2025年中考第一次涂卡訓練試題數學（考試時間：120分鐘滿分：150分）友情提醒：所有試題的解答請在所提供的答題紙上作答，否則一律無效！一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）1.下列樂譜符號，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.是一種基于人工智能技術的深度搜索引擎或數據分析工具，專注于通過深度學習和大數據處理技術，提供更精準、智能的搜索和分析服務．如果采用類似的架構，其參數數量可能在1750億左右，數據1750億用科學記數法表示為（）A. B. C. D.3.已知是方程的兩個實數根，則的值為（）A. B. C. D.4.計算（）A. B. C. D.5.如圖，在中，是外角的平分線，且，則的度數為（）A. B. C. D.6.某校舉辦“漢字聽寫大賽”，7名學生進入決賽，他們所得分數互不相同，比賽共設3個獲獎名額，某學生知道自己的分數后，要判斷自己能否獲獎，他應該關注的統計量是()A.平均數 B.中位數 C.眾數 D.方差7.如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，若∠ACD＝32°，則∠BAD的度數是（）A.48° B.58° C.60° D.64°8.如圖，在中，，以為邊向三角形外作正方形，作于點，交對角線于點，連接．要求的周長，只需知道（）A.的長 B.的長 C.的長 D.的長二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．）9分解因式：________．10.如圖，直線，矩形的頂點在直線上，若，則的度數為________．11.若代數式有意義，則實數的取值范圍是_____．12.若扇形的圓心角為，半徑為4，則該扇形的面積是_________（結果保留）．13.已知直線，那么以點為圓心，為半徑的圓與這條直線共__個交點．14.小華整理三疊數量相同的練習本（每疊至少本），操作如下：第一步：從左疊拿本放入中間；第二步：從右疊拿本放入中間；第三步：左疊現有幾本，就從中間拿回幾本放入左疊．請問最終中間疊剩下的練習本數量為______．15.將正方體的一種展開圖如圖方式放置在直角三角形紙片上，若小正方形的邊長為1，則________．16.如圖，將反比例函數的圖像繞著坐標原點順時針旋轉，旋轉后的圖像與軸交于，若，則______．17.如圖，四邊形對角線、相交于點，且，，，，則四邊形的面積為________．18.約定，當時，代數式的值記為，當時，代數式的值記為．若，且，則的值為________．三、解答題（本大題共有10小題，共96分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、解題過程或演算步驟）19.計算：（1）；（2）．20.解不等式組，并寫出滿足條件的正整數解．21.某校為增強學生身體素質，以“陽光運動，健康成長”為主題開展體育訓練，并對學生進行專項體能測試，以下是某次八年級男生引體向上測試成績抽樣與數據分析過程．【收集數據】隨機抽取若干名男生的測試成績．【整理數據】將抽取的成績進行整理，用（引體向上個數）表示成績，分成四組：組，組，組，組．【描述數據】根據抽取的男生成績，繪制出如下不完整的統計圖．根據以上信息，解答下列問題：（1）求組人數，并補全條形統計圖；（2）八年級360人中，估計引體向上每分鐘不低于10個的有多少人？（3）從眾數、中位數、平均數中任選一個，說明其意義．22.為了弘揚雷鋒精神，某校組織“學雷鋒，爭做新時代好少年”的宣傳活動．根據活動要求，每班需要2名宣傳員，某班班主任決定從甲、乙、丙、丁4名同學中隨機選取2名同學作為宣傳員．（1）“甲、乙同學都被選為宣傳員”是（填“必然”“不可能”“隨機”）事件；（2）請用畫樹狀圖法或列表法，求甲、乙同學都被選為宣傳員的概率．23.某學習要添置一批圓珠筆和簽字筆，計劃用200元購買圓珠筆，用280元購買簽字筆．已知一支簽字筆比一支圓珠筆貴1元．該學校購買的圓珠筆和簽字筆的數量能相同嗎？（1）根據題意，甲和乙兩同學先假設該學校購買的圓珠筆和簽字筆的數量能相同，并分別列出的方程如下：；1，根據兩位同學所列的方程，請你分別指出未知數x，y表示的意義：x表示；y表示．（2）任選其中一個方程說明該學校購買的圓珠筆和簽字筆的數量能否相同．24.