選擇題一、知識整合1．高考數學試題中，選擇題注重多個知識點的小型綜合，滲透各種數學思想和方法，體現以考查“三基”為重點的導向，能否在選擇題上獲取高分，對高考數學成績影響重大.解答選擇題的基本要求是四個字——準確、迅速.2．選擇題主要考查基礎知識的理解、基本技能的熟練、基本計算的準確、基本方法的運用、考慮問題的嚴謹、解題速度的快捷等方面.解答選擇題的基本策略是：要充分利用題設和選擇支兩方面提供的信息作出判斷。一般說來，能定性判斷的，就不再使用復雜的定量計算；能使用特殊值判斷的，就不必采用常規解法；能使用間接法解的，就不必采用直接解；對于明顯可以否定的選擇應及早排除，以縮小選擇的范圍；對于具有多種解題思路的，宜選最簡解法等。解題時應仔細審題、深入分析、正確推演、謹防疏漏；初選后認真檢驗，確保準確。3．解數學選擇題的常用方法，主要分直接法和間接法兩大類.直接法是解答選擇題最基本、最常用的方法；但高考的題量較大，如果所有選擇題都用直接法解答，不但時間不允許，甚至有些題目根本無法解答.因此，我們還要掌握一些特殊的解答選擇題的方法.二、方法技巧1、直接法：直接從題設條件出發，運用有關概念、性質、定理、法則和公式等知識，通過嚴密的推理和準確的運算，從而得出正確的結論，然后對照題目所給出的選擇支“對號入座”作出相應的選擇.涉及概念、性質的辨析或運算較簡單的題目常用直接法.例1．若sinx>cosx，則x的取值范圍是（）（A）{x|2k－＜x＜2k＋，kZ}（B）{x|2k＋＜x＜2k＋，kZ}（C）{x|k－＜x＜k＋，kZ}（D）{x|k＋＜x＜k＋，kZ}解：（直接法）由sinx>cosx得cosx－sinx＜0，即cos2x＜0，所以：＋kπ＜2x＜＋kπ，選D.另解：數形結合法：由已知得|sinx|>|cosx|，畫出y=|sinx|和y=|cosx|的圖象，從圖象中可知選D.例2．設f(x)是(－∞，∞)是的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)等于（）（A）0.5（B）－0.5（C）1.5（D）－解：由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函數，得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－，所以選B.也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.例3．七人并排站成一行，如果甲、乙兩人必需不相鄰，那么不同的排法的種數是（）（A）1440（B）3600（C）4320（D）4800解一：（用排除法）七人并排站成一行，總的排法有種，其中甲、乙兩人相鄰的排法有2×種.因此，甲、乙兩人必需不相鄰的排法種數有：－2×＝3600，對照后應選B；解二：（用插空法）×＝3600.直接法是解答選擇題最常用的基本方法，低檔選擇題可用此法迅速求解.直接法適用的范圍很廣，只要運算正確必能得出正確的答案.提高直接法解選擇題的能力，準確地把握中檔題目的“個性”，用簡便方法巧解選擇題，是建在扎實掌握“三基”的基礎上，否則一味求快則會快中出錯.2、特例法：用特殊值(特殊圖形、特殊位置)代替題設普遍條件，得出特殊結論，對各個選項進行檢驗，從而作出正確的判斷.常用的特例有特殊數值、特殊數列、特殊函數、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.例4．已知長方形的四個項點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質點從AB的中點P0沿與AB夾角為的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4（入射解等于反射角），設P4坐標為（的取值范圍是（）（A） （B） （C） （D）解：考慮由P0射到BC的中點上，這樣依次反射最終回到P0，此時容易求出tan=，由題設條件知，1＜x4＜2，則tan≠，排除A、B、D，故選C.另解：（直接法）注意入射角等于反射角，……，所以選C.例5．如果n是正偶數，則C＋C＋…＋C＋C＝（）（A）2（B）2（C）2（D）(n－1)2解：（特值法）當n＝2時，代入得C＋C＝2，排除答案A、C；當n＝4時，代入得C＋C＋C＝8，排除答案D.所以選B.另解：（直接法）由二項展開式系數的性質有C＋C＋…＋C＋C＝2，選B.例6．等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（（A）130（B）170（C）210（D）260解：（特例法）取m＝1，依題意＝30，＋＝100，則＝70，又{an}是等差數列，進而a3＝110，故S3＝210，選（C）.例7．若，P=，Q=，R=，則（）（A）RPQ（B）PQR（C）QPR（D）PRQ解：取a＝100，b＝10，此時P＝，Q＝＝lg，R＝lg55＝lg，比較可知選PQR當正確的選擇對象，在題設普遍條件下都成立的情況下，用特殊值（取得越簡單越好）進行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規律，是解答本類選擇題的最佳策略.近幾年高考選擇題中可用或結合特例法解答的約占30％左右.3、篩選法:從題設條件出發，運用定理、性質、公式推演，根據“四選一”的指令，逐步剔除干擾項，從而得出正確的判斷.例8．已知y＝log(2－ax)在[0，1]上是x的減函數，則a的取值范圍是（）（A）(0，1)（B）(1，2)（C）(0，2)（D）[2，+∞解：∵2－ax是在[0，1]上是減函數，所以a>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x＜1，這與x∈[0，1]不符合，排除答案D.所以選B.例9．過拋物線y＝4x的焦點，作直線與此拋物線相交于兩點P和Q，那么線段PQ中點的軌跡方程是（）（A）y＝2x－1（B）y＝2x－2（C）y＝－2x＋1（D）y＝－2x＋2解：（篩選法）由已知可知軌跡曲線的頂點為(1，0)，開口向右，由此排除答案A、C、D，所以選B；另解：（直接法）設過焦點的直線y＝k(x－1)，則，消y得：kx－2(k＋2)x＋k＝0，中點坐標有，消k得y＝2x－2，選B.