第五章四邊形

重難點13幾何壓軸突破一四邊形壓軸

（18種題型匯總+專題訓練）

【題型匯總】

四邊形與中點綜合選/填壓軸題之動態函數圖像問題

四邊形與新定義問題選/填壓軸題之多結論問題

幾

四邊形與閱讀理解類問題何選/填壓軸題之規律探究問題

壓

軸

與四邊形有關的新考法問題四邊形與翻折問題綜合

突

破

探究四邊形中線段存在的數量和位置關系一四邊形與蹲專問題綜合

四

邊

四邊形與三角形綜合四邊形與最值問題

形

壓

四邊形與圓綜合軸四邊形與動點問題

四邊形與函數綜合四邊形與網格問題

與特殊四邊形有關的存在性問題四邊形與尺規作圖問題

【命題預測】四邊形在中考數學中是占比較大考察內容主要有各個特殊四邊形的性質判定、以及其應用:

考察題型上從選擇到填空再到解答題都有題型變化也比較多樣，并且考察難度也都是中等和中等偏上難度

較大,綜合性比較強所以需要考生在復習這塊內容的時候一定要準確掌握其性質與判定并且會在不同的結

合問題上注意和其他考點的融合.

題型01選/填壓軸題之動態函數圖像問題

1.（2024.甘肅臨夏.中考真題）如圖1,矩形4BCD中，BD為其對角線，一動點P從。出發，沿著。-8-C的

路徑行進，過點P作PQ1CD,垂足為Q.設點P的運動路程為x,PQ-D（^y,y與x的函數圖象如圖2,則

4。的長為（）

AD

2.（2023?四川遂寧?中考真題）如圖，在AABC中，AB=10,BC=6,AC=8,點P為線段4B上的動點，

以每秒1個單位長度的速度從點A向點8移動，到達點B時停止.過點尸作PM14c于點作PN1BC于

點N,連接MN,線段MN的長度y與點尸的運動時間，（秒）的函數關系如圖所示，則函數圖象最低點E的

坐標為（）

cpZ51Vt

A.（5,5）B.（6,y）C.（f,y）D-仁，5）

3.（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,菱形EFG”的頂點

E,G在同一水平線上，點G與4B的中點重合，EF=2V3cm,乙E=60°,現將菱形EFGH以lcm/s的速度沿

BC方向勻速運動，當點E運動到CD上時停止，在這個運動過程中,菱形EFGH與矩形力BCD重疊部分的面積

S（cm2）與運動時間t（s）之間的函數關系圖象大致是（）

HAD

FB'------------------T

JkS/cn^ik57cm2

673----------y―\673-----------

—A、3izu

A.03681114Z/sB.03681114t/s

4.（2022?遼寧錦州?中考真題）如圖，四邊形4BCD是邊長為2cm的正方形，點E,點尸分別為邊AD,CD中

點，點。為正方形的中心，連接。E,OF,點P從點E出發沿E-。—F運動，同時點。從點8出發沿BC運

動，兩點運動速度均為lcm/s,當點尸運動到點尸時，兩點同時停止運動，設運動時間為ts,連接8P,PQ,

ABPQ的面積為Scm2,下列圖像能正確反映出S與f的函數關系的是（）

AED

題型02選/填壓軸題之多結論問題

5.（2024?山東東營?中考真題）如圖，在正方形4BCD中，AC與BD交于點。，H為4B延長線上的一點，且

BH=BD,連接D”，分別交AC,BC于點E,F,連接BE,則下列結論：①霽=圣②tanN"=V^—l；

③BE平分乙CBD；?2AB2=DEDH.

其中正確結論的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.（2024?四川遂寧?中考真題）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是4B邊的中點，將正方形紙片沿EC折疊,

點B落在點P處，延長CP交2D于點Q,連結2P并延長交CD于點F.給出以下結論：①AAEP為等腰三角形;

②尸為CD的中點；③4P:PF=2:3；④cos乙DCQ=；.其中正確結論是____.（填序號）

4

7.（2023?山東日照?中考真題）如圖,矩形48。￡）中,48=6,AD=8,點P在對角線BD上，過點P作MN1BD,

交邊AD,BC于點M,N,過點〃作ME14D交BD于點E,連接EN,BM,DN.下列結論：①EM=EN；

②四邊形MBND的面積不變；③當=1:2時，S^MPE=~④BM+MN+ND的最小值是20.其中

所有正確結論的序號是

8.（2023?內蒙古赤峰?中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形4BCD沿著直線DE折疊，使點C與4B延長線

