減，所以，即時，成立．綜上所述，原不等式成立．18.如圖，直線與直線，分別與拋物線交于點，和點（在軸同側），線段與交于點.當經過的焦點時兩點的縱坐標之積等于（1）求拋物線的標準方程；（2）線段與交于點，線段與的中點分別為①求證：三點共線；②若，求四邊形面積.解：（1）因為拋物線焦點為，則，即，所以直線，代入拋物線方程可得：，即，則，由題意，解得，所以所求拋物線方程為.（2）①證明：設.若，則直線斜率不存在，由對稱性，可知均在軸上，則三點共線；若，則直線斜率存在，直線方程為：，結合，則，同理可得方程：方程：，方程：.設，因，則.則直線與軸平行，設直線與線段交點為.將代入直線方程，則；將代入直線方程，則.注意到，又，則兩點重合，即為線段與交點，且點三點共線；②由（2），直線與軸平行，則.又，同理可得，又由（2），則，由，則，即.則如圖，過作平行線，交為，則四邊形為平行四邊形，結合，則.因，則，結合，則，又M為中點，則E為NC中點.則，則四邊形的面積19.已知是無窮數列，是數列的前n項和，對于，給出下列三個條件：①；②；③；（1）若，對任意的，數列是否恒滿足條件②，并說明理由；（2）若，數列同時滿足條件①②，且，求數列的通項公式；（3）若，數列同時滿足條件①③，求證：（1）解：，則數列是以為首項，2為公比的等比數列，，不防令，則，，則，所以數列不恒滿足條件②.（2）解：若，由②得，即，當時，，兩式相減得，即，，兩式相減得，即，，又，時，，即，數列是等差數列，設數列的公差為，是無窮數列，，或，或.（3）證明：當時，由③得，即，所以，若，由①不妨設，則，則數列為常數列.若，當時，，與矛盾.當時，令，則，，，則，各式相加得.當時，，與矛盾.綜上所述，只有當，即，且時滿足①③，所以數列為常數列.遼寧省大連市三校聯考2025屆高三下學期模擬考數學試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，又因為集合，則.故選：B.2.復數，則在復平面內對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因為，則，所以，復數在復平面內對應的點的坐標為，位于第二象限.故選：B.3.有四張卡片，每張卡片的一面上寫著英文字母，則另外一面上寫著數字.現在規定：當牌的一面寫著數字7時，另外一面必須寫著字母.你的任務是：為了檢驗下面4張卡牌是否有違反規定的寫法，你需要翻看哪些牌？（）A.①② B.②③ C.②④ D.④③【答案】B【解析】根據題意可知：數字7后面一定是字母H，H后面可以不是數字7，即M后面是數字7就違反規則，所以只用看7和M，其他卡牌無此顧慮.故選：B.4.若正實數滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】正實數滿足，又，則，當且僅當時取等號，設則，代入整理可得，解得或，因，故，故當時，取得最小值為2.故選：B.5.某教學樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學從二樓到三樓準備用7步恰好走完，則第二步走兩級臺階的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】10級臺階要用7步走完，則4步是上一級，三步是上兩級，共種走法，若第二步走兩級臺階，則其余6步中有兩步是上兩級，共，所以第二步走兩級臺階的概率為.故選：C6.墻上掛著一幅高為1m的畫，畫的上端到地面的距離為2m，某攝像機在地面上拍攝這幅畫．將畫上端一點A、下端一點B與攝像機連線的夾角稱為視角（點A，B與攝像機在同一豎直平面內），且把最大的視角稱為最佳視角．若墻與地面垂直且攝像機高度忽略不計，則當攝像機在地面上任意移動時，最佳視角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示：最佳視角,且當最大時，最大，且最大，又，又設所以當且僅當時取等號，此時解得：故選：A.7.已知點M是橢圓上一點，，分別是C的左、右焦點，且，點N在的平分線上，O為原點，，，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，，延長ON交于A，如圖所示.由題意知，O為的中點，∴點A為中點.又，點N在的平分線上，∴，∴是等腰三角形，∴，則，所以.又，所以.又在中，由余弦定理得，即，即，化簡得：.又，所以，所以，即故選：B.8.，不等式恒成立，則正實數的最大值是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】將不等式變形可得，即，構造函數，可得，令，則，所以當時，，即上單調遞減，當當時，，即在上單調遞增，所以，即，所以函數在上單調遞增，利用單調性并根據可得，則有，又，即可得，即對恒成立，因此即可，令，，則，顯然當時，，即函數在上單調遞減，當時，，即函數在上單調遞增，所以，即，因此正實數的最大值是.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，若及其導函數的部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數在上單調遞減C.的圖象關于點中心對稱D.的最大值為【答案】AB【解析】因為，所以，根據圖象可知，當時，，所以單調遞增，故，從而．又，所以，由得，故，．選項A：的最小正周期為，故，A正確．選項B：令，解得，故函數在上單調遞減，B正確．選項C：由于，，故的圖象不關于點中心對稱，故C錯誤．選項D：，其中為銳角，且，（輔助角公式的應用）,所以的最大值為，D錯誤．故選：AB10.已知正四棱錐的棱長均為2，下列說法正確的是（）A.平面與平面夾角的正弦值為B.若點滿足，則的最小值為C.在四棱錐內部有一個可任意轉動的正方體，則該正方體表面積的最大值為D.