第三章空間向量與立體幾何

SANZHANG3.2立體幾何中的向量方法

3.2.1直線的方向向量及平面的法向量

卜課前自主預習

某］基礎導學

1.用向量表示直線的位置

直線1上一點A

條件

表示直線/方向的向量m即直線/的回方向向量)

在直線Z上取AB=a,那么對于直線/上任意一點P,一定存在實數

形式

t使得帝=回語

定位置點A和向量a可以確定直線的位置

作用

定點可以具體表示出/上的任意一點

2.用向量表示平面的位置

(1)通過平面a上的一個定點和兩個向量來確定

條件平面a內兩條勤隧直線的方向向量a,方和交點。

形式對于平面a上任意一點P,存在有序實數對(x,y),使得徐=回xa+vb

(2)通過平面a上的一個定點和法向量來確定

平面的法向量園直線直線,的方向向量,叫做平面a的法向量

確定平面位置過點A,以向量a為法向量的平面是完全確定的

3.空間中平行、垂直關系的向量表示

設直線/,〃2的方向向量分別為a,5，平面a,4的法向量分別為小V,則

線線平行1//加=?囪4〃?0回a=H>(AGR)

線面平行1//a臺網a_L〃臺碼比〃=0

面面平行a//60四“〃一?回“=kv(k￡R)

線線垂直一臺園臺回“0=0

線面垂直1J_a臺畫a〃〃臺回a=%(2￡R)

面面垂直aJ_?〃~LP0回〃.-=0

京]自診小測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“義”)

(1)直線上任意兩個不同的點A,B表示的向量宓都可作為該直線的方向向

量.()

(2)若向量孫，〃2為平面a的法向量，則以這兩個向量為方向向量的兩條不重

合直線一定平行.()

(3)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直線與平面平

行.()

(4)若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反.()

答案(1)J(2)V(3)V(4)V

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

(1)若點A(—1,0,1),3(1,4,7)在直線/上，則直線/的一個方向向量的坐標可

以是.

(2)已知a=(2,-4,-3)"=(1,-2,-4)是平面a內的兩個不共線向量.如

果〃=(1,加，〃)是。的一個法向量，那么,n=.

(3)(教材改編Pio4T2)設平面a的法向量為(1,3,-2),平面§的法向量為(-2,

-6,k),若a〃[3,則攵=.

(4)已知直線6，L的方向向量分別是S=(L2,-2),上=(一3,-6,6),則

直線/”L的位置關系為.

答案(1)(2,4,6)(2)10(3)4(4)平行

卜課堂互動探究

探究1點的位置向量與直線的方向向量

例1⑴若點4(一；，0,；)，8?2,§在直線/上，則直線/的一個方向向

量為()

A.停,”)B.RL|)

c.停,y0D.(LI，.

(2)已知。為坐標原點，四面體OABC的頂點A(0,3,5),8(2,2,0),C(0,5,0),

直線BO〃CA,并且與坐標平面xOz相交于點。，求點。的坐標.

［解析］⑴葩=(；,2,1)一(一/。，g=(1,2,3),(；,|,lj=|(l,2,3)=1

AB,又因為與宓共線的非零向量都可以作為直線/的方向向量.故選A.

(2)由題意可設點。的坐標為(x,0,z),

則皮？=(x—2,—2,z),。=(0,—2,5).

x—2=0,x=2,

VBD//CA,：.］.".1

z=5,［z=5,

二點。的坐標為(2,0,5).

［答案］(1)A(2)見解析

拓展提升

求點的坐標：可設出對應點的坐標，再利用點與向量的關系，寫出對應向量

的坐標，利用兩向量平行的充要條件解題.

【跟蹤訓練1】已知點A(2,4,0),B(l,3,3),在直線AB上有一點Q,使得荷

=~2QB,求點。的坐標.

解由題設施=—2在，

設。(x，y>z),則(x—2,y—4,z)=—2(l—x,3—y,3—z),

(x—2=-2(1—X),pr=O,

.?Jy—4=-2(3—y),解得｛y=2,...。3，2,6).

lz=—2(3—z),lz=6,

探究2求平面的法向量

例2如圖，ABC。是直角梯形，ZABC=90°,SAJ_平面ABC。，SA=AB=

BC=\,求平面SCO與平面SB4的法向量.

