2023-2024學年山東省日照市高考數學押題模擬試題（三模）一、單選題1．設集合，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】先求集合，再應用交集運算即可.【詳解】由題意得，，，∴，故選：A.2．已知復數（其中為虛數單位），則（

）A．1 B． C． D．【正確答案】D【分析】根據復數的除法公式和復數的模即可求解.【詳解】知，則，故選：D.3．已知向量，，，若，則（

）A． B．3 C． D．5【正確答案】B【分析】先求出的坐標，再利用列方程求.【詳解】由已知得，，且，，解得.故選：B.4．已知直線平面，則“直線平面”是“平面平面”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若“直線平面”成立，設，且，又平面，所以平面，又，所以“平面平面”成立；若“平面平面”成立，且直線平面，可推出平面或平面，所以“直線平面”不一定成立.綜上，“直線平面”是“平面平面”的充分不必要條件.故選：A.5．用數學的眼光觀察世界，神奇的彩虹角約為．如圖，眼睛與彩虹之間可以抽象為一個圓錐，設AO是眼睛與彩虹中心的連線，AP是眼睛與彩虹最高點的連線，則稱為彩虹角．若平面ABC為水平面，BC為彩虹面與水平面的交線，為BC的中點，米，米，則彩虹（）的長度約為（

）（參考數據：，）A．米 B．米 C．米 D．米【正確答案】A【分析】先求出圓錐的母線長，再求出圓錐的底面半徑，連接,,，進而在中求，最后利用弧長公式求得彩虹長度.【詳解】在中，由勾股定理，可得：，連接PO，則在中，，連接OB，OC，OM，則在中，，故，，則彩虹（）的長度約為.故選：A6．函數的圖像向左平移個單位得到函數的圖像，若函數是偶函數，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據圖像平移得函數的解析式，由函數是偶函數，解出，可得.【詳解】函數的圖像向左平移個單位，得的圖像，又函數是偶函數，則有，，解得，；所以.故選：C．7．已知數列滿足，，則的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】變換得到，得到是首項為，公比為的等比數列，，計算得到答案.【詳解】，，易知，故，故是首項為，公比為的等比數列，，，故.故選：C.8．若，則（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】構造函數，利用導數研究函數單調性，由，可得，再由，再作商法，得，從而得解.【詳解】令，則，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，因為，所以，又，，所以，所以，故，因為，又因為，故，從而有，綜上所述.故選：B.二、多選題9．已知，則（

）A． B．C． D．【正確答案】AD【分析】令即可判斷A；令再由選項A即可判斷C；由通項公式即可判斷B；令，再由選項C即可判斷選項D.【詳解】由，令得，故A正確；由的展開式的通項公式，得，故B錯誤；令，得①，再由，得，故錯誤；令，得②，①-②再除以2得，故D正確.故選：AD10．已知函數，則（

）A．的圖象關于y軸對稱B．為的一個周期C．在上單調遞增D．函數在上有4個零點【正確答案】BCD【分析】利用偶函數的定義和性質判斷選項A；利用周期函數的定義判斷選項B；利用三角函數的單調性和周期性判斷選項C；利用函數零點的定義和圖象判斷選項D.【詳解】依題意，，，故函數不是偶函數，圖象不關于y軸對稱，故A錯誤；，故為函數的一個周期，故也為函數的一個周期，故B正確；當時，，則，當時，，當時，，故函數在上單調遞增，在上單調遞減，結合周期性，可知C正確；作出函數，的大致圖象如下所示，結合周期觀察可知，函數在上有4個零點，故D正確.

故選:BCD.11．設函數的定義域為，滿足，且當時，，則（

）A．B．若對任意，都有，則的取值范圍是C．若方程恰有三個實數根，則的取值范圍是D．函數在區間上的最大值為，若存在，使得成立，則【正確答案】ABD【分析】由，可判斷A，解出不等式可判斷B，當時的圖像有3個交點，即可判斷C，根據條件可得當時，然后可得，然后可得，判斷出數列的單調性可判斷D.【詳解】函數的定義域為，滿足，即，且當時，，當時，，即，當時，，即，依次，當時，即作出函數圖象

對于A，代入，故正確；對于B，對任意，都有，，，解得，對任意，都有，則的取值范圍是，正確；對于C，當時，的圖像有3個交點，故錯誤；對于D.最大值存在，使得成立，的最大值，，則增，減，，即，正確.故選：ABD12．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內切圓的面積為，的內切圓的面積為，則（

