山東省滕州市第一中學(xué)20242025學(xué)年高二下學(xué)期3月單元過關(guān)考試數(shù)學(xué)一、單選題1．下列各式正確的是（

）A．（為常數(shù)） B．C． D．2．一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的關(guān)系為，設(shè)其在內(nèi)的平均速度為，在時(shí)的瞬時(shí)速度為，則（

）A． B． C． D．3．如圖，一圓形信號燈分成四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有3種不同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號總數(shù)為（

）A．18 B．24 C．30 D．424．已知函數(shù)y=f（x）的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（）A．B．C． D．5．函數(shù)在處有極大值，則a的值為（

）A．2 B．6 C．2或6 D．以上答案都不對6．長征五號B運(yùn)載火箭是專門為中國載人航天工程空間站建設(shè)而研制的一款新型運(yùn)載火箭，是中國近地軌道運(yùn)載能力最大的新一代運(yùn)載火箭，長征五號有效載荷整流罩外形是馮·卡門外形（原始卵形）+圓柱形，由兩個(gè)半罩組成，某學(xué)校航天興趣小組制作整流罩模型，近似一個(gè)圓柱和圓錐組成的幾何體，如圖所示，若圓錐的母線長為6，且圓錐的高與圓柱高的比為，則該模型的體積最大值為（

）A． B． C． D．7．已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù).若對任意實(shí)數(shù)都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．8．已知定義在上的函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，，，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．關(guān)于直線對稱 B．C．的周期為4 D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．元集合的子集共有個(gè)B．若把英文“hero”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有23種C．3個(gè)班分別從5個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同的選法的種數(shù)為D．2160的正因數(shù)共有40個(gè)10．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的最小值為，沒有最大值 D．函數(shù)的極小值點(diǎn)為11．“切線放縮”是處理不等式問題的一種技巧．如：在點(diǎn)處的切線為，如圖所示，易知除切點(diǎn)外，圖象上其余所有的點(diǎn)均在的上方，故有．該結(jié)論可構(gòu)造函數(shù)并求其最小值來證明．顯然，我們選擇的切點(diǎn)不同，所得的不等式也不同．請根據(jù)以上材料，判斷下列命題中正確的命題是（

