第40頁（共40頁）第五章A卷一．選擇題（共8小題）1．已知函數f（x）與f′（x）的圖象如圖所示，則函數y=A．在區間（﹣1，2）上是減函數 B．在區間(-3C．在區間（0，2）上是減函數 D．在區間（﹣1，1）上是減函數2．已知函數f（x）＝x3+mx2+x+1有兩個極值點，則m的取值范圍為（）A．(-3，3)C．(-∞，-2]∪[23．已知曲線C：y=12x2A．30° B．45° C．60° D．120°4．已知函數f（x）＝2x，則limΔxA．4ln2 B．4ln2 C．ln225．已知可導函數f（x）的部分圖象如圖所示，f（2）＝0，f′（x）為函數f（x）的導函數，下列結論不一定成立的是（）A．f′（1）＜f（1） B．f′（5）＜f（5） C．f′（2）＝f（2） D．f′（3）＜f′（4）＜f′（5）6．函數f(x)=A． B． C． D．7．下列求導正確的（）A．(xB．[lnC．(eD．（xsinx）′＝sinx+xcosx8．函數f(x)=axln(2x)在xA．-16 B．-112 C．1二．多選題（共4小題）（多選）9．如圖是函數y＝f（x）的導函數y＝f'（x）的圖象，則以下說法正確的為（）A．﹣2是函數y＝f（x）的極值點 B．函數y＝f（x）在x＝1處取最小值 C．函數y＝f（x）在x＝0處切線的斜率小于零 D．函數y＝f（x）在區間（﹣2，2）上單調遞增（多選）10．已知函數f(A．函數f（x）在區間[12B．函數f（x）的值域為[2，6] C．函數f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝﹣3x+4 D．關于x的方程f（x）＝a有2個不同的根當且僅當a（多選）11．已知二項式(ax2+1x)A．n的所有取值組成的集合中有且僅有3個元素 B．若當n取最大值時常數項為30，則a=C．若當n取最小值時函數f(x)=(ax2+1x)n的D．若二項展開式中的所有項的系數和為0，則a＝﹣1（多選）12．已知函數f（x）＝sin2x，則（）A．f′（x）＝cos2x B．x=π4是f（C．f（x）在[0，π4D．f（x）在x＝0處的瞬時變化率為2三．填空題（共5小題）13．曲線y＝（2x﹣1）ex﹣2x+2在點（0，1）處的切線方程為．14．函數f（x）＝x3﹣ax2+2x﹣1有極值，則實數a的取值范圍是．15．已知曲線y=1ex-lnx與直線y＝ax+4（a∈R）相切，則a＝16．若曲線y=f(x)=lnx+32x在x＝17．函數f（x）＝x2+lnx的圖象在點（1，1）處的切線的斜率為．四．解答題（共5小題）18．已知二次函數f（x）＝x2+3x﹣a，a∈R．（Ⅰ）若a＝4時，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若函數f（x）在區間[a，a+1]上具有單調性，求實數a的取值范圍；（Ⅲ）解關于x的不等式f（x）＞ax+2a．19．設函數f(（1）證明：曲線y＝f（x）關于點（0，1）對稱．（2）已知f（x）為增函數．①求a的取值范圍．②證明：函數g(③若不等式f（﹣xex）+f（m﹣2ex）＜2對x∈[﹣4，2]恒成立，求m的取值范圍．20．已知函數f（x）＝x2﹣4lnx．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．21．已知函數f（x）＝x2﹣2x+alnx，（a∈R）．（1）若a＝1，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線；（2）若對任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有(x1-x22．已知函數f（x）＝x2﹣（λ+3）x+λlnx．（1）若λ＝﹣3，求f（x）的單調區間；（2）若f（x）既有極大值，又有極小值，求實數λ的取值范圍．

第五章A卷參考答案與試題解析題號12345678答案BDBABDDB一．選擇題（共8小題）1．已知函數f（x）與f′（x）的圖象如圖所示，則函數y=A．在區間（﹣1，2）上是減函數 B．在區間(-3C．在區間（0，2）上是減函數 D．在區間（﹣1，1）上是減函數【考點】利用導數求解函數的單調性和單調區間．【專題】整體思想；綜合法；導數的綜合應用；運算求解．【答案】B【分析】求出函數y的導數，結合圖象求出函數的單調區間即可求解．【解答】解：因為y'由圖象知，-32＜x＜12時，f′（x）﹣f（x即y=f(當12＜x＜3時，f′（x）﹣f（x）＞0即y=f(x)ex在(12故選：B．【點評】本題主要考查了導數與單調性關系的應用，屬于基礎題．2．已知函數f（x）＝x3+mx2+x+1有兩個極值點，則m的取值范圍為（）A．(-3，3)C．(-∞，-2]∪[2【考點】利用導數研究函數的極值．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；導數的綜合應用；運算求解．【答案】D【分析】根據函數有兩個極值點，轉化為導數有兩個不等零點即可得解．【解答】解：因為f′（x）＝3x2+2mx+1，且函數f（x）＝x3+mx2+x+1有兩個極值點，所以f′（x）＝0有兩個不等實根，所以Δ＝4m2﹣12＞0，解得m＞3或即m的取值范圍是（﹣∞，-3）∪（3，+故選：D．【點評】本題主要考查利用導數研究函數的極值，考查運算求解能力，屬于基礎題．3．已知曲線C：y=12x2A．30° B．45° C．60° D．120°【考點】導數與切線的斜率．【專題】轉化思想；轉化法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】B【分析】結合導數的幾何意義，求出切線的斜率，再結合直線的斜率與傾斜角的關系，即可求解．【解答】解：y＝f（x）=1則f'（x）＝x，故f'（1）＝1，傾斜角的范圍為[0，π），曲線C在點P處的切線的傾斜角為45°．故選：B．【點評】本題主要考查導數與切線的斜率，屬于基礎題．4．已知函數f（x）＝2x，則limΔxA．4ln2 B．4ln2 C．ln22【考點】變化率的極限與導數的概念．