考點鞏固卷03函數及其性質（十大考點）

原考堂先亮

考點01：已知函數解析式求定義域問題

考點02:抽象函數定義域的妙解

考點03：求函數解析式的六大思路

考點04：各種函數值域問題

考點05:函數單調性的處理技巧

函數及其凝

整龍蛇技巧及考點制推

考點01:已知函數解析式求定義域問題

若函數/（X）的解析式為已知函數的形式n采用直接法.

解題模板如下：

第一步：找出使函數/（》）所含每個部分有意義的條件，主要考慮以下幾種情形：

（D分式中分母不為0;（2）偶次方根中被開方數非負；（3）/（司=尤°的底數不為零;

（4）/（x）=f（左＜0,左eR）的底數不為零;

、f(2x-l}f0<x<2

要使gz(%)=〈五1有意義,貝“I〉。，解得0v%42,

所以g(尤)="廠一~的定義域是(。,2].

故選：C.

3.已知函數y=的定義域是[-8』，則函數的定義域是()

A.(^o,—2)U(—2,3]B.[—8,—2)U(—2,1]C.2lu(—2,0]D.——,—2

【答案】C

【分析】角星不等式一8<2]+1<1和x+2w0可得.

9

【詳解】由題思得：-842無+1W1,解得：一5工工40，

由x+2w0,解得：x~2,

故函數的定義域是一|,-2]u(-2,0],

故選：C.

4.函數y=log2(2+x)+Jl-3"的定義域為()

A.(-2,0)B.(-2,0]C.(0,2)D.(-1,2]

【答案】B

【分析】根據對數函數和根式函數的定義域列出不等式組解出即可.

f2+x>0fx>-2

【詳解】要使得函數有意義，則，“、c，即,解得-2<xW0

[1-3>0[尤<0

所以函數的定義域為(-2,0].

故選：B

5.若函數/(2x-l)的定義域為[-1,1],則函數>=/總"的定義域為()

A.(-1,2]B.[0,2]C.[-1,2]D.(1,2]

【答案】A

【分析】由已知求出f(2x-l)中2x-l的取值范圍，它即為了。-1)中x-l的范圍，再結合分母不等于0,二

次根式中被開方數非負得出結論.

【詳解】心一1)中,-1<X<1,貝lj-342x-141,

所以函數3=/中,八，解得一1<尤（2,

Jx+1[x+l>0

故選：A.

6.已知函數的定義域為[2,8],則函數y=〃x—2）的定義域為（）

x-5

A.[4,10]B.[0,6]

C.[4,5）U（5,10]D.[0,5）U（5,6]

【答案】C

f2<x-2<8

【分析】根據題意得到一二八—，再解不等式組即可.

%—5w0

2W%—2V8

【詳解】根據題意可得x-5.0'解得4^1°且-5.

故選：C

7.函數/（x）=Jln（l-x）的定義域為（）

A.(-oo,0]B.(-oo,l)C.[0,1)D.。+8）

【答案】A

【分析】使函數有意義，即得關于1的不等式組，解之即得函數定義域.

1一兀>0

【詳解】函數y（x）=MTF有意義，等價于

ln(l-x)>0,

解得，%<0,故函數的定義域為（-8,0].

故選：A.

8.函數工的定義域是（）

A.[—2,2]B.（-2,2）C.卜卜（-2,或x"}D.{-2,2}

【答案】D

【分析】根據函數有意義得出不等式組，解之即得函數定義域.

4-/20”

【詳解】由耳有意義，等價于2c，角牛得X=±2,

X2-4>0

即函數的定義域為{2,-2}.

故選：D.

9.函數/(尤)=J3尤-2+—1的定義域為()

x-2

22

A.{x\x>—^x^2]B.{x|x<—Sx>2}

C.1x||<x<21D.{x|xN：且XW2}

【答案】D

【分析】根據函數解析式，列出使函數解析式有意義的不等式組，求出解集即可.

3x-2>02

【詳解】由題意得)n，解得工2彳且xw2,

即定義域為卜轉|且"21.

故選：D.

