專題08角度中的四類動態模型

角度的動態（旋轉）模型屬于七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內容，對考

生的綜合素養要求較高。絕大部分學生對角度旋轉問題信心不足，原因就是很多角度旋轉問題需要自己畫

出圖形，與分類討論思想、數形結合思想等結合得很緊密，思考性強，難度大。本專題重點研究與角有關

的旋轉模型（求值模型；定值模型；探究模型；分類討論模型）。

目錄導航

例題講模型

.....................................................................2

模型1.旋轉中的求值模型...............................................................2

模型2.旋轉中的定值模型...............................................................4

模型3.旋轉中的探究類模型（判斷角的數量之間的關系）..................................10

模型4.旋轉中的分類討論模型..........................................................14

習題練模型

18

例題講模型］

模型1.旋轉中的求值模型

模型解讀

1、角度旋轉模型解題步驟：

①找一根據題意找到目標角度；②表一表示出目標角度：

1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標角=起始角+速度X時間；

2）角度一邊動另一邊不動，角度變?。耗繕私?起始角一速度x時間；

3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大。

變?。耗繕私?起始角一速度x時間；變大：目標角=速度x時間—起始角

③列一根據題意列方程求解。

注：①注意題中是否確定旋轉方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②注意旋轉角度取值范圍。

2、常見的三角板旋轉模型：

一副三角板有兩個，一個是等腰直角三角板（90。、45。、45°）,另一個是含特殊角的直角三角板（90。、60。、

30。）。三角板的旋轉中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度。

總之不管這個角如何旋轉，它的角度大小是不變的，旋轉的度數就是組成角的兩條射線旋轉的度數（角平

分線也旋轉了同樣的度數）。抓住這些等量關系是解題的關鍵，三角板只是把具體的度數隱藏了起來。

模型運用

例1.（23-24七年級上?河北唐山?期中）綜合與實踐

【問題情境】利用旋轉開展數學活動，探究體會角在旋轉過程中的變化,

圖①圖②圖③

【操作發現】如圖①，ZAOB=NCC?=90。且兩個角重合.（1）將NCOD繞著頂點。順時針旋轉45。如圖②,

此時。3平分」—3OC的余角有一個，分別是：

【實踐探究】（2）將NCOD繞著頂點0順時針繼續旋轉如圖③位置，若ZBOC=45°,射線OE在NBOC內

部，且NBOC=3N3OE請探究：①/BOC的補角是哪幾個角？.②求NOQE的度數.

【答案】（1）NCOD,2,ZAOCZBOD；（2）①/AOC,NBOD,ZAOD；②ZDOE=120。

【分析】本題考查了旋轉的性質、角平分線的定義、角度的運算、余角和補角的定義：

（1）根據旋轉的性質得—CO3=/3OD=45?,進而可得角平分線的答案，根據/BOC+/4OC=90。，

/BOC+ZBOD=90°,進而可求解；（2）①根據旋轉的性質及角度之間的計算找出與NBOC相加等于180。

的角即可；②利用角度之間的計算即可求解；熟練掌握角度之間的計算，理解平角、余角和補角的定義是

解題的關鍵.

【詳解】解：（1）由旋轉的性質得：ZAOC=ZBOD=45°,

QZAOB=90°,\NCOB=^AOB-ZAOC=90?45?45?,

\NCOB=NBOD=45?,03平分NCW,

ZBOC+^AOC=90?,ZBOC+ZBOD=90°,

-3OC的余角有2個（本身除外），分別是-4OC和

故答案為：NCOD；2；ZAOCABOD；

（2）①QZAC?=NCOr>=90°,ZBOC=45°,\^AOC=^AOB+^BOC=90?45?135?,

\N4OC+4OC=135?45?180?,r./BOC的補角是，AOC,

?;/BOD=/BOC+/COD=45?90?135?,\/BOD+NBOC=135?45?180?,

r./BOC的補角是/BOD,\^AOD+^BOC=135?45?180?,/BOC的補角是NAOD,

綜上所述，-3OC的補角分別是一AOC、NBOD、ZAOD,

故答案為：ZAOC.NBOD、ZAOD.

②：/3OC=45°,ZBOC=3ZBOE,：.ZBOE=1x45°=15°,ZCOE=45°-15°=30°,

又,/ZCOD=90°,：.ZDOE=90°+30°=120°.

例2.（2023?湖南株洲?七年級期末）點。為直線A3上一點，過點。作射線OC,使/BOC=65。，將一直角

三角板的直角頂點放在點。處.

