21.1一元二次方程

1.理解一元二次方程及其相關概念，能夠熟練地把一元二次方程化為一般形式.

2.會應用一元二次方程的解的定義解決有關問題.

3.在分析、揭示實際問題中的數量關系，并把實際問題轉化為數學模型的過程中，感

受方程是刻畫現實世界中的數量關系的工具，增強對一元二次方程的感性認識.

一、情境導入

參加一次集會，如果有x個人，每兩人之間都握一次手，共握了21次手，請你列出符

合上述條件的方程，并判斷方程是什么類型？

二、合作探究

探究點一：一元二次方程的概念

［類型一］一元二次方程的識別

頤1下列選項中，是關于x的一元二次方程的是()

A.歲+：=1B.39一2燈一5/=0

C.(%—1)(,x—2)=3D.ax+/?%+c=0

解析：選項A中的方程分母含有未知數，所以它不是一元二次方程；選項B中的方程含

有2個未知數，所以它不是一元二次方程；當a=0時，選項D中的方程不含二次項，所以

它不是一元二次方程，排除A、B、D,故選C.

方法總結：判斷一個方程是不是一元二次方程，必須將方程化簡后再進行判斷.一元二

次方程的三個條件：一是方程兩邊都是整式；二是只含有一個未知數；三是未知數的最高次

數是2.上述三個條件必須同時滿足，缺一不可.

［類型二］利用一元二次方程的概念確定字母系數

礫關于x的方程(k+1)1=0是一元二次方程，則k的值為

|A-H=2,)4=3或4=—1,

解析:由題意得?

什1W0,

4=3.

方法總結：由一元二次方程的概念滿足的條件：未知數最高次數為2,構造方程，解出

字母取值，并利用二次項系數不為0排除使二次項系數為0的字母取值，從而確定字母取

值.

探究點二：一元二次方程的一般形式

?將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項系數、一次項系

數及常數項.

(1)3f—2=5x；

(2)9?=16；

(3)2*(3*+1)=17；

(4)(3x-5)(x+l)=7x-2.

解析：先分別將各方程化為一般形式，再指出它們的各部分的名稱.

解：(1)方程化為一般形式為31—5萬—2=0,二次項系數是3,一次項系數是一5,常

數項是一2.

(2)方程化為一般形式為9y-16=0,二次項系數是9,一次項系數是0,常數項是一16.

(3)方程化為一般形式為6/+2x—17=0,二次項系數是6,一次項系數是2,常數項是

-17.

(4)方程化為一般形式為3/—9%—3=0,二次項系數是3,一次項系數是一9,常數項

是一3.

方法總結：求一元二次方程的各項系數和常數項，必須先把方程化為一般形式，特別要

注意確認各項系數和常數項一定要包括前面的符號.

探究點三：列一元二次方程

:11.4m

?_______1

2m

ran(2015?深訓一橫)在一張矩形的床單四周繡上寬度相等的花邊，剩下部分面積為

1.6R?.已知床單的長是2m,寬是1.4m,求花邊的寬度.請根據題意列出方程.

解析：設花邊的寬度為AHI,則由圖可知剩下部分的長為(2—2x)m,剩下部分的寬為(1.4

一2x)m.：剩下部分面積為1.6m2,.?.可列方程(2—2力(1.4-2x)=1.6.

方法總結：列方程最重要的是審題，只有理解題意，才能恰當的設出未知數，準確地找

出已知量和未知量之間的等量關系，正確的列出方程.

探究點四：一元二次方程的解

［類型一］判斷一元二次方程的解

碉方程x-2x=0的解為()

A.汨=1,用=2B.汨=0,也=1

C.Xi=0,加=2D.汨=5，A2=2

解析：把各選項中未知數的值分別代入方程的左右兩邊，只有選項C中的E=0,X2=2

都能使方程Z-2x=0的左右兩邊相等，所以選C.

方法總結：判斷一個未知數的值是否是一元二次方程的解，可以把未知數的值代入方程

左右兩邊，能使方程左右兩邊相等的未知數的值就是一元二次方程的解.

