2023-2024學年甘肅省定西市高考數學（理）押題模擬試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據對數函數的單調性可化簡，根據集合的交兵補運算即可求解.【詳解】由，所以，，或，所以，故選：B2．若復數z滿足，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據復數的除法運算化簡復數，即可由共軛復數的概念求解.【詳解】由得，所以故選：A3．某年級組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團，該年級共有600名同學，每名同學依據自己的興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數比例的餅狀圖如圖所示，其中參加合唱社團的同學有75名，參加脫口秀社團的有125名，則該年級（

）

A．參加社團的同學的總人數為600B．參加舞蹈社團的人數占五個社團總人數的15%C．參加朗誦社團的人數比參加太極拳社團的多120人D．從參加社團的同學中任選一名，其參加舞蹈或者脫口秀社團的概率為0.35【正確答案】D【分析】A選項，根據參加合唱社團的同學有75名求出參加社團總人數；B選項，先計算出參加脫口秀社團的人數占比，進而得到舞蹈社團的人數占比；C選項，計算出參加兩個社團的人數，作差求出答案；D選項，利用，求出答案.【詳解】A選項，，故參加社團的同學的總人數為500，A錯誤；B選項，參加脫口秀社團的有125名，故參加脫口秀社團的人數占五個社團總人數的，所以參加舞蹈社團的人數占五個社團總人數的，B錯誤；C選項，參加朗誦社團的人數為，參加太極拳社團的人數為，故參加朗誦社團的人數比參加太極拳社團的多人，C錯誤；D選項，從參加社團的同學中任選一名，其參加舞蹈或者脫口秀社團的概率為，即0.35，D正確.故選：D4．已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據三角函數的定義可得，進而由二倍角公式即可求解.【詳解】由題意可知，所以，故選：C5．某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為2，則側（左）視圖中的（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【正確答案】B【分析】由三視圖可得，該圖形為三棱錐，再根據棱錐的體積公式即可得解.【詳解】由三視圖可得，該圖形為三棱錐，如圖所示，

其中三棱錐得高為，底面積為，所以該幾何體得體積為，解得.故選：B.6．已知是定義在上的奇函數，，且當時，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據題意推得，得到函數是周期為的周期函數，結合題設條件和函數的周期性，得到，代入即可求解.【詳解】因為函數滿足，可得，又因為函數為奇函數，所以，所以，即，所以函數是周期為的周期函數，因為當時，，且函數為奇函數，可得.故選：D.7．新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點，近年來備受青睞．某新能源汽車制造企業為調查其旗下A型號新能源汽車的耗電量（單位：）情況，隨機調查得到了1500個樣本，據統計該型號新能源汽車的耗電量，若樣本中耗電量不小于的汽車大約有600輛，則（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6【正確答案】A【分析】由正態分布知識得到對應車輛數，即可得答案.【詳解】由題可得時，對應車輛數為，又時，對應車輛數為，則時，對應車輛數為900，則時，對應車輛數為，又對應車輛數等于對應車輛數，則時，對應車輛數為.則.故選：A8．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，A是C上一點，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11【正確答案】A【分析】根據橢圓的定義可得，利用可求的最大值.【詳解】

設橢圓的半焦距為，則，，如圖，連接，則，而，當且僅當共線且在中間時等號成立，故的最大值為.故選：A.9．若三角形三邊長分別為a，b，c，則三角形的面積為，其中，這個公式被稱為海倫—秦九韶公式.已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，a＝6，則面積的最大值為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【正確答案】B【分析】根據海倫-秦九韶公式化簡得，再利用基本不等式求最值.【詳解】在中，因為，所以，又a＝6，所以，可得，且，故的面積，當且僅當，即時取等號，故面積的最大值為12.故選：B10．將函數的圖象向右平移個單位長度，可得函數的圖象，則的最小正值為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】先利用三角恒等變換得到，得到平移后的解析式，結合三角函數誘導公式求出，，得到最小正值.【詳解】，故圖象向右平移個單位長度得到，又，令，，解得，，當時，取得最小正值，最小正值為.故選：A11．已知雙曲線C：的漸近線方程為，左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線l交雙曲線的右支于M，N兩點，若的周長為36，則雙曲線C的方程為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由題意可得，則直線為，代入雙曲線方程中，利用弦長公式求出，再由雙曲線的定義和的周長為36，可求出，從而可求出雙曲線的方程.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，所以，則雙曲線方程為，，，所以直線為，設，由，得，則，所以，因為，，所以，因為的周長為36，所以，所以，得，所以雙曲線方程為，故選：D12．已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】化簡，得到，，構造函數和，利用導數求得函數的單調性，結合單調性，即可求解.【詳解】由題意得，可得，設，可得，所以單調遞減，則，即，所以；又由，設函數，可得，當時，，單調遞增，所以，即，所以，所以.故選：C.二、填空題13．已知函數的圖象在處的切線與直線x＋ay－1＝0垂直，則實數a＝______．【正確答案】1【分析】求導，得切線的斜率，根據兩直線垂直滿足斜率相乘為-1即可求解.【詳解】由得，所以，由于在處的切線與直線x＋ay－1＝0垂直，所以，故114．若的展開式中x的系數與的系數相等，則實數a＝______．【正確答案】【分析】根據題意，寫出二項式展開式的通項公式，由條件列出方程，即可得到結果.【詳解】因為的展開式的通項公式為，且x的系數與的系數相等，則，即，所以，且，所以.故答案為.15．已知向量，，若向量，且與的夾角為鈍角，寫出一個滿足條件的的坐標為______.【正確答案】（答案不唯一）【分析】根據向量的共線和向量乘法的坐標計算公式即可求解.【詳解】設，因為向量，且與的夾角為鈍角，所以，所以，不妨令，則，故，故（答案不唯一）.16．如圖，四棱錐P－ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝3，AD＝PA＝4，E是棱BC上一點，則當截面PDE的周長最短時，PE與AB所成角的余弦值等于______．