【專題】轉化思想；轉化法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】A【分析】根據已知條件，結合導數的求導法則，以及導數的定義，即可求解．【解答】解：函數f（x）＝2x，則f'（x）＝2xln2，故limΔx→0f(2+Δx)-f(2)Δx故選：A．【點評】本題主要考查導數的求導法則，以及導數的定義，屬于基礎題．5．已知可導函數f（x）的部分圖象如圖所示，f（2）＝0，f′（x）為函數f（x）的導函數，下列結論不一定成立的是（）A．f′（1）＜f（1） B．f′（5）＜f（5） C．f′（2）＝f（2） D．f′（3）＜f′（4）＜f′（5）【考點】導數及其幾何意義．【專題】計算題；數形結合；綜合法；函數的性質及應用；數學抽象．【答案】B【分析】根據題意，由導數的幾何意義，結合函數的圖象依次分析選項，綜合可得答案．【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，由導數的幾何意義，f'（1）＜0，由圖可知，f（1）＞0，所以f'（1）＜f（1），故A成立；對于B，由圖可知，f′（5）＞0，f（5）＞0，但不確定f′（5）與f（5）的大小關系，故B不一定成立；對于C，由圖可知，f′（2）＝f（2）＝0，故C成立；對于D，由圖可知，函數在區間[2，+∞）上單調遞增，且增長速度越來越快，所以f′（3）＜f′（4）＜f′（5），故D成立．故選：B．【點評】本題考查導數的幾何意義，注意切線斜率的分析，屬于基礎題．6．函數f(x)=A． B． C． D．【考點】利用導數研究函數的單調性；由函數解析式求解函數圖象．【專題】轉化思想；綜合法；函數的性質及應用；導數的綜合應用；運算求解．【答案】D【分析】利用導數判定單調性即可得出選項．【解答】解：f(x)=ex(2x-∴f'令f'（x）＞0?x∈（﹣∞，0）∪（32，+所以f（x）在（﹣∞，0）和（32，+∞）上單調遞增，排除A、C當x＜0時，2x﹣1＜0，x﹣1＜0，所以f（x）＞0，排除B．故選：D．【點評】本題主要考查了函數圖象的判斷，函數的導數的應用，屬于基礎題．7．下列求導正確的（）A．(xB．[lnC．(eD．（xsinx）′＝sinx+xcosx【考點】簡單復合函數的導數．【專題】轉化思想；轉化法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據已知條件，結合導數的求導法則，即可求解．【解答】解：對于A，(x+1對于B，[ln(2x對于C，(exx對于D，（xsinx）′＝sinx+xcosx，故D正確．故選：D．【點評】本題主要考查導數的運算，屬于基礎題．8．函數f(x)=axln(2x)在xA．-16 B．-112 C．1【考點】導數與切線的斜率．【專題】轉化思想；轉化法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】B【分析】求出f（x）導數，f'(12)=4a，利用函數f（x）在x=12【解答】解：函數f(x)=f'又f（x）在x=12處的切線與直線y＝3所以3×4a＝﹣1，解得a=故選：B．【點評】本題主要考查導數的幾何意義，屬于基礎題．二．多選題（共4小題）（多選）9．如圖是函數y＝f（x）的導函數y＝f'（x）的圖象，則以下說法正確的為（）A．﹣2是函數y＝f（x）的極值點 B．函數y＝f（x）在x＝1處取最小值 C．函數y＝f（x）在x＝0處切線的斜率小于零 D．函數y＝f（x）在區間（﹣2，2）上單調遞增【考點】導數及其幾何意義；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值．【專題】計算題；數形結合；數形結合法；綜合法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】AD【分析】根據導函數圖像判斷函數的單調性，再根據選項逐一判斷即可．【解答】解：根據導函數y＝f'（x）的圖象，可知當x∈（﹣∞，﹣2）時，f'（x）＜0，x∈（﹣2，+∞）時，f'（x）≥0且僅當x＝1時，f'（x）＝0，故函數在（﹣∞，﹣2）上函數f（x）單調遞減；在（﹣2，+∞）函數f（x）單調遞增，所以﹣2是函數y＝f（x）的極小值點，所以A正確；其中x＝1兩側函數的單調性不變，則在x＝1處不是函數y＝f（x）的最小值，所以B不正確；由圖像可知f'（0）＞0，所以函數y＝f（x）在x＝0處的切線的斜率大于零，所以C不正確；由y＝f（x）圖象可得，當x∈（﹣2，2）時，f'（x）≥0，所以函數y＝f（x）在x∈（﹣2，2）上單調遞增，所以D正確，故選：AD．【點評】本題主要考查了導數的幾何意義和函數的單調性與極值，考查了數形結合思想，屬于基礎題．（多選）10．已知函數f(A．函數f（x）在區間[12B．函數f（x）的值域為[2，6] C．函數f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝﹣3x+4 D．關于x的方程f（x）＝a有2個不同的根當且僅當a【考點】利用導數求解函數的單調性和單調區間；利用導數求解曲線在某點上的切線方程．【專題】轉化思想；轉化法；導數的綜合應用；運算求解．【答案】BC【分析】根據已知條件，對函數f（x）求導，結合導數的幾何意義，即可求解．【解答】解：函數f(求導可得，f'（x）＝3x2﹣3，令f'（x）＝3x2﹣3＝0，解得x＝1（負值舍去），當12≤x＜1時，f'（x）＜0，當1＜x≤2時，f'故f（x）在[12，1）上單調遞減，在（1，2]上單調遞增，故Af（x）在x＝1處取得極小值，也為最小值，又f（2）＝6，f（12）=故函數f（x）的值域為[2，6]，故B正確；f'（0）＝﹣3，f（0）＝4，故函數f（x）在點（0，4）處的切線方程為y﹣4＝﹣3（x﹣0），即y＝﹣3x+4，故C正確；由AB選項可知，關于x的方程f（x）＝a有2個不同的根當且僅當a∈(2，故選：BC．【點評】本題主要考查利用導數研究函數的單調性、最值，屬于基礎題．（多選）11．已知二項式(ax2+1x)A．n的所有取值組成的集合中有且僅有3個元素 B．若當n取最大值時常數項為30，則a=C．