(1)如圖1,當三角板MON的一邊。V與射線。3重合時，貝|NMOC=；

(2)如圖2,將三角板MON繞點。逆時針旋轉一定角度，此時0c是的平分線，求乙40河和NCON的

度數；(3)將二角板MON繞點。逆時針旋轉至圖3所示的位置時，ZAOM=4ZNOC,求NNOB的度數.

【答案】(1)25°(2)NAOM=50°,ZCON=25°(3)ZNOB=70°

【分析】(1)根據/M0N和/20C的度數可以得到//0N的度數；

(2)根據OC是NM08的角平分線，/BOC=65?？梢郧蟮肗80M的度數，由/NOM=90。，可得NBON

的度數，從而可得NCON的度數；(3)根據平角的定義求出NN0C=5。，再根據角的和差即可得解.

(1)解：ZMON=90°,NBOC=65。,

：.ZMOC=ZMON-ZBOC=90°-65°=25°,故答案為：25。；

(2)：N2OC=65。，0C是NAfOB的角平分線，AZMOB=2ZBOC=130°,

：.ZAOM=180°-ZMOB=180°-130°=50°,ZBON=ZMOB-ZMON=130°-90°=40°,

ZCON=ZCOB-ZBON=65°-40°=25°,即/AOM=50°,NCON=25°；

(3)VZAOM+AMON+ZNOC+ZBOC=180°,NBOC=65°,NMON=90。,

：.ZAOM+ZMON=180°-65°-90°=25°,

ZAOM=4ZNOC,：.ZNOC=5°,：./NOB=NNOC+ZBOC=10°.

【點睛】本題考查了余角和補角，角平分線的定義，三角板的知識，角的計算，熟記概念并準確識圖理清

圖中各角度之間的關系是解題的關鍵.

模型2.旋轉中的定值模型

模型運用

例1.(23-24七年級上.廣東汕頭?期末)如圖，ZAOB=9Q°,NDOE=40。角的頂點?；ハ嘀睾希瑢?/p>

繞點。旋轉.⑴當射線OB,重合時，ZAOE=。，⑵在ZAO3繞點。旋轉的過程中，若射線QB,

OD與OE中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線，則/3OD的度數為；

（3）在/AOB繞點、。旋轉的過程中，若射線OB始終在ZDOE的內部.

①普于思考的小明發現，在旋轉過程中，NAOE-N3OD的值為定值，請你求出這個定值；

②作NBOD和NAOE的平分線OM,ON,在旋轉過程中ZMON的值是否發生變化？若不變，請求出這個

定值，若變化，請求出變化的范圍.

【答案】（1）50（2）20?；?0。或80。（3）①50。；②4/ON度數不發生變化，為定值65。，理由見解析

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義：（1）直接根據角之間的關系進行求解

即可；（2）分當02是NOOE的角平分線時，當OD是/30E的角平分線時，當OE是/3OD的角平分線時，

三種情況討論求解即可；（3）?ZAOE=90°-ZBOE,ZBOD=40°-ZBOE,貝U

ZAOE-NBOD=90°-ZBOE-40°+ZBOE=50°；②先由角平分線的定義得到

NEON=45°--ZBOE,/BOM=20°--/BOE,再由ZMON=NEON+/BOE+/BOM即可得到結論.

22

【詳解】（1）解：：408=90。，ZDOE=40。，

當射線OB,OD重合時，ZAOE=ZAOB-ZDOE=50°,故答案為：50；

如圖2-2所示，當OD是/BOE的角平分線時，則NBOD=NOOE=40。；

如圖2-3所示，當OE是NBOD的角平分線時，則ZBOD=2ZDOE=80°；

綜上所述，/50D的度數為20?；?0?；?0。；

（3）解：①如圖所示，VZAOB^90°,NOOE=40。,

NAOE=90°-NBOE,ZBOD=40°-ZBOE,

VZAOB=90°,ZDOE=40°,：.ZAOE=90°-ZBOE,/BOD=40。一/BOE,

OM,ON分別是ZBOD和NAOE的平分線，

ZEON=-ZAOE=45°--ZBOE,ZBOM=-ZBOD=20°--ZBOE,

2222

ZMON=ZEON+NBOE+ZBOM=45°--ZBOE+/BOE+20°--ZBOE=65°.

22

例2.（2023?河南南陽?七年級?？计谀⒁桓比浅呷鐖D①擺放，ZDCE=30。,NACB=90。，現將—DCE

繞點C以15。/秒的速度逆時針方向旋轉，旋轉時間為r秒.

