5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算、基本定理及坐標(biāo)表示命題形式高考對(duì)平面向量的考查以平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算為主,考查與平面向量基本

定理相關(guān)的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積、向量的夾角、向量的模、向量的應(yīng)用.試題以

中低檔題為主,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).備考時(shí),要注意基礎(chǔ)概念的靈活運(yùn)用,

提高平面向量基本公式的運(yùn)用能力.高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查主要集中在:①?gòu)?fù)數(shù)的相關(guān)概念,如虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)等;②復(fù)

數(shù)的幾何意義;③復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.備考時(shí),要掌握基礎(chǔ)知識(shí)與解題方法,加強(qiáng)對(duì)復(fù)數(shù)的

概念的理解,提高運(yùn)算求解能力.考點(diǎn)1平面向量的概念及線性運(yùn)算1.向量的有關(guān)概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.(2)零向量:長(zhǎng)度為0的向量,其方向是任意的.(3)單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,任一組平行向量都可以平移到同一條直線

上,因此平行向量也叫共線向量,規(guī)定:0與任一向量平行或共線.(5)相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

交換律:a+b=b+a;結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法求a與b的相反向量-b的

和的運(yùn)算

數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的

運(yùn)算|λa|=|λ||a|;當(dāng)λ>0時(shí),λa與a

的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa

與a的方向相反;當(dāng)λ=0

時(shí),λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb3.共線向量定理非零向量a與向量b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa.考點(diǎn)2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有

一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.2.平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示(1)向量坐標(biāo)的求法若A(x1,y1),B(x2,y2),則

=(x2-x1,y2-y1).(2)向量加減法若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2).(3)向量的數(shù)乘運(yùn)算若a=(x,y),則λa=λ(x,y)=(λx,λy).3.向量共線的坐標(biāo)表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,則a∥b的充要條件是x1y2=x2y1.知識(shí)拓展1.相反向量的坐標(biāo)表示已知a=(x,y),則-a=(-x,-y).2.與a共線的單位向量的坐標(biāo)表示若a=(x,y),則與其同向單位向量為

,

,與其反向單位向量為

.即練即清1.判斷正誤.(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)若兩個(gè)向量a,b共線,則向量a,b方向相同或相反.

(

)(2)若向量

與向量

是共線向量,則A,B,C,D四點(diǎn)在一條直線上.

(

)(3)基底向量中可以含有零向量,但至多一個(gè).

(

)(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a與b共線,則

=

.

(

)2.(人教A版必修第二冊(cè)P36·T9改編)已知向量a=(2,t),b=(1,-1),若(a-b)∥b,則實(shí)數(shù)t=

.××××-23.(人教A版必修第二冊(cè)P36·T4改編)已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),

且

=2

,則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為

.4.(人教A版必修第二冊(cè)P40·T3改編)如圖所示,在?ABCD中,E是對(duì)角線AC上靠近點(diǎn)C的

三等分點(diǎn),F是線段BE的中點(diǎn),若

=x

+

,則x=

.

題型一平面向量的概念及線性運(yùn)算典例1

(2024北京第五中學(xué)月考,4)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則

=

(

)

A.

-

B.-

-

C.

+

D.-

+

D解析

由D為BC中點(diǎn),得

=

(

+

),

=

-

=

-

=

-

(

+

)=

-

.故選D.思路點(diǎn)撥

用基底表示向量,先分析未知向量

與已知基向量

、

的關(guān)系,由三角形法則可知

=

+

=

-

,然后用三角形法則解決問(wèn)題.變式訓(xùn)練1-1

(設(shè)問(wèn)條件變式)在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F,G分別滿足

=

,

=2

,

=2

,則

=

(

)A.

-

B.

+

C.

-

D.

+

A解析

如圖,

=

-

=

+

-

=

+

-

=

-

-

=

-

,故選A.題型二共線向量定理的應(yīng)用典例2

(2025屆四川新高三學(xué)情摸底考,3)已知平面向量a=(3,4),b=(m,3).若向量a-2b與

a+b共線,則實(shí)數(shù)m的值為

(

)A.3

B.

C.

D.

B解析

由題意得a-2b=(3-2m,-2),a+b=(3+m,7).由向量a-2b與a+b共線,得7(3-2m)+2(3+m)=0,即12m=27,解得m=

.故選B.歸納總結(jié)

利用共線向量定理解題的策略1.證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量共線和三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)

系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得到三點(diǎn)共線.2.對(duì)于平面上的任一點(diǎn)O,

,

不共線,

=λ

+μ

,則A,B,C共線?λ+μ=1,特別地,當(dāng)λ=μ=

時(shí),C為線段AB的中點(diǎn).3.若兩非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0.4.若a與b不共線且λa=μb,則λ=μ=0.變式訓(xùn)練2-1

(情境模型變式)(2024江蘇省揚(yáng)州中學(xué)模擬,7)數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他

的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同

一條直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,該直線被稱為三角形的歐

拉線,設(shè)點(diǎn)O,G,H分別為任意△ABC的外心、重心、垂心,則下列各式一定正確的是

(

)A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

D解析

根據(jù)歐拉線可知,點(diǎn)O,H,G三點(diǎn)共線,且GH=2OG.對(duì)于A,∵GH=2OG,∴

=

,因此A錯(cuò)誤;對(duì)于B,∵GH=2OG,∴

=

,因此B錯(cuò)誤;對(duì)于C,∵

=

+

=

+

=

+

(

-

)=

,因此C錯(cuò)誤;對(duì)于D,∵

=

+

=

+

=

+

(

-

)=

,因此D正確.故選D.題型三平面向量基本定理的應(yīng)用典例3如圖所示,在△ABC中,M是AB的中點(diǎn),點(diǎn)N在邊AC上,且

=

,BN與CM交于點(diǎn)E,若

=λ

+μ

,則λ,μ滿足

(

)

A.λ+μ=

B.

=2

C.λ-μ=

D.

=

B解析

由

=

,得

=

,因?yàn)镸是AB的中點(diǎn),所以

=

.由N、E、B三點(diǎn)共線知,存在實(shí)數(shù)m滿足

=m

+(1-m)

=

m

+(1-m)

.由C、E、M三點(diǎn)共線知,存在實(shí)數(shù)n滿足

=n

+(1-n)

=

n

+(1-n)

,(利用兩個(gè)三點(diǎn)共線列向量等式,利用平面向量基本定理的唯一性知對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方

程組求解)所以

m

+(1-m)

=

n

+(1-n)

.又因?yàn)?/p>

,

為不共線的非零向量,所以

解得

所以

=

+

,即λ=

,μ=

.λ+μ=

+

=

,故A不正確;

=

=2,因此B正確,D不正確;λ-μ=

-

=

,因此C不正確.故選B.歸納總結(jié)

應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是向量的線性運(yùn)算,基本方法有(1)

運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則將所有向量不斷轉(zhuǎn)化,直至用基底表示,(2)將向量用含參數(shù)的

基底表示,然后列方程(組)利用基底表示向量的唯一性求解.變式訓(xùn)練3-1

(情境模型變式)(多選)如圖所示,已知四邊形ABCD為等腰梯形,CD∥AB,

CD=

AB,E為DC的中點(diǎn),F為AE的中點(diǎn),若

=λ

+μ