第4講三角函數與解三角形解答題

書目

第一部分：學問強化

其次部分：重難點題型突破

突破一：三角函數單調區間

突破二：三角函數最值（值域）問題

突破三：與三角函數有關的零點問題

角度1：零點個數問題

角度2：零點代數和問題

突破四：三角函數中的恒（能）成立問題

突破五：三角形中線問題

突破六：三角形角平分線問題

突破七：三角形中面積（定值，最值，取值范圍）問題

突破八：三角形中周長（定值，最值，取值范圍）

突破九：三角形中邊長的代數關系

突破十：四邊形（多邊形）問題

突破卜一：三角函數與解三角形實際應用

第三部分：沖刺重難點特訓

第一部分：學問強化

1、中線：

在中，設。是8。的中點角A,8,C所對的邊分別為b,c

A

1.1向量形式：（記憶核心技巧，結論不用記憶）

核心技巧：2AO=43+AC

結論：AD=-（b~+c2+2Z?ccosA）

4D上Dc

1.2用形式:

核心技巧：ZADB+ZADC=^-=>cosZADB+8SZADC=0

在A4O8中有：cosZADB=DA+DB~~AB~

2DAxDB

在AAOC中有：cosZADC=+DC~AC

2DAxDC

2、角平分線

如圖，在AA3C中，4力平分N84C,角

2.1內角平分線定理：

B

D

3、jrA"AC?ABBD

核心技巧：=—二或一—=

BDDCAC~DC

2.2等面積法

核心技巧

5.丈=SMBD+SMOCn-A8xACxsin4=—/IBxADxsin—+-4CxADxsin—

2.3再形式：

核心技巧：ZADB+ZADC=^-=>cosZADB+cosZADC=0

,……八DA2+DB2-AI32

在MDB中有：cosZADB=----------------;

2DAxDB

22

r)Aa_r)r—AT2

在AAOC中有：cosZADC=——;

2DAxDC

3、三角形面積的計算公式:

①S=；x底x高:

②S=-a〃sinC=—ocsinI3=—bc^inA：

222

③S='（a+〃+c）r（其中，a,4c是三角形A8c的各邊長，r是三角形A8c的內切圓半徑）；

④5=近（其中，是三角形ABC的各邊長，R是三角形A8C的外接圓半徑）.

4R

4、三角形面積最值：

核心技巧：利用基本不等式也尸〈匕生，再代入面積公式.

22

5、三角形面積取值范圍：

核心技巧：利用正弦定理a=2Rsin4,〃=2RsinA,代入面積公式，再結合協助角公式，依據角的取值

范圍，求面積的取值范圍.

6、基本不等式

核心技巧：利用基本不等式，石工彥，在結合余弦定理求周長取值范圍：

2

7、利用正弦定理化角

核心技巧：利用正弦定理〃=2Rsin4,b=2Rsin8,代入周長（邊長）公式，再結合協助角公式，依據

角的取值范悔I,求周長（邊長）的取值范圍.

其次部分：重難點題型突破

突破一：三角函數單調區間

2

1.(2024?吉林?東北師大附中模擬預料)已知函數〃x)=〃?(a+c)-其中向量

a=(sinx,-3cosx).b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,sinx),xeR.

(1)求/(x)的解析式及對稱中心和單調減區間;

【答案】(1)/3=2+及叫2X+御，對稱中心為1萬一學2卜sZ,單調減區間是

【詳解】(1)f(x)=b(a+c)=(sinJ,-COSx)?(sinx-cosx,sinx-3cosx)

=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=l-sin2x+2cos2x

=24cos2x-sin2x=2+V2sin^2x+^

令2_r+羋=Eox="T，對稱中心作T，2],〃WZ

428\2o)

又令巴+2E<2x+-<-+2kit=>--+kn<x<—+kut

24288

所以單調減區間是一9+而，萼+E、'?5

oO

2.(2024?寧夏?平羅中學高三期中(文))已知函數〃x)=Asin3+0M>O,3>O,O“4)的剖分

圖象如圖所示，其中人力的圖像與x軸的一個交點的橫坐標為一卷.

