PAGE1-課時作業6組合的應用學問點一無限制條件的組合問題1.某施工小組有男工7名，女工3名，現要選1名女工和2名男工去支援另一施工小組，不同的選法有()A．Ceq\o\al(3,10)種 B．Aeq\o\al(3,10)種C．Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)種 D．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,7)種答案D解析每個被選的人都無依次差別，是組合問題．分兩步完成：第一步，選女工，有Ceq\o\al(1,3)種選法；其次步，選男工，有Ceq\o\al(2,7)種選法．故共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,7)種不同的選法.學問點二有限制條件的組合問題2.某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參與某次社區服務，假如要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數為()A．14B．24C．28D．48答案A解析6人中選4人的方案有Ceq\o\al(4,6)＝15(種)，沒有女生的方案只有一種，所以滿意要求的方案總數有14種．3．某市踐行“干部村村行”活動，現有3名干部可供選派，下鄉到5個村蹲點指導工作，每個村至少有1名干部，每個干部至多住3個村，則不同的選派方案共()A．243種B．210種C．150種D．125種答案C解析3名干部可供選派，下鄉到5個村蹲點指導工作，每個村至少有1名干部，每個干部至多住3個村，于是可以把5個村為(1,1,3)和(1,2,2)兩組，當為(1,1,3)時，有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝60(種)，當為(1,2,2)時，有eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)，依據分類加法計數原理可得60＋90＝150(種).學問點三排列與組合的綜合應用4.要排出某班一天中語文、數學、政治、英語、體育、藝術6堂課的課程表，要求數學排在上午(前4節)，體育排在下午(后2節)，不同的排法種數是________．答案192解析由題意，要求數學課排在上午(前4節)，體育課排在下午(后2節)，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＝8(種)．再排其余4節，有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)，依據乘法原理，共有8×24＝192(種)方法．5．用0到9這10個數字，(1)可以組成多少個沒有重復數字的四位數？在這些四位數中，奇數有多少個？(2)可以組成多少個只含有2個相同數字的三位數？解(1)可以組成9Aeq\o\al(3,9)＝4536個四位數．適合題意的四位奇數共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,8)·Aeq\o\al(2,8)＝2240個．(2)0到9這10個數字構成的三位數共有Aeq\o\al(1,9)·Aeq\o\al(1,10)·Aeq\o\al(1,10)＝900個，分為三類：第1類：三位數字全相同，如111,222，…，999，共9個；第2類：三位數字全不同，共648個；第3類：由間接法可求出，只含有2個相同數字的三位數，共有900－9－648＝243個．6．假設在100件產品中有3件是次品，從中隨意抽取5件，求下列抽取方法各有多少種．(1)沒有次品．(2)恰有2件是次品．(3)至少有2件是次品．解(1)沒有次品的抽法就是從97件正品中抽取5件的抽法，共有Ceq\o\al(5,97)＝64446024種．(2)恰有2件是次品的抽法就是從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽2件的抽法，共有Ceq\o\al(3,97)Ceq\o\al(2,3)＝442320種．(3)至少有2件是次品的抽法，按次品件數來分，有二類：第一類，從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽取2件，有Ceq\o\al(3,97)Ceq\o\al(2,3)種．其次類，從97件正品中抽取2件，并將3件次品全部抽取，有Ceq\o\al(2,97)Ceq\o\al(3,3)種．按分類加法計數原理有Ceq\o\al(3,97)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,97)Ceq\o\al(3,3)＝446976種．一、選擇題1．從2,3，…，8七個自然數中任取三個數組成有序數組a，b，c且a<b<c，則不同的數組有()A．35組B．42組C．105組D．210組答案A解析不同的數組，有Ceq\o\al(3,7)＝35(組)．2．將4名新來的學生分到高三兩個班，每班至少一人，不同的安排方法數為()A．12B．16C．14D．18答案C解析每個班至少分到一名學生有兩種狀況：四名學生中有兩名學生分在一個班的方法數是Ceq\o\al(2,4)＝6；有三名學生分在一個班的方法數是Ceq\o\al(3,4)·Aeq\o\al(2,2)＝8.∴不同的安排方法數為6＋8＝14.故選C.3．凸十邊形的對角線的條數為()A．