專題04幾何圖形初步知識點1：認識平面圖形、立體圖形和圖形分類（1）幾何圖形：幾何圖形是數學研究的主要對象之一.物體的形狀、大小和位置關系是幾何研究的內容.像長方體、圓柱、球、長方形、正方形、圓、線段、點、三角形、梯形……它們都是幾何圖形.（2）立體圖形：有些幾何體（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）各個部分都不在同一平面內，它們是立體圖形.（3）平面圖形：有些幾何圖形（如線段、角、三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、圓等）的各部分都在同一平面內，它們是平面圖形.知識點2：立體圖形的展開圖立體圖形的展開圖:有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形.這樣的平面圖形稱為立體圖形的展開圖.如正方體的展開圖有如下幾種情況：中間四個面，上下各一面:中間三個面，一二隔河見:中間兩個面，樓梯天天見:中間沒有面，兩兩連成線:知識點3：點、線、面、體點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形.線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線.面：包圍著體的是面，分為平面和曲面.體：幾何體也簡稱體.點動成線，線動成面，面動成體.知識點4：直線、射線與線段的概念知識點5：基本事實1.經過兩點有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點確定一條直線.2.兩點之間的線段中，線段最短，簡稱兩點間線段最短.知識點6：基本概念1.兩點間的距離：兩個端點之間的長度叫做兩點間的距離.2.線段的等分點：把一條線段平均分成兩份的點，叫做這個線段的中點.知識點7：雙中點模型C為線段AB上任意一點，M、N分別為AC、BC中點，則.知識點8：角的概念1． 角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．圖1圖2（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，射線旋轉時經過的平面部分是角的內部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．注意：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續旋轉，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：①用數字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3等；②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等；③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如∠B，∠C等；④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等.注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側.3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數的角．（3）利用尺規作圖可以畫一個角等于已知角．知識點9：角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″．知識點10：鐘表上有關夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應30°的角，分針1分鐘轉6°，時針每小時轉30°，時針1分鐘轉0.5°，利用這些關系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．知識點11：方位角在航行和測繪等工作中，經常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正東、正西、正南、正北4個方向不需要用角度來表示．（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”．（3）在同一問題中觀測點可能不止一個，在不同的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀測點的正東、正西、正南、正北的方向．（4）圖中的點O是觀測點，所有方向線(射線)都必須以O為端點．知識點12：角平分線從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分線的概念產生的合情推理其思維框架與線段中點的思維框架一樣．知識點13：角的運算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對中(角的頂點與量角器的中心對齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(讀出另一邊所在線的度數)．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據角的和、差關系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識點14：余角和補角（1）余角：如果兩個角的和是一個直角，那么稱這兩個角互為余角，簡稱互余，也可以說其中一個角是另一個角的余角.∠A+∠C=90°，∠A=90°-∠C，∠C的余角=90°-∠C，即∠A的余角=90°-∠A.（2）補角：如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫互為補角．其中一個角叫做另一個角的補角.∠A+∠C=180°，∠A=180°-∠C，∠C的補角=180°-∠C，即∠A的補角=180°-∠A.（3）補角的性質：同角的補角相等.比如：∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，則∠C=∠B.等角的補角相等.比如：∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D，則∠C=∠B.（4）余角的性質：同角的余角相等.比如：∠A+∠B=90°，∠A+∠C=90°，則∠C=∠B.等角的余角相等.比如：∠A+∠B=90°，∠D+∠C=90°，∠A=∠D，則∠C=∠B.考點剖析考點一：直線、射線、線段、角的相關概念【典例1】下列說法錯誤的是（）A．直線和直線表示同一條直線 B．過一點能作無數條直線C．射線和射線表示不同射線 D．射線比直線短【變式1-1】把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程，其道理用幾何知識解釋正確的是()A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短C．線段的長度可以測量 D．兩點之間線段最短【變式1-2】下列說法正確的是（

）A．點O在線段上 B．點B是直線的一個端點C．射線和射線是同一條射線 D．圖中共有3條線段【變式1-3】圖中直線、射線、線段能相交的是（

）A． B． C． D．【變式1-4】已知A、B、C三點，若過其中任意兩點畫一條直線，則畫出的不同直線（

）A．一定有三條 B．只能有一條C．可能有三條，也可能只有一條 D．以上結論都不對【典例2】下列說法中，正確的是（

）A．一個周角就是一條射線 B．平角是一條直線C．角的兩邊越長，角就越大 D．也可以表示為【變式2-1】如圖所示，圖中共有多少個小于平角的角（

）

A．10個 B．9個 C．8個 D．4個【變式2-2】下列說法中，正確的是（

）A．兩條射線組成的圖形叫做角B．有公共端點的兩條線段組成的圖形叫做角C．角可以看作是由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形D．角的邊越長，角越大【變式2-3】圖中角的個數是（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【變式2-4】如圖，下列說法正確的是（