14

(1)求這個函數的解析式，并寫出它的遞增區間：

【答案】(l)/(x)=2sin(2x+g),"g,狂+力伏wZ)

【詳解】(1)由圖知A=2,一==.?.卬=4=2,

61244T

/(g]=2sin(2.J+0)=2.0<°<g,.R=m，

\07626

/./(.r)=2sin(2x+—),

3

3.（2024?陜西?渭南市瑞泉中學高三階段練習（理））已知函數/（x）=V3sin2A+l-2cos2x.

（1）求函數的最小正周期和單調遞減區間：

【答案】（1）見詳解

【詳解】（1）/（x）=>/3sin2.v4-l-2cos2x

=\/3sin2x-cos2x=2sin（2x-?）,

所以〃x）的最小正周期7=夸=點.

令2+2ArV2x—匹4至+2匕r,kcZ、

262

解得g+人乃+〃乃,kwZ,

36

所以“X）的單調遞減區間為?+k兀個+卜兀,keZ.

4.（2024?河南?汝陽縣一高高三階段練習（理））已知函數

/（x）=cos2x-2\/3sinxcosx+cos^x+^cos^A--^.

⑴求f（x）的最小值，并寫出此時x的取值集合：

（2）若x?0,司,求/（X）的單調遞減區間.

【答案】(D/(x)min=-T，此時才的取值集合為=g+E(此N牛

⑵了(")的單調遞減區間為J。,外和憚，九

_3」L6_

【詳解】＜1)/(X)=cos2x-2\/3sinxcosx+cos+cosA-

=?+c：sin2x+(cosx-sinA)-^(COSx+sinx)

l+cos2x行.c.1/2.2\

=--------------V3sin2.v+—Icosx—sinx)

22Vf

=l±cos2x_75s.n2v+lcos2x

22

=cos2x—V3sin2x+—

2

4

=2cos

當2jr+《=7r+2E(“GZ),即x=］+E.(#wZ)時，

ia

〃x)取得最小值，且/"n=一2+呆.，

所以/")min="I,此時X的取值集合為［xX=T+人乙四￡Z)|；

(2)由2EX2工十四匕兀十2Kr.?wZ,

3

得一四+2EW2xW'+2E,AeZ,

33

所以-E+E#X四+E,k?Z,

63

所以〃x)的單調遞減區間為一?+加弓+仄，(kwZ),

OJ

又因為％qo,可，

所以/(%)的單調遞減區間為05和部

5.(2024?浙江?模擬預料)已知函數/(x)=cosxsinGsinxsin

⑴求/(K)的最小正周期以及在［0,兀］上的單調遞增區間：

【答案】⑴丁=笈,T9~7~

.36

解：*-*/(v)=cos2x—\/3sinrcosx='+00ssin2、=cosf2.r+—')+—.

22V3)2

???/。)的最小正周期為7=4.

丁0SxW乃，gW2x+￡W2;r+g,

333

:.it0lx+—^2兀,解得—x,

336

所以/“)的最小正周期為不，在［0,汨上的單調遞增區間為「￡,開

_36.

6.(2024?山東濟寧?高一期中)已知函數=

(1)求/(x)的定義域和最小正周期；

⑵求/。)的單調區間.

5

【答案】(1)定義域為卜lx。岑+2E,Aez｝：最小正周期為27c

⑵單調遞減區間為(-]+2E,^+2^)(RwZ)

⑴要使函數/(力有意義，只需(工一：05+E(&wZ),

解得x彎+2E,(AGZ)

所以函數/(人)的定義域為卜Ix吟+2E4Z,.

7?一巴—

函數/(%)的最小正周期為"T-Z7t

2

⑵由于正切函數V=tanx在區間(-5+履段+^)(丘2)上單調遞增,

對于函數)』皿仁旺)令￡+E<52檸+E

3)

解得-尹2履<%昔+2?,(&wZ)

即…哈在‘尹2而與+2可仕GZ)上單調遞增

而函數y=lan(gx-與/(x)=Tan(gx-：)單調性相反

故函數/'(x)=_lan(；x_：單調遞減區間為卜5+2履,胃+2履卜壯2)

突破二：三角函數最值(值域)問題

1.(2024?全國?武功縣普集高級中學模擬預料(理))已知a=(sinx+cosx,2cose),b=(2sin〃，sin2x).