10.函數〃x)=正三的定義域為()

x-2

A.(l,+oo)B.[l,+oo)C.[1,2)D.[l,2)u(2,+oo)

【答案】D

【分析】使函數有意義得到不等式組，求解即得.

【詳解】由7。)=山■有意義，可得cC，解得X21且無H2.

x-2[x-2^0

故選：D.

考點02:抽象函數定義域的妙解

使用前提：涉及到抽象函數求定義域，函數的解析式是未知的.

解題模板如下：

解題模板1

已知/(X)的定義域，求/[g(x)]的定義域.

求解思路：若/(X)的定義域為mWxW〃，則在/[g(x)]中，根<g(x)<a,解得X的取值范圍構成的集合，

即為丹g(x)]的定義域.

解題模板2

已知/[g(x)]的定義域，求/(x)的定義域.

求解思路：若/[g(x)]的定義域為則由確定的g(x)的范圍(值域)構成的集合，即為

/(X)的定義域.

解題模板3

已知/［g(x)］的定義域，求/［丸(刈的定義域.

求解思路：可先由/［g(x)］定義域求得/(%)的定義域，再由/(%)的定義域求得了［丸(刈的定義域.

11.已知函數〃幻的定義域為則函數的定義域為()

A.B.D.(—2,2)

【答案】C

【分析】由-4<f<［求解即可

【詳解】函數/(X)的定義域為

由-得」<x<L

422

則函數八/)的定義域為

故選：C

12.已知函數/'(力的定義域為［-2,2］,則函數燈底)=，［：；)的定義域為()

A.[-3,1]B.[-3,O)u(O,l]

C.(-l,O)u(O,l)u(l,3］D.［-3,-l)u(-l,O)u(O,l)

【答案】D

【分析】根據抽象函數定義域的求法及分式和對數有意義，列出不等式，即可求解.

【詳解】由題意可知，要使尸⑺有意義，

-2<x+l<2-3<x<1

只需要V兀|>。，解得V"0

Hw1x^-1,且xwl

所以3,—1)5—1,0)50,1),

所以函數尸(%)的定義域為[tt)“-I,o)50,1).

故選：D.

13.已知-1)的定義域為卜后石],則“X)的定義域為()

A.[-2,2]B.[0,2]C.[-1,2]D.[-百

【答案】C

【詳解】利用抽象函數定義域的解法即可得解.

【分析】因為/，-1)的定義域為[-6,道],IP-y/3<x<y/3,貝。0wf<3,

所以-1V/-1V2,所以/(x)的定義域為[T,2].

故選：C.

14.函數y=F(x)與y=g(x)有相同的定義域,且對定義域中任何X都有/(-x)+/(x)=0,g(x)g(-x)=l,

若g(x)=l的解集是{小=0},則函數/(力=是胃+〃力是().

A.奇函數B.偶函數

C.既是奇函數又是偶函數D.非奇非偶函數

【答案】B

【分析】先分析/(%)的定義域，再根據函數奇偶性定義判斷函數奇偶性.

【詳解】因為尸⑺的定義域為g(x)7w0，即xwO,所以網x)的定義域關于原點對稱.

2/(-%)

J(x)g(x)[(尤)+2〃x)=2/S)+

g(x)Tg(x)T

所以b(x)為偶函數.

故選：B

15.若函數y=〃x)的定義域為[0,4],則函數"(2：+D

的定義域為()

A?卜口\]臼B.[1]C.1,|D.(1,9]

【答案】A

【分析】根據條件列出不等式組，解出即可.

【詳解】因為函數丁=/(力的定義域為[0,4],

[0<2x+l<413

所以1,解得-八x<l或1<%〈不

[x-1^0n22

故函數y=上上。的定義域為層1]/1,口，

x—1L，JI

故選：A.

16.已知幕函數〃元)的圖象過點卜,用，則〃尤-3Y)的定義域為()

A.(0,3)B.[。,￡|C.(0,3]D.0,1

【答案】B

【分析】先利用暴函數的定義求得f(x)的解析式，再利用其定義即可得解.

