第19章四邊形義務教育滬科版數學八年級下冊19.1多邊形內角和情景引入在實際生活當中，除了三角形，還有許多由線段圍成的圖形.觀察圖片，你能找到一些由線段圍成的圖形嗎？中國第一奇村諸葛八卦村美國國防部大樓—五角大樓問題1什么是三角形？由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.問題2

觀察畫某多邊形的過程，類比三角形的概念，你能說出什么是多邊形嗎？在平面內，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.A1A2A3An－1An組成多邊形的線段叫做多邊形的邊.A1A2A3An－1An相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點.A1A2A3An－1An多邊形中相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角，簡稱多邊形的角；A1A2A3An－1An在頂點處一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做多邊形的外角.多邊形一般按邊數命名，并用它各個頂點的字母順次排列來表示.如圖.四邊形

ABCD五邊形ABCDE六邊形ABCDEF

一個多邊形，如果把它任何一邊雙向延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的多邊形就是凸多邊形，如圖(1).(1)(2)而圖(2)所示的圖形就不是凸多邊形.本教科書中所研究的都是凸多邊形.探究我們知道，三角形的內角和為180°，下面來探討多邊形的內角和.1.四邊形的內角和是多少?按下面兩種方法之一試一試：(1)如圖，連接AC，能推得四邊形的內角和嗎?多邊形中連接不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線，這里的AC是匹邊形ABCD的一條對角線.(2)如圖，在四邊形內任取一點O，連接OA，OB，OC，OD，也能推得四邊形內角和嗎?O四邊形的內角和等于_________________________.360°2.五邊形的內角和又是多少呢?如圖，能仿照上述方法去推得嗎?五邊形的內角和等于_________________________.540°3.一般地，n邊形的內角和是多少呢?定理

n邊形的內角和等于(n－2)·180°

(n為不小于3的整數).你能給出這個定理的證明嗎?思考上面研究了多邊形的內角和.在多邊形的每個頂點處取多邊形的一個外角，它們的和叫做多邊形的外角和.多邊形外角和又有怎樣的規律?如圖，四邊形的每一個外角都與同它相鄰的內角互補，你能利用四邊形的內角和來計算四邊形的外角和嗎?四邊形的外角和等于_________________________.360°一般地，對于n邊形可同樣分析.定理

n邊形的外角和等于360°(n

為不小于3的定理整數).多邊形中，如果各條邊都相等，各個內角都相等，這樣的多邊形叫做正多邊形.正三角形正五邊形正六邊形例題例

求正六邊形每個內角的度數.解正六邊形的內角和為(6－2)×180°＝720°，所以每個內角的度數為720°÷6＝120°.三角形具有穩定性，但四邊形則具有不穩定性(即各邊的長確定后，圖形形狀不能確定)，如圖19－8.在日常生活中，四邊形的不穩定性，也有較為廣泛的應用，如圖19－9中活動的鐵柵欄門，正是由于四邊形可以變動，所以它可以拉開，也可以收攏.你能舉出應用四邊形的不穩定性的其他例子嗎?練習1.四邊形ABCD中，四個內角度數之比是1∶2∶3∶4，求出四個內角的度數

設四個內角度數分別是x°，2x°，3x°，4x°，

由題意得：x＋2x＋3x＋4x＝180(4－2)，

解得：x＝36，2x°＝72°，3x°＝108°，4x°＝144°，故四邊形的四個內角的度數分別為：36°，72°，108°，144°.2.一個多邊形的內角和是1440°，求這個多邊形的邊數.設n為多邊形的邊數，則多邊形的內角和為：(n－2)

×180°(n大于等于3且n為整數)，由題意得：(n－2)

×180°＝1440°.∴n＝10故這個多邊形的邊數為10.3.正多邊形的每個內角可能是：(1)75°；(2)90°；(3)120°嗎?說明理由

3.正多邊形的每個內角可能是：(1)75°；(2)90°；(3)120°嗎?說明理由(2)正多邊形的每個內角可能是90°，理由是：正多邊形的內角是90°，則外角是90°，多邊形的外角和是360°，360°÷90°＝4，即正四邊形的內角是90°，故正多邊形的每個內角可能是90°；3.正多邊形的每個內角可能是：(1)75°；(2)90°；(3)120°嗎?說明理由(3)正多邊形的每個內角可能是120°，理由是：正多邊形的內角是120°，則外角是60°，多邊形的外角和是360°，360°÷60°＝6，即正六邊形的內角是120°，故正多邊形的每個內角可能是120°.習題19.11.求十邊形的內角和.∵n邊形的內角和為：(n－2)

×180°(n為不小于3的整數)∴十邊形的內角和為(10－2)

×180°＝1440°.2.求正五邊形的每一個外角的度數.∵多邊形的外角和為360°，正多邊形的每一個外角都相等，∴正五邊形的每一個外角的度數為：360°÷5＝72°，即正五邊形的每一個外角的度數為72°.3.一個多邊形，每一個外角都等于45°，這個多邊形是

幾邊形，它的內角和是多少?

4.一個多邊形的內角和等于它的外角和，求這個多邊

形邊數.設這個多邊形邊數為n，由題意可得：180°(n－2)

＝

360°解得：

n＝4答：這個多邊形邊數為4.5.(1)過四邊形的一個頂點有_____條對角線，四邊形共

有______條對角線；(2)過五邊形的一個頂點有_____條對角線，五邊形共

有_____條對角線；(3)過n

邊形的一個頂點有______條對角線，n邊形共

有_______條對角線.1225n

－3

6.若一個多邊形的邊數與對角線的條數相等，求這個

多邊形的邊數.

7.如果一個n

邊形的邊數增加1，那么它的內角和增加

多少度?如果n

邊形的邊數增加到原來的2倍，那么

它的內角和增加多少度?當