上的點。重合.DE交BC于點、F,交2B延長線于點E.DQ交BC于點、P,DM14B于點AM=4,則下

列結論，①DQ=EQ,②BQ=3,③BP=￡,?BD||FQ.正確的是（）

C.①③④D.①②③④

9.（2023?湖」匕中考真題）如圖，ABACADEB^A力EF都是等腰直角三角形，ABAC=乙DEB=^AEF=90°,

點E在△ABC內，BE>AE,連接DF交AE于點G,DE交AB于點H,連接CF.給出下面四個結論：①4DBA=

乙EBC；②乙BHE=Z.EGF-,③AB=DF-,?AD=CF.其中所有正確結論的序號是

D

A

/d

BC

題型03選/填壓軸題之規律探究問題

10.（2022?山東煙臺?中考真題）如圖，正方形ABC。邊長為1,以AC為邊作第2個正方形ACER再以CF

為邊作第3個正方形PCGH…，按照這樣的規律作下去，第6個正方形的邊長為（）

A.（2V2）5B.（2V2）6C.（V2）5D.（V2）6

11.（2022?遼寧?中考真題）如圖，①為射線。N上一點，名為射線OM上一點，乙當乙。=60°,OA±=3,Bi4=

1.以B/i為邊在其右側作菱形且NBi&Di=與射線OM交于點人,得△C//2;延長

為/交射線ON于點4，以B24為邊在其右側作菱形2c2。2,且NB2/I2D2=60。,。2。2與射線。M交于點B3,

得AC2B2B3；延長交射線。N于點4,以邑4為邊在其右側作菱形4383c3。3,且立當4久=60。,。3。3與

射線。M交于點風,得AC3B3B"…,按此規律進行下去，則△C2022B2022B2023的面積.

12.（2024?山東東營?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系久。y中，有一邊長為1的正方形。ABC,點B在x軸

的正半軸上,如果以對角線。8為邊作第二個正方形0B81Q,再以對角線OB1為邊作第三個正方形。B/2c2,

…，照此規律作下去，則殳的坐標是；B2024的坐標是.

13.(2024?山東濟南?模擬預測)如圖，在AABC中，已知力B=8,BC=6,AC=7,依次連接AABC的三

邊中點，得到A/liBiCi，再依次連接A&BiCi的三邊中點，得到A&B2c2，…，按這樣的規律下去，△

42024B2024c2024的周長為.

題型04四邊形與翻折問題綜合

14.(2024?湖北?中考真題)如圖，矩形4BCD中，E,F分別在AD,BC上，將四邊形4BFE沿EF翻折，使4的對

稱點P落在CD上，B的對稱點為G,PG交BC于H.

(1)求證：4EDPS&PCH.

(2)若P為CD中點，且AB=2,8C=3,求GH長.

(3)連接BG,若P為CD中點，”為BC中點，探究BG與大小關系并說明理由.

15.(2024甘肅.模擬預測)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=/+6久+c與％軸交于A,B(3,0)兩

點，與y軸交于點C(0,-3),尸是直線BC下方拋物線上一動點.

(1)求拋物線y=x2+bx+c的表達式；

(2)如圖2,連接PO,PC,并把APOC沿C。翻折，得到四邊形POP'C,當四邊形POP'C為菱形時，求出點尸

的坐標；

(3)當點P運動到什么位置時，四邊形力BPC的面積最大？求出此時點尸的坐標及此時線段BP的長.

16.(2024?廣東深圳?模擬預測)【問題背景】折紙是一種許多人熟悉的活動，將折紙的一邊二等分、四等分

都是比較容易做到的，但將一邊三等分就不是那么容易了，近些年，經過人們的不懈努力，已經找到了多

種將正方形折紙一邊三等分的精確折法.綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數學

活動.

操作探究：

操作過程及內容如下(如圖①)

操作1：將正方形4BCD對折，使點4與點。重合，點B與點C重合.再將正方形2BCD展開，得到折痕EF；

操作2：再將正方形紙片的右下角向上翻折，使點C與點E重合，邊翻折至B'E的位置，得到折痕MN,B'E

與4B交于點P,則P即為2B的三等分點，即AP：PB=2：1.

