14.3角的平分線（課時1）第十四章全等三角形人教版（2024）素養(yǎng)目標(biāo)2.探索并證明角的平分線的性質(zhì)定理，并能運用這個定理解決相關(guān)問題.重點1.能用尺規(guī)作圖：作一個角的平分線，強化學(xué)生的分析與作圖能力；重點新知導(dǎo)入在紙上畫一個角（如圖），思考：怎樣得到它的角平分線？AOB用量角器度量；也可以將角剪下來用折紙的方法．C把∠AOB對折，使得這個角的兩邊重合；折痕就是∠AOB的角平分線.探究新知角的平分線上的點的特性是由其與角的兩邊的關(guān)系體現(xiàn)的.我們先來看角的平分線上的點與角兩邊上的點所連線段的數(shù)量關(guān)系.CABOMNP如圖，OC是∠AOB

的平分線，P

是OC

上的任意一點，M，N

分別是OA，OB上的點，我們研究PM

與PN

的關(guān)系.探究新知【思考】研究幾何圖形的關(guān)系時，我們往往關(guān)注其中的一些特殊情況.圖中當(dāng)OM

與ON

滿足什么關(guān)系時，PM=

PN？CABOMNPOP=OP，∠POM=∠PON，在△OPM和△OPN中，如果OM=ON，那么△OPM

≌△OPN，就有PM=PN.SAS探究新知反過來，如圖，M，N

分別是∠AOB

的邊OA，OB

上的點，OM=ON，點P

在∠AOB

的內(nèi)部，PM=PN.連接OP.CABOMNPOP=OP，OM=ON，PM=PN，在△OPM和△OPN中，所以△OPM

≌△OPN，因此∠POM=∠PON.即點P

在∠AOB

的平分線上.SSS探究新知【思考】由上述結(jié)論，你能想到如何作一個角的平分線嗎？根據(jù)上述結(jié)論，可以先在角的兩邊上分別作出與角的頂點距離相等的兩點；再在角的內(nèi)部作出與這兩點距離相等的點；以角的頂點為端點，作過這個點的射線，就能得到角的平分線了.ABO探究新知作法：已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.作法：（1）以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（3）畫射線OC，射線OC即為所求.（2）分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C.MNC探究新知ABOMN以小于MN的長為半徑，兩弧無交點；以等于MN的長為半徑，不易操作.【思考】為什么以大于MN的長為半徑作弧？探究新知下面再來看角的平分線上的點與角兩邊上的點所連線段與角兩邊的位置關(guān)系，我們?nèi)匝芯科渲械奶厥馇樾?如圖，OC

是∠AOB

的平分線，點P1，P2，P3，···在OC

上，過點P1，P2，P3，···分別畫OA

與OB

的垂線，垂足分別為D1

與E1、D2

與E2、D3

與E3······.CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4探究新知CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4分別比較P1D1

與P1E1、P2D2

與P2E2、P3D3

與P3E3······，你有什么發(fā)現(xiàn)？P1D1

=

P1E1，P2D2

=

P2E2，P3D3

=

P3E3······猜想：角平分線上的點到角兩邊的距離相等探究新知證明已知：一個點在一個角的平分線上.求證：這個點到這個角兩邊的距離相等.為了更直觀、清楚地表達(dá)題意，我們通常在證明之前畫出圖形，并用符號表示已知和求證.探究新知如圖，OC

是∠AOB

的平分線，點P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.

求證PD=PE.CABODEP【分析】證明△OPD≌△OPEPD=PE探究新知CABODEP證明：∵OC

是∠AOB

的平分線，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC

，∠PDO=∠PEO

，OP=OP

，∴△OPD≌△OPE（AAS）∴PD=PE

歸納總結(jié)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.符號語言：∵OC

是∠AOB的平分線，P是OC上的一點，∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、EPAOBCDE歸納總結(jié)證明一個幾何命題時的步驟：已知：一個點在一個角的平分線上求證：這個點到角兩邊的距離相等；第一步：明確命題中的已知和求證第二步：根據(jù)已知和求證，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已