人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊PAGEPAGE3§3.1橢圓3．1.1橢圓及其標準方程學習目標1.理解并掌握橢圓的定義及橢圓的標準方程.2.掌握用定義法、待定系數法和相關點法求橢圓的標準方程．知識點一橢圓的定義1．定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．2．焦點：兩個定點F1，F2.3．焦距：兩焦點間的距離|F1F2|.4．幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數)且2a>|F1F2|.知識點二橢圓的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形焦點坐標F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的關系b2＝a2－c2思考能否根據橢圓的標準方程，判定焦點位置？〖答案〗能．橢圓的焦點在x軸上?標準方程中含x2項的分母較大；橢圓的焦點在y軸上?標準方程中含y2項的分母較大．1．平面內到點F1(－4,0)，F2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓．(×)2．到平面內兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫做橢圓．(×)3．橢圓標準方程只與橢圓的形狀、大小有關，與位置無關．(×)4．橢圓的兩種標準形式中，雖然焦點位置不同，但都滿足a2＝b2＋c2.(√)一、求橢圓的標準方程例1求適合下列條件的橢圓的標準方程．(1)焦點在y軸上，且經過兩個點(0,2)和(1,0)；(2)兩個焦點的坐標分別是(0，－2)，(0,2)，并且橢圓經過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))；(3)經過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))).解(1)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．又橢圓經過點(0,2)和(1,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))所以所求的橢圓的標準方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1.(2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由橢圓的定義知，2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))2)＝2eq\r(10)，即a＝eq\r(10)，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.(3)方法一①當橢圓焦點在x軸上時，可設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．依題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4).))由a>b>0，知不合題意，故舍去；②當橢圓焦點在y軸上時，可設橢圓的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．依題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2,a2)＋0＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).))所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1.方法二設橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝4.))所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，故橢圓的標準方程為eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1.反思感悟確定橢圓標準方程的方法(1)“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式．(2)“定量”是指確定a2，b2的具體數值，常根據條件列方程求解．跟蹤訓練1求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)經過兩點(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))；(2)過點(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同的焦點．解(1)方法一(分類討論法)若焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.若焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＝8，,a2＝4.))則a2<b2，與題設中a>b>0矛盾，舍去．綜上，所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.方法二(待定系數法)設橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．將兩點(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)因為所求橢圓與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點相同，所以其焦點在y軸上，且c2＝25－9＝16.設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又點(eq\r(3)，－eq\r(5))在橢圓上，所以eq\f(－\r(5)2,a2)＋eq\f(\r(3)2,b2)＝1，即eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.二、橢圓的定義及其應用例2已知P為橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1上一點，F1，F2是橢圓的焦點，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．解由已知得a＝2eq\r(3)，b＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(12－3)＝3，從而|F1F2|＝2c＝6，在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝4eq\r(3)，即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②由①②得|PF1|·|PF2|＝4.所以＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝eq\r(3).延伸探究若將本例中“∠F1PF2＝60°”變?yōu)椤啊螾F1F2＝90°”，求△F1PF2的面積．解由已知得a＝2eq\r(3)，b＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(12－3)＝3.從而|F1F2|＝2c＝6.在△PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，又由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2×2eq\r(3)＝4eq\r(3)，所以|PF2|＝4eq\r(3)－|PF1|.從而有(4eq\r(3)－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，解得|PF1|＝eq\f(\r(3),2).所以△PF1F2的面積S＝eq\f(1,2)·|PF1|·|F1F2|＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×6＝eq\f(3\r(3),2)，即△PF1F2的面積是eq\f(3\r(3),2).反思感悟橢圓定義的應用技巧(1)橢圓的定義能夠對橢圓上的點到焦點的距離進行轉化．(2)橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F2構成的△PF1F2，稱為焦點三角形，可以利用橢圓的定義，結合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解．跟蹤訓練2(1)已知F1，F2為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A，B兩點．若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________.