2

(1)若c=(-3,4),且工=；，。€(。，乃)時，a與c的夾角為鈍角，求cos。的取值范圍;

⑵若。=?,函數/(耳二。/，求/(x)的最小值.

【答案】(Dcosej—l,—溶/—陪哈

\3zI\3o/

⑵“X)的最小值為

【詳解】⑴當工=?時，a=(62cos。)，若a與c的夾角為鈍角,

則a.c<0且〃與c不能共線,

6

ac=("2cos0).(-3,4)=-3及+8cos0<0,所以cos”^^,

又。E(0,乃)，所以cos6w(-l,l),所以_]<8sg<￡^，

2x/2?所以a與c不共線時，cos。工-3匚

當a與c共線時，4\/2+6cos0=()，故cos0

33

綜上：cos6>G-1,-u20

3

(2)/(x)=fl/>=(sinx+cosx,I){6；sin2x

=6sinx+cosx+工sin2.r

2

=\/3sinx+>/3cosx+sin.￥cos.￥

九2?

令/=sinx+cosx=41sin(x+-^)e［-x/5,75］,則sinxcosx='—

〃x)=G+?=g(f+G)2-2

而函數產;(r+6)、2在.上為增函數，故當/=—&時有最小值

故/⑺的最小值為

2.(2024?湖南?模擬預料)函數/(x)=sinM+⑺3>0)的初相為，且/(x)?/用對隨意的實數x

都成立.

(1)求。的最小值;

(2)在(1)的條件卜，函數左平移三個單位后，縱坐標不變，橫坐標伸長為原米的4倍，得到函數g(x)

的圖象，求函數ga)在［0,22上的單調遞增區間以及最小值.

【答案】(1)2

(2)企)在。2兀］上的單調遞增區間為與,2兀，最小值為T

【詳解】(1)???函數/*)的初相為5，,夕二三，???/0)=sinj3x+m［，

66\6/6166/

又力力4/⑶對隨意的實數才都成立，則有sin"+季卜in(喉+己)恒成立，/.sin(4+專)=1,

7T71-.71.-

一(o-\—=2EH—,k€Z,

662

7

即3=124+2,AeZ,又@>(),...當￡=0時，0有最小值為2.

(2)由(1)可知〃x)=sin(2x+t)函數/S)左平移g個單位后，得到的函數

y=fin2。+m)+[=cos(2x+[)縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的4倍，得到g(x)=cos傳x+g].

L36」3123J

1o

2kn-n<-x+-<2kjt,keZt整理可行4履一履一年?wZ,，g(x)在[0.2可上的單調遞增區間為

L4T兀'c24

由xw[0,2M,可得.?.當.*=￥時，函數g(x)取得最小值-1.

3.(2024?浙江?鎮海中學模擬預料)設,48C內角兒8,。的對邊分別為a,b,c,函數

/(A)=2sin(.v-A)cosx+sinA.

(1)若/(0)=—g,a=3/=l,求”8C的面積；

⑵當x喑時，小)取最大值，求/U)在值)上的值域.

【答案】(1)若兒=^,JWC的面積為巫蟲,

68

若人=苧，J5C的面積為叵二叵：

68

⑵卜爭

(1)因為/(x)=2sin(x-A)cosx+sinA,/(0)=—i

目f以2sin(-A)cosO+sinA=-sinA=,EpsinA=—,

由正弦定理可得三=々7,又a=3、b=l,所以sin4=1,

sinAsinBo

若4=￡則5也八=1,8§八=立,51!1B=-,cosB=^^-,

62266

所以sinC=sin(A+8)=,

(，J,「735+73

5-=-^smC=---，

,twZo

8

當A=乎則sinA=1,cosA=一且,sinB=L.cos3=^^

62266

所以sinC=sin(A+8)="立

c1,._>/35-x/3

S=”sinC=---

(2)f(x)=2sin(x-A)cosx+sinA

=2sin(x-A)cosx+sin[4-(x-A)]=2sin(x-A)cosx+sinxcos(x-A)-cosxsin(x-A)

=sinACOS(X-A)+cos,vsin(A--A)=sin(2.v-A).