【正確答案】【分析】矩形沿旋轉到與在同一平面，的最小值為，可得，過作交于，連接，，為異面直線與所成的角，求解即可．【詳解】四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，平面，平面,，平面，平面，故平面，，將矩形沿旋轉到與在同一平面，如圖1，連接,此時交于點的最小值為，,,故的最小值為，此時，，

圖1

圖2過作交于，連接，，由題意可得，故為異面直線與所成的角，又，，平面，平面，故，，又可得，，，．故三、解答題17．在數列中，，．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由，結合，利用等比數列的求和公式，即可求解；（2）由（1）得到，結合等差、等比數的求和公式，以及乘公比錯位相減法求和，即可求解.【詳解】（1）解：因為數列滿足且，當時，可得，當時，適合上式，所以數列的通項公式為.（2）解：由（1）知，可得，所以，設，則，兩式相減得，所以，又由，所以18．2023年春節期間，科幻電影《流浪地球2》上映，獲得較好的評價，也取得了很好的票房成績．某平臺為了解觀眾對該影片的評價情況（評價結果僅有“好評”“差評”），從平臺所有參與評價的觀眾中隨機抽取200人進行調查，數據如下表所示（單位：人）：好評差評合計男性8030110女性306090合計11090200(1)判斷是否有99.9%的把握認為對該部影片的評價與性別有關？(2)若將頻率視為概率，從所有給出“差評”的觀眾中隨機抽取3人，用隨機變量X表示被抽到的男性觀眾的人數，求X的分布列和數學期望．參考公式：，其中．參考數據：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【正確答案】(1)有99.9%的把握認為對該部影片的評價與性別有關(2)分布列見解析，期望為1【分析】（1）根據卡方的計算公式計算，即可與臨界值比較求解，（2）根據二項分布的概率公式計算概率，即可求解.【詳解】（1）由二聯表可得,所以有99.9%的把握認為對該部影片的評價與性別有關（2）所有給出“差評”的觀眾中隨機抽取一名男觀眾的概率為，隨機抽取一名女觀眾的概率為，X表示被抽到的男性觀眾的人數，則

，，所以X的分布列為0123

數學期望為．19．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，底面ABCD，，點E，F分別是棱PA，PB的中點，連接OE，OF，EF．

(1)求證：平面平面PCD；(2)求二面角P－EF－O的正弦值．【正確答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據中位線可得線線平行，進而得線面平行，即可求證面面平行，（2）建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解.【詳解】（1）由于點E，F分別是棱PA，PB的中點，所以,,平面平面PCD,故平面PCD,又是的中點，所以,,平面平面PCD,,故平面PCD,由于平面,所以平面平面PCD.（2）由于底面ABCD，底面為菱形，所以兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系，則所以,設平面和平面的法向量分別為，所以取，同理取，設二面角P－EF－O的平面角為，則，所以，

20．已知點M到點的距離比它到直線l：的距離小，記動點M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若過點F的直線交E于，兩點，則在x軸的正半軸上是否存在點P，使得PA，PB分別交E于另外兩點C，D，且？若存在，請求出P點坐標，若不存在，請說明理由.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據點M到點的距離等于它到直線l：的距離，結合拋物線的定義得出拋物線E的標準方程；（2）設，由結合拋物線方程得出是方程的兩根，設直線AB的方程為，并與拋物線方程聯立結合韋達定理得出點P坐標.【詳解】（1）因為點M到點的距離比它到直線l：的距離小，所以點M到點的距離等于它到直線l：的距離，則點M的軌跡為以為焦點，以為準線的拋物線，則曲線E的方程為.（2）設，由得：，且，得，即，所以，代入拋物線方程，得，整理得，同理可得故是方程的兩根，，由韋達定理可得①，由題意，直線AB的斜率一定存在，故設直線AB的方程為，與拋物線方程聯立可得，易得，由韋達定理可得②，由①②可得，故在x軸的正半軸上存在一點滿足條件.

21．已知函數．(1)若a＝1，求函數的單調區間；(2)若函數有兩個極值點，且，求證：．【正確答案】(1)在上單調遞增；(2)證明見解析.【分析】（1）由題可得，后結合定義域可得單調區間；（2）結合函數有兩個極值點，可得，.則要證，等價于證明，后構造相應函數可證明結論.【詳解】（1）由題，，則.因，則.則在上單調遞增；（2）.當時，，在上單調遞增，不合題意；當時，令.當時，，則只有一個極值點，與題意不合；當時，.則.則..注意到，則要證，即證.構造函數，.則，即在上單調遞增.則，即.關鍵點睛：對于雙變量問題，常利用題目中的等量關系將雙變量轉變為單變量問題，而證明函數不等式，常構造相應函數利用單調性解決問題.22．在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．(1)求曲線的極坐標方程；(2)若直線與曲線交于兩點，求．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）先化參數方程為直角坐標方程，然后將代入整理即可.（2）聯立直線和（1）