【詳解】依題意，設塞函數為〃x)=靖，則/⑻=8"=',故。=-；，則〃x)=/，

所以〃x)的定義域為(0,+8),故/(尤-3Y)滿足尤一3一>。，解得0<尤<；

故選：B.

17.已知函數”2x-l)的定義域為(-1,2),則函數41-”的定義域為()

A.’g』[口:C(-2,4)D.(-2,1)

【答案】C

【分析】根據抽象函數定義域的求法求得正確答案.

【詳解】函數〃2x-1)的定義域為(-1,2),所以-l<x<2,

—2<2%<4,—3<2尤一1<3,

所以/'(X)的定義域為(-3,3),

對于函數一x),由—3<l-x<3,

得—2<x<4,所以函數〃l-x)的定義域為(-2,4).

故選：C

國若幕函數/⑺的圖象過點(4,2),則尸寫片的定義域是()

A.(-2,0)B.(0,2]C.[0,2]D.(-2,2)

【答案】B

【分析】設〃x)=x"，根據幕函數f(x)的圖象過點(4,2)求出1的值，即可求出〃尤)的定義域，再根據抽

2—1x1>0

'，解得即可.

(x>0

【詳解】設〃X)=X"，依題意可得￥=2,解得a=，所以〃耳=尤5,

所以f(x)的定義域為［0,+8),值域為［0,+8),且〃0)=0,

對于函數k"’則［I產’解得°K2,

即函數y=的定義域是(0,2］.

故選：B

19.已知函數〃幻的定義域是［-1,3］,則函數g(x)=的定義域是(

yjx

A.[-3,5]B.[-3,0)U(0,5]C.(0,2]D.[0,2]

【答案】C

【分析】整體代入法求函數y="2x-l)的定義域，再由g(x)=于(2臺》有意義的條件,求g(x)定義域.

【詳解】因為函數“尤)的定義域是［T3］,由-lW2x-143,解得0WxV2,

所以函數y=/(2X一1)的定義域為［0,2］.

/、f(2x-l)[0<x<2

要使g(x)='有意義,貝Mx>0，解得0<xV2,

所以g(x)="2二1)的定義域是(0,2].

故選：C.

20.已知函數y=〃2x-2)的定義域為[1,3],則函數g(x)=\^甘的定義域為()

A.(2,3)u(3,5]B.(2,5)

C.[2,3)u(3,5]D.(3,5]

【答案】A

【分析】根據條件先求解出/'(X)的定義域，然后結合分式分母不0、對數的真數大于。列出關于X的不等式

組，由此求解出g(x)的定義域.

【詳解】依題意，函數>="2尤-2)的定義域為[1,3],

所以(2x-2)e[0,4],即函數的定義域為[0,4],

0<A:-1<41<X<5

所以在函數g(x)中有了-2>0,解得,x>2

ln(x-2)wOxw3

所以g(x)的定義域為(2,3)u(3,5],

故選：A.

考點03:求函數解析式的六大思路

模型一：待定系數法求函數解析式

適用條件：已知函數解析式的類型

步驟如下：

第一步：先設出/(九)

第二步：再利用題目中給的已知條件，列出等式

第三步：列出關于待定系數的方程組(左右對應匹配)，進而求出待定的系數.

模型二：換元法求函數解析式

適用條件：已知函數/[g(x)]且g(x)=t能夠很輕松的將X用t表示出來.

步驟如下：

第一步：令g(x)=/,解出X且注意新元的取值范圍

第二步：然后代入/[g(x)]中即可求得/?)

第三步：從而求得了(%).

模型三：配湊法求函數解析式

適用條件：已知函數/[g(x)]且g(x)=/不能夠很輕松的將X用f表示出來.

步驟如下：

第一步：將等號右邊先出現g(x)

第二步：將題干等號右邊形式變形成g(x)的形式.

第三步：從而求得了(%)的解析式.

模型四：方程組法求函數解析式

適用條件：已知與/(-X)、/(X)與八k-x)(k為常數)等之間的關系式

步驟如下：

第一步：將原式抄寫一遍，如/(加)±/(")=A

第二步：將交換，再寫一遍/(")±/(7力=反

第三步：建立二元一次方程組，進行消元從而求得了(尤)的解析式.