因為/“）在工=得處取得最大值，所以2x,-A=2版■+g,AeZ,

IIM/>

即A=-28%+1?GZ.因為Ae(O㈤，所以A=g,所以f(x)=sin2x-g

3。1，

因為％《聞，所以2A臺（4，青，所以一日<sin（2x—?卜1,

/（X）在

4.(2024?浙江?杭州高級中學模擬預料)^/(A-)=2cos4x+|j+^sin(2x+^).

（1）若0484），求夕使函數7%）為偶函數;

⑵在（1）成立的條件下，當xe-,求/（戈）的取值范圍.

【答案】(1)。=?

⑵〃力?0,3]

⑴m)=2、上竺空?+Gsin(2x+。)

=l+2sin(2x+6+^)

因為函數/(工)為偶函數，

所以。+2=工+44次62,即e=2+)UrMeZ,

623

因為OKOW4,所以。=?

(2)在(1)成立的條件下，/(x)=2sin(2x+?+1)+1=2cos2x+l,

9

-712冗

因為xw所以2xeT'T

所以cos2xw

所以/(x)w[0,3]

2x2sin3*

5.（2024?上海?華師大二附中模擬預料）已知函數/（x）=sin(T-)-卜fH

⑴解不等式/a)?-g；

⑵若且r(%)=4V(x)-cos(4.r-弓)的最小值是-J,求實數％的值.

【答案】⑴kL+"~,&wZ：⑵2=：.

L3J2

【詳解】⑴f(x)=sin(普-2x)-2sin卜-0osI+金

=—cos2x+—sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cos.v)

22

=—coslx+—sin2A+sin2x-cos2x

22

1o「o

=-cos2x+—sin2x-cos2x

22

=sm(2喂)

」ci冗/A乃,…7汗/口.,27r

由24vr-V2x——42kjr+%-,得k冗WA,<kji+—,

解集為〃乃次4+用,keZ

(2)F(x)=-4Af(x)-cos4.r--j=^2sin

I3)EV卜卜2研

=2sin2|^2x--j-42sin^2.v--j-1=2sin^2.x-—J-zj-1-222

xE——,/.02x——,0<sinf2.v——1<1,

1123」62I6；

①當2<0時，當且僅當出?2%一看)=0時，/(x)取得最小值T,這與己知不相符;

②當0W/IW1時，當且僅當sin（2x用=2時，小）取最小值_1一2分，由已知得-1_2筋=__|，解得2=；；

10

③當2>1時，當且僅當sin(2x-§=l時，“X)取得最小值1-43由已知得1-4八-：，解得這與4>1

相沖突.綜上所述，2=1.

突破三：與三角函數有關的零點問題

角度1：零點個數問題

1.(2024?廣東?肇慶市外國語學校模擬預料)己知向量〃=(2sinx,cosx-sinx),。=(cosx,G(cosx+sint)),

函數/(x)=”?〃-1.

(1)求函數y=〃x)的值域;

⑵函數)，=/(])在xe[0,向上有10個零點，求加的取值范圍.

【答案】(1)卜3,1]

【詳解】(1)解：/(x)=ii-Zi-l=2sinxcosx-t-73(cosx-sinx)(cosx+sinx)-l

=sin2X+GCOS2x-l=2sin

所以，y=/(x)的值域為卜3』.

(2)解：令f(x)=O,即sin(2嗚卜;,

因為XW[O,間，所以+y,2///+y,

因為函數y=/(x)在XC[O,間上有10個零點，

所以方程Sinx=g在22〃+f上有10個實數根，

所以￡+10乃￡2"什又<陽+10不，解得如Wm〈也.

636124

所以，機的取值范圍為等，牛)

2.(2024?北京海淀-一模)設函數/0)=2sinxcosx+Acos2x(A€R).已知存在A使得了。)同時滿意下列三

個條件中的兩個：條件①：/(0)=0；條件②：〃刈的最大值為近；條件③：x=9是/(幻圖象的一條對稱

O

軸.

(1)請寫出“X)滿意的兩個條件，并說明理由：

⑵若/(X)在區間(0.m)上有且只有一個零點，求加的取值范圍.