(3)如圖④，當/=時，CE恰好平分NBCD；

(4)，DCE繞點C旋轉到如圖⑤的位置，CM平分NACE,CN平分■NBCD,求ZMCN的度數;

(5)若/DCE旋轉到如圖⑥的位置，(4)中結論是否發生變化？請說明理由.

【答案】(1)4(2)7(3)10(4)60。(5)不變，60°,理由見解析；

【分析】(1)如圖，由題意可得：ZDCiy=ZECE'=15to,而/A。=90°,ZBCD=90°-15r°,

再證明Z.BCD=ADCE=90°-15產，而NDCE=30°,再建立方程求解即可；

(2)如圖，證明汨C=N￡CB=15。，ZDCB=15t°-90°,再建立方程求解即可；

(3)如圖，證明ZDBE=NECB=30°,ZBCD=60。，同理：ZDCD'=15t°,ffi]ZACB=90°,可得15t-90=60,

從而可得答案；

115115/°

(4)先表示ZACE=15t°-30°,可得NECM=-ZACE=-t°-l5°,同理可得4BCN=-NBCD=--45°,

而ZBCE=ZDCE-Z.BCD=30°-15r°+90°=120°-15r°,再利用角的和差可得答案；

1is1is?0

(5)先表示ZACE=15儼一30°,可得NECM=一44位=一產-15。，同理可得ZBCN=-NBCD=—45°,

2222

而ZBCE=Z.BCD-ZDCE=15產一90?！?0。=15毋一120。，再利用角的和差可得答案.

【詳解】(1)解：如圖，由題意可得：ZDCiy=ZECE'=15t°,而NACB=90。，

ZBCD=90°-15t°,

E'

：8平分/BCE,/.ZBCD=ZDCE=90°-15t°,而NDCE=30。，/.90-15r=30,解得：t=4-.

(2)如圖，VZDCE=30°,CB平分NDCE,/.ZDBC=ZECB=15°,

,：ZDCD'=15t°,ZACB=90°,：.ZDCB=15r°-90°,A15f-90=15,解得：t=7；

(3)如圖，?；ZDCE=30°,CE恰好平分ZBCD,；.ZDBE=ZECB=30°,ZBCD=60°,

同理：ZDCD'=15t°,而NACB=90。，15f—90=60,解得：f=10；

(4)如圖，：ZECE'=15t°,ND'CE'=30°,/.ZACE=15產-30°,

E

E

D'B

D

-pD'D

C'、、、AqC'、'、、

E'

E'

,/CM平分/ACE,ZECM=-ZACE=—t°-15°,

22

VZDCDr=15t°,NACB=90。，：.ZBCD=15t°-90°,

115產

,:CN平分/BCD,；./BCN=—NBCD=-------45°,

22

而ZBCE=ZDCE-Z.BCD=30?！?5產+90°=120°-15/°,

15產15t0

：./MCN=ZBCN+ZECM+NBCE=-------45°+-------15°+120°-15t°=60°.

22

(5)如圖，NECE=15儼,ZDfCEr=30°,，NACE=15產一30。，

CM平分NACE,；.ZECM=-ZACE=—1°~15°,

22

VZDCD'=15t°,ZACB=90°,：.Z.BCD=15t°-90°,

115/°

,/CN平分/BCD,ZBCN=-ZBCD=--------45°,

22

而ZBCE=/BCD-NDCE=15t°-90°-30°=15f°—120°,

15f°15r

ZMCN=ZBCN+ZECM-NBCE=-------45°+-------15°+120°-15r°=60°.

22

【點睛】本題考查的是角的動態定義，角的和差運算，角平分線的含義，一元一次方程的應用，熟練的畫

出符合題意的圖形，再利用數形結合的方法解題是關鍵.

例3.(23-24七年級上.浙江杭州?期末)已知NAO3=150。，OC為NAO3內部的一條射線，ZBOC=60°.