【解決問題】

(1)在圖①中，若EF與MN交于點Q,連接CQ求證：四邊形EQCM是菱形.

(2)請在圖①中證明AP：PB=2：1.

【發現感悟】若E為正方形紙片4BCD的邊力。上的任意一點，重復“問題背景”中操作2的折紙過程，請你思

考并解決如下問題：

⑶如圖②，若力D=34E時，貝嗡=；若時，貝嘮=(用含n的式子表示)

17.(2024?山東聊城?三模)【實踐探究】

(1)如圖1,在矩形48CD中，AB=8,BC=6,DE_L4C交4B于點E,則就的值是；

【變式探究】

(2)如圖2,在平行四邊形4BCD中，4DBC=90°,BD=8,BC=6,DE1AC交AB于點E,求肺的值;

【靈活應用】

(3)如圖3,在矩形48CD中，AD=8,點、E,尸分別在AD,BC上，以EF為折痕，將四邊形力8FE翻折，

使得28的對應邊4次恰好經過點D,B，F交CD于點、I,過點。作DP1EF交于點P.若4。=4,且△4DP

與小8。尸的面積比為16:24,求空的值.

18.（2024?山東?中考真題）一副三角板分別記作AABC和ADEF,其中乙48c=ADEF=90°,ABAC=45°,

/.EDF=30°,AC=DE.作8MlAC于點M,ENLDF于點N,如圖1.

(1)求證：BM=EN；

(2)在同一平面內，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點C與點E重合記為C,點4與點。重合，

將圖2中的△DCF繞C按順時針方向旋轉a后，延長交直線DF于點P.

①當a=30。時，如圖3,求證：四邊形CNPM為正方形；

②當30。<a<60。時，寫出線段MP,DP,CD的數量關系，并證明；當60。<a<120。時，直接寫出線段MP,

DP,CD的數量關系.

19.(2024?山西?模擬預測)綜合與實踐

【問題情境】

“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，

表示為AABC和ADFE,其中N4CB=NDEF=90。，=將△ABC和△DFE按圖2所示方式擺放，其

中點2與點P重合(標記為點B).當乙4BE=N4時，延長DE交4C于點G,試判斷四邊形8CGE的形狀，并

說明理由.

【數學思考】

(1)請你解答以上老師提出的問題;

【深入探究】

（2）老師將圖2中的ADBE繞點8逆時針方向旋轉，使點E落在AABC內部，讓同學們提出新的問題并請

你解答此問題.

“善思小組”提出問題：如圖3,當乙4BE=NB力C時，過點A作4M1BE交BE的延長線于點M,BM與AC交

于點N.證明：AM=BE.

【拓展提升】

（3）如圖4,當NCBE=NB4C時，過點A作4"1DE于點"，若BC=3,AC=4,求4”的長.

20.（2024?內蒙古包頭.模擬預測）如圖，點。是正方形4BCD對角線的交點，△EFG是等腰直角三角形，EG=

FG,Z.EGF=90°,當AEFG的頂點G在線段4C（不與4,C重合）上繞點G旋轉的過程中，直角邊EG交邊4。

于點M,直角邊FG交邊CD于點N.

（1）如圖1,當點G與點。重合時，求證：EM=FN；

（2）如圖2,當CG=rMG（n為正整數，n1）時，在旋轉過程中，

①請寫出線段GM,GN之間的數量關系，并說明理由；

②若AD-a,CN—b,求AM的長（用含a,6的代數式表示）.

題型06四邊形與最值問題

21.（2024?吉林長春?中考真題）【問題呈現】

小明在數學興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊ANBC中，48=3,點M、N分別在邊4C、

BC上，且AM=CN,試探究線段MN長度的最小值.

【問題分析】

小明通過構造平行四邊形，將雙動點問題轉化為單動點問題，再通過定角發現這個動點的運動路徑，進而

解決上述幾何問題.

【問題解決】

如圖②，過點C、M分別作MN、8C的平行線，并交于點P,作射線4P.在【問題呈現】的條件下，完成下

列問題:

圖③圖④

(1)證明：AM=MP；

(2)/CAP的大小為_度，線段MN長度的最小值為

【方法應用】

某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③.小明收集了該房屋的相關數據，并畫出了

示意圖，如圖④，AABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，米，N&CB=30。.MN是

一條兩端點位置和長度均可調節的鋼絲繩，點M在4C上，點N在OE上.在調整鋼絲繩端點位置時，其長度

也隨之改變，但需始終保持4M=DN.鋼絲繩MN長度的最小值為多少米.

