第44講解析幾何中的極點極線問題

選擇題（共4小題）

22

1.（2021?柯橋區模擬）過點的兩條直線乙分別與雙曲線C:

ab

相交于點A,C和點5,D,滿足BM=>0>21）.若直線他的

斜率左=2,則雙曲線C的離心率是（）

A.0B.A/2+1C.2D.A/3

22

2.（2021?武漢模擬）已知橢圓E:5+與=1（°>6>0）內有一點M（2,l）,過M的兩條直線

ab

\,，2分別與橢圓石交于A，。和5,。兩點，且滿足=（其中；1>0,

且241）,若彳變化時，的斜率總為-;，則橢圓E的離心率為（）

2

3.（2021?武漢模擬）已知A,5分別為雙曲線「:爐—匕=1實軸的左右兩個端點，過雙曲

3

線「的左焦點尸作直線PQ交雙曲線于尸，。兩點（點P,。異于A,3）,則直線AP,BQ

的斜率之比七P：&Q=（）

13

A.B.-3C.D.

32

22

4.（2021?湖北月考）已知橢圓C:\+5=1的左右頂點分別為A,B,過x軸上點M?0）

作一直線P。與橢圓交于尸，。兩點（異于A,B）,若直線AP和B。的交點為N,記直線

MN和AP的斜率分別為尢，k2,則左:《=()

A.-B.3C.-D.2

32

二.填空題（共4小題）

5.已知橢圓E:二+馬=1（。>6>0）內有一點M（2,1）過點M的兩條直線分別與橢圓E相交

ab

于4C和33兩點若除一隅，若直線"的斜率為j則該橢圓的離心率為

22

6.（2021?龍鳳區校級月考）已知橢圓￡:=+當=1（。>6>0）內一點“（2,1）,過點M的兩

ab

條直線4，6分別與橢圓石交于A，C和3,D兩點，且滿足=（其

7

中彳＞0且彳/1）,若；I變化時直線AB的斜率總為-,，則橢圓的禺心率為.

22

7.設廠為橢圓C:上+乙=1的右焦點，過橢圓C外一點尸作橢圓C的切線，切點為M,

43

若ZPFM=90°,則點尸的軌跡方程為.

8.（2021?南通模擬）若橢圓耳+《=1的焦點在x軸上，過點（12）作圓尤2+丁f的切線，

a2b-2

切點分別為A,B,直線AB恰好經過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是—.

三.解答題（共32小題）

22

9.（2021?朝陽區校級期中）已知A,3分別是橢圓C:f+】=1（。＞6＞0）的左、右頂點，

ab

1

點D（l,3-）在橢圓C上，且直線D與直線DB的斜率之積為h-幺.

24

（I）求橢圓C的方程；

（II）如圖，已知P,。是橢圓C上不同于頂點的兩點，直線AP與Q2交于點直線PB

與AQ交于點N.若弦尸。過橢圓的右焦點F?,求直線的方程.

10.（2021?常熟市期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E:=+斗=1（。＞6＞0）

ab

過點（1,|）,離心率為:，點3,C分別是橢圓E的左、右頂點，點P是直線/:x=4上的一

個動點（與x軸交點除外），直線PC交橢圓于另一點

（1）求橢圓E的方程；

（2）當直線尸3過橢圓E的短軸頂點（0,6）時，求的面積.

T--1

11.（2021?祁江區校級期中）如圖，已知橢圓C：3+馬V=1（。＞6＞0）的離心率為士，A,

a2b22

3分別是橢圓C的左、右頂點，右焦點尸，BF=1,過/且斜率為以左＞0）的直線/與橢圓

C相交于N兩點,〃在x軸上方.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）記入4而，ABfN的面積分別為S1,S2,若色=3,求人的值；

S22

（3）設線段MN的中點為。，直線OD與直線x=4相交于點E,記直線AM,BN,FE的

22

12.（2021春?射洪市期末）如圖，已知橢圓C:三+[=1（。＞%＞0）的左,右焦點分別為廣,

ab

F,A、3分別是橢圓C的左、右頂點，短軸為26，長軸長是焦距的2倍，過右焦點尸

且斜率為左/＞0）的直線/與橢圓C相交于M、N兩點.

（1）若左=1時，記AAKW、AB/W的面積分別為耳、S],求1+2的值;

SB?

（2）記直線3N的斜率分別為《、k2,是否存在常數彳使人=幾匕成立，若存在，求

出彳的值，若不存在，請說明理由.

222

13.（2021?全國模擬）橢圓召:*+'=1（。＞6＞0）的右焦點為尸（c,0）,規定直線了=幺為

abc

橢圓E的右準線，橢圓E上的任意一點到右焦點F的距離與其到右準線的距離之比為￡.己

a

22

知橢圓￡:工+乙=1.

43

（1）若點￡＞（-1,1），P是橢圓E上的任意一點，求|尸0+2|「尸|的最小值;

（2）若M,N分別是橢圓E的左、右頂點，過點尸的直線/與橢圓E交于A,3兩點（A,

3非頂點），證明：直線A"與3N的交點在橢圓E的右準線上.