［解］SAD,AB,AS是三條兩兩垂直的線段，...以A為原點，分別以質,

AB,為的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立坐標系,

則A(0,0,0),珞0,0),C(l,l,0),5(0,0,1),9=$0,是平面SAB的

法向量,

設平面SCO的法向量〃=(1,九U),

則〃?施=(1,2,1,0^=1+2=0,

1

.?.4=

2,

n-DS=(1,2,w)-f—0,lj=-,1+w=0,

._1._-2)￡?

??n2,??ft1,

綜上，平面SC。的一個方向向量為"=(1,-I，，，平面SB4的一個法向

量為宓=g0,0).

拓展提升

設直線/的方向向量為“=(?,b\,ci),平面a的法向量。=(。2,。2，C2),

則n3a=kv3a\=ka2,b\=kb2,c\=kcz，其中kGR,

平面的法向量的求解方法：

①設出平面的一個法向量為〃=(x,y,z).

②找出(或求出)平面內的兩個不共線的向量的坐標：a=(ai,bx,ci),b=(a2,

bl,C2).

71,=0,

③依據法向量的定義建立關于x,y,Z的方程組》c

nb=Q.

④解方程組，取其中的一個解，即得法向量，由于一個平面的法向量有無數

多個，故可在方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量.

【跟蹤訓練2】在正方體ABC。一AiBCQi中，求證：歷是平面AC。的

一個法向量.

證明設正方體的棱長為1,分別以5I,DC,應為單位正交基底建立如圖所

示的空間直角坐標系，

則龐=(1,1,1),JC=(-1,1,0),葩=(一1,0,1).于是有龐?衣=0.所以房」化

即DB\LAC.

同理，DB|_LAO],又ACCAOi=A,所以，平面ACDi,從而是平面ACA

的一個法向量.

探究3利用方向向量、法向量判斷線、面

關系

例3(1)設4,8分別是不重合的直線/”/2的方向向量，根據下列條件判斷

八與/2的位置關系：

①a=(2,3,11),0=(—6,—9,3);

②。=(5,0,2),6=(0,4,0)；

(3)a=(-2,1,4),-=(6,3,3).

(2)設"，。分別是不同的平面a,4的法向量，根據下列條件判斷a,4的位

置關系：

①“=(1,—1,2),o=(3,2,一；)；

②“=(0,3,0),v=(0,-5,0)；

③“=(2,-3,4),0=(4,-2,1).

(3)設u是平面a的法向量，a是直線/的方向向量(Ea),根據下列條件判斷a

和/的位置關系：

①“=(2,2,11),a=(—3,4,2)；

②“=(0,2,13),a=(0,—8,12)；

③“=(4,1,5),Q=(2,-1,0).

［解］(1)①因為a=(2,3,—1),6=(—6,—9,3).所以Q=一’,所以a〃方，

所以

②因為a=(5,0,2),6=(0,4,0),所以Q力=0,

所以a_LA,所以/山2.

③因為a=(—2,L4),6=(6,3,3),所以a與萬不共線，也不垂直，所以6與

/2的位置關系是相交或異面.

(2)①因為u=(l,—1,2),。=(3,2,一，，所以w-v=3—2—1=0,所以u

±v,所以a,民

3

②因為“=(0,3,0),0=(0,—5,0),所以"=一卷，

所以〃〃所以a〃夕.

③因為〃=(2,-3,4),。=(4,-2,1).

所以“與。既不共線，也不垂直，所以a,夕相交.

(3)①因為w=(2,2,-1),a=(-3,4,2),所以ira=-6+8—2=0,

所以〃_La,所以直線/和平面a的位置關系是/〃a.

②因為?=(0,2,—3),。=(0,—8,12),所以〃=—%,所以u//a,所以/

_La.

③因為“=(4,1,5),a=(2,—1,0),所以〃和a不共線也不垂直，所以/與a

斜交.

拓展提升

利用向量判斷線、面關系的方法

(1)兩直線的方向向量共線(垂直)時，兩直線平行(垂直)；否則兩直線相交或異

面.

(2)直線的方向向量與平面的法向量共線時，直線和平面垂直；直線的方向向

量與平面的法向量垂直時，直線在平面內或線面平行；否則直線與平面相交但不

垂直.

(3)兩個平面的法向量共線(垂直)時，兩平面平行(垂直)；否則兩平面相交但不

垂直.