22.(2024?山東濟南?中考真題)某校數學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了

深入研究.

(一)拓展探究

如圖1,在△ABC中，^ACB=90°,CDVAB,垂足為。.

???Z-ACB=90°/.Z.A+Z.B=90°

???CD1ABvZ-A=乙4ABCACD

嚕=(2)

AADC=90°

AC

???乙4+Z.ACD=90°AC2=ADAB

???Z-B=?______

請完成填空：①

(2)如圖2,9為線段CD上一點，連接2F并延長至點E,連接CE,當〃CE=NAFC時，請判斷ZMEB的形

狀，并說明理由.

(二)學以致用

(3)如圖3,AaBC是直角三角形，乙4cB=90°,AC=2,BC=246,平面內一點D,滿足AD=AC,連接CD

并延長至點E,且NCEB=NCBD,當線段BE的長度取得最小值時，求線段CE的長.

(1)如圖1,若點D在點B的左側，連接CD,過點4作4E1CD交BC于點E.若點E是BC的中點，求證:AC=2BD；

(2)如圖2,若點。在點B的右側，連接2D,點尸是4。的中點，連接BF并延長交4C于點G,連接CF.過點F作

FM1BG交4B于點M,CN平分UCB交BG于點、N,求證：AM=CN+^BD；

(3)若點。在點B的右側，連接2D,點尸是4。的中點，且4F=AC.點P是直線AC上一動點，連接FP,將FP繞

點F逆時針旋轉60。得到FQ,連接BQ,點R是直線4D上一動點，連接BR,QR.在點P的運動過程中，當BQ取

得最小值時，在平面內將ABQR沿直線QR翻折得到△「(?/?,連接FT.在點R的運動過程中，直接寫出器的

最大值.

24.(2024?浙江寧波?二模)(1)如圖1,在三角形ABC中，N是BC中點，連結AN,M是AN上任

意一點，過點M作DE118c別交AB,AC于點0、E,求證：M是。E中點；

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，AB||CD,AD與BC不平行，4DCB=60°,AD=AB=CB=2,

連結對角線AC,BD交于點。，E是2。上的點，過點E作EF||DB交AB于點F,AC于點M,求

的值;

（3）如圖3,在菱形4BCD中，4=120。，AB=4,分別取菱形各邊的中點G,H,P,Q并順次連

結得到四邊形PQGH，連結PG,HQ交于點0,E是PQ上一動點，作EF||QH交PH于點F,交PG

于點M,過點M作MN1EM交QG于點N,連結EN,求EN的最小值.

題型07四邊形與動點問題

25.（2024?寧夏?中考真題）如圖，在RtAABC中，ZXBC=90°,AB=3cm,BC=2cm,點力在直線%上，

點、B,C在直線G上，ZiII12,動點P從點4出發沿直線人以lcm/s的速度向右運動，設運動時間為ts.下列結

①當t=2s時，四邊形248cp的周長是10cm；

②當t=4s時，點P到直線）的距離等于5cm；

③在點P運動過程中，APBC的面積隨著t的增大而增大；

④若點。，E分別是線段PB,PC的中點，在點P運動過程中，線段DE的長度不變.其中正確的是（）

A.①④B.②③C.①③D.②④

26.（2024?江西?中考真題）綜合與實踐

如圖，在RtAABC中，點。是斜邊力B上的動點（點。與點A不重合），連接CD,以CD為直角邊在CD的右

側構造RtACDE,/-DCE=90°,連接BE,—=—=m.

圖1圖2圖3

特例感知

（1）如圖1,當血=1時，8E與4。之間的位置關系是,數量關系是

類比遷移

(2)如圖2,當小41時，猜想BE與4D之間的位置關系和數量關系，并證明猜想.

拓展應用

(3)在(1)的條件下，點尸與點C關于DE對稱，連接DF,EF,BF,如圖3.已知4C=6,設力D=久,

四邊形CDFE的面積為y.

①求y與x的函數表達式，并求出y的最小值;

②當BF=2時，請直接寫出AD的長度.

27.(2023?浙江紹興?中考真題)如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,點￡是邊4。上的動點，連結CE,

以CE為邊作矩形CEFG(點G在CE的同側),且CE=2EF,連結BF.