若當n取最小值時函數f(x)=(ax2+1x)n的D．若二項展開式中的所有項的系數和為0，則a＝﹣1【考點】利用導數求解曲線在某點上的切線方程；二項式定理的應用．【專題】轉化思想；綜合法；二項式定理；運算求解．【答案】BCD【分析】先根據展開式的項數不超過9，得到1≤n≤8，并利用二項式定理寫出二項展開式的通項，再根據展開式中存在常數項求出n的所有取值，即可判斷A；當n取最大值時求出n，k的值，根據二項展開式的通項即可求出常數項，進而可判斷B；當n取最小值時可得f（x）的解析式，然后利用導數的幾何意義求出a的值，最后進行檢驗，即可判斷C；令x＝1可得二項展開式中的所有項的系數和，進而得到a的值，即可判斷D．【解答】解：因為Tk+1=Cnk(ax2)因為展開式的項數不超過9，所以n+1≤9，所以1≤n≤8，因為展開式中存在常數項，所以2n﹣3k＝0有解，即k=2n3有解，所以n能被3整除，因此n＝3或選項A：顯然n的所有取值組成的集合中有且僅有2個元素，故A錯誤．選項B：當n取最大值時，n＝6，此時k＝4，故a2C64=15選項C：當n取最小值時，n＝3，此時f(則f（1）＝（a+1）3，f'(x)=3(ax2+1x)2(2ax-1x2)，由f′（1）＝當a＝﹣1時，f（1）＝0，函數圖象在點（1，f（1））處的切線與x軸重合，不符合題意，當a=12時，f(x)=(12x2+1選項D：對于(ax2+1x)n，令x＝1，則（a+1）n＝故選：BCD．【點評】本題考查二項式定理的應用，屬中檔題．（多選）12．已知函數f（x）＝sin2x，則（）A．f′（x）＝cos2x B．x=π4是f（C．f（x）在[0，π4D．f（x）在x＝0處的瞬時變化率為2【考點】基本初等函數的導數．【專題】轉化思想；轉化法；導數的綜合應用；運算求解．【答案】BD【分析】利用復合函數的導數、極值點的概念及平均變化率、瞬時變化率的算法逐項求解即可．【解答】解：函數f（x）＝sin2x，則f′（x）＝（sin2x）′＝cos2x?（2x）′＝2cos2x，所以A錯誤；因為f′（x）＝2cos2x，當x=π4且0＜x＜π4時，f′（x）＞0，π4＜x＜π2由f（x）在[0，π4]上的平均變化率為因為f′（x）＝2cos2x，當x＝0時，f′（0）＝2cos（2×0）＝2cos0＝2，故f（x）在x＝0處的瞬時變化率為2，所以D正確．故選：BD．【點評】本題主要考查導數的應用，屬于基礎題．三．填空題（共5小題）13．曲線y＝（2x﹣1）ex﹣2x+2在點（0，1）處的切線方程為x+y﹣1＝0．【考點】利用導數求解曲線在某點上的切線方程．【專題】轉化思想；綜合法；導數的綜合應用；運算求解．【答案】x+y﹣1＝0．【分析】由導數的幾何意義即可求解．【解答】解：∵y＝（2x﹣1）ex﹣2x+2，∴y′＝（2x+1）ex﹣2，當x＝0時，y′|x＝0＝﹣1，∴曲線在點（0，1）處的切線方程為y＝﹣x+1，即x+y﹣1＝0．故答案為：x+y﹣1＝0．【點評】本題考查利用導數求函數的切線，屬基礎題．14．函數f（x）＝x3﹣ax2+2x﹣1有極值，則實數a的取值范圍是(-∞，-6【考點】利用導數研究函數的極值．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；導數的綜合應用；運算求解．【答案】(-∞，-【分析】由題意知f′（x）有變號零點，根據Δ＞0求出答案．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣2ax+2，由題意知f′（x）有變號零點，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4×3×2＞0，解得a＞6或故答案為：(-∞，-【點評】本題主要考查利用導數研究函數的極值，考查運算求解能力，屬于基礎題．15．已知曲線y=1ex-lnx與直線y＝ax+4（a∈R）相切，則a＝【考點】利用導數求解曲線在某點上的切線方程．【專題】方程思想；轉化思想；綜合法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】﹣2e．【分析】根據題意建立方程，即可求解．【解答】解：∵y'=-1ex2則ax∴lnx易知f(x)=lnx+3-2ex在區間（∴x0∴a=故答案為：﹣2e．【點評】本題考查利用導數研究函數的切線問題，方程思想，屬基礎題．16．若曲線y=f(x)=lnx+32x在x＝【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關系；導數與切線的斜率．【專題】計算題；方程思想；綜合法；導數的概念及應用；三角函數的求值；運算求解．【答案】3．【分析】根據題意，求出f′（x），由導數的幾何意義可得tanα＝f′（2）＝2，進而由三角函數恒等變形公式分析可得答案．【解答】解：根據題意，f（x）＝lnx+32x，其導數f′（x）又由該函數在x＝2處的切線的傾斜角為α，則tanα＝f′（2）＝2，則sinα+cosα故答案為：3．【點評】本題考查導數的幾何意義，涉及三角函數的恒等變形，屬于基礎題．17．函數f（x）＝x2+lnx的圖象在點（1，1）處的切線的斜率為3．【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；導數與切線的斜率．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；導數的概念及應用；運算求解．【答案】3．【分析】根據題意，求出函數的導數，再利用導數的幾何意義可求出所求切線的斜率．【解答】解：根據題意，f（x）＝x2+lnx，其導數f'則f′（1）＝3．故函數f（x）的圖象在點（1，1）處的切線的斜率k＝3．故答案為：3．【點評】本題考查導數的幾何意義，涉及導數的計算，屬于基礎題．四．解答題（共5小題）18．已知二次函數f（x）＝x2+3x﹣a，a∈R．（Ⅰ）若a＝4時，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若函數f（x）在區間[a，a+1]上具有單調性，求實數a的取值范圍；（Ⅲ）解關于x的不等式f（x）＞ax+2a．