［類型二］利用一元二次方程的解的意義求字母或代數式的值

M己知1是關于X的一元二次方程（0一l）*2+x+l=0的一個根，則/"的值是（）

A.1B.-1

C.0D.無法確定

解析：根據方程的根的概念，直接代入方程，左右兩邊相等，但考慮到是一元二次方程，

所以二次項系數不能等于0.由此得，（0—1）+1+1=0,解得力=一1,此時0—1=-2#0,

故選B.

方法總結：方程的根是能使方程左右兩邊相等的未知數的值，在涉及方程根的題目中,

我們一般是把這個根代入方程左右兩邊轉化為求待定系數的方程來解決問題.

三、板書設計

|構建一-元一次方程模型人1瑜系數和常數項,

I相關概念卜一元二次方程

??般形式1—八7r解的概念?

教學過程中，強調學生自主探索和合作交流，經歷將實際問題轉化為數學問題，體會數學建

模的思想方法.

教學時間課題21.1一元二次方程課型新授

教學媒體多媒體

1.理解一元二次方程概念是以未知數的個數和次數為標準的.

知識

教2.掌握一元二次方程的一般形式以及三種特殊形式，能將一個一元二次方程化為一般形式

技能

3.理解二次根式的根的概念，會判斷一個數是否是一個一元二次方程的根

學

1..通過根據實際問題列方程，向學生滲透知識來源于生活.

過程

2.通過觀察，思考，交流，獲得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三種特殊形式.

目方法

3.經歷觀察，歸納一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念，

標情感

通過生活學習數學，并用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情.

態度

教學重點一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念

通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，13再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方

教學難點

程的概念.

教學過程設計

教學程序及教學內容師生行為設計意圖

卜一、復習引入1

導語：小學五年級學習過簡易方程，上初中后學習了一元一次方點題，板書課題.聯系曾經學習過

程，二元一次方程組，可化為一元一次方程的分式方程，運用方程的方程知識銜接

方法可以解決眾多代數問題和幾何求值問題，是非常常見的一種數本章，明確本節

學方法。從這節課開始學習一元二次方程知識.先來學習一元二次方課內容

程的有關概念；

1二、探究新知1學生讀題找等量關系列方

?探究課本問題2程.淡化列方程難

分析：學生觀察所列方程整理后的度，重點突出方

1.參賽的每兩個隊之間都要比賽一場是什么意思？特點，把握方程結構，初步程特點

2.全部比賽場數是多少？若設應邀請x個隊參賽，如何用含x的代感知一元二次方程概念.

數式表示全部比賽場數？

整理所列方程后觀察：

1.方程中未知數的個數和次數各是多少？通過比較，對一

2.下列方程中和上題的方程有共同特點的方程有哪些？學生嘗試敘述，然后師生元二次方程的概

4x+3=0；x2+2x-4=0；2x+y-4=0；x2-75x4-350=0；歸納念達到共識，從

i而為掌握概念作

—F2x-6=0準備.

X

?概念歸納：

1.一元二次方程定義：

分析：首先它是整式方程，然后未知數的個數是1,最高次數是2.師生分析概念和一般形式.

2.一元二次方程的一般形式：

分析：全面理解和掌握

①.為什么規定4*0?