AD

BC

備用圖

(1)如圖1,當點E為力。邊的中點時，點8,E,F在同一直線上，求BF的長.

(2)如圖2,若乙BCE=30°,設CE與8尸交于點K.求證：BK=FK.

(3)在點E的運動過程中，BF的長是否存在最大(小)值？若存在，求出BF的最值；若不存在，請說明理由.

題型08四邊形與網格問題

28.(2024?吉林?中考真題)圖①、圖②均是4x4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點.點A,B,

C,D,E,。均在格點上.圖①中已畫出四邊形力BCD,圖②中已畫出以。E為半徑的。。，只用無刻度的直

尺，在給定的網格中按要求畫圖.

(1)在圖①中，面出四邊形2BCD的一條對稱軸.

(2)在圖②中，畫出經過點E的。。的切線.

29.(2024?湖北武漢?中考真題)如圖是由小正方形組成的3X4網格，每個小正方形的頂點叫做格點.△4BC

三個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條.

⑴在圖(1)中，畫射線AD交BC于點。，使4。平分△ABC的面積；

(2)在(1)的基礎上，在射線力D上畫點E,使NECB=NACB；

(3)在圖(2)中，先畫點尸，使點A繞點廠順時針旋轉90。到點C,再畫射線4F交BC于點G；

(4)在(3)的基礎上，將線段4B繞點G旋轉180。，畫對應線段MN(點A與點M對應，點2與點N對應).

30.(2024.湖北武漢.模擬預測)如圖是由小正方形組成的7x8網格，每個小正方形的頂點叫做格點.圖

圖1圖2

(1)如圖1,先將線段2E繞點A順時針旋轉90。到4F,再在28上畫點G,使tan/AEG=/

(2)如圖2,先在上畫一點H,使C”1AB,再在2B上畫點P,使CP=BC.

題型09四邊形與尺規作圖問題

31.(2024?山東日照?中考真題)如圖，以回4BC0的頂點方為圓心，AB長為半徑畫弧，交BC于點、E,再分別

以點4,E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點F,畫射線8F,交4。于點G,交CD的延長線于點

(1)由以上作圖可知，N1與42的數量關系是

(2)求證：CB=CH

(3)若AB=4,AG=2GD,乙ABC=60°,求^BC"的面積.

32.(2024?廣東深圳.中考真題)垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關于不相鄰

的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行

四邊形”.

圖1圖2

(1)如圖1所示，四邊形A8CD為“垂中平行四邊形"，AF=V5,CE=2,則4E=；AB=；

(2)如圖2,若四邊形4BCD為“垂中平行四邊形"，且力B=猜想力F與CD的關系，并說明理由；

(3)①如圖3所示，在A/IBC中，BE=5,CE=2AE=12,BE14C交AC于點E,請畫出以BC為邊的垂中

平行四邊形，要求：點2在垂中平行四邊形的一條邊上(溫馨提示：不限作圖工具)；

②若AABC關于直線"對稱得到△力?C,連接C4,作射線CB，交①中所畫平行四邊形的邊于點P,連接PE,

請直接寫出PE的值.

33.(2024.江蘇南京?中考真題)已知：A4BC中，。為8c邊上的一點.

(2)在圖(2),用無刻度的直尺和圓規在4c邊上作點F,使ADB4=N4；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF,若ADF4=△FBC的面積等于｝CD?以FD為半徑作G)F,

試判斷直線BC與OF的位置關系，并說明理由.

34.(2023?浙江金華?中考真題)如圖，為制作角度尺，將長為10,寬為4的矩形04BC分割成4X10的小正

方形網格.在該矩形邊上取點P,來表示NP02的度數.閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：

OA（答題卷用）

作法（如圖）結論

“04=45。，點

①在C8上取點匕，使CP】=4.

Pi表示45。.

②以。為圓心，8為半徑作弧，與BC交于點APOA=30。，點

2q*力，5R凹

尸2表示30。.-ZS田田上二一

P2-

③分別以。,「2為圓心，大于。。2長度一半的(J\,8A

長為半徑作弧，相交于點及F,連結EF與BC

相交于點P3.

④以22為圓心，。。2的長為半徑作弧，與射

線CB交于點D,連結。。交力B于點24.

⑴分別求點P3，「4表示的度數.

（2）用直尺和圓規在該矩形的邊上作點P5,使該點表示37.5。（保留作圖痕跡，不寫作法）.