如圖，在中，E，F是對角線BD上的兩點（點E在點F左側），且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當，，時，求的長．25.已知在中，，，，以邊為直徑作，與邊交于點，點為邊的中點，連接．（1）求證：是的切線；（2）點為直線上任意一動點，連接．當時，求長；26.已知二次函數．（1）若函數圖象經過點，解決下列問題：①求該二次函數的表達式；②若將平面內一點向左平移個單位，到達圖象上的點；若將點向右平移個單位，則到達圖象上的點，求點坐標．（2）設點，是該函數圖象上的兩點，若，求證：．27.我們知道能被3整除的數的規律，設是一個三位數，若可以被3整除，則這個數就能被3整除．例如，三位數108，，9可以被3整除，108就能被3整除．【發現】將三位數去掉末尾數字得到兩位數，再用減去的2倍所得的差為．若能被7整除，則三位數就能被7整除．【驗證】如，對于三位數364，，28可以被7整除，364就能被7整除．（1）用上述方法判斷455能否被7整除？【探究】（2）請用含，，的代數式表示；（3）結合（2）論證“發現”中的結論正確．【遷移】（4）下列結論正確的是．（填序號）①在三位數中，若滿足是11的倍數，則是11的倍數；②在三位數中，若滿足是11倍數，則是11的倍數；③在三位數中，若滿足是11的倍數，則是11的倍數；28.如圖，Rt△ABC中，，，點F在射線上，過點F作交射線于點D，連接，以、為邊作．（1）尺規作圖：在圖1中請用無刻度的直尺和圓規作；（保留作圖痕跡，并簡要的說明理由．）（2）借助圖2解決問題：將繞點F逆時針旋轉至，點P為中點．①小文認為，隨著點F在射線上移動，點G位置發生變化；②小明認為，隨著點F在射線上移動，點G位置不發生變化；若你同意小文的觀點，請求出的最小值；若你同意小明的觀點，請求出的值；（3）在（2）的條件下，連接，，直接寫出的最小值．

2025年中考第一次涂卡訓練試題數學（考試時間：120分鐘滿分：150分）友情提醒：所有試題的解答請在所提供的答題紙上作答，否則一律無效！一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分）1.下列樂譜符號，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形的知識，把一個圖形繞某一點旋轉后，能夠與原圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的概念，是解題的關鍵．【詳解】解：A、繞某一點旋轉后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形，故不符合題意；B、繞某一點旋轉后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形，故不符合題意；C、繞某一點旋轉后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形，故不符合題意；D、繞某一點旋轉后，能夠與原圖形重合，是中心對稱圖形，故符合題意；故選：D．2.是一種基于人工智能技術的深度搜索引擎或數據分析工具，專注于通過深度學習和大數據處理技術，提供更精準、智能的搜索和分析服務．如果采用類似的架構，其參數數量可能在1750億左右，數據1750億用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了科學記數法的表示方法，科學記數法的表現形式為的形式，其中，為整數，確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，是非負數，當原數絕對值小于1時，是負數，表示時關鍵是要正確確定的值以及的值．【詳解】解：1750億，故選：A．3.已知是方程的兩個實數根，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了一元二次方程根與系數的關系，利用根與系數的關系求解即可，解題的關鍵是熟記：一元二次方程的兩個根為，，則，．【詳解】解：∵，是方程兩個實數根，∴．故選：A．4.計算（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查有理數冪，根據相同的數相加，用乘法，相同的數相乘用乘方，進行作答即可．【詳解】解：；故選D．5.