）A．圓和圓外切 B．圓心在直線上C． D．的取值范圍是【正確答案】AC【分析】根據雙曲線的標準方程、定義和切線長定理結合幾何關系和對勾函數性質即可求解，【詳解】雙曲線的，漸近線方程為，兩漸近線傾斜角分別為和，設圓與軸切點為過的直線與雙曲線的右支交于兩點，可知直線的傾斜角取值范圍為，的的橫坐標為，則由雙曲線定義，所以由圓的切線長定理知，所以.的橫坐標均為，即與軸垂直.故圓和圓均與軸相切于，圓和圓兩圓外切.選項A正確；由雙曲線定義知，中，，則只能是的中線，不能成為的角平分線，則圓心一定不在直線上.選項B錯誤；在中，，，則由直角三角形的射影定理可知，即則，故.選項C正確；

由直線的傾斜角取值范圍為，可知的取值范圍為，則的取值范圍為，故，又，則令，則在單調遞減，在單調遞增.值域為故的值域為.選項D錯誤.故選：AC.三、填空題13．拋物線上的點到其焦點的距離為________.【正確答案】5【分析】確定拋物線的準線為，，再計算距離即可.【詳解】拋物線的準線為，則，故，到焦點的距離等于到準線的距離，為.故14．設且，則的最小值為_________．【正確答案】【分析】由已知條件可知，且，再展開，并利用基本不等式求其最小值.【詳解】因為，所以，，因為，所以，所以，當且僅當，即，時取得最小值．故答案為.15．已知數列中，，，是，的等差中項，是其前n項和，若數列是公差為3的等差數列，則___________.【正確答案】5248【分析】利用等差數列的基本性質及求和公式計算即可.【詳解】依題意，，故，而，所以,且，故是首項為12，公差為9的等差數列，則.故524816．祖暅，南北朝時代的偉大科學家，他在實踐的基礎上提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.請同學們借助圖1運用祖暅原理解決如下問題：如圖2，有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內放一個半徑為2的鐵球，再注入水，使水面與球正好相切（球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），則容器中水的體積為_________.

【正確答案】【分析】根據條件和圖1可得半球的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積，半球陰影截面上半部分體積等于圓柱陰影截面上半部分體積減去圓臺體積，然后在圖2中運用此原理可求得答案.【詳解】如圖1，已知圓柱、圓錐底面圓半徑、高和球體半徑相等，設半球中陰影截面圓的半徑，球體半徑為，則，截面圓面；圓柱中截面小圓半徑，大圓半徑為，則截面圓環面積，所以，又高度相等，所以半球的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積.同理，半球陰影截面上半部分體積等于圓柱陰影截面上半部分體積減去圓臺體積.

如圖2，設球體和水接觸的上部分為，沒和水接觸的下部分為，小半球相當于圖1半球的截面上半部分，其體積等于圖1中截面之上的圓柱體積減去相應圓臺體積.已知球體半徑為，為等邊三角形，，根據祖暅原理，，設圖2中軸截面為梯形的圓臺體積為，，故答案為.四、解答題17．已知內角的對邊分別為，且.(1)求角A；(2)若的周長為，且外接圓的半徑為1，求的面積.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及三角形的性質即可求角；（2）利用正弦定理求出邊長a，然后再根據周長和余弦定理列式解出bc，從而求解面積.【詳解】（1）∵，由正弦定理得，因為，所以，因為，所以，所以，又，所以.（2）設外接圓的半徑為，則，由正弦定理得，因為的周長為，所以，由余弦定理得，即，所以，所以的面積.18．已知數列滿足.(1)當時，求數列中的第10項；(2)是否存在正數，使得數列是等比數列，若存在求出值并證明；若不存在，請說明理由.【正確答案】(1)(2)存在，，證明見解析【分析】(1)根據隔項等比數列的定義和通項公式即可求解；(2)根據是等比數列的必要條件解出，再根據證明充分性即可.【詳解】（1）由已知，所以，相除得；又，所以，所以.（2）假設存在正數，使得數列是等比數列，由得，由，得，因為是等比數列，，即，下面證明時數列是等比數列，由（1）知數列和都是公比是的等比數列，所以，；所以為奇數時，，為偶數時，，所以對一切正整數，都有，所以，所以存在正數使得數列是等比數列.19．如圖，在直三棱柱中，，側面是正方形，且平面平面.