②.方程左邊各項之間的運算關系是什么？關于X的一元二次方程

ax2-bx-c=0（。*0）的各項分別是什么？各項系數是什么？

3.特殊形式：ax2+bx=0（^70）；ax2+c=0（^0）；

學生根據相關概念作答，復

ax2=0（〃w0）習鞏固.識記、理解相關

?課本例題概念

分析：類比一元一次方程的去括號，移項，合并同類項，進行同解學生類比一元一次方程的解

變形，化為一般形式后再寫出各項系數，注意方程一般形式中的嘗試敘述通過類比，遷移

是性質符號負號，不是運算符號減號.提高

?一元二次方程的根的概念

1.類比一元一次方程的根的概念獲得一元二次方程的根的概念學生思考，討論完成，加深對概念理解和

2.下面哪些數是方程X2+5X+6=0的根？運用，同時對一元

二次方程的根的情

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

況初步感知

3.你能用以前所學的知識求出下列方程的根嗎？

(1)X2-64=0(2)x2+l=0(3)x2-3x=0(4)x2+2x+\=0

4思.考：一元一次方程一定有一個根，一元二次方程呢？

5.排球邀請賽問題中，所列方程--x=56的根是8和-7,但是答案

只能有一個，應該是哪個？

歸納：

①一元二次方程的根的情況

②一元二次方程的解要滿足實際問題

|三、課堂訓練|

1.課本練習學生獨立完成，教師巡視使學生鞏固提

2補充：指導，了解學生掌握情同1,

況，并集中訂正了解學生掌握情

1).在下列方程中，一元二次方程的個數是().

況

①3x2+7=。②ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-l@3x2-A=0

X

A.1個B.2個C.3個D.4個

2).關于x的方程(a-1)x2+3x=0是?元二次方程，則a范圍

師生歸納總結，學生作筆納入知識系統

2

3).已知方程5x+mx-6=0的一個根是x=3,則m的值為_______記.

,4).關于x的方，程(2m2+m)xm+43x=6可能是一元二次方程嗎？

|四、小結歸納

1.一元二次方程的概念及其一般形式，能將一個一元二次方程化為

一般形式，并正確指出其各項系數.

2.一元二次方程的根的概念，能判斷一個數是否是一個一元二次方

程的根.

|五、作業設計|

必做：P4：1.2.4.6.7

選做：.P29：3.5.7

教學反思

21.1一元二次方程

教學目標

i.理解一元二次方程及其相關概念，能夠熟練地把一元二次方程化為一般形式。

2.會應用一元二次方程的解的定義解決有關問題。

3.在分析、揭示實際問題中的數量關系，并把實際問題轉化為數學模型的過程中，感受

方程是刻畫現實世界中的數量關系的工具，增強對一元二次的感性認識。。

重難點關鍵

1.回重點：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關概念并用這些概念

解決問題.

2.難點關鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，團再由一元一次方程的概

念遷移到一元二次方程的概念.

教學過程

一、復習引入

學生活動：列方程.

問題（1）如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離

為8m,那么梯子的底端距墻多少米？

設梯子底端距墻為xm,那么，

根據題意，可得方程為.

問題（2）如圖，如果4S=<"，那么點C叫做線段AB的黃金分割點.

ABAC

ACB

如果假設AB=1,AC=x,那么BC=,根據題意，得：.

整理得：.

問題（3）有一面積為54m2的長方形，將它的一邊剪短5m,另一邊剪短2m,恰好變成

一個正方形，那么這個正方形的邊長是多少？

如果假設剪后的正方形邊長為x,那么原來長方形長是,寬是,根據題

意,得：.

整理，得：.

老師點評并分析如何建立一元二次方程的數學模型，并整理.

二、探索新知

學生活動1：請口答下面問題.

（1）上面三個方程整理后含有幾個未知數？

（2）按照整式中的多項式的規定，它們最高次數是幾次？

（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？

老師點評：(1)都只含一個未知數x；(2)它們的最高次數都是2次的；(3)回都有等

號，是方程.

因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次

數是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一個關于x的一元二次方程，13經過整理，團都能化成如下形式ax2+bx+c=0

(a#0).這種形式叫做一元二次方程的一般形式.

一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=O(aWO)后，其中ax?是二次項，a是二次

項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項.

學生活動2提問：

(1)問題1中一元二次方程的解是多少？

(2)如果拋開實際問題，問題1中還有其它解嗎？

老師點評：(1)問題1中x=6是x2-36=0的解，問題2中，x=10是x2+2x-12O=O的解.

(3)如果拋開實際問題，問題(1)中還有x=-6的解

為了與以前所學的一元一次方程等只有一個解的區別，我們稱：一元二次方程的解

叫做一元二次方程的根.