）

A． B．圖中只有兩個角，即和C．與表示同一個角 D．與表示同一個角考點二：根據線段間的關系判斷結論【典例3】杭衢高鐵線上，要保證衢州、金華、義烏、諸暨、杭州每兩個城市之間都有高鐵可乘，需要印制不同的火車票（）A．20種 B．15種 C．10種 D．5種【變式3-1】如圖，在線段AD上有兩點B，C，則圖中共有_____條線段，若在車站A、D之間的線路中再設兩個站點B、C，則應該共印刷_____種車票．A．3，3 B．3，6 C．6，6 D．6，12【變式3-2】將一段72cm長的繩子，從一端開始每3cm作一記號，每4cm也作一記號，然后從有記號的地方剪斷，則這段繩子共被剪成的段數為（）A．37 B．36 C．35 D．34【變式3-3】數軸上的點所表示的數是整數的點稱為整點，某數軸的單位長度是1厘米，若在這個數軸上隨意畫出一條長為18厘米的線段AB，則線段AB蓋住的整點數是(

)A．17個或18個 B．17個或19個 C．18個或19個 D．18個或20個【變式3-4】下列說法中，正確的是（

）A．在所有連接兩點的線中，直線最短B．線段與線段是不同的兩條線段C．如果點是線段的中點，那么D．如果，那么點是線段的中點考點三：根據線段間的關系求線段的長度【典例4】如圖，線段，C是線段的中點，D是線段的中點．(1)求線段的長；(2)在線段上有一點E，，求的長．【變式4-1】如圖，線段，，點M是的中點．

(1)求線段的長度；(2)在上取一點N，使得．求的長．【變式4-2】如圖，點是線段的中點，是上一點，且，．(1)求的長；(2)若為的中點，求長．考點四：鐘表中的角度計算【典例5】在上午時，鐘表上的時針與分針的夾角是()A． B． C． D．【變式5-1】從分到分，時鐘的分針轉過的角度是（

）A． B． C． D．【變式5-2】實驗中學上午時通常準時上第三節課，此時時針與分針所夾的角是（

）A． B． C． D．【變式5-3】鐘表的指針在不停地轉動，從3時到5時，時針轉動了度．考點五：根據角與角之間的關系判斷結論【典例6】如圖，兩個直角和有公共頂點O，下列結論：①；②；③；④若平分，則平分；⑤的平分線與的平分線是同一條射線．其中正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式6-1】已知，，，則相等的兩個角是（

）A． B． C． D．無法確定【變式6-2】在下列說法中，正確的是（

）A．比較角的大小就是比較角的度數大小B．從角的頂點出發的一條射線把這個角分成兩個角，這條射線叫做這個角的平分線C．若，則OC是∠AOB的平分線D．用一個放大鏡能夠把一個圖形放大，也能夠把一個角的度數放大【變式6-3】如圖，為內一條射線，下列條件中能確定平分的是（

）

A． B．C． D．考點六：根據角與角之間的關系求角度【典例7】如圖，已知是的角平分線，是的角平分線．（1）若，，求的度數；（2）若，且，求的度數．【變式7-1】已知：如圖，在內部有（）．（1）如圖1，求的度數；（2）如圖2，平分，平分，求的度數；（3）如圖3，在（2）的條件下，當從的位置開始，繞著點以每秒的速度順時針旋轉秒時，使，求的值．【變式7-2】如圖，已知直線AB和CD相交于點O，在∠COB的內部作射線OE.（1）若∠AOC=36°，∠COE=90°，求∠BOE的度數；（2）若∠COE：∠EOB：∠BOD=4：3：2，求∠AOE的度數.【變式7-3】如圖，在直線上，射線平分，射線在內．

(1)若，求證：射線是的平分線；(2)若，，求的度數．考點七：線段中的分類討論思想問題【典例8】點C是線段的中點，點D是線段上一點，，若線段，則．【變式8-1】點A、B、C在直線l上，線段，線段，則線段的長是（）A．10 B．2 C．2或5 D．10或2【變式8-2】已知線段，點D是線段的中點，直線上有一點C，且，則線段．考點八：角度中的分類討論思想問題【典例9】將直角三角板的直角頂點O放在直線上，射線平分．(1)如圖，若，求的度數；(2)若，求的度數；(3)將直角三角板繞頂點O按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中，當時，求的度數．【變式9-1】劉星對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你和他一起探究下面問題吧，已知，射線，分別是和的角平分線．(1)如圖，若射線在的內部，且，求的度數；(2)如圖，若射線在的內部繞點旋轉，則的度數；(3)若射線在的外部繞點旋轉旋轉中，均指小于的角，其余條件不變，請借助圖探究的大小．過關檢測一、選擇題1．如圖，是一個圓柱體模型，若從這個圓柱的左邊向右看，則得到的平面圖形是（）A． B． C． D．2．如果一個角的補角是，那么這個角的余角是（

）A． B． C． D．3．如圖，將一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，點A、B分別落在點A′B′處，若，則的度數是（）A． B． C． D．4．如圖所示，O是直線AB上的一點，∠AOC=∠FOE=90°，則圖中∠EOC與∠BOF的關系是（）A．相等 B．互余 C．互補 D．互為鄰補角5．下列圖形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一個角的是（

）A．B．C． D．6．如圖，已知是的平分線，則下列結論：①；②；③；④.其中正確的有（

）A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④7．如圖，通常我們描述點B和點C的方向,分別為(

)A．南偏東25°,北偏西60° B．東偏南65°,西偏北60°C．北偏東155°,南偏西120° D．西偏南115°,東偏北150°8．如圖，已知是直線上一點，，平分，則的度數是（

）A． B． C． D．9．在直線上取三點、、，使線段，，則線段的長為（

）A． B． C．或 D．或10．一副三角尺按如