5.3復數考點1復數的概念1.復數的有關概念(1)復數的定義:形如a+bi的數叫做復數,其中a為實部,b為虛部.(2)復數相等:a+bi=c+di?a=c且b=d.(3)復數的模:向量

的長度叫做復數z=a+bi的模,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=

.(4)共軛復數:復數z=a+bi的共軛復數為a-bi,記為

,即

=a-bi.(以上a,b,c,d∈R,i為虛數單位)2.復數的幾何意義

其中,a,b∈R,i為虛數單位.3.復數加、減法可按向量的加、減法進行如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義,即

=

+

,

=

-

.

考點2復數的四則運算設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i;z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;

=

=

+

i(c+di≠0).常用結論

(1)(1±i)2=±2i;

=i;

=-i.(2)-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R).(3)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=0,n∈N.(4)z·

=|z|2=|

|2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,

=

(|z2|≠0).其中z,z1,z2都是復數.(5)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)復數z=a+bi(a,b∈R)的虛部為bi.(

)(2)已知z=a+bi(a,b∈R),當a=0時,復數z為純虛數.

(

)(3)復數中有相等復數的概念,因此復數可以比較大小.

(

)(4)若復數z滿足z2∈R,則z∈R.

(

)××××2.(易錯題)已知(m2+m-6)+(m-2)i是純虛數,則實數m的值為

.3.(人教A版必修第二冊P80習題T2改編)若向量

與

對應的復數分別是1+i,-1+4i,則向量

對應的復數為

.4.(人教A版必修第二冊P81·T9改編)若復數z滿足1≤|z|≤2,則在復平面內,z所對應的點

組成的圖形的面積為

.-32-3i3π題型一復數的四則運算典例1

(1)(2020新高考Ⅰ,2,5分)

=

(

)A.1

B.-1

C.i

D.-i(2)已知i為虛數單位,則i+i2+i3+…+i2025等于

(

)A.i

B.1

C.-i

D.-1DA解析

(1)

=

=

=-i,故選D.(2)易知in(n∈N*)的周期為4,且i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,又2025=4×506+1,所以原式=i,故選A.歸納總結

1.復數的加法、減法、乘法運算可以類比多項式的加法、減法、乘法運

算,除法運算的關鍵是分子、分母同乘分母的共軛復數.2.解復數的運算與復數概念的綜合題時,先利用復數的運算法則化簡,一般化為a+bi(a,b

∈R)的形式,然后做答.變式訓練1-1

(設問條件變式)(2024廣東湛江聯考,2)若

=i,則z的虛部與實部的比值為(

)A.-1

B.1

C.-i

D.iB解析

設z=a+bi(a,b∈R),則

=a-bi,z+

=2a,z-

=2bi,所以

=

=i,即

=1.故選B.變式訓練1-2

(設問條件變式)設復數z=

(i為虛數單位),則|

|=

(

)A.

B.2

C.1

D.

A解析

解法一:由題意得z=

=

=i(1-i)=1+i,所以

=1-i,所以|

|=

=

.故選A.解法二:|

|=|z|=

=

=

=

.故選A.題型二復數的幾何意義1.從幾何意義理解復數的模若復數z=a+bi(a,b∈R),在復平面內對應的點為Z(a,b),則|z|=

,表示點Z(a,b)到原點的距離.2.設復數z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)在復平面內對應的點分別是A(a,b),B(c,d),(1)|z1-z2|=|AB|=

,則|z1-z2|的幾何意義是復平面內復數z1,z2對應的點A,B的距離.(2)設復數z對應的點是Z,①若|z-z1|=r,r>0,則點Z的軌跡為圓;②若r1<|z-z1|<r2(0<r1<r2),則點Z的軌跡為圓環,但不包括邊界;③若|z-z1|=|z-z2|,則點Z的軌跡為線段AB的垂直平分線.典例2

(多選)(2024廣東江門一模,9)下列說法正確的是

(

)A.z·

=|z|2,z∈CB.i2024=-1C.若|z|=1,z∈C,則|z-2|的最小值為1D.若-4+3i是關于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根,則p=8ACD解析

由復數運算的常用結論知z·

=|z|2,A中說法正確.∵2024÷4=506,∴i2024=(i4)506=1,B中說法錯誤.設z=x+yi(x,y∈R),則

=1,即x2+y2=1,∴復數z對應的點(x,y)在圓x2+y2=1上,|z-2|=|x-2+yi|表示圓上點與點(2,0)的距離,則|z-2|min=2-1=1,C中說法正確.把x=-4+3i代入x2+px+q=0得(-4+3i)2+p(-4+3i)+q=0,則7-4p+q+(3p-24)i=0,則

解得

D中說法正確.故選ACD.歸納總結

在復數范圍內,實系數一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為(1)當Δ≥0時,x=

;(2)當Δ<0時,x=

.典例3

如果向量

對應復數2i,

繞點O按逆時針方向旋轉45°后,再把模變為原來的

倍得到向量

,那么

對應的復數是

.(用代數形式表示)-

+

i解析

解法一:如圖,過點Z1作Z1A⊥x軸于點A,

由題意得|

|=2

,∠AOZ1=45°,則|

|=|

|=2

×

=

,則點Z1的坐標為(-

,

),則

對應的復數是-

+

i.解法二:向量

對應的復數是2

i(cos45°+isin45°)=2

i·

=-

+

i.技巧

根據復數乘法的幾何意義和題意知,向量

對應的復數是復數2i與z0的積的

倍,其中復數z0的模是1,輻角的主值是45°.提醒

復數z=a+bi(a,b∈R)的三角表示式為r(cosθ+isinθ),θ∈[0,2π),r=

.(詳見教材人教A版必修第二冊P84)變式訓練2-1

(2025屆湖南長沙長郡中學月考,2)已知復數z滿足|z-2|=2,則|z|的取值范

圍為(