【答案】(D②③，理由見解析

11

(1)函數/(x)=2sinXCOSX+/4COS2A=sin2x+Acos2x=Jl+A?sin(2x+°),

其中卜a”=A*w(-*9),

對于條件①：若〃0)=0,則A=0,

對于條件②：/(x)的最大值為應，則>/^不=&，得八=±1,①②不能同時成立，

當A=0時，/(*)=￥H±1,即不滿意條件③：

當4=1時，/但二夜而「”?)，/(￡)=應，即滿意條件③：

當4=-1時，f(x)=0sin(2x—7),/^=0,即不滿意條件③；

綜上可得，存在A=1滿意條件②③.

(2)

由(1)得/(x)=&sin(2x+?),

當0<xv,〃時，—<2x+—<2m+—,

444

由于/*)在區間(0,M上有且只有一個零點，

則it<2m"1—<2乃，解得——<tnV――,

488

即用的取值范圍是傳圖.

3.(2024?陜西?寶雞中學高三階段練習(理))己知向量a=(2sinx,Gcosx)力=(Jsinx,sinx),函數

f[x}=ab

(1)求函數的單調增區間；

⑵若函數，在區間二兀]上有且僅有兩個零點，求實數々的取值范圍.

o12

【答案】⑴(一>嗚+E)(kwZ)

(2)--+-</：=-7

2222

【詳解】(1)/(A)=ah=(2sinx,\/3cosx)?sinx,sinx)=2sinx(—sinx)+x/3cos.vsinx

2

12

^sin2x=--cos2x+—sin2x+-

=sin2x4-5/5sinxcosx=+

22222

^---+2kK<2x--<—+2kK,解得一二+E<x<四+E.

26263

所以函數7'⑶的單調增區間為（-2+也彳+E）aeZ）.

（2）由函數y=/a）-A在區間一9，1^人上有且僅有兩個零點.

_612

即&-<=sin（2x-￡）在區間［"-J,工冗］上有且僅有兩個零點，

26o12

直線尸八1與g（x）=sin（2x-g）的圖像上有且僅有兩個交點,

26

設函數g(x)=sin(2x-三)，

6

在區間上單調遞增，T?g(x)=sin(2x-J)?l,

63J6

在區間L上單調遞減，-l?g(x)=sin(2x-B)?l,

.36J6

在區間—71上單調遞增，一14g(x)=sin(2x-Z),

-6"」62

所以一立〈人__L〈i或攵一［=一1,即一立或4=-1.

2222222

4.（2024?江西?崇仁縣其次中學高三階段練習（文））已知.卬%+5是函數

〃6=852"-t卜叫8）+京/>0）的兩個相鄰的對稱中心的點的橫坐標.

⑴若對隨意xw吟0,都有〃小病_〃?，求川的取值范圍：

⑵若關于X的方程2百小）-：-乎-5=0在區間上有兩人不同的根，求“，的取值范圍.

【答案】（l）（Yo-M2,y）

⑵小）

13

因為七,與+：是函數相鄰兩個對稱中心的橫坐標，所以?=2x],解得。=1,

22M2

??J(x)

若對隨意XG-—，都有只需/(功皿一〃7，

由.楸可得與2、+洛,故一1Wsin(2x+g)w亭,

所以/(x)=*sin(2r+g)+；4*x^+；=2.

因此/(初皿=2,即2工"產一，〃，解褥機W-1或〃此2,

因此〃7G-1]32+8)；

(2)關于X的方程2G-m=0,化簡后得3sin(2x+1)=〃?+2,

fJJ

作出y=3sinrjw[-S4」圖象,如圖,

o6

y

由圖可知，當〃?+2e|,3),即/“W總1時，3sin(2.E+])=〃?+2有兩根.

14

5.(2024?北京市第十一中學試驗學校高三階段練習)已知函數f(x)=2sin(乃-#as。+1)+=.

62

(1)求函數/*)的單調遞增區間;

⑵若函數在區間同上有且僅有三個零點，求實數0的取值范圍.

6

【答案】⑴阿蕓，kn+\keZ

36

⑵者守

cosx-lsinx)i

【詳解】(1)/(x)=2sin+

=x/3sinxcosx-sin2x+-=—sin2x+-cos2x

222

=sin(2x+—)

令2A/r-2K2x+三42女產+工，^k7r--<x<k7r+—tkwZ,

26236

所以函數/(x)的單調遞增區間為k兀-三，女兀+31MWZ.