。B

備用圖

(1)如圖1,若OE平分ZAO3,OD為N3OC內部的一條射線，ZCOD=^ZBOD,則/OOE=_；

（2）如圖2,若射線OE繞著。點從6M開始以每秒15。的速度順時針旋轉至結束、。尸繞著。點從開

始以每秒5。的速度逆時針旋轉至結束，當一條射線到達終點時另一條射線也停止運動.若運動時間為f

秒，當=時，求f的值；

（3）如圖3,若射線繞著。點從04開始以每秒15。的速度逆時針旋轉至結束，在旋轉過程中，QV平

分/AOM,試問：在某時間段內是否為定值？若不是，請畫出圖形，并說明理由；若是，

請畫出圖形，并直接寫出這個定值以及t相應所在的時間段.（題中的角均為大于0。且小于180。的角）

【答案】⑴35。（2）3或7.5（3）當0<r<2時，2NBON-NBOM=150。；當4</412時，2ZBON—NBOM=210。

【分析】本題考查了角平分線的定義、角的和差倍分.（1）先根據角平分線的定義求出/3OE的度數，再

根據角的倍差求出/3O。的度數，最后根據角的和差即可；（2）先求出-4OC的度數和t的最大值，從而

可知停止運動時，。/在OC的右側，因此，分OE在OC左側和右側兩種情況，再根據NEOC=/FOC列出

等式求解即可；（3）因本題中的角均為大于0。且小于180。的角，則需分與08在一條直線上、ON與08

在一條直線上、。加與在一條直線上三個臨界位置，從而求出此時r的取值范圍，并求出各范圍內NBON

和的度數，即可得出答案.

【詳解】（1）解：:OE平分/AO3，NAO3=150。，/80￡'=工/402=75。

2

ZBOC=60°,ZCOD=-ZBODZBOD=-ZBOC=40°

23

:.NDOE=NBOE—NBOD=75°—40。=35°,故答案為：35°；

（2）VZAOB=150°,NBOC=60°ZAOC=ZAOB-ZBOC=90°

由題意知，當OE轉到OB時，兩條射線均停止運動

此時f=4^=*=l。（秒）則OP停止轉動時，/80尸=5。/=50。<60。

即0P從開始旋轉至停止運動，始終在OC的右側因此，分以下2種情況：

fZEOC=ZAOC-ZAOE=900-15）

①當OE在OC左側時，\

[ZFOC=ZBOC-ZBOF=60°-5°t

則由ZEOC=NFOC得90°-15°?=60。-5。,，解得/=3

ZEOC=ZAOE-ZAOC=15°Z-90°

②當。石在OC右側時,

ZFOC=ZBOC-ZBOF=60°-5°t

則由/次無=/打兀得15。"90。=60。-5。/,解得t=7.5綜上，r的值為3或7.5；

（3）射線OM從開始轉動至02結束時，轉動時間為好———=14（秒）

2x(180°-150°)

由題意，分31與03在一條直線上a=———=2）、ON與08在一條直線上a=

o河與。4在一條直線上（r=—-=12）三個臨界位置

①當0<￡<2時，如圖1所示

(115)

ZBON=ZAOB+/AON=150°+-ZAOM=150°+——

此時，j22

/BOM=ZAOB+ZAOM=150°+15。，

貝I]2ZBON-NBOM=2x^150°+一(150。+15。。=150°為定值

②當2<r<4時，如圖2所示

'115°/

ZBON=NAOB+ZAON=150°+—ZAOM=150°+——

此時，22

ZBOM=360°-(ZAOB+ZAOM)=360o-(150o+15or)=210o-15°r

貝ij2ZB0N-ZBOM=2x(150。+號)一(210。-15°/)=90°+30°t不為定值

③當4</?12時，如圖3所示

(15°八150/

ZBON=360°-(ZAOB+ZAOA^)=360°-150°+——=210°-------

此時，'；I2J2

ZBOM=360°-(ZAOB+ZAOM)=360°-(150°+15°r)=210°-15°?

則手

2NB0N-ZB0M=2x1210°--（210。-15町=210。為定值

④當12</<14時,如圖4所示

圖4

146?！恪?5°/

ABON=NAO8——ZAOM=150°----------------=--------30°

此時，\222

ZB0M=360。-(ZAOB+)=360°-(150°+15°/)=210°-15。

貝！]2ZB0N-ZB0M=2x(手-30。)-(210。-15°/)=30。一270°不為定值

綜上，當0</<2或4<fV12時，2N3ON—為定值.

模型3.旋轉中的探究類模型（判斷角的數量之間的關系）

模型運用

例1.（23-24七年級下?遼寧鞍山?開學考試）在一次數學實踐探究活動中，小明和他的同伴們將一個直角三

角尺按如圖所示方式放置，發現了其中的奧秘.

M

⑴如圖①，三角尺■的直角頂點尸在直線C。上，點A,2在直線CD的同側.若/APC=40。，求NBPD

度數.

(2)繞點P旋轉三角尺AB尸，使點A,8在直線C。的同側，如圖②，若尸河平分—APC,PN平分/BPD,

他們發現/MPN的度數為定值，請你求出這個定值.