模型五：抽象函數求函數解析式

適用條件：已知/■(〃a+利)：括號中既有》又有y時

步驟如下：

第一步：令x=0或y=o(令字母出現次數少的為0)

第二步：代入出現/(x)或形式且求出/(0)=機

第三步：從而求得了(九)的解析式.

模型六：分段函數求函數解析式

適用條件：已知的解析式求1>0的解析式.

步驟如下：

第一步：明確函數的奇偶性

第二步：x>Q,-x<Q,/(—x)=代入已知函數解析式

第三步：利用奇偶性從而求得了(%)的解析式.

21.已知函數Ax)的定義域為R,且滿足fM+f(y)=f(x+y)-2盯+2,/(l)=2,則下列結論正確的是(

A./(4)=12B.方程f(x)=x有解

C./[x+g)是偶函數D./1x-g)是偶函數

【答案】C

【分析】由已知利用賦值法與等差數列的求和公式，結合函數的奇偶性及方程解的存在條件檢驗各選項即

可判斷.

【詳解】對于A,因為函數/⑴的定義域為R,且滿足/(尤)+/(丫)=/口+丫)-2盯+2,八1)=2,

取x=y=l,得/(1)+/(1)=/(2)-2+2,則"2)=4,

取x=y=2,得/(2)+/(2)"(4)—8+2,則44)=14,故A錯誤；

對于B,取y=l,得/(x)+/(l)=/(x+l)-2x+2,則/(尤+l)-/(x)=2無，

所以/?-于(x-1)=2(x于(x-2)=2(尤-2),...,/(2)-/(I)=2,

以上各式相加得于(x)-/(I)=f=/一尤，

所以f(x)=x2-x+2,

令/(%)=%2_%+2=%,得f_2%+2=0,此方程無解，故B錯誤.

對于CD,由B知/(x)=f—x+2,

所以y[x+g)=]x+g)_1》+3]+2=/+1是偶函數,

=口一g[一[x—g[+2=x2-2x+》不是偶函數，故C正確，D錯誤.

故選：C.

22.下列函數滿足了(1鳴3)=-/(廄32)的是()

A.f{x)=1+InxB,f[x)=x+-

C.=D./(x)=l-%

【答案】C

【分析】令"log23>l,貝葉=1。&2,結合各選項代入驗證，即可判斷答案.

【詳解】令"log23,f>l,貝。=1幅26。1),由〃10823)=-〃10832)可得/?)=-/

對于A,/A=l+lni=l-ln/^-/(f),故A錯誤；

對于B,沖=*=加)，不滿足%)=一?B錯誤；

對于C,/[；]=；—=-/(')，即/")=-/(；)，BP/(log23)=-/(log32),C正確；

對于D,/(i)=l-U-/(?),即/。嗚3)=-川(嗎2)不成立，D錯誤.

故選：c.

23.定義在R上的函數/(x)滿足2〃3r)-〃冷二%2-12x+18,尸(x)是函數f(x)的導函數，以下選項錯

誤的是()

A./(0)+/(0)=0

B.曲線y=〃x)在點。，/⑴)處的切線方程為2x-y-1=0

C.〃x)—根在R上恒成立，則nzW-2

D.—⑺-

e'

【答案】C

【分析】由27(3-X)-/(X)=X2-12X+18,可得2/(x)=/(3-x)+x2+6x-9,即可得人＞)的解析式，結合

導數計算、導數的幾何意義及利用導數求函數的極值與最值即可判斷各選項.