如圖，在中，是外角的平分線，且，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形外角的性質；由角平分線可求得，再由三角形外角的性質即可求解．【詳解】解：∵是外角的平分線，，∴；∵，，∴；故選：B．6.某校舉辦“漢字聽寫大賽”，7名學生進入決賽，他們所得分數互不相同，比賽共設3個獲獎名額，某學生知道自己的分數后，要判斷自己能否獲獎，他應該關注的統計量是()A.平均數 B.中位數 C.眾數 D.方差【答案】B【解析】【分析】由于比賽設置了3個獲獎名額，共有7名選手參加，故應根據中位數的意義分析．【詳解】解：因為3位獲獎者的分數肯定是7名參賽選手中最高的，而且7個不同的分數按從小到大排序后，中位數之后的共有3個數，故只要知道自己的分數和中位數就可以知道是否獲獎了．故選．【點睛】此題主要考查統計的有關知識，主要包括平均數、中位數、眾數、方差的意義．反映數據集中程度的統計量有平均數、中位數、眾數、方差等，各有局限性，因此要對統計量進行合理的選擇和恰當的運用．7.如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，若∠ACD＝32°，則∠BAD的度數是（）A.48° B.58° C.60° D.64°【答案】B【解析】【分析】如圖，連接BD.證明∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝32°即可解決問題.【詳解】解：如圖，連接BD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝32°，∴∠DAB＝90°﹣∠B＝58°，故選：B【點睛】此題考查了圓周角定理：直徑所對的圓周角是直角，同圓中同弧所對的圓周角相等.8.如圖，在中，，以為邊向三角形外作正方形，作于點，交對角線于點，連接．要求的周長，只需知道（）A.的長 B.的長 C.的長 D.的長【答案】B【解析】【分析】設與相交于H，設，，，利用正方形的軸對稱形得出，則可得出的周長為，證明，求出，，，證明，求出，，然后代入計算即可得出答案．【詳解】解∶設與相交于H，設，，，∵，∴，∵四邊形是正方形，∴B、E關于直線對稱，，，∴，∴的周長為，∵，，∴，∴，，又，∴，∴，即，解得，，∴，∵，∴，即，解得，，∴，即的周長為，故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，軸對稱等知識，明確題意，利用相似三角形求出，，是解題的關鍵．二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．）9.分解因式：________．【答案】【解析】【分析】本題考查了運用平方差公式進行因式分解，根據平方差公式進行分解即可．【詳解】解：．故答案為：

．10.如圖，直線，矩形的頂點在直線上，若，則的度數為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了平行線的性質、矩形的性質、三角形外角的定義及性質，延長交于點，由矩形的性質結合三角形外角的定義及性質得出，再由平行線的性質即可得解．【詳解】解：如圖，延長交于點，，∵四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∵直線，∴，故答案為：．11.若代數式有意義，則實數的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據二次根式被開方數為非負數得出，計算即可得解．【詳解】解：由題意得：，解得：．故答案為：．12.若扇形的圓心角為，半徑為4，則該扇形的面積是_________（結果保留）．【答案】##【解析】【分析】本題考查了扇形的面積公式，根據扇形面積公式計算即可得解，熟練掌握扇形面積公式是解此題的關鍵．【詳解】解：由題意可得：該扇形的面積是，故答案為：．13.已知直線，那么以點為圓心，為半徑的圓與這條直線共__個交點．【答案】【解析】【分析】本題考查了平面直角坐標系中兩點之間的距離公式、一元二次方程根的判別式、圓的基本性質．設以點為圓心，為半徑的圓上的點的坐標為，根據圓上的點到圓心的距離等于半徑可得，把代入可得關于的一元二次方程，根據一元二次方程根的判別式可知方程有個不相等的實數根，所以直線與圓有個交點．【詳解】解：設以點為圓心，為半徑的圓上的點的坐標為，根據題意可得：，把代入，可得：，整理得：，，，，，一元二次方程有個不相等的實數根，直線，那么以點為圓心，為半徑的圓與這條直線共有個交點．故答案為：