【考點】利用導數求解函數的單調性和單調區間．【專題】分類討論；綜合法；函數的性質及應用；不等式的解法及應用；運算求解．【答案】（Ⅰ）{x|﹣4＜x＜1}；（Ⅱ）{a|a≤-52或a≥-（Ⅲ）a＝﹣3時，解集為{x|x≠﹣3}，當a＞﹣3時，解集為{x|x＞a或x＜﹣3}，當a＜﹣3時，解集為{x|x＞﹣3或x＜a}．【分析】（I）把a＝4代入函數解析式，然后結合二次不等式的求法即可求解；（Ⅱ）結合二次函數的單調性即可求解；（Ⅲ）結合二次不等式的求法對a的范圍進行分類討論即可求解．【解答】解：（Ⅰ）當a＝4時，f（x）＝x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，故不等式的解集為{x|﹣4＜x＜1}；（Ⅱ）若函數f（x）在區間[a，a+1]上具有單調性，則a+1≤-32或a解得a≤-52或a故a的范圍為{a|a≤-52或a≥-（Ⅲ）由f（x）＝x2+3x﹣a＞ax+2a可得（x﹣a）（x+3）＞0，當a＝﹣3時，解得x≠﹣3，當a＞﹣3時，解得x＞a或x＜﹣3，當a＜﹣3時，解得x＞﹣3或x＜a，故a＝﹣3時，解集為{x|x≠﹣3}，當a＞﹣3時，解集為{x|x＞a或x＜﹣3}，當a＜﹣3時，解集為{x|x＞﹣3或x＜a}．【點評】本題主要考查了二次不等式的求解，還考查了二次函數單調性的應用，屬于基礎題．19．設函數f(（1）證明：曲線y＝f（x）關于點（0，1）對稱．（2）已知f（x）為增函數．①求a的取值范圍．②證明：函數g(③若不等式f（﹣xex）+f（m﹣2ex）＜2對x∈[﹣4，2]恒成立，求m的取值范圍．【考點】利用導數求解函數的極值；利用導數求解函數的最值；不等式恒成立的問題．【專題】函數思想；定義法；導數的綜合應用；邏輯思維．【答案】（1）證明見詳解．（2）①[1②證明見詳解；③(-∞，-【分析】（1）根據函數對稱性定義判斷；（2）①由題可得f′（x）≥0恒成立，分離參數轉化為最值問題解決；②求g′（x），判斷g′（x）的單調性，結合零點存在性定理判斷g′（x）的正負，進而得證；③根據題意可得h（x）＝f（x）﹣1為奇函數，增函數，可將不等式恒成立轉化為h（m﹣2ex）＜﹣h（﹣xex）＝h（xex），即得m＜xex+2ex，x∈[﹣4，2]，構造函數p（x）＝xex+2ex＝（x+2）ex，利用導數求出最值得解．【解答】解：（1）證明：由于f(因此函數y＝f（x）關于點（0，1）對稱．（2）①由于函數f（x）為增函數，因此導函數f'(所以a≥2由于2ex(ex+1)2=2e那么2ex(因此a≥12，所以實數a②證明：由于導函數g'(x)=ax又因為g'(-4)=2e-4+1-4a，因為2g′（0）＝1＞0，因此導函數g′（x）在（﹣4，0）上存在唯一的零點x0，當x＞x0時，導函數g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增；當x＜x0時，導函數g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減，因此g（x）存在唯一的極值點．③根據第一問知，y＝f（x）關于點（0，1）對稱，因此函數h（x）＝f（x）﹣1為奇函數，根據f（﹣xex）+f（m﹣2ex）＜2，x∈[﹣4，2]，得f（﹣xex）﹣1+f（m﹣2ex）﹣1＜0，所以h（﹣xex）+h（m﹣2ex）＜0，所以h（m﹣2ex）＜﹣h（﹣xex）＝h（xex），由于函數f（x）為增函數，因此h（x）＝f（x）﹣1為增函數，所以m﹣2ex＜xex，所以m＜xex+2ex，x∈[﹣4，2]，設p（x）＝xex+2ex＝（x+2）ex，那么導函數p′（x）＝（x+3）ex，x∈[﹣4，2]當x＞﹣3時，導函數p′（x）＞0，p（x）單調遞增，當x＜﹣3時，導函數p′（x）＜0，p（x）單調遞減，所以p（x）在[﹣4，﹣3]上單調遞減，在（﹣3，2]上單調遞增，故m＜所以m的取值范圍為(-∞，-【點評】本題考查導數的綜合應用，屬于中檔題．20．已知函數f（x）＝x2﹣4lnx．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．【考點】利用導數求解函數的單調性和單調區間；利用導數求解曲線在某點上的切線方程．【專題】函數思想；綜合法；導數的綜合應用；運算求解．【答案】（Ⅰ）2x+y﹣3＝0；（Ⅱ）單調遞增區間為(2，+∞)【分析】（Ⅰ）利用導數的幾何意義求解即可；（Ⅱ）利用導函數與函數單調性的關系求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f'則f′（1）＝﹣2，又f（1）＝1，則所求切線方程為y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣3＝0；（Ⅱ）函數的定義域為（0，+∞），f'令f′（x）＞0，解得x＞2，令f′（x）＜0，解得則函數f（x）的單調遞增區間為(2，+∞)【點評】本題考查導數的幾何意義以及利用導數研究函數的單調性，考查運算求解能力，屬于基礎題．21．已知函數f（x）＝x2﹣2x+alnx，（a∈R）．（1）若a＝1，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線；（2）若對任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有(x1-x2【考點】利用導數求解函數的單調性和單調區間；利用導數求解曲線在某點上的切線方程．【專題】函數思想；定義法；導數的綜合應用；邏輯思維．【答案】（1）y＝x﹣2．（2）a∈[0，2e3]．【分析】（1）求導，可得切點處的斜率，即可由點斜式求解直線方程，（2）將不等式變形為f(x1【解答】解：（1）f'當a＝1時，f（1）＝﹣1，f′（x）＝1，故切線方程為：y+1＝x﹣1，即y＝x﹣2；（2）不妨設0＜x1＜x2，則x2f（x1）﹣x1f（x2）＜0，同除以x1x2得f(所以G(x)=f(所以G'①若a＝0，G′（x）＞0恒成立，符合題意；②若a＞0，則1a≥令F(x)=令F'(x所以F（x）在(0，e3所以1a≥F(e32)=12e③若a＜0，同理，1a≤由②可知，當x→0+時，F（x）→﹣∞，所以不存在滿足條件的a．