【詳解】由27(3—X)—/(X)=X2—12X+18,有27(3-x)=+/一12x+18,

貝lj2f(3+x-3)=/(-x+3)+(-x+3)2-12(-x+3)+18,

即2/(%)=/(3-x)+x2+6x-9,

貝lj2f(x)=/⑴+⑵+18+J+6%一9,

整理得〃x)=x2,有r(x)=2x,

則〃0)=0，r(0)=0,即/(0)+r(0)=0,故A正確;

/(1)=1，/，(l)=2xl=2,

故切線方程：y=2(x—1)+1,化簡得2x—y-1=0,故B正確;

/(X)—7''(力=％2—2x2機在R上恒成立，由f-2X=(X-1)2-1N-1,

故mW-1,故c錯誤;

小)--(對-7等價于■一XN

不等式>-4e2-7_4E,

exex

X2-2X-7

令g(x)=

-2元一7)-(x-5)(x+l)

則g'(x)=

e2x一一e"

故當xe(-8,—l)55,+8)時，g'(x)<0,g(x)在(-8,-1)、(5,+8)上單調遞減，

當x?-l,5)時，g'(x)>0,g(x)在(-L5)上單調遞增,

故g(X)有極小值g(-1)=三土」=-4e,

當x>5時，<X2-2X-7=(X-1)2-8>42-8>0,

故g(x"Ye,即-,x)-714e,故D正確.

故選：C.

24.已知“X)為定義在R上的單調函數，且對VxeR,f("尤)-e，)=2+ln2,則〃ln3)=()

A.31n2B.3+ln2

C.3-ln2D.In3

【答案】B

【分析】根據題意，設〃x)-e、=t,用/(。求，的值，進而可得〃x)的解析式，從而可得"In3).

【詳解】設/(x)-e*=f,則/(x)=e*+，,

所以/(r)=e'+r=2+ln2,即e'+lne'=2+ln2,

設g(x)=x+lnx(x>0),易知g(x)在(0,+功上單調遞增,

所以e，=2,即f=ln2,

故/(x)=e*+ln2,所以/(ln3)=eln3+ln2=3+ln2.

故選：B.

25.已知函數/(x)的定義域為R,且了(切片。，若〃x+y)+y(x)/(y)=My,則下列結論錯誤的是()

A?力m=0B/Q-2

C.函數/■)是偶函數D.函數/[x+g]是減函數

【答案】C

【分析】首先利用賦值法求得了1(1的值，再賦值y=-;，求得/[x-gj的解析式，即可判斷c,再根據

函數的解析式，賦值判斷BD.

【詳解】對于A,令x[、尸。，則有了

又了#。，故1+/(0)=0,即/(0)=_1,

1-1

令龍=：、'=一：，貝U有了+f4x-x

222

即-1,由〃0)=-1,可得了1=0,

又了/0,故/0,故A正確;

對于c,令了"，則有小1

+"x)y4xx

則u-2%,故函數/是奇函數，故C錯誤;

對于D,W/l^+1-1]=-2(X+1)=-2X-2,即/

=-2x-2,

則函數+m是減函數，故D正確;

對于B,由/(x-J

-2%,令x=l,有了=-2xl=-2,故B正確.

故選：C

1—r2/、

26.已知函數〃1一乃=三(左一0),則〃x)=()

A吐。)

.7^7-1B.

(I)言-3

44

C.7-^T(x*°)D.西丁…)

(1)

【答案】B

【分析】利用換元法令r=l-x,代入運算求解即可.

【詳解】令，=1一%,貝Ux=lT,由于％。0,則，wl,

l-(l-z)2I/、

可得/(。=--~~A=---------1,(rw1),

(J)(f

所以/(%)=

故選：B.

27.已知函數/(幻滿足/(x)+2/(2-x)=』-l,則/(3)的值為(

X

710

A.B.D.

3~9ct6

【答案】B

【分析】將X換成2-X,得到即7(2-x)+2/(x)=J--1,聯立方程組求得〃無)的解析式，進而求得“3)

2—x

的值.

【詳解】由〃尤)+27(2-尤)=」一1,將x換成2-x,可得/(2-幻+2/(2-(2-?)=；^--1,

x2—x

即/(2-x)+2/(x)=——-1,

2-x

/(x)+2/(2-x)=--l,、

聯立方程組■x,解得—-1—.

/(2-^+2/?=-1--1312xX)

2-x

所以了⑶=一］.

故選：B.

28.已知/(x+l)=2x,且/■(:")=4,則加=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由題意可求出f(x)的表達式，結合，(〃?)=4,即可求得答案.