點在平面內，且，則點軌跡的長度為【答案】BCD【解析】如圖，對于A，∵正四棱錐的棱長為2，∴正四棱錐的高為，設點P為AB中點，根據正四棱錐的性質，得，，則平面與平面的夾角為，則，故A錯誤；對于B，∵，，根據空間向量基本定理可得點P在平面MAD上，∴當平面時，最小，此時根據等體積法可求出，即可求得，即的最小值為，故B正確；對于C，設正方體的棱長為，則正方體的體積為，正方體可以在正四棱錐內部任意轉動，所以正方體對角線的長度不超過該正四棱錐內切球的直徑，設內切球的半徑為r，正四棱錐的體積為，根據另一個體積公式，可得，∴正方體對角線，，∴正方體表面積，故C正確；對于D，如圖，以A為原點，，所在直線為，軸，過點A向上作垂線為軸建立空間直角坐標系，則，，設，∵，∴，即，化簡整理可得，∴點的軌跡是在平面ABCD內以為圓心，半徑為的圓在四邊形ABCD內的部分（圓弧）如圖，由于，則點Q的軌跡長度為，故D正確.故選：BCD.11.設數列滿足，記數列的前項和為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，，因為，根據二次函數的性質，所以，所以，故A正確；對于B，，所以，，，所以，故B正確；對于C，，，所以，累乘可得：，所以，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，所以，數列的前項和為，所以，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數，寫出一個使得不等式成立的自然數的值__________.【答案】3或4（寫對一個即可）【解析】因為為冪函數，所以，解得，則，不等式可化為，解得，所以符合條件的自然數可以是3或4.故答案為：3或4（寫對一個即可）13.點為圓上的一個動點，點，則向量在方向上的投影數量的最大值為__________.【答案】2【解析】因為點為圓上的一個動點，所以設點，則,又，所以，，所以在方向上的投影數量為，又，所以在方向上的投影數量的取值范圍為，即在方向上的投影數量的最大值為.故答案：.14.記表示三個數中的最大數．若函數的值域為，則的最小值為______．【答案】【解析】若函數的值域為，記，則，故，由，得，且，所以，又，所以，故.則由且，可得，當且僅當，即時等號成立.的最小值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，點是棱上靠近端的三等分點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，以點為坐標原點，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，又，點是棱上靠近端的三等分點則，設平面的一個法向量為，則，即，令，得，則，又，可得，因為平面，所以平面.（2）解：易知，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，由（1）知，平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.16.為了解居民體育鍛煉情況，某地區對轄區內居民體育鍛煉進行抽樣調查.統計其中400名居民體育鍛煉的次數與年齡，得到如下的頻數分布表.年齡次數[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]每周0~2次70553659每周3~4次25404431每周5次及以上552010（1）若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據小概率值的獨立性檢驗判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關聯；（2）從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數分別為，求ξ的分布列與期望；（3）已知小明每周的星期六、星期天都進行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運動項目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運動項目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為，求小明星期天選擇跑步的概率.參考公式：附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設：體育鍛煉頻率的高低與年齡無關，由題得列聯表如下：青年中年合計體育鍛煉頻率低12595220體育鍛煉頻率高75105180合計200200400，根據小概率值的獨立性檢驗推斷不成立，即認為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（2）由數表知，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在內的人數分別為1，2，依題意，的所有可能取值分別為為0，1，2，所以，，，所以的分布列：：012所以的數學期望為.（3）記小明在某一周星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件A，B，C，星期天選擇跑步為事件，則，，所以所以小明星期天選擇跑步的概率為.17.已知函數．（1）討論函數的單調區間；（2）若曲線在處的切線垂直于直線，對任意恒成立，求實數b的最大值；（3）若為函數的極值點，求證：．解：（1），定義域為，所以，當時，，故在上單調遞增，當時，由，得；由，得，故在上單調遞增，在上單調遞減，綜上：當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增