22

14.（2021?南平二模）已知橢圓T:，+當=1（。>匕>0）.

ab

（I）若橢圓T的離心率為且，過焦點且垂直于z軸的直線被橢圓截得弦長為

33

①求橢圓方程；

②過點尸（2,1）的兩條直線分別與橢圓尸交于點A,C和3,。，若AB〃CE>,求直線他的

斜率；

（II）設尸（七,%）為橢圓T內一定點（不在坐標軸上），過點尸的兩條直線分別與橢圓T交

于點A,C和3,D,且AB//CD,類比（I）②直接寫出直線T的斜率.（不必證明）

15.（2021?安徽模擬）設尸（%,%）為橢圓了+>=1內一定點（不在坐標軸上），過點P的

兩直線分別與橢圓交于A,C和3,D,若AB//CD.

（I）證明：直線鉆的斜率為定值；

（II）過點尸作鉆的平行線，與橢圓交于E,R兩點，證明：點P平分線段￡F.

16.（2021?安陽三模）已知橢圓加的中心在坐標原點，焦點在x軸上，其短軸長為2,離心

率為日?點尸（毛，％）為橢圓加內一定點（不在坐標軸上），過點P的兩直線分別與橢

圓交于點A,C和3,D,且AB//CO.

（I）求橢圓M的標準方程；

（II）證明：直線AB的斜率為定值.

17.（2021?南昌一模）已知拋物線E:/=2處（0>0）的焦點為R,過點P且斜率為左（AwO）

的動直線/與拋物線交于A,3兩點，直線/'過點A（%,%）,且點F關于直線廠的對稱點R（X],

-1）-

（1）求拋物線E的方程，并證明直線/'是拋物線E的切線；

（2）過點A且垂直于/'的直線交y軸于點G,AG,3G與拋物線E的另一個交點分別為C,

D,記AAGB的面積為ACGD的面積為邑，求邑的取值范圍.

18.(2021?金華模擬)如圖，已知拋物線丁=-，過點P(-1,1)的直線/斜率為左，與拋物

線交于A,3兩點.

(I)求斜率左的取值范圍；

(II)直線/與x軸交于點過點M且斜率為-2左的直線與拋物線交于C,。兩點，設

直線AC與直線ND的交點N的橫坐標為4,是否存在這樣的上,使%=-5,若存在，求出

19.(2021?新津縣校級月考)已知點尸為拋物線=2px(p>0)的焦點，點42,〃2)在拋

物線E上，且|AF|=3.

(1)求拋物線E的方程；

(2)已知點G(-l,0),延長？1F交拋物線E于點3,以點P為圓心作與直線G4相切的圓P,

求圓廠的半徑，判斷圓月與直線GB的位置關系，并說明理由.

20.（2015?四川）如圖，橢圓E：=+馬=1（。>6>0）的離心率是也，過點尸（0,1）的動直

ab2

線/與橢圓相交于A、B兩點,當直線/平行于x軸時，直線/被橢圓石截得的線段長為2&.

（I）求橢圓E的方程；

（II）在平面直角坐標系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使得3=儂恒成立？

\QB\\PB\

若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

21.（2021秋?西城區校級期中）已知拋物線C的頂點為原點，其焦點尸（0,c）（c>0）到直

線/:x—y—2=0的距離為挈.

（I）求拋物線C的方程；

（11）設點尸（尤0,%）為直線/上一定點，過點P作拋物線C的兩條切線24,其中A,

3為切點，求直線AB的方程，并證明直線AB過定點。.

22.（2021秋?西城區校級期中）已知拋物線C的頂點為原點，其焦點歹（0,c）（c>0）到直

線/:%—>一2=0的距離為邛.

（I）求拋物線C的方程；

（11）設點尸（尤0,%）為直線/上一動點，過點P作拋物線C的兩條切線24,P3,其中A,

3為切點，求直線AB的方程，并證明直線AB過定點。；

（III）過（II）中的點。的直線m交拋物線C于A,B兩點,過點A,3分別作拋物線C

的切線//心求/「4交點〃滿足的軌跡方程.

23.（2021?越秀區校級期中）在平面直角坐標系xOy中，直線/:y=舊片0）交y軸于點M,

交拋物線C:;/=2/（0>0）于點尸，A/關于點尸的對稱點為N,連接ON并延長交C于點

H.設拋物線C的焦點為廠.

（1）若點A（2,〃z）在拋物線C上且|AR|=3,求拋物線C的方程；

（2）證明HU〃為定值.

|ON|

24.（2021?浙江）如圖，已知點尸是y軸左側（不含y軸）一點，拋物線C:丁=4x上存在

不同的兩點A,B滿足24,PB的中點均在C上.

（I）設AB中點為Af,證明：PAf垂直于y軸；

2

（II）若P是半橢圓尤2+上=1（尤<0）上的動點，求面積的取值范圍.