36

(2)令f(x)=0,即sin(2.v+-)=0,

6

則2,(+二=〃4，即工="一二，keZ,

6212

當％=0時，x~~^2,當女=1時，x=?

當太=2時，x=當，當k=3時，工=粵，

121一

因為函數y=/(x)在區間加上有且僅有三個零點，

0

「口、JE/17乃

所以五4/〃<五，

故加的取值范圍是［詈，詈).

角度2：零點代數和問題

1.(2024?遼寧?大連二十四中高三階段練習)已知函數

/(A)=2sin<yxcos^+2sin^-4sin?^-sin(p(M>0,|^>|<TT),其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相

差￡，_________,從以下兩個條件中任選一個補充在空白橫線中.

4―

15

①函數的圖象向左平移m個單位長度后得到的圖象關于〉'軸對稱且〃o)<o：

②函數“X)的圖象的一條對稱軸為直線％且/圖</<⑴.

(1)求函數/(X)的解析式：

⑵若.MW5片，函數〃(x)=/(x)-“存在兩個不同零點4七，求玉十9的值.

【答案】⑴/(x)=2sin0T)

⑵竽

(1)/(x)=2sincoxcos^>+2sin^>-2(l-cos(ox)sin^=2sin((v.v+^)

又函數/(M的最小正周期為T=4xf=/r,<”=M=2,

4T

選①，將函數"x)向左平移m個單位得到的圖象關于y軸對稱,

0

所得函數為y=2sinlZ(x+^)+夕]=2sm(2t+J+(p),

63

由于函數)"2sin(2x+2+仍的圖象關于V軸對稱,

可得￡+。=￡+&兀(及WZ),解得>=[+時伏wZ),

326

乃，所以，8的可能取值為一當、j,

66

若。=—孚，則〃x)=2sin(2x—當，/(0)=2sin(-^)=-l,符合題意,

666

若。=^，則/(x)=2sin(2x+“，/(0)=2sin^=l,不符合題意，

666

所以，/(A-)=2sin(2A-^)：

6

選②，因為函數八X)的一條對稱軸工=-則2x(-g)+8=g+AR?GZ),

解得。=?+EAcZ),?/0|<乃，所以，8的可能取值為-蘭、J,

666

若。=一?，則/(x)=2sin(2x—^),則/(今=2sin(-g)=-2<〃l),符合題意,

6662

若。=￡，則/(x)=2sin(2.r+g),則fG)=2sin￡=2>〃l),不符合題意，

6662

所以，/(x)=2sin(2x-.)：

16

(22令f=2x-1w卷片,此時函數。x)=/(x)-a存在兩個不同零點.七等價于直線產。與函數

y=2siinj與］的圖象有兩個不司交點.

當r=^?時，函數取到最大值.

；?‘1+’2=4，即2A--—1-2占----=x

6-69

.4乃

,.Xl+x,=—.

2.(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(%)=Asin(sT0)+B(A>O,@>O,IM<1^的部分圖象如圖所

示.

(1)求函數/(X)的解析式：

⑵將函數,，=/*)的圖象上全部的點向右平移*個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變為原來的2

倍(縱坐標不變)，得到函數)，=g(x)的圖象，若方程g(x)-〃?=0在哈上有三個不相等的實數根

^,x2,x3(x)<x2<x?),求勿的取值范圍及tan(A-+2x,+上)的值.

⑵川€[:,■!)，6

(1)

由圖示得:

T777IK0乃I

乂一=—7T----71=一所以丁=不，所以3=于=2,所以/(x)=]Sin(2x+0)+l,

212122

又因為/G)過點信3所以?=；sin(2x?夕)+1,即sinQ+tp

17

所以g+夕=1+24乃次eZ,解得e=g+2A;r,AeZ,又所以°=g,

62323

所以/a)=；sin(2x+?+l；

(2)

rL\1.(乃、.、“八7乃^7t7t57r.7t7T5/r

由1已知得g(x)=7sinx+工+1,當xe0,—時，X+—e—,—,^-t=x+—e—,—,則

2\oJ3Joo2Jo|_o2_

1.(?I..