．14.小華整理三疊數量相同的練習本（每疊至少本），操作如下：第一步：從左疊拿本放入中間；第二步：從右疊拿本放入中間；第三步：左疊現有幾本，就從中間拿回幾本放入左疊．請問最終中間疊剩下的練習本數量為______．【答案】本【解析】【分析】本題了列代數式，認真審題理解各種語句間數量關系是解題的關鍵．根據題意設練習本共有本，則每堆練習本本（），再根據題要求，步步列出數據數值解答即可．【詳解】解：由分布左、中、右三堆練習本，每堆牌不少于本，且各堆練習本的本數相同，設練習本共有本，則每堆練習本本（），第一步：從左疊拿本放入中間，則左：（本），中：（本），右本；第二步：從右疊拿本放入中間，則左：（本），中：（本），右（本）；第三步：左疊現有幾本，就從中間拿回幾本放入左疊，則左：（本），中：（本），右（本）；所以，中間一堆練習本現有的本數為（本），故答案為：本．15.將正方體的一種展開圖如圖方式放置在直角三角形紙片上，若小正方形的邊長為1，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，如圖，由題意可知，，，，，證明，得到，即，求出，即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：如圖：由題意可知，，，，，∵，∴，∴，即，解得：，∴，故答案：．16.如圖，將反比例函數的圖像繞著坐標原點順時針旋轉，旋轉后的圖像與軸交于，若，則______．【答案】【解析】【分析】作出點A旋轉前的對應點B，根據旋轉的性質可得，，過點B作軸于點C，根據得出，根據勾股定理求出，即可得出點B的坐標，再用待定系數法求解即可．【詳解】解：設點A旋轉前的對應點為點B，則，∵，∴，∴，過點B作軸于點C，∵，∴，則，根據勾股定理可得：，則，解得：，負值舍去，∴，∴，把代入得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，解直角三角形，求反比例函數解析式，解題的關鍵是掌握旋轉前后對應點到旋轉中心連線相等，所成的夾角等于旋轉角，勾股定理，以及用待定系數法求解函數表達式的方法．17.如圖，四邊形的對角線、相交于點，且，，，，則四邊形的面積為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了四邊形的面積，解直角三角形等知識，，求出，，設，則，在中，，在中，，根據求出，再求出，再根據即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，設，則，在中，，在中，，∵，∴，設，則，整理得：，∴，解得：，（不合題意，舍去），經檢驗，是原方程的解，∴，∴，∴，故答案為：．18.約定，當時，代數式的值記為，當時，代數式的值記為．若，且，則的值為________．【答案】8【解析】【分析】本題考查了二次函數的性質和整體代入求值．解題的關鍵是由可以得到拋物線的對稱性．由拋物線的對稱軸得到，推出，再整體代入中便可求解．【詳解】解：設，，由拋物線的對稱性可得：，化簡得：，又，，．故答案為：8．三、解答題（本大題共有10小題，共96分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、解題過程或演算步驟）19.計算：（1）；（2）．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】本題考查零指數冪、特殊三角函數值、負整數指數冪以及分式的混合運算．解題的關鍵是熟練掌握相關運算法則并正確運用．分別根據零指數冪、特殊三角函數值、負整數指數冪的運算法則計算各項，再進行加減運算．先對括號內的式子進行通分計算，再將除法轉化為乘法進行約分計算．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．20.解不等式組，并寫出滿足條件的正整數解．【答案】不等式組的解集為；正整數解為1，2【解析】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，再寫出正整數解即可．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為，正整數解為1，2．21.某校為增強學生身體素質，以“陽光運動，健康成長”為主題開展體育訓練，并對學生進行專項體能測試，以下是某次八年級男生引體向上測試成績的抽樣與數據分析過程．