篩選法適應于定性型或不易直接求解的選擇題.當題目中的條件多于一個時，先根據某些條件在選擇支中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據另一些條件在縮小的選擇支的范圍那找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選擇.它與特例法、圖解法等結合使用是解選擇題的常用方法，近幾年高考選擇題中約占40％.4、代入法：將各個選擇項逐一代入題設進行檢驗，從而獲得正確的判斷.即將各選擇支分別作為條件，去驗證命題，能使命題成立的選擇支就是應選的答案.例10．函數y=sin(－2x)＋sin2x的最小正周期是（）（A）（B）（C）2（D）4解：（代入法）f(x＋)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x).所以應選B；另解：（直接法）y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin(2x＋)，T＝π，選B.例11．函數y＝sin（2x＋）的圖象的一條對稱軸的方程是（）（A）x＝－（B）x＝－（C）x＝（D）x＝解：（代入法）把選擇支逐次代入，當x＝－時，y＝－1，可見x＝－是對稱軸，又因為統一前提規定“只有一項是符合要求的”，故選A.另解：（直接法）∵函數y＝sin（2x＋）的圖象的對稱軸方程為2x＋＝kπ＋，即x＝－π，當k＝1時，x＝－，選A.代入法適應于題設復雜，結論簡單的選擇題。若能據題意確定代入順序，則能較大提高解題速度。5、圖解法：據題設條件作出所研究問題的曲線或有關圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷.習慣上也叫數形結合法.例12．在內，使成立的的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）解：（圖解法）在同一直角坐標系中分別作出y＝sinx與y＝cosx的圖象，便可觀察選C.另解：（直接法）由得sin（x－）＞0，即2kπ＜x－＜2kπ＋π，取k＝0即知選C.例13．在圓x＋y＝4上與直線4x＋3y－12=0距離最小的點的坐標是（）（A）（，）（B）(，－)（C）(－，)（D）(－，－)解：（圖解法）在同一直角坐標系中作出圓x＋y＝4和直線4x＋3y－12=0后，由圖可知距離最小的點在第一象限內，所以選A.直接法先求得過原點的垂線，再與已知直線相交而得.例14．設函數，若，則的取值范圍是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（0，）（D）（，）（1，）解：（圖解法）在同一直角坐標系中，作出函數的圖象和直線，它們相交于（－1，1）和（1，1）兩點，由，得或.嚴格地說，圖解法并非屬于選擇題解題思路范疇，而是一種數形結合的解題策略.但它在解有關選擇題時非常簡便有效.不過運用圖解法解題一定要對有關函數圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則錯誤的圖象反而會導致錯誤的選擇.如：例15．函數y=|x2—1|+1的圖象與函數y=2x的圖象交點的個數為（）（A）1（B）2（C）3（D）4本題如果圖象畫得不準確，很容易誤選（B）；答案為（C）。數形結合，借助幾何圖形的直觀性，迅速作正確的判斷是高考考查的重點之一；歷年高考選擇題直接與圖形有關或可以用數形結合思想求解的題目約占50％左右.6、割補法“能割善補”是解決幾何問題常用的方法，巧妙地利用割補法，可以將不規則的圖形轉化為規則的圖形，這樣可以使問題得到簡化，從而縮短解題長度.例16．一個四面體的所有棱長都為，四個項點在同一球面上，則此球的表面積為（）（A）3 （B）4 （C）3 （D）6解：如圖，將正四面體ABCD補形成正方體，則正四面體、正方體的中心與其外接球的球心共一點.因為正四面體棱長為，所以正方體棱長為1，從而外接球半徑R＝.故S球＝3.直接法（略）我們在初中學習平面幾何時，經常用到“割補法”，在立體幾何推導錐體的體積公式時又一次用到了“割補法”，這些蘊涵在課本上的方法當然是各類考試的重點內容.因此，當我們遇到不規則的幾何圖形或幾何體時，自然要想到“割補法”.7、極限法:從有限到無限，從近似到精確，從量變到質變.應用極限思想解決某些問題，可以避開抽象、復雜的運算，降低解題難度，優化解題過程.例17．對任意θ∈（0，）都有（）（A）sin(sinθ)＜cosθ＜cos(cosθ)（B）sin(sinθ)＞cosθ＞cos(cosθ)（C）sin(cosθ)＜cos(sinθ)＜cosθ（D）sin(cosθ)＜cosθ＜cos(sinθ)解：當θ0時，sin(sinθ)0，cosθ1，cos(cosθ)cos1，故排除A，B.當θ時，cos(sinθ)cos1，cosθ0，故排除C，因此選D.例18．不等式組的解集是（）（A）（0，2）（B）（0，）（C）（0，）（D）（0，3）解：不等式的“極限”即方程，則只需驗證x=2，，和3哪個為方程的根，逐一代入，選C.例19．在正n棱錐中，相鄰兩側面所成的二面角的取值范圍是（）（A）（π，π）（B）（π，π）（C）（0，）（D）（π，π）解：當正n棱錐的頂點無限趨近于底面正多邊形中心時，則底面正多邊形便為極限狀態，此時棱錐相鄰兩側面所成二面角α→π，且小于π；當棱錐高無限大時，正n棱柱便又是另一極限狀態，此時α→π，且大于π，故選（A）.用極限法是解選擇題的一種有效方法.它根據題干及選擇支的特征，考慮極端情形，有助于縮小選擇面，迅速找到答案。8、估值法由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無需過程.因此可以猜測、合情推理、估算而獲得.這樣往往可以減少運算量，當然自然加強了思維的層次.例20．如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（）（A）