〖答案〗8〖解析〗由直線AB過橢圓的一個焦點F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.(2)橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，F1，F2為橢圓的焦點，P是橢圓上一點．若＝eq\r(3)，求∠F1PF2的大小．解由已知得a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，設|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，①,m2＋n2－2mncosα＝4，②,\f(1,2)mnsinα＝\r(3)，③))①2－②得mn(1＋cosα)＝6，④eq\f(④,③)得eq\f(1＋cosα,\f(sinα,2))＝eq\f(6,\r(3))，即eq\f(2cos2\f(α,2),sin\f(α,2)·cos\f(α,2))＝2eq\r(3)，∴taneq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(α,2)＝30°，α＝60°，即∠F1PF2＝60°.三、與橢圓有關的軌跡問題例3(1)已知P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上一動點，O為坐標原點，則線段OP中點Q的軌跡方程為__________．〖答案〗x2＋eq\f(y2,2)＝1〖解析〗設Q(x，y)，P(x0，y0)，由點Q是線段OP的中點知x0＝2x，y0＝2y，又eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),8)＝1.所以eq\f(2x2,4)＋eq\f(2y2,8)＝1，即點Q的軌跡方程為x2＋eq\f(y2,2)＝1.(2)如圖所示，已知動圓P過定點A(－3,0)，并且在定圓B：(x－3)2＋y2＝64的內部與其內切，求動圓圓心P的軌跡方程．解設動圓P和定圓B內切于點M，動圓圓心P到兩定點A(－3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，所以動圓圓心P的軌跡是以A，B為左、右焦點的橢圓，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其軌跡方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1.反思感悟求軌跡方程的常用方法(1)直接法設出曲線上動點的坐標為(x，y)后，可根據幾何條件直接轉換成x，y間的關系式；(2)定義法若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可用待定系數法求出軌跡方程；(3)相關點法(代入法)有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去．跟蹤訓練3在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝eq\f(3,2)，曲線E過C點，動點P在曲線E上運動，且|PA|＋|PB|是定值．建立適當的平面直角坐標系，求曲線E的方程．解以AB的中點O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．由題意可知，曲線E是以A，B為焦點，且過點C的橢圓，設其方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．因為|AB|＝2，|AC|＝eq\f(3,2)，所以|BC|＝eq\r(|AC|2＋|AB|2)＝eq\f(5,2)，則2a＝|AC|＋|BC|＝eq\f(3,2)＋eq\f(5,2)＝4,2c＝|AB|＝2，所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.所以曲線E的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.1．橢圓eq\f(x2,25)＋y2＝1上一點P到一個焦點的距離為2，則點P到另一個焦點的距離為()A．5B．6C．7D．8〖答案〗D〖解析〗設橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，|PF1|＝2，結合橢圓定義|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8.2．已知橢圓4x2＋ky2＝4的一個焦點坐標是(0,1)，則實數k的值是()A．1B．2C．3D．4〖答案〗B〖解析〗橢圓方程可化為x2＋eq\f(y2,\f(4,k))＝1，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)>1，,\f(4,k)－1＝1，))解得k＝2.3．若方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數k的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．(0,2)C．(1，＋∞) D．(0,1)〖答案〗D〖解析〗∵方程x2＋ky2＝2，即eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,\f(2,k))＝1表示焦點在y軸上的橢圓，∴eq\f(2,k)>2，故0<k<1.故選D.4．已知橢圓的焦點在y軸上，其上任意一點到兩焦點的距離和為8，焦距為2eq\r(15)，則此橢圓的標準方程為________________．〖答案〗eq\f(y2,16)＋x2＝1〖解析〗由已知2a＝8,2c＝2eq\r(15)，所以a＝4，c＝eq\r(15)，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又橢圓的焦點在y軸上，所以橢圓的標準方程為eq\f(y2,16)＋x2＝1.5．橢圓的兩焦點為F1(－4,0)，F2(4,0)，點P在橢圓上，若△PF1F2的面積最大為12，則橢圓標準方程為__________．〖答案〗eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1〖解析〗如圖，當P在y軸上時△PF1F2的面積最大，∴eq\f(1,2)×8b＝12，∴b＝3.又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.1．知識清單：(1)橢圓的定義．(2)橢圓的標準方程．2．方法歸納：待定系數法、定義法、相關點法．3．常見誤區(qū)：(1)忽視橢圓定義中a，c的條件．(2)混淆不同坐標系下橢圓的兩種標準方程．§3.1橢圓3．1.1橢圓及其標準方程學習目標1.理解并掌握橢圓的定義及橢圓的標準方程.2.掌握用定義法、待定系數法和相關點法求橢圓的標準方程．知識點一橢圓的定義1．定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．2．焦點：兩個定點F1，F2.3．焦距：兩焦點間的距離|F1F2|.4．幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數)且2a>|F1F2|.知識點二橢圓的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形焦點坐標F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的關系b2＝a2－c2思考能否根據橢圓的標準方程，判定焦點位置？〖答案〗能．橢圓的焦點在x軸上?標準方程中含x2項的分母較大；橢圓的焦點在y軸上?標準方程中含y2項的分母較大．1．平面內到點F1(－4,0)，F2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓．(×)2．到平面內兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫做橢圓．(×)3．橢圓標準方程只與橢圓的形狀、大小有關，與位置無關．(×)4．橢圓的兩種標準形式中，雖然焦點位置不同，但都滿足a2＝b2＋c2.(√)一、求橢圓的標準方程例1求適合下列條件的橢圓的標準方程．(1)焦點在y軸上，且經過兩個點(0,2)和(1,0)；(2)兩個焦點的坐標分別是(0，－2)，(0,2)，并且橢圓經過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))；(3)經過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))).解(1)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．又橢圓經過點(0,2)和(1,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))所以所求的橢圓的標準方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1.(2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，由橢圓的定義知，2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))2)＝2eq\r(10)，即a＝eq\r(10)，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.