【詳解】由題意知〃x+l)=2x,且〃咐=4,

用x-1代換x,貝lJ/(x)=2(x—D，

即得/(7")=2(M—1)=4,.17九=3,

故選:B

29.已知函數滿足：-￡|=/+：,則“X)的解析式為()

A./(x)=x2+2B./(x)=x2

C./(x)=x2+2(x^0)D./(x)=A：2—2(x^0)

【答案】A

【分析】通過化簡即可得出函數的解析式.

【詳解】因為/無一4=/+3=(無一,]+2,：,f(x)=x2+2,

故選：A.

g⑶滿足/⑺-21]=3尸。,

30.若函數f(x),且/(x)+g(x)=2x+6,則〃2)+g(—l)=(

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根據方程組法求解函數的解析式，代入求出/(2),/(-I),再利用/(T)求出g(-D,從而得

解.

【詳解】因為/(彳)-2乂5=3%-土所以/口-2〃x)=3-4x,

聯立可得/(x)=*^，所以/(2)=當?=3,/(T)="：：)：2=T,

3x3x23x(-1)

因為/(x)+g(x)=2x+6,所以/(-l)+g(-1)=-2+6=4,貝i]g(-l)=4+l=5,

所以〃2)+g(—l)=8.

故選：C.

考點04:各種函數值域問題

形如①：〃)3+漏"或小)=受|采用判別式法.

形式1：/(%)=\+"+—=4>dx1+ex+f=y(ax2+bx+c\

ax+bx+c

n(d-ay)x2+(e-by)x+(/-cy)=0=>(e-byf-4(d-oy)(/-cy)>0

形式2：f(x)=Ax+Bylajc2+bx+cy—Ax=By/ax2+bx+c

n(y-Ac)?=B2(ax2+bx+c)移項繼續利用形式1進行處理.

形如②：函數的不等式中含有一些特殊函數，直接觀察即可確定函數的值域或最值.

簡稱直接法

解題步驟：

第一步：觀察函數中的特殊函數；

第二步：利用這些特殊函數的有界性，結合不等式推導出函數的值域.

31.若函數/(彳)=1加+尤+1的值域為［0,+句,則實數。的取值范圍為()

B.{0}心+8)

1

c.D.—,+00

4

【答案】C

【分析】對。分。=。，。W。兩種情況討論，分別根據一次函數、二次函數的性質，結合值域求參數取值范圍

即可.

【詳解】①。=0時，/(%)=&斤，值域為［0,+8),滿足題意;

②〃時，若f(x)=，辦2+X+1的值域為［0,+8),

a>0解得。<。三，

則

A=l2-4a>0

綜上,

故選：C.

32.函數y=x+的值域為()

B.C.[-2,2]

【答案】B

TTJT

【分析】令工=sin6,,運用換元法轉化為求三角函數在給定區間上的值域.

H，貝！Jy=sin6+c°s6=0sin[6+2),

【詳解】令％=sin6,

4

八兀兀

?.?。￡——

22?-…年

<sin(6+—)<1,

24

.-.-l<V2sin+<^2,

故選:B.

33.函數〃x)=^/i二7+^/§^的最大值為()

A.1B.72C.V3D.2

【答案】D

【分析】令。=4=*=阮，則/+!=：!,設。=$吊0,6=6饃$(0<6<3］，再結合三角函數的性質

即可得解.

【詳解】函數=+傷的定義域為［0』,

令a=<\-x,b=,貝lj〃2+m=i(o?awi,owbw^),

設。=sin。,/?=A/3COS^^0<0<,可得.〃+b=2sin[e+；1,

TT

當6時，a+b有最大值為2,

所以函數/(x)=^/^7+A的最大值為2.

故選：D.

34.已知函數〃x)的定義域為R,且亞(力-#(丁)=孫(>y),則下列結論一定成立的是()

A.41)=1B./(x)為偶函數

C.〃x)有最小值D.〃尤)在[0』上單調遞增

【答案】C

【分析】利用題設結合賦值法可得出〃x)=x2+[f(l)-l]x,進而結合二次函數性質一一判斷各選項，即

可得答案.