回過頭來看：xZ36=0有兩個根，一個是6,另一個是一6,但-6不滿足題意；同理，問

題2中的x=-12的根也滿足題意.因此，由實際問題列出方程并解得的根，并不一定是實際

問題的根，還要考慮這些根是否確實是實際問題的解.

例1.將方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、

一次項系數及常數項.

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=O(aWO).因此，方程(8-2x)0(05-2x)

=18必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等.

解：去括號，得：

40-16x-10x+4x2=18

移項，得：4x2-26x+22=0

其中二次項系數為4,一次項系數為-26,常數項為22.

例2已知1是關于x的一元二次方程(m—l)x2+x+l=0的一個根，則m的值是()

A.1B.—1

C.0D.無法確定

分析：根據方程的根的概念，直接代入方程，左右兩邊相等，但考慮到時一元二次方程，

所以還要其二次項系數要不能等于0.由此得，(m-l)+l+l=0,解得m=-l,此時

m=-l.故選B.

方法總結：方程的根是能使方程左右兩邊相等的未知數的值，在涉及方程根的題目的時

候，我們一般是把這個根代入方程左右兩邊轉化為求待定系數的方程來解決問題。

例3如圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出3X3個位置相鄰的9個

數(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9個數中，最大數與最小數的積為

192,則這9個數的和為()

A.32B.126

C.135D.144

B四五六

2

上

B

6

A

3

PXO

分析：根據圖象可以得出，圈出的9個數，最大數與最小數的差為16,設最小數為

x,則最大數為x+16,根據題意，得x(x+16)=192,解得xi=8,X2=-24(不合題意舍

去)，故最小的三個數為8,9,10,下面一行的數字分別比上面三個數大7,即為15,

16,17,第3行三個數，比上一行三個數分別大7,即為22,23,24,這9個數的和為：

8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.故選D.

方法總結：在日歷表中，在同一列上相鄰的兩個數，下一列比上一列的一個數大7；

在同一行上相鄰的兩個數，右邊的比左邊的一個數大1,是解決此類問題的依據.

三、鞏固練習

教材習題22.1練習1、2

四、應用拓展

例4.求證：關于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+l=0,不論m取何值，該方程都是一

元二次方程.

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+170^O即

可.

證明：m2-8m+17=(m-4)2+1

(m-4)2>0

(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1^0

不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

五、歸納小結(學生總結，老師點評)

本節課要掌握：

(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a#0)回和二次

項、二次項系數，一次項、一次項系數，常數項的概念及其它們的運用.

六、布置作業

1.教材習題22.11、2.

2.選用作業設計.

作業設計

一、選擇題

1.在下列方程中，一元二次方程的個數是().

①3x2+7=0(2)ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-l@3x2--=0

x

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.方程2x2=3(x-6)化為一般形式后二次項系數、回一次項系數和常數項分別為().

A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6

3.px2-3x+p2-q=0是關于x的一元二次方程，則().

A.p=lB.p>0C.pWOD.p為任意實數

4.已知x=-l是方程ax2+bx+c=O的根(bWO),則+).

Vbb

A.1B.-1C.0D.2

二、填空題

5.方程3x2-3=2x+l的二次項系數為,一次項系數為,常數項為.

6.一元二次方程的一般形式是.

7.關于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是.

8.已知方程5x2+mx-6=0的一個根是x=3,則m的值為.

三、綜合提高題

9.a滿足什么條件時，關于x的方程a(x2+x)=&x-(x+1)是一元二次方程?

10.關于x的方程(2m2+m)xm+I+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？

11.如果x=l是方程ax2+bx+3=0的一個根，求(a-b)2+4ab的值.

12.如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)中的二次項系數與常數項之和等

于一次項系數，求證：-1必是該方程的一個根.

13.一塊矩形鐵片，面積為Im2,長比寬多3m,求鐵片的長，小明在做這道題時，是

這樣做的：

設鐵片的長為X,列出的方程為x(x-3)=1,整理得：xJ3x-l=0.小明列出方程后，想

知道鐵片的長到底是多少，下面是他的探索過程：

第一步：

X1234

x2-3x-l-3-3

所以，<x<

第二步：

X3.13.23.3.