(3)繞點P旋轉三角尺ABP,使點A,8在直線的異側，平分/APC,PN平分NBPD,設NBPD=a,

如圖③，探究N7WPN的度數.

【答案】(1)ZBPD=50°(2)ZMPN=135°(3)ZMPN=135°

【分析】本題考查角的和差，角平分線的定義.(1)根據/%＞。=180。-/4/方-/”。即可求解；

(2)由NAP8=90?？傻玫絅APC+/3PD=90。，根據角平分線的定義，可得Z4PM+/BPN=45。，進而

根據角的和差即可求解；(3)由N3尸。="，ZAPB=90°sRWZAPD=90°-?,ZAPC=90°+a,根據角

平分線的定義可得ZAPM=45。+；a,ZDPN=1a,最后根據ZMPN=ZAPM+ZAPD+ZDPN即可求解.

【詳解】(1)解：?.?/APB=90°,ZAPC=40°/.ZBPD=180°-ZAPB-ZAPC=180°-90°-40°=50°；

(2)解：VZAPB=90°,：.ZAPC+ZBPD=180°-ZAPB=90°,

?.?PM平分/APC,PN斗父■NBPD,ZAPM=ZCPM=-ZAPC,ZBPN=ZDPN=-ZBPD

22

ZAPM+NBPN=-ZAPC+-ZBPD=-(ZAPC+/BPD)=1x90°=45°,

222'72

ZMPN=ZAPM+ZAPB+ZBPN=45°+90°=135°；

(3)解：,：ZBPD=a,ZAPB=90°,:.ZAPD=ZAPB—NBPD=90。—a,

：.ZAPC=180°-ZAPD=180°-(90°—a)=90°+/,

,/尸”平分ZAPC,ZAPM=|ZAPC=g(90。+a)=45。+ga,

：PN平分ZBPD,，NDPN=-ZBPD=-a,

22

NMPN=ZAPM+ZAPD+ZDPN=45°+-?+90°-a+-a=135°.

22

例2.（23-24七年級上.河北石家莊?期末）如圖1,將一副直角三角板擺放在直線AD上（直角三角板03C和

直角三角板MON）,ZOBC=ZMON=90°,NBOC=45°,ZMNO=30°,保持三角板08C不動，將三角

板MON繞點。以每秒10。的速度順時針旋轉（如圖2）,旋轉時間為t（0<f<9）秒.

計算當平分，30c時，求f的值；

判斷判斷/MOC與NNOD的數量關系，并說明理由；

操作若在三角板MON開始旋轉的同時，另一個三角板03C也繞點O以每秒5。的速度順時針旋轉，當三

角板MON停止時，三角板03C也停止，直接寫出在旋轉過程中，/MOC與NNOD的數量關系.

【答案】計算：2.25；判斷：當0<fW4.5時，NNOD—ZMOC=45°,當4.5<r<9時，ZNOD+ZMOC=45°；

操作：ZMOC=-ZNOD

2

【分析】本題主要考查角度的和差關系和角平分線性質，計算：根據角平分線性質得

結合旋轉速度即可求的時間；判斷：分兩種情況0<fW4.5和4.5</<9,分別求得NNOD和NMOC即可找

得到關系；操作：由題意知，AO3和,即可得,AOC,進一步可求得NMOC和/NOD,即可發

現其關系.

【詳解】解：計算：/3OC=45。，ON平分NBOC,AZBOM=-ZBOC=22.5°,

2

?..三角板MON繞點。以每秒10。的速度順時針旋轉，22.5。+10。=2.25..?/的值為2.25.

ZMON=90°,ZNOD=1SO°-ZMON-ZBOM=90°-10t°,ZNOD-ZMOC=45°,

當4.5<f<9時，如圖2,據題意，得/3OM=10f。，ZMOC=ZBOM-ZBOC=10？°-45°,

VZMON=90°,：.ZNOD=1800-AMON-ZBOM=90°-10t°,：.ZNOD+ZMOC=45°；

操作ZAOB=5t°,ZAOM=10尸,ZBOC=45°,/.ZAOC=ZAOB+ZBOC=5t0+45°，

ZMOC=ZAOC-ZAOM=5t°+45°—10產=45°—5t°,

'：ZMON=90°,：.ZNOD=180°-ZMON-ZAOM=90°-10t°,則/MOC=」/NOD.