題型10四邊形與中點綜合

35.（2024.黑龍江大慶?中考真題）如圖，在矩形A8CD中，AB=10,BC=6,點加是4B邊的中點，點N

是4。邊上任意一點，將線段MN繞點M順時針旋轉90。，點N旋轉到點N，，則4MBN，周長的最小值為（）

A.15B.5+5V5C.10+5V2D.18

36.（2024?湖北武漢.中考真題）問題背景：如圖（1）,在矩形A8CD中，點E,尸分別是48,BC的中點，連

接BO,EF,求證：ABCD-LFBE.

問題探究：如圖（2）,在四邊形2BCD中，4D||BC,NBCD=90°,點E是2B的中點，點F在邊BC上，4D=2CF,

EF與BD交于點G,求證：BG=FG.

問題拓展：如圖（3）,在“問題探究”的條件下，連接力G,AD=CD,AG=FG,直接寫出翌的值.

37.（2023?山東東營?中考真題）（1）用數學的眼光觀察.

如圖，在四邊形2BCD中，AD=BC,P是對角線BD的中點，M是力B的中點，N是DC的中點，求證：乙PMN=

乙PNM.

如圖，延長圖中的線段4D交MN的延長線于點E,延長線段BC交MN的延長線于點F,求證：^AEM=Z.F.

如圖，在△48C中，AC<AB,點。在AC上，AD=BC,M是AB的中點，N是DC的中點，連接MN并延長,

與BC的延長線交于點G,連接GD,若NANM=60。，試判斷ACGD的形狀，并進行證明.

題型11四邊形與新定義問題

38.（2023?江蘇?中考真題）綜合與實踐定義：將寬與長的比值為辱乂（n為正整數）的矩形稱為郵介奇

妙矩形.

（1）概念理解：當n=l時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學習過的黃金矩形，它的

寬（4D）與長（CD）的比值是.

（2）操作驗證：用正方形紙片力BCD進行如下操作（如圖（2））：

第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF,連接CE；

第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點。的對應點為點展開，折痕為CG；

第三步：過點G折疊紙片，使得點4、B分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK.

試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形.

EBEB

.&H|'XH~I

（3）方法遷移：

用正方形紙片4BCD折疊出一個2階奇妙矩形.要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標注.

（4）探究發現：

小明操作發現任一個九階奇妙矩形都可以通過折紙得到.他還發現：如圖（4）,點E為正方形2BCD邊4B上

（不與端點重合）任意一點，連接CE,繼續（2）中操作的第二步、第三步，四邊形4GHE的周長與矩形GDCK

的周長比值總是定值.請寫出這個定值，并說明理由

39.（2023?浙江寧波?中考真題）定義：有兩個相鄰的內角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等

四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角.

⑴如圖1,在四邊形4BCD中，AD||BC,^A=90°,對角線8。平分乙4DC.求證：四邊形ABC。為鄰等四邊

形.

⑵如圖2,在6x5的方格紙中，A,B,C三點均在格點上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請畫出所有符合

條件的格點D.

(3)如圖3,四邊形4BCD是鄰等四邊形，乙DAB=AABC=90°,NBCD為鄰等角，連接力C,過8作BEII力C交

D4的延長線于點E.若4C=8,DE=10,求四邊形E8CD的周長.

40.(2024?陜西渭南?模擬預測)定義：在三角形中，把一邊的中點到這條邊的高線的距離叫做這條邊的中

垂距.例：如圖①，在AABC中，D為邊BC的中點，4后13。于6,則線段DE的長叫做邊BC的中垂距.

圖①圖②圖③

(1)設三角形一邊的中垂距為d(dN0).若d=0,則這樣的三角形一定是一，推斷的數學依據是

(2)如圖②，在△ABC中，Z.B=45°,AB=3五,BC=8,2。為邊BC的中線，求邊BC的中垂距.

(3)如圖③，在矩形力BCD中，AB=6,4D=4.點E為邊CD的中點，連結AE并延長交BC的延長線于點F,

連結4C.求AaCT中邊4尸的中垂距.

41.(2024?江蘇蘇州?二模)大家都知道黃金比的美，但是漫畫家創造一個可愛的漫畫形象時，通常會去選

擇運用白銀比而非黃金比.因為白銀比例創造出來的形象要比用形黃金比例創造出的形象更憨態可掬，溫

和可人.