綜上，實數a的取值范圍是a∈[0，2e3]．【點評】本題考查導數綜合應用，屬于難題．22．已知函數f（x）＝x2﹣（λ+3）x+λlnx．（1）若λ＝﹣3，求f（x）的單調區間；（2）若f（x）既有極大值，又有極小值，求實數λ的取值范圍．【考點】利用導數求解函數的單調性和單調區間；利用導數求解函數的極值．【專題】綜合題；對應思想；綜合法；導數的綜合應用；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）單調遞減區間為(0，62（2）（0，+∞）．【分析】（1）由題意，將λ＝﹣3代入函數解析式中，對函數進行求導，利用導數即可得到函數的單調性；（2）對函數f（x）進行求導，將問題轉化成方程2x2﹣（λ+3）x+λ＝0有兩個不同的正根，再進行求解即可．【解答】解：（1）當λ＝﹣3時，f（x）＝x2﹣3lnx，函數定義域為（0，+∞），可得f'當0＜x＜62時，f′（x）＜0；當x＞62時，f′（所以f（x）的單調遞減區間為(0，62（2）易知f'令f′（x）＝0，若f（x）既有極大值，又有極小值，此時方程2x2﹣（λ+3）x+λ＝0有兩個不同的正根，所以Δ=(解得λ＞0．故實數λ的取值范圍為（0，+∞）．【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性，考查了邏輯推理、轉化思想和運算能力，屬于基礎題．

考點卡片1．由函數解析式求解函數圖象【知識點的認識】函數圖象的作法：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線．利用描點法作函數圖象其基本步驟是列表、描點、連線．首先：①確定函數的定義域；②化簡函數解析式；③討論函數的性質（奇偶性、單調性、周期性、對稱性等）．其次：列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等），描點，連線．【解題方法點撥】1、畫函數圖象的一般方法（1）直接法：當函數表達式（或變形后的表達式）是熟悉的基本函數或解析幾何中熟悉的曲線時，可根據這些函數或曲線的特征直接作出．（2）圖象變換法：若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數的要先變形，并應注意平移變換與伸縮變換的順序對變換單位及解析式的影響．（3）描點法：當上面兩種方法都失效時，則可采用描點法．為了通過描少量點，就能得到比較準確的圖象，常常需要結合函數的單調性、奇偶性等性質討論．2、尋找圖象與函數解析式之間的對應關系的方法知式選圖：①從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；②從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；③從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性．④從函數的周期性，判斷圖象的循環往復．利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確選項．注意聯系基本函數圖象和模型，當選項無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破口．【命題方向】識圖的方法對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面來獲取圖中所提供的信息，解決這類問題的常用方法有：①定性分析法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特征來分析解決問題；②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；③函數模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯想相關函數模型，利用這一函數模型來分析解決問題．函數f(x)=A.B.C.D.解：∵函數f(x)=x3+sinx3x∴函數為奇函數，故排除C，D，又f(π)=故選：A．2．導數及其幾何意義【知識點的認識】1、導數的定義如果函數f（x）在（a，b）中每一點處都可導，則稱f（x）在（a，b）上可導，則可建立f（x）的導函數，簡稱導數，記為f′（x）；如果f（x）在（a，b）內可導，且在區間端點a處的右導數和端點b處的左導數都存在，則稱f（x）在閉區間[a，b]上可導，f′（x）為區間[a，b]上的導函數，簡稱導數．2、導數的幾何意義函數f（x）在x＝x0處的導數就是切線的斜率k．例如：函數f（x）在x0處的導數的幾何意義：k切線＝f′（x0）=x【解題方法點撥】（1）利用導數求曲線的切線方程．求出y＝f（x）在x0處的導數f′（x）；利用直線方程的點斜式寫出切線方程為y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函數在x＝x0處可導，則圖象在（x0，f（x0））處一定有切線，但若函數在x＝x0處不可導，則圖象在（x0，f（x0））處也可能有切線，即若曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的導數不存在，但有切線，則切線與x軸垂直．（3）注意區分曲線在P點處的切線和曲線過P點的切線，前者P點為切點；后者P點不一定為切點，P點可以是切點也可以不是，一般曲線的切線與曲線可以有兩個以上的公共點，（4）顯然f′（x0）＞0，切線與x軸正向的夾角為銳角；f′（x0）＜0，切線與x軸正向的夾角為鈍角；f（x0）＝0，切線與x軸平行；f′（x0）不存在，切線與y軸平行．【命題方向】題型一：根據切線方程求斜率典例1：已知曲線y=x2A．3B．2C．1D．1解：設切點的橫坐標為（x0，y0）∵曲線y=x2∴y′=x02-3x0=12，解得x故選A．