【跟蹤訓練3】根據下列條件，判斷相應的線、面位置關系：

(1)直線，2的方向向量分別為4=(1，-3,-1),6=(8,2,2);

(2)平面a,4的法向量分別是"=(1,3,0),0=(—3,-9,0)；

(3)直線/的方向向量，平面a的法向量分別是。=(1,-4,一3),“=(2,0,3)；

(4)直線/的方向向量，平面a的法向量分別是a=(3,2,1),u=(~l,2,-1).

解(1)因為a=(l,-3,-1),6=(8,2,2),所以。/=8—6—2=0,所以a

-Lb,所以

(2)因為w=(l,3,0),0=(—3,—9,0),所以。=—3〃，所以。〃“，所以a〃尸.

(3)因為a=(l,—4,—3),“=(2,0,3),所以(左GR)且所以a

與"既不共線也不垂直，即/與a相交但不垂直.

(4)因為Q=(3,2,1),?=(—1,2,—1),所以G“=-3+4—1=0,所以a_L“,

所以/Ua或/〃a.

1

f----------------------1嬴黛攆升-----------------------

1.空間中一條直線的方向向量有無數個.

2.線段中點的向量表達式：對于游三施，當時，我們就得到線段中點的

向量表達式.設點M是線段A3的中點，則畫三/湯+物，這就是線段A3中點

的向量表達式.

3.利用待定系數法求平面的法向量，求出向量的橫、縱、豎坐標是具有某種

關系的，而不是具體的值，可設定某個坐標為常數，再表示其他坐標.

4.向量法證明線面平行

(1)設〃是平面a的一個法向量，v是直線/的方向向量，則v1n且/上至少

有一點A在a,貝!!/〃a.

(2)根據線面平行的判定定理：“如果平面外直線與平面內的一條直線平行，

那么這條直線和這個平面平行”，要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平

面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量.

(3)根據共面向量定理可知，如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量，

那么這個向量與這兩個不共線向量確定的平面必定平行，因此要證明平面外一條

直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向

量線性表示即可.

5.向量法證明面面平行

(1)在一個平面內找到兩個不共線的向量都與另一個平面的法向量垂直，那么

這兩個平面平行.

(2)利用平面的法向量，證明面面平行，即如果平面a,方，平面.，且a

//b,那么a〃及

卜隨堂達標自測

1.若平面a,4的法向量分別為a=(；，—1,3),6=(-1,2,—6),則()

A.a〃BB.a與4相交但不垂直

C.a邛D.a〃4或a與尸重合

答案D

解析b=-2a,.,.b//a,：.a〃B或a馬［3重合.

2.在長方體ABC。-ABiGA中，AB=BC=2,AAt=y/2,E,尸分別是平

面A山iG。”平面BCGBi的中心，以點A為原點，建立如圖所示的空間直角坐

標系，則直線E/7的方向向量可以是()

B.(1,0,啦)

C.(-1,0,6)D.(2,0,一的

答案D

解析由已知得E(l,l,a),7^2，1，孝|，所以I胡=(2,1,孝)一(1,1,啦)

=(1,0,—孝結合選項可知，直線EF的方向向量可以是(2,0,一也).

3.已知A(l,0,0),B(0,l,0),C(0,0,l),則平面ABC的一個單位法向量是()

答案D

解析由葩=(-1,1,0),衣=(-1,0,1),結合選項，驗證知應選D.

4.若直線/〃a,且/的方向向量為(2,平面a的法向量為(1,2),

貝"m=.

答案一8

解析因為直線/〃a,所以直線/的方向向量與平面a的法向量垂直，所以

(2,機2)=2+5+2=0,解得機=-8.

5.在正方體ABCD-AxBxC\D\中，P是DD\的中點，O為底面ABCD的中

心，求證：窗是平面附。的法向量.

證明建立空間直角坐標系如右圖所示，

不妨設正方體的棱長為2,則4(2,0,0),P(0,0,l),C(0,2,0),

51(2,2,2),0(1,1,0),于是滴=(1,1,2),"(一2,2,0),AP={-2,0,1),

二密式=-2+2=0,密加-2+2=0.

：.0B{±AC,0B.LAP,gpOBi±AC,OB\LAP.

,：ACQAP=A,

，OB]_L平面朋C,即就是平面外。的法向量.