34

x2-3x-l-0.96-0.36

所以，<X<

(1)請你幫小明填完空格，完成他未完成的部分；

(2)通過以上探索，估計出矩形鐵片的整數部分為,十分位為

21.2.1配方法

第1課時直接開平方法

1.學會根據平方根的意義把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程.

2.運用開平方法解形如（x+4的方程.

3.體驗類比、轉化、降次的數學思想方法，增強學習數學的興趣.

一、情境導入

一個正方形花壇的面積為10,若設其邊長為x,根據正方形的面積可列出怎樣的方程?

用怎樣的方法可以求出所列方程的解呢？

二、合作探究

探究點：直接開平方法

［類型一］用直接開平方法解一元二次方程

硒I運用開平方法解下列方程：

⑴獷=9；

（2）（*+3）~—2=0.

解析：（1）先把方程化為f=a（a，0）的形式；（2）原方程可變形為（x+3>=2,則X+3

是2的平方根，從而可以運用開平方法求解.

解：（1）由"=9,得/=彳，兩邊直接開平方，得x=±j,.?.原方程的解是為=］也

3

2,

⑵移項，得（x+3>=2.兩邊直接開平方，得x+3=±［l.?.x+3=鏡或x+3=一

，原方程的解是為=小一3,及=一鏡一3.

方法總結：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通過降次，把一元二次方程轉化為

一元一次方程求解的，這是解一元二次方程的基本思想；一般地，對于形如f=a（a20）的

方程，根據平方根的定義，可解得小=/，xz=f-

［類型二］直接開平方法的應用

（例?（2014?山東潘守中旁）若一元二次方程ax2=6（a6>0）的兩個根分別是〃+1與2m

-4,則絲.

解析：’.?。小=6,.,.方程的兩個根互為相反數，，0+1+2/Z?—4=0,解得

0=1,；.一元二次方程af=6(a6>0)的兩個根分別是2與-2,:.yj^=2,.,.^=4,故答

案為4.

［類型三］直接開平方法與方程的解的綜合應用

1例?若一元二次方程(a+2)*2—ax+a?—4=0的一個根為0,則a=.

解析：：一元二次方程3+2)/—@才+/一4=0的一個根為0,二a+2W0且才一4=0,

Aa=2.故答案為2.

［類型四］直接開平方法的實際應用

網EI有一個邊長為11cm的正方形和一個長為13cm,寬為8cm的矩形，要作一個面積

為這兩個圖形的面積之和的正方形，邊長應為多少厘米？

分析：要求新正方形的邊長，可先求出原正方形和矩形的面積之和，然后再用開平方計

算.

解：設新正方形的邊長為xcm,根據題意得“2=1/+13義8,即丁=225,解得x=±15.

因為邊長為正，所以>=-15不合題意，舍去，所以只取x=15.答：新正方形的邊長應為

15cm.

方法總結：在解決與平方根有關的實際問題時，除了根據題意解題外，有時還要結合實

際，把平方根中不符合實際情況的負值舍去.

三、板書設計

教蹈題

教學過程中，強調利用開平方法解一元二次方程的本質是求一個數的平方根的過程.同時體

會到解一元二次方程過程就是一個“降次”的過程.

21.2.1配方法

第1課時直接開平方法

教學內容

運用直接開平方法，即根據平方根的意義把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一

元一次方程.

教學目標

理解一元二次方程“降次”——轉化的數學思想，并能應用它解決一些具體問題.

提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax?+c=O,根據平方根的意義解出這個方程，

然后知識遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

重難點關鍵

1.重點：運用開平方法解形如(x+m)2=n(n20)的方程；領會降次——轉化的數學

思想.

2.難點與關鍵：通過根據平方根的意義解形如x2=n,知識遷移到根據平方根的意義解

形如(x+m)2=n(n20)的方程.

教學過程

一、復習引入

學生活動：請同學們完成下列各題

問題L填空

(1)X2-8X+=(x-)2；(2)9X2+12X+=(3x+)2；(3)x2+px+=

(x+)2.