題型二：求切線方程典例2：已知函數f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即為（﹣3，3）∴在點（﹣3，f（﹣3））處的切線過（﹣3，3）將（﹣3，3）代入選項通過排除法得到點（﹣3，3）只滿足A故選A．3．變化率的極限與導數的概念【知識點的認識】導數的概念：函數f（x）在x＝x0處時的瞬時變化率是函數y＝f（x）在x＝x0處的導數，記作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解題方法點撥】導函數的特點：①導數的定義可變形為：f′（x）=△②可導的偶函數其導函數是奇函數，而可導的奇函數的導函數是偶函數；③可導的周期函數其導函數仍為周期函數；④并不是所有函數都有導函數．⑤導函數f′（x）與原來的函數f（x）有相同的定義域（a，b），且導函數f′（x）在x0處的函數值即為函數f（x）在點x0處的導數值．⑥區間一般指開區間，因為在其端點處不一定有增量（右端點無增量，左端點無減量）．【命題方向】常見題型包括利用極限定義導數，解決涉及導數和變化率的實際問題．已知函數y＝f（x）在x＝x0處的導數f'（x0）＝﹣1，則limΔx→0解：∵f'（x0）＝﹣1，∴limΔx→0f(x0+4．導數與切線的斜率【知識點的認識】導數的幾何意義函數f（x）在x＝x0處的導數就是切線的斜率k．例如：函數f（x）在x0處的導數的幾何意義：k切線＝f′（x0）=x【解題方法點撥】（1）利用導數求曲線的切線方程．求出y＝f（x）在x0處的導數f′（x）；利用直線方程的點斜式寫出切線方程為y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函數在x＝x0處可導，則圖象在（x0，f（x0））處一定有切線，但若函數在x＝x0處不可導，則圖象在（x0，f（x0））處也可能有切線，即若曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的導數不存在，但有切線，則切線與x軸垂直．【命題方向】求切線方程典例2：已知函數f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即為（﹣3，3）∴在點（﹣3，f（﹣3））處的切線過（﹣3，3）將（﹣3，3）代入選項通過排除法得到點（﹣3，3）只滿足A故選A．5．基本初等函數的導數【知識點的認識】1、基本函數的導函數①C′＝0（C為常數）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[lnx2、和差積商的導數①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、復合函數的導數設y＝u（t），t＝v（x），則y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解題方法點撥】1．由常數函數、冪函數及正、余弦函數經加、減、乘運算得到的簡單的函數均可利用求導法則與導數公式求導，而不需要回到導數的定義去求此類簡單函數的導數．2．對于函數求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則．求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用．在實施化簡時，首先要注意化簡的等價性，避免不必要的運算失誤．【命題方向】題型一：和差積商的導數典例1：已知函數f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）為f（x）的導函數，則f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）為偶函數；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b?20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故選D．題型二：復合函數的導數典例2：下列式子不正確的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由復合函數的求導法則對于選項A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正確；對于選項B，(lnx-2對于選項C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正確；對于選項D，(sinxx)'=故選C．6．簡單復合函數的導數【知識點的認識】1、基本函數的導函數①C′＝0（C為常數）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′2、和差積商的導數①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、復合函數的導數設y＝u（t），t＝v（x），則y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解題方法點撥】1．由常數函數、冪函數及正、余弦函數經加、減、乘運算得到的簡單的函數均可利用求導法則與導數公式求導，而不需要回到導數的定義去求此類簡單函數的導數．2．對于函數求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則．求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用．在實施化簡時，首先要注意化簡的等價性，避免不必要的運算失誤．【命題方向】題型一：和差積商的導數典例1：已知函數f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）為f（x）的導函數，則f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）為偶函數；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b?20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故選D．