2I6)2

令/?(/)=(sin/+l,則函數/")的圖象如下圖所示，且/?[g]=gsing+l=。，4^=^in^+l=l

2yo/Zo4\ZJ221

由圖象得力⑺一〃?=0有三個不同的實數根々名人八<,2<幻，則。+，2=2x，=;r,q=2/r+。，

所以+24+4=4乃,即卜I+專)+212+專)+[3+專)=

4乃，

所以玉+2X2+x3=，所以tan(N+2x,+x3)=tan=tan(4/r

故tan(%+2X2+X3)=>/3.

3.(2024?全國-高三專題練習)已知函數/(%)=4sinX--cosx+G.

3

(1)求函數/(力的垠小正周期和單調遞增區間:

(2)若函數g(x)=/(x)-〃?所在O.y勻上有兩個不同的零點X；,g,求實數加的取值范圍，并計算

01卜；*巧')的值.

【答案】⑴最小正周期為，，單調遞增區間為：［氏一=，而+.］，kEZ；(2)底162),tan

(*/+必’)=--

3

18

【詳解】函數f(x)=4sinQx-三)cosx+VJ.

化簡可得：f(x)=2sinxcosx-2Gcos'x+百

=sin2x-26(—+-cos2x)+G

=sin2x-bcos2x

=2sin(2x-y)

(1)函數的最小正周期7=:=兀，

由2ATT--<2X--<2k7r+-時單調遞增，

232

解得：kn--<x<kn+—

1212

???函數的單調遞增區間為：［版■—二，版?+”］，kez.

(2)函數g(x)=f(x)■勿所在［0,勻上有兩個不同的零點必'，X2,

轉化為函數f(x)與函數尸勿有兩個交點

令〃=2*-。，xE：［0,二］,uE.\,尊］

從圖可知：，〃在［右，2),函數/?(公與函數尸，〃有兩個交點,

其橫坐標分別為必'，x；

故得實數小的取值范圍是加仁［6,2),

由題意可知為'，xj是關于對稱軸是對稱的：

那么函數在［0,的對稱軸*=當

212

19

那么：tan（第'+x/）=tan—=--

63

4.（2024?全國?高三專題練習（理））己知函數/'（x）usinlf-jsinx—J3cos2xd-

(1)求Ax)的最大值及取得最大值時X的值：

(2)若方程f(x)=:在(0,九)上的解為笛，x2,求cos(*/—七)的值.

5?

【答案】(])*=五八+4門(〃￡Z),最大值為1；(2)p

【詳解】(1)f(x)=cosxsinx——(2cos'x-1)=!sin2x—^-zos2x=sin(2x-f].

222I3J

當2Lg=；+2E(MZ),即尸得n+A"(MZ)時，函數f(x)取最大值，且最大值為1.

(2)由(1)知，當*￡((),⑺時，函數/U)圖象的對稱軸為

又方程f(x)=[在(0,兀)上的解為M,必

所以筋+檢=731?則x尸7兀一必，

5.(2024?全國?高三專題練習)口知數/(x)=gsin13戈+2J+2sin?(詈+目-1(3>0)的相鄰兩對稱

軸間的距離為

(1)求/(x)的解析式：

(2)將函數的圖像向右平移￡個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的J(縱坐標不變)，得到函數

62

y=的圖像，當代一￡9M,求函數冢幻的值域.

_12o

4「乃4乃

(3)對于第(2)問中的函數g(x),記方程g(x)=q在xe,上的根從小到依次為內，S，-v?,試確

31_63」

定〃的值，并求玉+2占+2占++2x,_]+x.的值.

20

【答案】(1)f(x)=2sin2x：(2)(―2,>/3]；(3)n=5,

【詳解】⑴由題意，函數/(工)=氐訪(3工+令+25泊13(8+看

-1

式n

75sin(<yx+g一cos(ryx4--^-)=2sin(0X+----------2sinox

66

因為函數/(x)圖像的相鄰兩對稱軸間的距離為:，所以丁=尸，可得卬=2.

故f(x)=2sin2x

(2)將函數/⑴的圖像向右平移奈兀