問題2.如圖，在AABC中，/B=90°,點P從點B開始，沿AB邊向點B以：Lcm/s回的

速度移動，點Q從點B開始，沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果AB=6cm,BC=12cm,

回P、Q都從B點同時出發，幾秒后△PBQ的面積等于8cm2?

老師點評：

問題1：根據完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)(E)2K.

22

問題2：設x秒后aPBCi的面積等于8cm2

則PB=x,BQ=2x

依題意，得：—x?2x=8

2

X2=8

根據平方根的意義，得乂=±2拒

即xi=2,X2=-2V2

可以驗證，20和-2近都是方程2x=8的兩根，但是移動時間不能是負值.

2

所以2亞秒后△PBQ的面積等于8cnr.

二、探索新知

上面我們已經講了X2=8,根據平方根的意義，直接開平方得x=±2C，如果x換元為

2t+l,即(2t+l)2=8,能否也用直接開平方的方法求解呢？

(學生分組討論)

老師點評：回答是肯定的，把2t+l變為上面的X,那么2t+l=±20

即2t+l=2V2,2t+l=-2V2

方程的兩根為tk及-L,t2=-&，

22

例1：解方程：X2+4X+4=1

分析：很清楚，x?+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉化為(x+2)2=1.

解：由已知，得：(x+2)2=1

直接開平方，得：x+2=±l

即x+2=l,x+2=-l

所以，方程的兩根X1=-1,X2=-3

例2.市政府計劃2年內將人均住房面積由現在的10m2提高到14.4m,求每年人均住

房面積增長率.

分析：設每年人均住房面積增長率為X.回一年后人均住房面積就應該是10+E10x=10

(1+x)；二年后人均住房面積就應該是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

解：設每年人均住房面積增長率為X,

則：10(1+x)2=14.4

(1+x)2=1.44

直接開平方，得l+x=±1.2

即l+x=1.2,l+x=-1.2

所以，方程的兩根是Xi=0.2=20%,X2=22

因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，X2=-2.2應舍去.

所以，每年人均住房面積增長率應為20%.

(學生小結)老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？

共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程.自我們把這種思想

稱為“降次轉化思想”.

三、鞏固練習

教材P36練習.

四、應用拓展

例3.某公司一月份營業額為1萬元，第一季度總營業額為3.31萬元，求該公司二、三

月份營業額平均增長率是多少？

分析:設該公司二、三月份營業額平均增長率為X,回那么二月份的營業額就應該是(1+x),

三月份的營業額是在二月份的基礎上再增長的，應是(1+X)2.

解：設該公司二、三月份營業額平均增長率為X.

那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31

把(1+x)當成一個數，配方得：

13

(1+X+-)2=2.56,即(x+-)2=2.56

22

333

XH—=±1.6,即X4—=1.6,XH—=-1.6

222

方程的根為xi=10%,X2=-3.1

因為增長率為正數，

所以該公司二、三月份營業額平均增長率為10%.

五、歸納小結

本節課應掌握：

由應用直接開平方法解形如x2=p(p20),那么x=±J萬轉化為應用直接開平方法解形

如(mx+n)2=p(p20),那么mx+n=±J^,達到降次轉化之目的.

六、布置作業

1.教材P45復習鞏固1、2.

2.選用作業設計：

一、選擇題

1.若x?-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分別是().

A.p=4,q=2B.p=4?q=-2C.p=-4,q=2D.p=-4,q=-2

2.方程3x?+9=0的根為().

A.3B.-3C.±3D.無實數根

2

3.用配方法解方程xJ—x+l=0正確的解法是().

3

1Q

B.(x--)2=---原方程無解

39

(《),52y/52-75

C."=—,X]=—+-------,X2=---------------

9333

1

D.(x--)2=1,=-,

X|X2=--

333

二、填空題

1.若8x2-16=0,則x的值是.

2.如果方程2(x-3)2=72,那么，這個一元二次方程的兩根是

3.如果a、b為實數，滿足J3a+4+b2-12b+36=0,那么ab的值是

三、綜合提高題

1.解關于x的方程(x+m)2=n.