25.（2021?金安區校級期末）如圖所示，已知點尸（飛,%）是y軸左側一點,拋物線。:丁=4x

上存在不同的兩點4今,），1）,3（號,%），鉆中點為M,PA,尸3的中點均在C上.

（1）求證：%+%=2%;

,2

（2）若P是半橢圓尤2+2-=1（無<0）上的動點，求IPMI長度的取值范圍.

<-

26.（2021?楊浦區期末）如圖,已知點尸是y軸左側（不含y軸）一點，拋物線C:y2=4x

上存在不同的兩點A,B,滿足以，PB的中點均在拋物線C上

（1）求拋物線。的焦點到準線的距離；

（2）設AB中點為A/,且尸（%尸，力），,yM）,證明：yP=yM

2

（3）若P是曲線x2+2L=l（x<0）上的動點，求兇45面積的最小值.

27.（2021?懷化一模）如圖，己知點P是y軸左側（不含y軸）一點，點尸為拋物線。：丁=》

的焦點，且拋物線C上存在不同的兩點A,B.

（1）若AB中點為且滿足B4,PB的中點均在C上，證明：尸河垂直于y軸；

（2）若點A,3在該拋物線上且位于x軸的兩側，0A08=6（。為坐標原點），且AABO與

AAFO的面積分別為航和邑，求H+4邑最小值.

122

28.（2021秋?通州區期末）如圖，已知橢圓。:Y=+V5=15>〃>0）經過點2（13」），離心率

crlr2

1

e=—.

2

（I）求橢圓。的標準方程；

（II）設45是經過右焦點尸的任一弦（不經過點尸），直線AB與直線/:尤=4相交于點M,

記B4,PB,的斜率分別為匕，攵2，自，求證：K，k3,左2成等差數列.

的方程為x=4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）AB是經過右焦點F的任一弦（不經過點P）,設直線AB與直線I相交于點M,記A4,

PB，PM的斜率分別為冗,k2,勺?問：是否存在常數A，使得匕+&=法3?若存在,

30.（2021?張掖期末）如圖，橢圓的兩頂點A-1,0）,5（1,0）,過其焦點廠（0,1）的直線/與橢

圓交于C,。兩點，并與無軸交于點P,直線AC與直線交于點。.

（1）當|。|=￥時，求直線/的方程；

（2）當點P異于A,3兩點時，求證：點P與點。橫坐標之積為定值.

22

31.（2021秋?棗強縣校級期末）橢圓與+3=1（。>6>0）的兩頂點為A,3如圖，離心率

a~6一

為在，過其焦點P（0,1）的直線/與橢圓交于C,。兩點，并與x軸交于點P,直線AC

2

與直線BD交于點。.

(I)當|。|=乎時，求直線/的方程；

(II)當點P異于A,3兩點時，求證：。尸為定值.

32.(2015秋?成都校級月考)在平面直角坐標系中，如圖所示，已知橢圓獲+：=1的

左、右頂點分別為A,B,右焦點為F.設過點的直線Z4,7B與此橢圓分別交

于點〃(石，y),N(X2,%)，其中相>0，%>。，%<0.

(I)設動點?滿足：|尸方『-1尸3『=4,求點P的軌跡；

(II)設％=2,9=3，求點T的坐標；

(III)設『=9,求證：直線AZN必過x軸上的一定點(其坐標與機無關)，并求出該定點的

22

33.(2021春?南開區校級月考)已知橢圓多=1的右焦點為(1,0),且經過點A(0,l).

ab

(1)求橢圓C的方程；

(2)設。為原點，直線/:>="+/?N±1)與橢圓C交于兩個不同點P,Q,直線"與x軸

交于點直線AQ與x軸交于點N,若OM.ON=1.求證：直線/經過定點.

22

34.(2021?北京)已知橢圓C：f+A=l的右焦點為(1,0),且經過點A(0,l).

a"b

(I)求橢圓C的方程；

(II)設。為原點，直線/:丫=依+舊片±1)與橢圓C交于兩個不同點P、Q,直線AP與x

軸交于點M，直線A。與x軸交于點N.若|OM|」ON|=2,求證：直線/經過定點.

35.（2012?福建）如圖，等邊三角形。的邊長為8g,且其三個頂點均在拋物線

E:x2=2py（p>0）上.

（1）求拋物線E的方程；

（2）設動直線/與拋物線E相切于點P,與直線y=-l相交于點。.證明以P。為直徑的圓

恒過y軸上某定點.

22

36.（2013?崇明縣一模）如圖，橢圓E:=+斗=1（。>6>0）的左焦點為耳，右焦點為F2,

ab

過月的直線交橢圓于A,B兩點,AAB工的周長為8,且鳥面積最大時，片鳥為

正三角形.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設動直線/:、=區+%與橢圓E有且只有一個公共點尸，且與直線x=4相交于點Q.試

探究：①以為直徑的圓與x軸的位置關系？

②在坐標平面內是否存在定點使得以P。為直