2

例3.(23-24七年級上?貴州黔西?期末)如圖1,大課間的廣播操展讓我們充分體會到了一種整體的圖形之美，

洋洋和樂樂想從數學角度分析下如何能讓班級同學們的廣播操做得更好，他們搜集了標準廣播操圖片進行

討論，如圖2,為了方便研究，定義兩手手心位置分別為A,8兩點，兩腳腳跟位置分別為C,。兩點，定

義A,B,C,。平面內。為定點，將手腳運動看作繞點。進行旋轉：

(1)填空：如圖2,A,0,B三點共線，ZAOCZBOC,則NAOC=°；

(2)第三節腿部運動中，如圖3,洋洋發現，雖然A,0,3三點共線，卻不在水平方向上，且

2

/AOD:/BOC=3:2,他經過計算發現，的值為定值，請判斷洋洋的發現是否正確，如果

正確請求出這個定值，如果不正確，請說明理由；(3)第四節體側運動中，樂樂發現，兩腿左右等距張開且

NCOD=30°,開始運動前A、O、B三點在同一水平線上，繞點0順時針旋轉，旋轉速度為50。/5,

08旋轉速度為25。/5,當旋轉到與OD重合時，運動停止，如圖4.①運動停止時，直接寫出NA8=

;②請幫助樂樂求解運動過程中ZAOC與ZBOE的數量關系.

【答案】(1)90；(2)小田的發現是正確的，這個定值是60。；

(3)①105。；②當0VfW2.1時，ZAOC+2ZBOE=255°；當2.1<fW3時，ZAOC-2ZBOE=105°.

【分析】(1)由A,O,8三點共線，可得出NAOC+/BOD=180。，再由—AOC=N8OD,即可求出

ZAOC=90°；(2)由/AOD:/fiOC=3:2,設NAOD=3a,則/8OC=2a,分別求出

2

ZAOC=180O-ZBOC=180°-2a,ZBOD=180。—ZAOD=180°-3。，再代入NAOC--NBOD即可求解;

3

(3)①算出運動停止時間，求出(M運動的角度，進而求出NAOD度數；

②由的運動過程可知，需要分類討論，在點C,0,A三點共線前和點C,O,A三點共線后，分別求

解即可；本題考查了角的和差運算，解題的關鍵是發現圖中角之間的和差關系.

【詳解】(1)如圖2,：A,O,B三點共線，NAOC+/8OD=180。，

'：ZAOC=ZBOD,/.ZA6>C=1xl80°=90°,故答案為：90；

(2)小田的發現是正確的，這個定值是60。，理由，如圖3,

ZAOD.NBOC=3:2,設ZAOD=3a,則/3OC=2(z,

/.ZAOC=180°-Z.BOC=180°-2(z,ZBOD=180°-ZAOD=180°-3a,

2?

/.ZAOC--ZBOD=180°-2a--(180o-3a)=60°,.?.小田的發現是正確的，這個定值是60。；

(3)如圖4,---Z.COD=30°,，NCOE=ZEOD=15°,ZBOD=ZAOC=75°,

設運動時間為fs,貝卜=75。+25。=3,貝U0W/V3,

①運動停止時，即f=3時，如圖4,Q4旋轉的角度為50。*3=150。，

AZAOD=180°-50ox3+75o=105°,故答案為：105°；

②當點C,0,A三點共線時，t=(180。—75。)+50。=2.1；

二當0V/V2.1時，ZAOC=75。+50°t,ZBOE=90。—25°/,/.ZAOC+2ZBOE=255°；

當2.1<t<3時，ZAOC=180°-50°("2.1)=285°-50°/,NBOE=90°—25%,：.ZAOC-2ZBOE^105°,

綜上，當0W/42.1時，ZAOC+2ZBOE=255°；當2.1<rV3時，ZAOC-2NBOE=105°.

模型4.旋轉中的分類討論模型

模型運用

例1.（23-24七年級上?陜西漢中?期末）【問題背景】如圖1,已知射線OC在的內部，若403,ZAOC

和N3OC三個角中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是NAOB的“量尺金線”.