2.某農場要建一個長方形的養雞場，雞場的一邊靠墻(墻長25m),團另三邊用木欄圍

成，木欄長40m.

(1)雞場的面積能達到180m2嗎？能達到200m嗎？

(2)雞場的面積能達到210m2嗎？

3.在一次手工制作中，某同學準備了一根長4米的鐵絲，由于需要，現在要制成一個

矩形方框，并且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學制成方框，回并說明你制作的理由嗎？

答案：

一、1.B2.D3.B

二、1.±V22.9或-33.-8

三、1.當n20時，x+m=±y/n,xi=Vw-m,X2=-V?-m.當n<0時，無解

2.(1)都能達到.設寬為x,則長為40-2x,

依題意，得：x(40-2x)=180

整理，回得：2

0X-2OX+9O=O,XI=10+V10,x2=10-V10；

同理長為

x(40-2x)=200,X|=x2=10,40-20=20.

(2)不能達到.同理x(40-2x)=210,X2-20X+105=0,

b2-4ac=400-410=-10<0?無解,即不能達到.

3.因要制矩形方框，面積盡可能大，

所以，應是正方形，即每邊長為1米的正方形.

第2課時配方法

1.了解配方的概念，掌握運用配方法解一元二次方程的步驟.

2.探索直接開平方法和配方法之間的區別和聯系，能夠熟練地運用配方法解決有關問

題.

一、情境導入

7）

李老師讓學生解一元二次方程x?-6x—5=0,同學們都束手無策，學習委員蔡亮考慮了

一下，在方程兩邊同時加上14,再把方程左邊用完全平方公式分解因式……，你能按照他

的想法求出這個方程的解嗎？

二、合作探究

探究點：配方法

【類型一】配方

頤1用配方法解一元二次方程4x=5時，此方程可變形為（）

A.（x+2）z=lB.（矛-2）2=1

C.（X+2）2=9D.（x—2/=9

解析：由于方程左邊關于x的代數式的二次項系數為1,故在方程兩邊都加上一次項系

數一半的平方，然后將方程左邊寫成完全平方式的形式，右邊化簡即可.因為V-4x=5,

所以/—4x+4=5+4,所以（x—2）2=9.故選D.

方法總結：用配方法將一元二次方程變形的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊，

使方程的左邊只留下二次項和一次項；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一

次項系數一半的平方.

［類型二］利用配方法解一元二次方程

礫用配方法解方程：/-4入+1=0.

解析：二次項系數是1時，只要先把常數項移到右邊，然后左、右兩邊同時加上一次項

系數一半的平方，把方程配成（x+血2=的形式再用直接開平方法求解.

解：移項，得4x=-1.配方，得4x+（—2/=—1+（—.即（x—2/=3.解這

個方程，得/一2=±/..?.小=2+4,xz=2一小.

方法總結：用配方法解一元二次方程，實質上就是對一元二次方程變形，轉化成開平方

所需的形式.

【類型三】用配方解決求值問題

___v—2v

〔例El已知：/+4x+y2—6y+13=0,求:；+j的值.

解：原方程可化為(x+2)2+(y—3產=0,???(x+2)2=0且(y—3)2=0,.?“=一2且尸

H-n.-2—68

3,.■?原式=jT=—TT-

［類型四］用配方解決證明問題

M(1)用配方法證明2f—4x+7的值恒大于零；

(2)由第(1)題的啟發，請你再寫出三個恒大于零的二次三項式.

證明：(1)—4x+7=2(十-2x)+7=2(丁一2x+1—1)+7=2(jr—I)2—2+7—2(x—

l):+5.?.,2(x-l)，0,.,.2(X-1)2+525,即2f-4x+725,故2f—4x+7的值恒大于

零.

(2)f-2x+3；—2x+5；3/+6x+8等.

［類型五］配方法與不等式知識的綜合應用

碉證明關于x的方程面一8/17)/+2曲■+1=0不論〃為何值時，都是一元二次方

程.

解析：要證明“不論皿為何值時，方程都是一元二次方程”，只需證明二次項系數方一

8m+17的值不等于0.