(3)方法一①當橢圓焦點在x軸上時，可設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．依題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4).))由a>b>0，知不合題意，故舍去；②當橢圓焦點在y軸上時，可設橢圓的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．依題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2,a2)＋0＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).))所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1.方法二設橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝4.))所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1，故橢圓的標準方程為eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,5))＝1.反思感悟確定橢圓標準方程的方法(1)“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式．(2)“定量”是指確定a2，b2的具體數值，常根據條件列方程求解．跟蹤訓練1求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)經過兩點(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))；(2)過點(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同的焦點．解(1)方法一(分類討論法)若焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.若焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＝8，,a2＝4.))則a2<b2，與題設中a>b>0矛盾，舍去．綜上，所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.方法二(待定系數法)設橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．將兩點(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)因為所求橢圓與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點相同，所以其焦點在y軸上，且c2＝25－9＝16.設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又點(eq\r(3)，－eq\r(5))在橢圓上，所以eq\f(－\r(5)2,a2)＋eq\f(\r(3)2,b2)＝1，即eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.二、橢圓的定義及其應用例2已知P為橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1上一點，F1，F2是橢圓的焦點，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．解由已知得a＝2eq\r(3)，b＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(12－3)＝3，從而|F1F2|＝2c＝6，在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝4eq\r(3)，即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②由①②得|PF1|·|PF2|＝4.所以＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝eq\r(3).延伸探究若將本例中“∠F1PF2＝60°”變?yōu)椤啊螾F1F2＝90°”，求△F1PF2的面積．解由已知得a＝2eq\r(3)，b＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(12－3)＝3.從而|F1F2|＝2c＝6.在△PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，又由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2×2eq\r(3)＝4eq\r(3)，所以|PF2|＝4eq\r(3)－|PF1|.從而有(4eq\r(3)－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，解得|PF1|＝eq\f(\r(3),2).所以△PF1F2的面積S＝eq\f(1,2)·|PF1|·|F1F2|＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×6＝eq\f(3\r(3),2)，即△PF1F2的面積是eq\f(3\r(3),2).反思感悟橢圓定義的應用技巧(1)橢圓的定義能夠對橢圓上的點到焦點的距離進行轉化．(2)橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F2構成的△PF1F2，稱為焦點三角形，可以利用橢圓的定義，結合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解．跟蹤訓練2(1)已知F1，F2為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A，B兩點．若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________.〖答案〗8〖解析〗由直線AB過橢圓的一個焦點F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.(2)橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，F1，F2為橢圓的焦點，P是橢圓上一點．若＝eq\r(3)，求∠F1PF2的大小．解由已知得a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，設|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，①,m2＋n2－2mncosα＝4，②,\f(1,2)mnsinα＝\r(3)，③))①2－②得mn(1＋cosα)＝6，④eq\f(④,③)得eq\f(1＋cosα,\f(sinα,2))＝eq\f(6,\r(3))，即eq\f(2cos2\f(α,2),sin\f(α,2)·cos\f(α,2))＝2eq\r(3)，∴taneq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(α,2)＝30°，α＝60°，即∠F1PF2＝60°.三、與橢圓有關的軌跡問題例3(1)已知P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上一動點，O為坐標原點，則線段OP中點Q的軌跡方程為__________．〖答案〗x2＋eq\f(y2,2)＝1〖解析〗設Q(x，y)，P(x0，y0)，由點Q是線段OP的中點知x0＝2x，y0＝2y，又eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),8)＝1.所以eq\f(2x2,4)＋eq\f(2y2,8)＝1，即點Q的軌跡方程為x2＋eq\f(y2,2)＝1.(2)如圖所示，已知動圓P過定點A(－3,0)，并且在定圓B：(x－3)2＋y2＝64的內部與其內切，求動圓圓心P的軌跡方程．解設動圓P和定圓B內切于點M，動圓圓心P到兩定點A(－3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，所以動圓圓心P的軌跡是以A，B為左、右焦點的橢圓，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其軌跡方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1.反思感悟求軌跡方程的常用方法(1)直接法設出曲線上動點的坐標為(x，y)后，可根據幾何條件直接轉換成x，y間的關系式；(2)定義法若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可用待定系數法求出軌跡方程；(3)相