10B．35C．45D．90答案B解析Ceq\o\al(2,10)－10＝35(條)．故選B.4．某地招募了20名志愿者，他們編號分別為1號，2號，…，19號，20號，假如要從中隨意選取4人再按編號大小分成兩組去做一些預備服務工作，其中兩個編號較小的人在一組，兩個編號較大的人在另一組，那么確保5號與14號入選并被安排到同一組的選取種數是()A．16B．21C．24D．90答案B解析第1類，5號與14號為編號較大的一組，則另一組編號較小的有Ceq\o\al(2,4)＝6種選取方法．第2類，5號與14號為編號較小的一組，則編號較大的一組有Ceq\o\al(2,6)＝15種選取方法．由分類加法計數原理得，共有Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)＝6＋15＝21(種)選取方法．5．由0,1,2,3,5這5個數字組成的沒有重復數字的三位數中，各位數字之和為奇數的個數為()A．16B．18C．24D．36答案B解析由題意知，滿意條件的三位數可分為兩類：第一類：三個數字中一個奇數兩個偶數，有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)個不同的三位數；其次類：三個數字均為奇數有Aeq\o\al(3,3)個不同的三位數．由分類加法計數原理知，滿意條件的三位數有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＝18個，故選B.二、填空題6．有6名男醫生、5名女醫生，從中選出2名男醫生、1名女醫生組成一個醫療小組，則不同的選法共有________種．答案75解析第一步，先從6名男醫生中選出2名男醫生有Ceq\o\al(2,6)＝15種選法；其次步，從5名女醫生中選出1名有Ceq\o\al(1,5)＝5種選法，依據分步乘法計數原理可知，選出2名男醫生、1名女醫生組成一個醫療小組的不同選法共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,5)＝15×5＝75種．7．5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員，現從中選出3名隊員排成1,2,3號參與團體競賽，則入選的3名隊員中至少有1名老隊員，且1,2號中至少有1名新隊員的排法有________種．答案48解析兩老一新時，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝12(種)排法；兩新一老時，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)排法．故共有48種排法．8．藝術節期間，秘書處派甲、乙、丙、丁四名工作人員分別到A、B、C三個不同的演出場館工作，每個演出場館至少派一人．若要求甲、乙兩人不能到同一演出場館工作，則不同的分派方案有______種．答案30解析(間接法)四個人分別到三個不同的演出場館工作，每個演出場館至少派一人的方法總數為Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36，甲、乙兩人在同一演出場館工作的方法數為Aeq\o\al(3,3)＝6，故不同的分派方案有36－6＝30種．三、解答題9．現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，求不同取法的種數．解若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三色卡片中選3張，若都不同色，則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝64(種)，若2張同色，則有Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,4)＝144(種)，若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝192(種)，剩余2張同色，則有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(2,4)＝72(種)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(種)不同的取法．10．高二(1)班共有35名同學，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學參與活動．(1)其中某一女生必需在內，不同的取法有多少種？(2)其中某一女生不能在內，不同的取法有多少種？(3)恰有2名女生在內，不同的取法有多少種？(4)至少有2名女生在內，不同的取法有多少種？(5)至多有2名女生在內，不同的取法有多少種？解(1)從余下的34名學生中選取2名，有Ceq\o\al(2,34)＝561(種)．∴不同的取法有561種．(2)從34名可選學生中選取3名，有Ceq\o\al(3,34)種，或者Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(2,34)＝Ceq\o\al(3,34)＝5984(種)．∴不同的取法有5984種．(3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100(種)．∴不同的取法有2100種．(4)選取2名女生有Ceq\o\al(1,2