通過上網查閱資料,小希同學發現白銀比的定義：如圖1,點C把線段4B分成兩部分，如果叁=&,那么

點C為線段4B的“白銀分割點”，如圖2,矩形2BCD中，生=魚，那么矩形力BCD叫做“白銀矩形”.

應用：

(1)如圖3,矩形A8CZ)是一張44紙，AD>AB,將矩形邊4B翻折，使得點A的對應點落在BC上，將矩

形邊CD翻折，使得點。的對應點落在BC上，折痕交于點。，再將N4B。對折，發現4B與BO恰好重合，求

證：矩形ABCD是“白銀矩形”.

(2)如圖4,在(1)的條件下，矩形4BCD中，E為CD上一點，將矩形4BCD沿BE折疊，使得點C落在力D邊

上的點F處，延長BF交CD的延長線于點G,說明點E為線段GC的“白銀分割點”.

（3）已知線段2B（如圖5）,作線段4B的一個“白銀分割點”.（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，寫出必要

AB

圖3圖4圖5

題型12四邊形與閱讀理解類問題

42.（2023?山西?中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務.

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形4BCD中，點E,F,G,”分別是邊ZM的中點，順次連接

得到的四邊形EFGH是平行四邊形.

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里

尼翁（Var譏gnon,Pierrel654—1722）是法國數學家、力學家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切.

①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正

方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結論可借助圖1證明如下:

證明：如圖2,連接4C,分別交于點P,Q,過點。作。M1AC于點M,交HG于點N.

；H,G分別為力的中點，：.HG||AC,HG=^AC.（依據1）

圖-：DG=GC,：.DNNM=-DM.

2NMGC2

,四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，||GF,即HP||GQ.

'：HG||AC,即HGIIPQ,

四邊形HPQG是平行四邊形.（依據2）.?.S0HPQG="G-MN=杯"G-DM.

-1-I

,^AADC~2^=~2^hADC'同理，…

任務:

(1)填空：材料中的依據1是指：

依據2是指：.

(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH,使得四邊形EFG”為

矩形；(要求同時畫出四邊形48CD的對角線)

(3)在圖1中，分別連接AC,BD得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線4C,BD長度的關

系，并證明你的結論.

43.(2022?貴州黔東南?中考真題)閱讀材料：小明喜歡探究數學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題:

如圖，AABC和ABDE都是等邊三角形，點4在DE上.

求證：以AE、AD,2C為邊的三角形是鈍角三角形.

(1)【探究發現】小明通過探究發現：連接OC,根據已知條件，可以證明DC=4E,AADC=120°,從而得

出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD.47為邊的三角形是鈍角三角形.

請你根據小明的思路，寫出完整的證明過程.

⑵【拓展遷移】如圖，四邊形4BCD和四邊形BGFE都是正方形，點力在EG上.

①試猜想：以4E、AG.AC為邊的三角形的形狀，并說明理由.

②若4E2+AG2=1O,試求出正方形2BCD的面積.

44.（2020?湖南湘潭?中考真題）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的重心.

圖㈠圖（二）

(1)特例感知：如圖（一），已知邊長為2的等邊△ABC的重心為點。，求△OBC與AABC的面積.

(2)性質探究：如圖（二），已知ANBC的重心為點。，請判斷器、受匹是否都為定值？如果是，分別求出

0AS^ABC

這兩個定值：如果不是，請說明理由.

（3）性質應用：如圖（三），在正方形力BCD中，點E是CD的中點，連接BE交對角線4c于點M.

①若正方形4BCD的邊長為4,求EM的長度;

②若SACME=L求正方形48CD的面積?

45.（2023?吉林白城?模擬預測）閱讀材料：小明喜歡探究數學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題:

如圖①，△ABC和AADE都是等邊三角形，點。在BC上.

求證：以DE、CD、BD為邊的三角形是鈍角三角形.

圖①圖②

【探究發現】小明通過探究發現：連接CE,根據已知條件，可以證明BD=CE,從而得出ADCE為鈍角三

角形，故以DE、CD、BD為邊的三角形是鈍角三角形，寫出完整的證明過程.

【拓展遷移】如圖②，四邊形48CD和四邊形4EGF都是正方形，點E在B。上.

①猜想：以DE、EF、BE為邊的三角形的形狀是」

②當BE?+E￡>2=23時，直接寫出正方形AEGF的面積.