圖1圖2

【問題感知］（1）一個角的平分線這個角的“量尺金線”；（填“是”或“不是”）

【問題初探】（2）如圖2,NMPN=8°.若射線P。是的“量尺金線”，則NQPN的度數為；

【問題推廣】（3）在（2）中，若NMPN=蠟,0°<x<60°,射線尸尸從PN位置開始，以每秒旋轉3。的速度

繞點尸按逆時針方向旋轉，當NEPN首次等于180。時停止旋轉，設旋轉的時間為f（s）.當f為何值時，射線

尸”是/FPN的“量尺金線”？（用含尤的式子表示出f即可）

12

【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3）-x,-%,%；

【分析】本題考查新定義下的角計算，幾何圖形中的角度計算，理解題意，列出相應的式子求解，是解題

關鍵.（1）據“量尺金線”的定義進行判斷即可；（2）根據“量尺金線”的定義分三種情況討論計算即可；（3）

射線尸M是/五PN的“量尺金線”，在NEPN的內部，尸廠在N2VPM的外部，然后分三種情況求解即可.

【詳解】解：（1）一個角的平分線中，大角是小角的2倍，滿足“量尺金線”的定義，故答案為：是；

（2）ZMPN=6U。,射線PQ是NMPN的“量尺金線”，根據“量尺金線”的定義分三種情況討論：

2

當=時，如圖，?/ZQPN+2ZMPQ=60°,ZQPN=60°x-=40°；

當NNPM=2NQPN時,如圖，ZMPN=60°,/.ZQPN=1x60°=30°；

綜上：當NQPN為20。，30°,40。時，射線尸。是NMPN的“量尺金線”.

（3）?..射線尸河是NEPN的“量尺金線”，,在NFPN的內部，，尸尸在N7VPM的外部;

222222

2

②如圖，當NFPN=2ZMPN時,如圖所示：?.ZFPN=2x°,Ar=1x(s)；

③當/小M=2N7VPM時，如圖所示：

NFPM=2x°,：.NFPN=ZNPM+NFPM=3x°,.」=3x+3=x(s)；

12

綜上：當f為尤或彳》或；尤時，射線是NEPN的“量尺金線”.

23

例2.(23-24七年級上.廣東深圳?期末)如圖1,某校七年級數學學習小組在課后綜合實踐活動中，把一個

直角三角尺AO3的直角頂點。放在互相垂直的兩條直線PQ、MN的垂足。處,并使兩條直角邊落在直線PQ、

MN上,將VA03繞著點。順時針旋轉c(0°<a<180。).

圖1圖2圖3備用圖

(1汝口圖2,若(z=26°,貝,ZAOM+ZBOQ^；

(2)若射線0c是々加的角平分線，且/P0C=￡.

①VA03旋轉到圖3的位置，/30N的度數是多少？(用含△的代數式表示)

②VA03在旋轉過程中，若4OC=2N4(W,則此時￡的值.

【答案】⑴64。；180°(2)①26;②60。或36°

【分析】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計算，數形結合，分情況討論是解題的關鍵.

(1)根據=180。-403-ZAOQ,以及角的和差計算即可；

(2)①先求N3QP,再利用N30N=N3QP+NP0N得出結論；

②分兩種情況討論：當02旋轉到。尸左側時；當02旋轉到。尸右側時，解答即可.

【詳解】(1)解：MN1PQ,；.ZMOQ=ZMOP=90°,'：a=26°,：.ZAOQ=a=26°,

?/ZAOB=90°,二NBOP=180。一ZAOB-NAOQ=180。-90°-26°=64°；

?/NAOM=ZMOQ-ZAOQ=90°-26°=64°,ZBOQ=ZAOB+NAO。=90°+26°=116°,

/.ZAOM+ZBOQ=64°+116°=180°；故答案為：64°；180°.

(2)解：①?；/MOP=90°,NPOC=0,：.NMOC=90。-。,

:射線OC是N8OA1的角平分線，；.ZBOM=2ZMOC=2(90°-^)=180°-2^,

/.ABOP=90°-NBOM=90°-180°+3?=加-90°,

,/ZPON=90°,:.4BON=NBOP+NPON=》>—9。。+90。=》>；故答案為：2月；

②當。8旋轉到OP左側時，如圖所示：

p

?：OC是Z.BOM的角平分線，ZBOC=ZMOC,

,：ZAOC=2ZAOM,ZAOM=ZMOC,?.ZBOC=ZMOC=ZAOM,

ZBOC+ZMOC+ZAOM=90°,ZBOC=ZMOC=ZAOM=30°,

NPOC=0=ZMOP-ZMOC=90°-30°=60°；

當旋轉到OP右側時，如圖所示：

設ZAOM=x,?/ZAOC=2ZAOM=2x,：.ZMOC=ZAOM+ZAOC=3x,

,/OC是ZBOM的角平分線，/.ZBOC=ZMOC=3x,

ZAOC+ZBOC=ZAOB=90°,：.2x+3x=90°,解得：x=18°,：,ZMOC=3x=54°,

ZPOC=^=90°-ZMOC=36°;綜上分析可知，￡的值為：60。或36。.故答案為：60?；?6。.