）A．， B．，，C．， D．，三、填空題12．函數(shù)圖像的對稱中心為.13．已知函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．【2016高考新課標(biāo)2改編】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為.四、解答題15．已知函數(shù)，.(1)求曲線在處切線的方程；(2)若直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)且與曲線相切，求直線l的方程.16．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．已知函數(shù)在處有極值.(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求的取值范圍；(2)在（1）的條件下，求證：.19．已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.題號12345678910答案CBABBCBBABDBD題號11答案ABD1．C利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則來進(jìn)行求導(dǎo)即可作出判斷.【詳解】因?yàn)楫?dāng)為常數(shù)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)椋訠錯(cuò)誤；因?yàn)椋訡正確；因?yàn)椋訢錯(cuò)誤；故選：C.2．B根據(jù)平均變化率和瞬時(shí)變化率的定義，可分別計(jì)算求得，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)平均速度定義可知，在內(nèi)的平均速度為；在時(shí)的瞬時(shí)速度為；所以.故選：B3．A根據(jù)涂色問題，按照使用顏色種數(shù)進(jìn)行分類，再結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可得總的方法數(shù).【詳解】若用3種不同的顏色燈帶，故有兩塊區(qū)域涂色相同，要么，要么相同，有2種方案，則不同的信號數(shù)為；若只用2種不同的顏色燈帶，則顏色相同，顏色相同，只有1種方案，則不同的信號數(shù)為；則不同的信號總數(shù)為.故選：A．4．B【詳解】由y＝f′(x)的圖象知，y＝f(x)的圖象為增函數(shù)，且在區(qū)間(－1,0)上增長速度越來越快，而在區(qū)間(0,1)上增長速度越來越慢．故選B.5．B由函數(shù)在處有極大值，求得或，再分類討論，結(jié)函數(shù)極值的概念進(jìn)行判定，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極大值，則，即，解得或，（1）當(dāng)時(shí)，可得，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，不符合題意（舍去）；（2）當(dāng)時(shí)，可得，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，符合題意，綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處有極大值.故選：B.6．C設(shè)出圓錐的高，由圓錐與圓柱的體積公式列式，由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后求解最值，【詳解】設(shè)圓錐的高為，則圓柱的高為，底面圓半徑為，則該模型的體積，令，則，由得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故選：C7．B依題意原等價(jià)于不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而得解；【詳解】解：不等式，等價(jià)于不等式，構(gòu)造函數(shù)，則，若對任意實(shí)數(shù)都有，則，在上單調(diào)遞增，又，故即，故不等式的解集是，故選：B．8．B由題意，根據(jù)函數(shù)的對稱性，合理賦值即可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)可得、，通過合理賦值即可判斷BCD.【詳解】由，得①，②，得③，由①②③，得，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；由，得，令，得；由，得，令，得，∴④，又⑤，令，得，故B錯(cuò)誤；④⑤兩式相加，得，得，所以，即函數(shù)的周期為4，故C正確；由，令，得，所以，所以，故D正確.故選：B9．ABDA.元集合的子集共有個(gè)判斷；B.把h，e，r，o全排列有判斷；C.由每個(gè)班有5種選法判斷.D.由判斷.【詳解】A.元集合的子集共有個(gè)，故正確；B.把h，e，r，o全排列有，其中正確的有一個(gè)，所以可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有23種，故正確；C.3個(gè)班分別從5個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同的選法的種數(shù)為，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)椋?160的正因數(shù)共有個(gè)，故正確；故選：ABD10．BD對于A，注意到可知，由此可判斷；對于B，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可判斷其正確；對于C，舉反例排除即可；對于D，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系可判斷其正確.【詳解】對于A，因?yàn)椋裕獾茫实亩x域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；對于B，，令，得，故在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，令，則，故的最小值不為，故C錯(cuò)誤；對于D，令，得或，所以在和上單調(diào)遞減，令，得，故結(jié)合兩側(cè)的單調(diào)性可知是的極小值點(diǎn)，故D正確.故選：BD.11．ABD利用可得，由知A正確；由知B正確；利用反例可說明C錯(cuò)誤；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，知D正確.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，由得：，即；，A正確；對于B，由得：，即，，B正確；對于C，由得：；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，即不成立，C錯(cuò)誤；對于D，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；由得：，，，，即，，D正確.故選：ABD.12．求的對稱軸，再檢驗(yàn).【詳解】，其對稱軸為，而，，故圖像的對稱中心為故答案為：13．【詳解】函數(shù)在上不單調(diào),即在有零點(diǎn)，即當(dāng)，，故故答案為：14．18【詳解】由題意，要使小明從街道的處出發(fā)到處最短，小明需走兩縱兩橫四段路，共有條不同的路，再從處到處最短共有條路，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為，故答案為.15．(1)(2)【詳解】（1），所以，所以，，所以切線方程為：，整理得.（2），所以，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線斜率為，則切線方程為：，又因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以將代入切線方程得，解得，所以切線方程為：，整理得.16．(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）由函數(shù)在上是減函數(shù)，知恒成立，．由恒成立可知恒成立，則，設(shè)，則，由，知，函數(shù)在上遞增，在上遞減，∴，∴．17．(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)椋摵瘮?shù)的定義域?yàn)椋矣梢阎傻茫獾?所以，，由，可得或，由，可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t，.（2）解：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以的極大值為，的極小值為且，，，若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，.則需滿足，或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍18．(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意..由可得：.令，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,.又當(dāng)時(shí)，，，結(jié)合的單調(diào)性，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，須滿足，解得.當(dāng)時(shí)，，（證明，令，則.令，得；令，得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，證得）由零點(diǎn)的存在性定理可得：在和上各有一個(gè)零點(diǎn)綜上可得：當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，，所以的取值范圍為.（2）證明：由（1）可知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，，解得，，則.設(shè)，則，解得，.要證，只要證，即證.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)