【詳解】由于函數〃尤)的定義域為R,且w(x)-#(y)=^(x-y),

令y=l,則/⑺一獷⑴=x(x-l),得=[/■⑴一l]x,

x=l時，/⑴=『+恒成立，無法確定了⑴=1,A不一定成立；

由于"1)=1不一定成立，故〃同=/+[〃1)―1卜不一定為偶函數，B不確定；

由于〃同=/+"⑴一1口的對稱軸為.一3.[〃1)_1]與[0,1]的位置關系不確定，

故/(X)在[0』上不一定單調遞增，D也不確定，

由于〃x)=f+[/⑴_1口表示開口向上的拋物線，故函數”力必有最小值，C正確，

故選：C

35.已知函數〃無)=1■尤2-X+5在卜上的值域為[4m,4"],則相+力=()

A.4B.5C.8D.10

【答案】D

9[f(^)=4m

【分析】首先利用二次函數最值求出租則得到其單調性，則;/，代入計算即可.

8[f[n)=4n

i199

【詳解】〃同=彳X2一元+5的對稱軸為x=l,則〃1）=彳、12-1+5=［44加，解得加2?,

2228

則/（X）在［私〃］上單調遞增,

-m+5=4m

/(m)=4m2

所以即］

f(n)=4n

-n+5=4n

所以"Z,〃為方程1V-x+5=4x的兩個根,

2

即m，n為方程尤2_io》+io=o的兩個根，所以根+〃=10.

故選：D.

I_九2?_|_20<光<0

36.設函數小）=Z“+3：。二"‘若恒成立，則實數。的取值范圍是（）

【答案】D

【分析】分TWxWO和0<xV4兩種情況下恒成立，參變分離轉化為最值求解即可.

【詳解】當TVxVO時，一/+依+20>0恒成立，即尤2-20恒成立,

當x=0時，上式成立;

onof）

當TVx<0,。<尤-三，明顯函數》=苫-?在［T0）上單調遞增,

20

所以>min=—4=1,所以aV1；

-4

23

當0<xV4時，依2一2%+3>0恒成立，即二一一^恒成立，

XX

令》=工€+81，貝iJa>2r-3/在9,+8上恒成立，

又y=2f-3/開口向下，對稱軸為f=—,+<?j,

所以y=2-3/的最大值為2X；-3XG）=1,

所以.>；,

綜上：實數a的取值范圍是

故選：D.

22

37.已知1>0,>>0且x+y=l,則1二+「'的最小值為（）

1+x1+y

A.1234

B.—C.—D.一

5555

【答案】B

i]]3—2XV

【分析】由基本不等式和x+y=l可得。<孫司，化簡可得尸+有廠2-2孫+七2'令"3-2沖,

利用換元法，結合對勾函數的性質計算即可求解.

【詳解】因為x+y=l,所以x+y=122而，當且僅當x=y=g時等號成立,

所以0<孫4：.

?,[]=(1+/)+(1+力=2+x'+y2=2+(x+y)、2孫3—2xy

222222222

'"1+尤21+/(l+x)(l+y)l+x+y+xyl+(x+y)-2xy+xy2—2xy+x2y2

令，=3—2盯，貝射￡-1,33-r

孫二號

11t4/4

-1------------------------------------------------=-----------

所以1+尤21+/2_(3_0+(3-￡*2/+5-2+：

由對勾函數y=x+*在R,3）上單調遞增，則當尤=：時函數取到最小值,

x22

11,48

-----------1-----------W-----------------=一

所以當/=:時，1+/i+V5-2+|5,

225

2

所以--------7-I---------T+占”|一|

1+x1+y

故選：B.

38.已知集合A={y|y=x+l,T<x<l},B=[x\x<a],若=B,則。的取值范圍為(

A.[0,2]B.[2,+00)C.D.(-oo,l]

【答案】B

【分析】求出函數值域化簡集合4再利用給定的運算結果，借助包含關系求解即得.