習題練模型

1.（23-24七年級上.江蘇泰州.期末）如圖，于點0,ZCOE=ZDOE=15°,射線從。4出發,

繞點0以每秒60。的速度順時針向終邊03旋轉，同時，射線ON從出發，繞點0以每秒30。的速度順時

針向終邊旋轉，當OM、ON中有一條射線到達終邊時，另一條射線也隨之停止.在旋轉過程中，設

ZMOC=x°,NNOE=y°,則x與y之間的數量關系為.

【答案】》+2尸255或》-2>=105

【分析】分/AOMW90。和NAOM>90。，兩種情況進行討論求解即可.

【詳解】解：由題意，得:ON的運動時間為：180。+60。=3秒，ON的運動時間為：75。+30。=2.5秒;

.?.OM,ON運動的時間相同；

設運動時間為t秒，

則：ZAOM=60t°,ZBON=30r°,

OELAB,

：.ZAOE=NBOE=90°,

當ZAOM<90°時：ZCOM=ZAOM+ZAOC=ZAOM+ZAOE-NCOE,

?*.x-60r+90—15=60f+75;

ZNOE=/BOE-/BON,

y=90—30%,

30/=90—y,

x=2（90-y）+75,即：x+2y=255；

當NAOM>90。，ON在O￡>上方時：如圖1,

7.COM=NBOM+NBOE+ZEOC=180°-ZAOM+ZAOE+ZCOE,

**?x=l80—60/+90+15=285—60%,

ZNOE=ZBOE-/BON,

y=90—30/,

30/=90—y,

x=285-2（90-y）,即：x-2y=105；

當NAOM>90。，ON在OD下方時：如圖2,

/COM=ZBOM+NBOE+NEOC=180°-ZAOM+ZAOE+ZCOE,

圖2

***x=l80—60/+90+15=285—60t,

ZNOE=ZBOE-/BON,

y=90—30,,

30?=90-y,

：.x=285-2（90-y）,即：x-2y=105；

綜上：x與y之間的數量關系為x+2y=255或x-2y=105；

故答案為：尤+2y=255或x-2y=105.

【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算.正確的識圖，理清角之間的和差關系，是解題的關鍵.

2.（23-24七年級?江西南昌?期末）如圖，直線A3與C。相交于點。，ZBOD=50°,OE平分NBOD,

ZEOF=55°,OG平分ZAO尸.若射線從射線。產的位置出發，繞點。以每秒1。。的速度逆時針旋轉一

周，當旋轉時間為f秒時，三條射線中恰好有一條射線是另外兩條射線所組成的角的平分線，

請寫出旋轉時間r的值為秒.（旋轉過程中/OOM,Z.GOM,/DOG都只考慮小于180。的角）

F(M)

【答案】1或13或25

【分析】利用角平分線求出NDOE,NEOF—NODE,求出NDO產，ZAOD-ZFOD,求出/AOF,由角

平分線，求出NGOP,ZGOF+ZDOF,再分平分NDOG,OG平分NDOM,OD平分NGW三種

情況討論求解即可.

【詳解】解：；N38=50。，

ZAOD=180°-ZBOD=130°,

OE平分NBOD,

：.ZBOE=ZEOD=-ZBOD=25°,

2

---ZEOF=55°,

：.ZDOF=ZEOF-ZDOE=30°,

ZAOF=ZAOD-NFOD=100°,

OG平分/AOP,

Z.ZFOG=-ZAOF=50°,

ZDOG=ZGOF+ZDOF=80°；

分情況討論：

①當平分/OOG時,

M

???ZDOG=SO0,

：.ZDOM=ZDOF+ZFOM=-ZDOG,即：30°+ZFOM=40°,

2

：.ZFOM=10°,

???，=10。+10。=1；

②OG平分NDOM時,

則：/GOM=/DOG=800,

???ZFOM=ZMOG+ZFOG=80°+50°=130°,

Ar=130°4-10°=13；

③當OD平分/GOM時：

???ZFOM=ZDOF+NDOM=110。，

???點M旋轉的角度為：360°-ZFOM=250°,

???，=250*10。=25；

綜上：，的值為：1或13或25.

故答案為：1或13或25.

【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算.正確的識圖，理清角的和差關系，是解題的關鍵.

3.（22-23七年級上?湖北武漢?期末）如圖，90°<