題型13與四邊形有關的新考法問題

46.（2024?黑龍江綏化?一模）根據以下素材，探索完成任務.

圖①是寧寧家安裝的戶外遮陽篷.圖②是其側面示意圖，已知該遮陽篷安裝在垂直于地面8C的墻

面上，篷面安裝點A離地面4米，篷面與墻面的夾角=60。，篷面寬2。=3米.除此之外，

為了保障遮陽篷的穩定性，還加裝了支架穩定篷面.支架的安裝方式如下：點M固定在

墻面上，位于點A的正下方，即點A,M,8共線；點N固定在篷面上離A點1米處（點A,N,

。共線），即AN=1米，支架與墻面的夾角N4MN=45。.

素材1

寧寧所在地區某天下午不同時間的太陽高度角a（太陽光線與地面的夾角）的正切值參照表:

時刻12點13點14點15點

角a的正切值432.52

寧寧養了一株龍舌蘭（圖③），該植物喜陽，所以寧寧經常把龍舌蘭搬到能被太陽光照射到的地方,

素材3

以保證龍舌蘭有充足的光照，如圖②，這株龍舌蘭擺放的位置記為點E.

圖③

任務1確定安裝點請求出支架MN的固定點M與A點的距離4M的長.

任務2確定影子長請求出這天13點時遮陽篷落在地面上影子的長度.

判斷能否照射這天14點，寧寧將龍舌蘭擺放到點E處，為了保證龍舌蘭能被太陽光照射到，

任務3

到請求出此時擺放點離墻角距離的取值范圍.

47.(2024?廣東深圳?模擬預測)【問題提出】我們知道，利用尺規可以平分任意一個角，從而可以把一個角

四等分、八等分…那么，能否用尺規三等分一個任意角呢？

【查閱資料】古希臘數學家帕普斯結合反比例函數圖象，實現尺規作圖三等分任意角，方法如下：

①如圖1,建立平面直角坐標系，將N40B的頂點。與原點重合，邊OB與x軸的正半軸重合，。4在第一象

限內；

②在平面直角坐標系中，畫出函數y=((%>0)的圖象，圖象與。4交于點。；

③以。為圓心、2。。長為半徑作弧，交函數y=((久>0)的圖象于點E；

④分別過點。、E作x軸、y軸的平行線，兩線交于點P,連接。P,止匕時有NP08=［乙4OB.

圖2

【問題探究】小明在以上資料的啟示下，進行了如下探究，用尺規三等分一個角.如圖2,以線段4B中點。

為原點，尤軸的正方向與角的一邊BC平行，建立平面直角坐標系，過點B作y軸的平行線，在平行線上取一

點、M,連接M4并延長，與射線BC交于點N,記MN中點為PQ,y).

(1)NPBN與NPNB的數量關系為：一；

(2)在探究過程中，小明發現取點A坐標為(1,3)時，點尸坐標與點M坐標滿足下列表格關系:

點M坐標(T4)(T5)(T6)(T7)(T9)

點P坐標(6(1)(3,1)(4)(Q)

①請將表格補充完整，并嘗試在圖2給出的網格圖中描出點尸的坐標，畫出它的大致圖象；

②根據圖象猜想y關于尤的關系式(不需要寫出x的取值范圍)，并證明你的猜想；

(3)若點A坐標為(a,6),直接寫出y關于x的關系式：_(不需要寫出尤的取值范圍).

【問題解決】在圖2中，利用上述你畫出的圖象，用尺規作圖將N2BC三等分，敘述作法并說明理由.

48.(24-25九年級上?遼寧沈陽?期中)在平面直角坐標系中，若某函數的圖象經過矩形ABCD對角線的兩個

端點，則定義該函數為矩形A8CD的“友好函數”，例如：如圖1,矩形力BCD,經過點4(—1,1)和點C(3,3)的

一次函數y=［乂+|是矩形48CD的“友好函數”.

(1)如圖2,矩形A8CD的頂點坐標分別為4(2,1),B(6,l),C(6,3),。(2,3),反比例函數y=￡Q>0)經過點

B,求反比例函數y=>0)的函數表達式，并判斷該函數是否為矩形4BCD的“友好函數”；

(2)矩形48CD在第一象限，2B||x軸，2。IIy軸，且點A的坐標為(1,2),正比例函數y1=ax經過點A,且是

矩形力BCD的“友好函數”，反比例函數％=：(久