證明：?.?二次項系數序一8必+17=1一8/16+1=5—4)2+1,又；(W-4)220,(加

—4)2+1>0,即勿2-8用+17>0.，不論勿為何值時，原方程都是一元二次方程.

三、板書設計

教簪底恩

教學過程中，強調配方法解方程就是將方程左邊配成完全平方式的過程.因此需熟練掌握完

全平方式的形式.

21.2.1配方法

內容：配方法解一元二次方程

課型：新授

學習目標：1.會用開平方法解形如(x十m)2=n(nN0)的方程.

2.理解一元二次方程的解法一一配方法.

教學重點：利用配方法解一元二次方程

教學難點：把一元二次方程通過配方轉化為(x十m)2-n(n>0)的形式.

學前準備

1用直接開平方法解方程

2—8=0(X+6)2-9=0

2完全平方公式是什么？

3填上適當的數，使下列等式成立：

(1)X2+12X+=(x+6)2

(2)X2—12x+=(X—)2

(3)X2+8X+=(x+)2

3

(4)x2+—x+=(x+)

4

(5)x2+px+=(x+)

觀察并思考填的數與一次項的系數有怎樣的關系？

二、探究活動

問題：下列方程能否用直接開平方法解？

X2+8X-9=0X2—10x十25=7；

是否先把它變成(x+m)Jn(n^O)的形式再用直接開平方法求解？

問題：要使一塊矩形場地的長比寬多6m,并且面積為16m2,場地的長和寬應各是多少？

解：設場地寬為X米，則長為(x+6)米，根據題意得：()

整理得()

怎樣解方程X2+6X-16=0自學教材32頁

1什么叫配方法？

例1：用配方法解下列方程

X2—8x+l=02X2+1=3X

總結用配方法解方程的一般步驟.

(1)化二次項系數為1,即方程兩邊同時除以二次項系數.

(2)移項，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數項.

(3)要在方程兩邊各加上一次項系數一半的平方.(注：一次項系數是帶符號的)

(4)方程變形為(x+m)z=n的形式.

(5)如果右邊是非負實數，就用直接開平方法解這個一元二次方程；如果右邊是一個

負數，則方程在實數范圍內無解.

三.自我測試

1配方：填上適當的數，使下列等式成立：

(1)X2+12X+=(x+6)2

(2)x2—12x+=(x—)2

(3)X2+8X+=(x+)2

2解下列方程

3x2+3x—3=03x2—9x+2=02x2+6=7x

3.將二次三項式x「4x+l配方后得().A.(x_2)'+3B.(x-2)--3C.(x+2)

2+3D.(x+2)2-3

4.己知xJ8x+15=0,左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是().A.X2-8X+

(-4)2=31B.x-8x+(-4)2=1C.X2+8X+42=1D.X2-4X+4=-11

5.如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(0)的左邊是一個關于x的完全平方式，則m等于().

A.1B.-1C.1或9D.-1或9

6.下列方程中，一定有實數解的是()A.x2+l=0B.(2x+l)2=0

C.(2x+l)2+3=0D.(—x-a)2=a

2

7.方程x'+4x-5=0的解是.

?X?―x_2

8.代數式一-——的值為0,則x的值為

x2-l

9.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值，若設x+y=z,則原方程可變為,所以

求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為—

10已知三角形兩邊長分別為2和4,第三邊是方程X2-4X+3=0的解，求這個三角形的周長.

11.如果x'-4x+y'+6y+Jz+2+13=0,求(xy)'的值.

12.新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元，市場調研表明：當銷售價為2900元

時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺，商場要想

使這種冰箱的銷售利潤平均每天達5000元，每臺冰箱的定價應為多少元？

四學習體會

本節課你有什么收獲?還有什么疑問？

五應用與拓展

1.已知：x"+4x+y2-6y+13=0,求與-<的值.

廠+?

2.如圖，在Rt^ACB中，ZC=90°,AC=8m,CB=6m,點P、Q同時由A,B兩點出發分別沿

AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是lm/s,