(1)求證：；(2)若直線與平面所成的角為為線段的中點，求平面與平面所成銳二面角的大小.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據面面垂直的性質，線面垂直的判定和性質即可求解；（2）根據線面角的定義，建立坐標系后利用法向量求二面角即可.【詳解】（1）

設，則中點為，且,∵平面平面且交線為平面，∴平面，∵平面，∴，又直三棱柱，面，面，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知平面，所以直線與平面所成的角為，,以為原點，分別為軸正向建立坐標系，,則，設平面的法向量為，則，故可設，又因為平面設平面的法向量為，則，設平面與平面所成銳二面角為，∴，∵為銳角，∴..

20．某學校有兩家餐廳，王同學第一天午餐時隨機的選擇一家餐廳用餐.如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.6；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.8.(1)計算王同學第二天去餐廳用餐的概率；(2)王同學某次在餐廳就餐，該餐廳提供5種西式點心，種中式點心，王同學從這些點心中選擇3種點心，記選擇西式點心的種數為，求的最大值，并求此時的值.【正確答案】(1)0.7(2)或10時，有最大值為【分析】（1）根據條件概率公式和全概率公式求解即可；（2）利用超幾何分布表示出，列出不等式即可求最大值.【詳解】（1）設“第一天去餐廳用餐”，“第一天去餐廳用餐”，“第二天去A餐廳用餐”，根據題意得，由全概率公式，得：，所以，王同學第二天去A餐廳用餐的概率為0.7.（2）由題意，的可能取值有：0，1，2，3，由超幾何分布可知，令，若最大，則，即，解得，又∵，所以，易知當和時，的值相等，所以當或10時，有最大值為，即當的值為9或10時，使得最大.21．在平面直角坐標系中，已知分別是橢圓的左焦點和右焦點.(1)設是橢圓上的任意一點，求取值范圍；(2)設，直線與橢圓交于兩點，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，求直線的方程.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）易知，設，有，再利用平面向量的數量積運算求解；（2）①當直線垂直于軸時，由對稱性知，點關于軸對稱，不妨令點在軸右側，由是以為直角頂點的等腰直角三角形，得到直線方程為：，與橢圓方程聯立求解；（2）當直線與坐標軸不垂直時，設直線的方程為，設，與橢圓方程聯立，根據是以為直角頂點的等腰直角三角形，得到，則，結合韋達定理線求得，再由BD的中垂線，由斜率關系得到求解.【詳解】（1）在橢圓中，，設，則有，即，于是，顯然，所以的取值范圍是.（2）①顯然直線不垂直于軸，當直線垂直于軸時，由對稱性知，點關于軸對稱，不妨令點在軸右側，因為是以為直角頂點的等腰直角三角形，則直線方程為：，由消去得：，于是得，點，直線的方程為，（2）當直線與坐標軸不垂直時，設直線的方程為，設，由消去得：，則，即，，可得因為是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，有，而，于是，

即，整理得，從而，化為，解得，又線段的中垂線過點及點，因此，即，解得，而當時，成立，即，因此直線的方程為.22．已知函數有三個零點.(1)求的取值范圍；(2)設函數的三個零點由小到大依次是.證明.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導，根據分類討論研究函數的單調性，確定零點個數，構造函數，研究函數值的符號即可得到導函數的符號，即可求出原函數的單調區間，從而確定零點個數；（2）把原函數有三個零點轉化為有三個根，構造，求導研究函數單調性，結合根的分布得，要證，等價于證，等價于，構造函數從而證明，即證，構造函數，利用導數單調性即可證明.【詳解】（1）因為定義域為，又，（ⅰ）當單調遞減；（ⅱ）當，記，則，當；當，所以在單調遞增，在上單調遞減，，又，所以，①當，則單調遞減，至多一個零點，與題設矛盾；②當，由（ⅱ）知，有兩個零點，記兩零點為，且，則在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，因為，令，則，所以，所以，且趨近0，趨近于正無窮大，趨近正無窮大，趨近負無窮大，所以函數有三零點，綜上所述，；（2）等價于，即，令，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，由（1）可得，則，所以，所以，則滿足，，要證，等價于證，易知，令，則，