題型二：復合函數的導數典例2：下列式子不正確的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由復合函數的求導法則對于選項A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正確；對于選項B，(lnx-2對于選項C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正確；對于選項D，(sinxx)'=故選C．7．利用導數研究函數的單調性【知識點的認識】1、導數和函數的單調性的關系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應區間為增區間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應區間為減區間．2、利用導數求解多項式函數單調性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計算導數f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個區間，列表考察這若干個區間內f′（x）的符號，進而確定f（x）的單調區間：f′（x）＞0，則f（x）在對應區間上是增函數，對應區間為增區間；f′（x）＜0，則f（x）在對應區間上是減函數，對應區間為減區間．【解題方法點撥】若在某區間上有有限個點使f′（x）＝0，在其余的點恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數（減函數的情形完全類似）．即在區間內f′（x）＞0是f（x）在此區間上為增函數的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】題型一：導數和函數單調性的關系典例1：已知函數f（x）的定義域為R，f（﹣1）＝2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對任意x∈R，f′（x）＞2，∴對任意x∈R，g′（x）＞0，即函數g（x）單調遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B題型二：導數和函數單調性的綜合應用典例2：已知函數f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；（Ⅱ）若函數y＝f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數g(x)=x3+x（Ⅲ）求證：ln2解：（Ⅰ）f'(x當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，1]，減區間為[1，+∞）；當a＜0時，f（x）的單調增區間為[1，+∞），減區間為（0，1]；當a＝0時，f（x）不是單調函數（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）＝﹣2∴g由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g（Ⅲ）令a＝﹣1此時f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調遞增，∴當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln8．利用導數求解函數的單調性和單調區間【知識點的認識】1、導數和函數的單調性的關系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應區間為增區間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應區間為減區間．2、利用導數求解多項式函數單調性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計算導數f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個區間，列表考察這若干個區間內f′（x）的符號，進而確定f（x）的單調區間：f′（x）＞0，則f（x）在對應區間上是增函數，對應區間為增區間；f′（x）＜0，則f（x）在對應區間上是減函數，對應區間為減區間．【解題方法點撥】若在某區間上有有限個點使f′（x）＝0，在其余的點恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數（減函數的情形完全類似）．即在區間內f′（x）＞0是f（x）在此區間上為增函數的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】導數和函數單調性的關系典例1：已知函數f（x）的定義域為R，f（﹣1）＝2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對任意x∈R，f′（x）＞2，∴對任意x∈R，g′（x）＞0，即函數g（x）單調遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B9．利用導數研究函數的極值【知識點的認識】1、極值的定義：（1）極大值：一般地，設函數f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數f（x）的一個極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點；（2）極小值：一般地，設函數f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函數f（x）的一個極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點．