【詳解】集合A={y|y=x+L-1<尤<1}=[0,2],而B=

由AuB=3,得A=貝!]。22,

所以。的取值范圍為[2,+8）.

故選：B

考點05:函數單調性的處理技巧

①：定義法

使用前提：一般函數類型

解題步驟：

第一步：取值定大小：設任意和斗€。，且不＜%2；

第二步：作差：/(%)-/(%)并變形變形(合并同類項、通分、分解因式、配方等);

的>%介12II

第三步：定符號，得出結論.=＞

/(%1)>/(%,)、/(再)</(尤2)

注意：同向遞增，異向遞減

②導數法

使用前提：較復雜的函數類型

解題步驟：

第一步：求函數/(%)的定義域和導函數的解析式f'(x);

第二步：在定義域范圍內解不等式k=/'(x)＞0或左=/'(x)＜0；

第三步：得出函數/(x)的增減區間.斜率=依＞0,上坡路，左＜0,下坡路)

39、已知函數/(x)=13；.利用函數單調性的定義證明：是其定義域上的增函數.

解：第一步：取值定大小：設任意石,々^。，且不＜%2；

Q/(x)=l--^―,

2+1

任取者,％26尺，設為＜%2

第二步：作差：/(%)-/(9)并變形變形(合并同類項、通分、分解因式、配方等)；

22

Q/&)-〃々)=(1-罰)-(1-目)

112(2為一2士、

2(-----------------)=----------7-------r

2X,+12A'2+1(2』+D(2*+1)

第三步：定符號，得出結論.

Q玉<，2』<2%，.?.2為一2”<0,又2*+1>0,2?+1>o

.■?/(石)一/(%)<0,/(^)</(々)，是其定義域R上的增函數.

40、已知函數/(x)='-'(0>0,%>0).

ax

(1)求證：/(X)在(0，+8)上是單調遞增函數；

(2)若/(x)在—>2上的值域是—,2,求a的值.

(1)第一步：取值定大小：設任意且再<%2；

證明：設工2>再>。，則九2-玉>。，玉九2>。，

第二步：作差：/(%)-/(%)并變形變形(合并同類項、通分、分解因式、配方等);

(ax2JXjJX]x7%/

第三步：定符號，得出結論.

：.f(x2)>f(xl),Af(x)在(0,+oo)上是單調遞增的.

(2)Vf(x)在(0,+oo)上是單調遞增的，(x)在g,2上單調遞增，

41、已知函數/(x)=-5是定義在(-L1)上的函數.

(1)用定義法證明函數/(尤)在(T」)上是增函數；

(2)解不等式/(x—l)+/(x)<0.

解：(1)第一步：取值定大小：設任意思,當€。，且不<%2；

任取七且玉</，

第二步：作差：/(%)-/(%)并變形變形(合并同類項、通分、分解因式、配方等);

%馬=(七—一)(1—石々)

“"2卜不一(l+x；)(l+xj，

第三步：定符號，得出結論.

V\e(-l,l),/.1-Xj%2>0,又占<了2,.?./(%)—/(%2)<。，

即/(%)</伉)，故函數“X)在(T1)上是增函數.

(2)力=丁三=—/(力，.?./(%)是(T1)上的奇函數，

貝！I/(%T+/(%)<0o/(XT)<-/(x)=/(-%)，

又/(%)是(-1,1)上的增函數，

1I

/.<-1<X<1=>Q<x<-.,故解集為{x[0<x<5}

x-1<-x

寫史定義在(-M)上的奇函數，且

42、已知函數/(x)=

x+15

(1)求函數/(%)的解析式；

(2)判斷函數/(%)的單調性，并證明；

(3)解關于％的不等式〃2x—l)+/(x)<0.

解：(1)?.?函數/(力=簽|是定義在(-1,1)上的奇函數，???/(o)=o,

又,.1/(萬卜丁)=0,a=l,〃x)=,：］?

(2)/(%)在(-L1)上為增函數，理由如下.

第一步：取值定大小：設任意石,與€。，且%<%2；

設一1<玉<%<1,貝！］1一凡?々〉0