【收集數據】隨機抽取若干名男生的測試成績．【整理數據】將抽取的成績進行整理，用（引體向上個數）表示成績，分成四組：組，組，組，組．【描述數據】根據抽取的男生成績，繪制出如下不完整的統計圖．根據以上信息，解答下列問題：（1）求組人數，并補全條形統計圖；（2）八年級360人中，估計引體向上每分鐘不低于10個的有多少人？（3）從眾數、中位數、平均數中任選一個，說明其意義．【答案】（1）14；見詳解（2）162（3）見詳解【解析】【分析】（1）用A組的頻數除以A組的頻率，可得樣本容量，再用樣本容量分別減去其它三組的頻數，即可得出C組的頻數，進而補全條形統計圖；（2）用400乘樣本中成績不低于10個的人數所占比例即可；（3）根據平均數、中位數和眾數解答即可．本題考查頻數分布直方圖，中位數、眾數、方差和加權平均數，理解中位數、眾數、方差的意義以及和加權平均數的計算方法是解決問題的關鍵．【小問1詳解】解：樣本容量為：，故C組人數為：（人），補全條形統計圖如下：【小問2詳解】（人），答：估計該校八年級參加測試的360名男生中成績不低于10個的人數大約有162人；【小問3詳解】平均數表示抽取的40名學生的平均成績；眾數表示抽取的40名學生中得分在某個分數的人數最多；中位數表示取的40名學生中，將成績從小到大排列后，位于中間位置的成績（答案不唯一，任選其中一個說明即可）．22.為了弘揚雷鋒精神，某校組織“學雷鋒，爭做新時代好少年”的宣傳活動．根據活動要求，每班需要2名宣傳員，某班班主任決定從甲、乙、丙、丁4名同學中隨機選取2名同學作為宣傳員．（1）“甲、乙同學都被選為宣傳員”是（填“必然”“不可能”“隨機”）事件；（2）請用畫樹狀圖法或列表法，求甲、乙同學都被選為宣傳員的概率．【答案】（1）隨機（2）【解析】【分析】本題考查了隨機事件、利用列舉法求概率，熟練掌握列舉法是解題關鍵．（1）根據隨機事件的定義“在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，稱為隨機事件”即可得；（2）先畫出樹狀圖，從而可得從甲、乙、丙、丁4名同學中隨機選取2名同學作為宣傳員的所有等可能的結果，再找出甲、乙同學都被選為宣傳員的結果，然后利用概率公式計算即可得．【小問1詳解】解：因為“甲、乙同學都被選為宣傳員”有可能發生，也有可能不發生，所以“甲、乙同學都被選為宣傳員”是隨機事件，故答案為：隨機．【小問2詳解】解：由題意，畫出樹狀圖如下：由圖可知，從甲、乙、丙、丁4名同學中隨機選取2名同學作為宣傳員共有12種等可能的結果，其中，甲、乙同學都被選為宣傳員的結果有2種，則甲、乙同學都被選為宣傳員的概率為，答：甲、乙同學都被選為宣傳員的概率為．23.某學習要添置一批圓珠筆和簽字筆，計劃用200元購買圓珠筆，用280元購買簽字筆．已知一支簽字筆比一支圓珠筆貴1元．該學校購買的圓珠筆和簽字筆的數量能相同嗎？（1）根據題意，甲和乙兩同學先假設該學校購買的圓珠筆和簽字筆的數量能相同，并分別列出的方程如下：；1，根據兩位同學所列的方程，請你分別指出未知數x，y表示的意義：x表示；y表示．（2）任選其中一個方程說明該學校購買的圓珠筆和簽字筆的數量能否相同．【答案】（1）x表示圓珠筆的單價；y表示所購圓珠筆的數量；（2）該校購買的圓珠筆和簽字筆的數量能相同．【解析】【分析】（1）由一支簽字筆比一支圓珠筆貴1元且該學校購買的圓珠筆和簽字筆的數量能相同，即可得出x、y表示的意義；（2）選第一個分式方程，解之并檢驗后即可得出結論．【小問1詳解】解：∵一支簽字筆比一支圓珠筆貴1元，該學校購買的圓珠筆和簽字筆的數量能相同，∴x表示圓珠筆的單價，y表示所購圓珠筆（簽字筆）的數量．故答案為：x表示圓珠筆的單價；y表示所購圓珠筆的數量．【小問2詳解】選第一個分式方程＝，去分母得：200（x+1）＝280x，解得：x＝，當x＝時，＝80，∴經檢驗，x＝為方程的解，且符合題意．答：該校購買的圓珠筆和簽字筆的數量能相同．【點睛】本題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是：（1）根據相等的量找出x、y表示的意義；（2）熟練掌握解分式方程的方法．24.如圖，在中，E，F是對角線BD上的兩點（點E在點F左側），且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當，，時，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、銳角三角函數定義等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．