2、極值的性質：（1）極值是一個局部概念，由定義知道，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小，并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小；（2）函數的極值不是唯一的，即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個；（3）極大值與極小值之間無確定的大小關系，即一個函數的極大值未必大于極小值；（4）函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點，而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點．3、判別f（x0）是極大、極小值的方法：若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側f（x）的導數異號，則x0是f（x）的極值點，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側滿足“左正右負”，則x0是f（x）的極大值點，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側滿足“左負右正”，則x0是f（x）的極小值點，f（x0）是極小值．4、求函數f（x）的極值的步驟：（1）確定函數的定義區間，求導數f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區間分成若干小開區間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，則f（x）在這個根處無極值．【解題方法點撥】在理解極值概念時要注意以下幾點：（1）按定義，極值點x0是區間[a，b]內部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導）．（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領域內成立即可．要注意極值必須在區間內的連續點取得．一個函數在定義域內可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小．（3）若f（x）在（a，b）內有極值，那么f（x）在（a，b）內絕不是單調函數，即在區間上單調的函數沒有極值．（4）若函數f（x）在[a，b]上有極值且連續，則它的極值點的分布是有規律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當函數f（x）在[a，b]上連續且有有限個極值點時，函數f（x）在[a，b]內的極大值點、極小值點是交替出現的，（5）可導函數的極值點必須是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點，不可導的點也可能是極值點，也可能不是極值點．10．利用導數求解函數的極值【知識點的認識】1、判別f（x0）是極大、極小值的方法：若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側f（x）的導數異號，則x0是f（x）的極值點，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側滿足“左正右負”，則x0是f（x）的極大值點，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側滿足“左負右正”，則x0是f（x）的極小值點，f（x0）是極小值．2、求函數f（x）的極值的步驟：（1）確定函數的定義區間，求導數f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區間分成若干小開區間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，則f（x）在這個根處無極值．【解題方法點撥】﹣求導：計算函數的導數f'（x）．﹣零點分析：求解f'（x）＝0以找到可能的極值點．﹣極值判斷：通過二階導數或導數符號變化判斷極值類型．【命題方向】常見題型包括利用導數求解函數的極值，分析函數在極值點的行為．已知函數f（x）＝﹣lnx+2x﹣2．求函數f（x）的極值．解：f（x）的定義域為（0，+∞）．令f'（x）＝0，得-1x+2=0令f'（x）＞0，得x＞12；令f'（x）＜0故f（x）在(0，12所以f（x）存在極小值為f(11．利用導數求解函數的最值【知識點的認識】1、函數的最大值和最小值觀察圖中一個定義在閉區間[a，b]上的函數f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區間[a，b]上連續的函數f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說明：（1）在開區間（a，b）內連續的函數f（x）不一定有最大值與最小值．如函數f（x）=1x在（0，（2）函數的最值是比較整個定義域內的函數值得出的；函數的極值是比較極值點附近函數值得出的．（3）函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，是f（x）在閉區間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數在其定義區間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個2、用導數求函數的最值步驟：由上面函數f（x）的圖象可以看出，只要把連續函數所有的極值與定義區間端點的函數值進行比較，就可以得出函數的最值了．設函數f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f（x）在（a，b）內的極值；（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數f（x）在[a，b]上的最值．【解題方法點撥】﹣求導：計算函