卜課后課時精練

A級：基礎鞏固練

一'選擇題

1.下列各結論中，正確的共有()

①同一平面的不同的法向量是共線向量；②若a是平面a的法向量，〃是平

面a內的向量，則ab=0；③設非零向量兒c均在平面a內，若。力=0,ac

=0,則a是平面a的法向量.

A.0個B.1個C.2個D.3個

答案C

解析①垂直于同一平面的直線平行，正確；②若一直線垂直于這個平面，

則這條直線垂直于平面內任一條直線，正確；③若b〃c,則不正確.

2.已知直線G的一個方向向量。=(2,4,x),直線/2的一個方向向量。=(2,

y,2),若同=6,且a_Lb,則x+y的值是()

A.-3或1B.3或一1C.-3D.1

答案A

解析|a|=y/22+42+x2=6,/.x=±4.

又a_LZ>,a'Z>=2X2+4y+2x=0,/.y=-1—%.

當x=4時，y=-3；當x=-4時，y=1,.,.x+y=-3或1.

3.下面各組向量為直線/1與，2的方向向量，則/1與一定不平行的是()

A.。=(1,2,—2),b=(—2,—4,4)

B.a=(l,O,O),)=(一3,0,0)

C.a=(2,30),〃=(4,6,0)

D.a=(—2,3,5),6=(—4,6,8)

答案D

解析八與，2不平行則其方向向量一定不共線.

A中，b=-2a；B中，b=-3a；C中，Z>=2a.故選D.

4.已知40,0,0),B(1,0,0),C(0,l,0),0(1/，x),若AOU平面ABC,則實數

x的值是()

A.-1B.0C.1D.2

答案B

解析易求得平面ABC的法向量”=(0,0,1),而而=(1,1,尤)，.?.當ADU平

面ABC時，^w=0..\1X0+1X0+x=0./.x=0.

5.若直線/的方向向量為a=(l,0,2),平面a的法向量為“=(一2,0,-4),

則()

A.I//aB./J_a

C.I"D./與a斜交

答案B

解析2a,.\u//a,「?/_La.故選B.

6.在如圖所示的坐標系中，ABC。一ABIGDI為正方體，給出下列結論：

/A(d).......'"/D>

①直線。口的一個方向向量為(0Q1)；

②直線BC\的一個方向向量為(0,1,1)；

③平面ABBA的一個法向量為(0,1,0)；

④平面BiCD的一個法向量為(1,1,1).

其中正確的個數為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案C

解析DD\//AA\,M=(0,0,1)；BC\//AD],葩=(0,1,1),直線平面

ABBiAi,森=(0,1,0)；G點坐標為(1,1,1),花與平面B1CD不垂直，，④錯誤.故

選C.

二、填空題

7.已知A,B,C三點的坐標分別為A(l,2,3),BQ,-1,1),C(3,九若

ABLAC,則％等于.

14

套案—

口木5

解析施=(1,-3,-2),AC=(2,2—2,2-3),,JABLAC,即松衣=0,

14

2—3(2—2)—2(2—3)=0,解得2=7.

8.已知棱長為1的正方體ABC。一A山iG2，則平面AC8的一個法向量為

答案(U，-1)

解析建立空間直角坐標系，如圖所示，貝ijA(lQO),5(1,1,0),C(0,l,0),

5(1」」)，

...衣=(一1,1,0),葩=(0,1,1).

設平面ACS1的一個法向量為〃=(x,y,z),則由〃_1_能，〃_L葩，

[—x+y=0,

得1?\令x=l,得〃=(1,1,-1).

ly+z=0,

9.若A(0,2,陽，從1,-1,1j,C(一2,1,§是平面a內的三點,

設平

面a的法向量a=(x,y,z),則x：y：z=.

答案2：3：(-4)

解析油=11,—3,一,)，衣=(一2,—1,一看)，

|x-3^-^z=0,

由a-AB=0,a-AC=Q,得J7

[―2光—y一手=0,

,4，

解得〈)

[z=-鏟

所以x：y：z=|y：y:(一%)=2：3:(—4).

三、解答題

10.在正方體A8CO—A|3iG2中，棱長為1，G,E,尸分別為AA”AB,

BC的中點，求平面GE/的一個法向量.

解如圖，以。為原點，DA,DC,DDi所在直線分別為x軸、y軸、.:軸建

立空間直角坐標系.

設平面GEf的法向量為〃=(九，y,z).

由〃，宏〃，應可得，

卜