（1）證，運用平行四邊形的性質得，再證，得，即可得出結論；（2）由銳角三角函數定義和勾股定理求出，，再證，則，得，求出，進而得出答案．【小問1詳解】證明：，，，，四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】解：在中，，設，則，由勾股定理得：，解得：或（舍去），，，由（1）得：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，設，則，，解得：或,（舍去），即，由（1）得：，，．25.已知在中，，，，以邊為直徑作，與邊交于點，點為邊的中點，連接．（1）求證：是的切線；（2）點為直線上任意一動點，連接．當時，求的長；【答案】（1）見解析（2）或【解析】【分析】（1）連接，，由是的直徑，可得，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據等腰三角形性質可得，進而可得，即，再利用切線的判定定理即可證得結論；（2）分兩種情況：當點在線段上時，過點作于點，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；當點在的延長線上時，過點作于點，運用勾股定理和解直角三角形即可．【小問1詳解】證明：如圖，連接，，是的直徑，，，點為邊的中點，，，，，，即，，即，，是的半徑，是的切線；【小問2詳解】解：當點在線段上時，如圖，過點作于點，在中，，設，，，，，，，解得：，，，即，；當點在的延長線上時，如圖，過點作于點，，，設，則，在中，，即，解得：，（舍去），，，，，設，則，在中，，即，解得：，（舍去），；綜上所述，的長為或；【點睛】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定定理，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形面積，乘法公式等．熟練掌握圓的相關性質和解直角三角形等是解題關鍵．26.已知二次函數．（1）若函數圖象經過點，解決下列問題：①求該二次函數的表達式；②若將平面內一點向左平移個單位，到達圖象上的點；若將點向右平移個單位，則到達圖象上的點，求點坐標．（2）設點，是該函數圖象上的兩點，若，求證：．【答案】（1）①；②（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查了待定系數法、二次函數圖像的性質、配方法的應用等知識點，掌握二次函數圖像的性質成為解題的關鍵．（1）①直接將代入求得a即可解得；②先根據平移表示出B、C兩點的坐標，然后根據二次函數圖像的對稱性和二次函數的性質即可解答；（2）由可得，則有，，再用表示出可得，然后運用配方法解答即可．【小問1詳解】解：①將代入可得，解得：，∴該二次函數的表達式為；②∵將平面內一點向左平移個單位，則與圖象上的點重合；若將點A向右平移個單位，則與圖象上的點重合，∴，∵，∴拋物線的對稱軸為：，∴，解得：，把代入，得，即．【小問2詳解】證明：∵設點，是該函數圖象上的兩點，∴∴，，∴，∵，∴，即．27.我們知道能被3整除的數的規律，設是一個三位數，若可以被3整除，則這個數就能被3整除．例如，三位數108，，9可以被3整除，108就能被3整除．【發現】將三位數去掉末尾數字得到兩位數，再用減去的2倍所得的差為．若能被7整除，則三位數就能被7整除．【驗證】如，對于三位數364，，28可以被7整除，364就能被7整除．（1）用上述方法判斷455能否被7整除？【探究】（2）請用含，，的代數式表示；（3）結合（2）論證“發現”中的結論正確．【遷移】（4）下列結論正確的是．（填序號）①在三位數中，若滿足是11的倍數，則是11的倍數；②在三位數中，若滿足是11的倍數，則是11的倍數；③在三位數中，若滿足是11的倍數，則是11的倍數；【答案】（1）455能被7整除；（2）；（3）見解析；（4）①【解析】【分析】本題考查了數的整除、整式加減的應用、有理數的混合運算、列代數式，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）先求出，結合能夠被整除即可得解；（2）根據題意表示出代數式即可；（3）由（2）可得，由題意可得（為整數），推出，表示出，