圓錐曲線第3講拋物線

【知識要點】

一、拋物線的定義

平面內到某一定點尸的距離與它到定直線/〔尸的距離相等的點的軌

跡叫拋物線，這個定點尸叫做拋物線的焦點，定直線/叫做拋物線的準線。

注1：在拋物線的定義中，必須強調：定點/不在定直線/上，否那么點的

軌跡就不是一個拋物線，而是過點尸且垂直于直線/的一條直線。

注2：拋物線的定義也可以說成是：平面內到某一定點尸的距離與它到定

直線/〔尸入〕的距離之比等于1的點的軌跡叫拋物線。

注3：拋物線的定義指明了拋物線上的點到其焦點的距離與到其準線的距

離相等這樣一個事實。以后在解決一些相關問題時，這兩者可以相互轉化,

這是利用拋物線的定義解題的關鍵。

二拋物線的標準方程

1.拋物線的標準方程

拋物線的標準方程有以下四種：

2cF(E,O)X=-E

⑴y=92pxip>0),其焦點為2,準線為2.

⑵y=-2px〔p>0),其焦點為2,準線為2.

(3)x=2py1p>0),其焦點為’2,準線為」2.

2__￡)y=—

⑷x=-24〔p>0),其焦點為''2,準線為』2

2.拋物線的標準方程的特點

拋物線的標準方程產=土2Px〔p>0〕或必=±2Q〔p>0)的特點在于:

等號的一端是某個變元的完全平方，等號的另一端是另一個變元的一次

項，拋物線方程的這個形式與其位置特征相對應：當拋物線的對稱軸為％軸

時，拋物線方程中的一次項就是工的一次項，且一次項％的符號指明了拋

物線的開口方向；當拋物線的對稱軸為，軸時，拋物線方程中的一次項就

是》的一次項，且一次項y的符號指明了拋物線的開口方向.

三、拋物線的性質

以標準方程為例，其他形式的方程可用同樣的方法得到

相關結論。

(1)范圍：M0,WR；

(2)頂點：坐標原點°(°，°);

(3)對稱性：關于％軸軸對稱，對稱軸方程為，二°；

(4)開口方向：向右；

(5)焦參數：。；

(6)焦點：2；

x=-E

(7)準線：2；

(8)焦準距：

(9)禺心率：e=1；

(10)焦半徑：假設P5，為)為拋物線丁=2小〔p＞0〕上一點，那么由拋

物線的定義，有「耳=”+T；

(U)通徑長：2P.

注1:拋物線的焦準距指的是拋物線的焦點到其相應準線的距離。以拋物

2?c歹(￡,0)%=--

線y=2px〔。＞0〕的焦點2和準線/：2為例，可求得其焦準

p_(")=p

距為2

注2：拋物線的焦點弦指的是由過拋物線的焦點與該拋物線交于不同兩點

的直線所構成的弦。設拋物線的方程為9=2小；〔，＞°〕，過其焦點25

且不垂直于x軸的直線交該拋物線于4%，%)、3(%，%)兩點，那么由拋物

IAF|=x-(--)=%,+—\BF\=X-(--)=%,+—

線的定義，可知其焦半徑?1212,112722,

IA5l=I+\Bp]=(%,+—)+(%2+—)=%+x)+p

于是該拋物線的焦點弦長為............22-

注3：拋物線的通徑指的是過拋物線的焦點且垂直于其對稱軸的弦。通徑

是拋物線的所有焦點弦中最短的弦。設拋物線的方程為〔。＞°〕，

F(E,0)

過其焦點2且垂直于％軸的直線交該拋物線于A、8兩點〔不妨令點A

在x軸的上方)，那么2"、2",于是該拋物線的通徑長為

|陰=2-(一夕)=2。

四、與拋物線相關的幾個重要結論

2c八上（—,UJX-

設拋物線的方程為V=2px〔?>°）,點2是其焦點，直線/：2

是其準線,假設過該拋物線焦點F的直線交該拋物線于A（。乂）、B（…）兩

點〔即線段是該拋物線的焦點弦〕，并且點A、點8在其準線上的垂足

分別為點C、點。，線段的中點為點N,那么可以證明：

_P2

2X,X2----

（1）y<y2=-p,4.

⑵+'=小〔這里，。為直線的傾斜角〕；

S-P2

（3）2sin。［這里，。為直線A3的傾斜角）；

（4）以線段AB為直徑的圓與該拋物線的準線相切；

（5）ZANB=90°,ZCFD=9Q°.

（6）以線段為直徑的圓切直線A8于點尸.

證明：由于當直線的斜率不存在或斜率存在且不為零時，均符合題意,

因此為防止分情況進展討論而使得證明過程比擬繁瑣，根據直線過點

F(—,0)x=cot0-y+—

2,我們可巧設其方程為“2,這里，e為直線的傾斜角.

y2=-2px

x=co\.0-y+—2c八2c

⑴聯立〔'2,得y-2pCOt0-y-p=°

—2pcotec八~P2

M+%=------------=2pcote%%=丁一=_p

由韋達定理，有1

芯+招=式+：=^±^=-+七―2=(2℃。5-2(一吟

故2p2p2p2p2p

=4'cot'*2P-2pcot23+p-p(2cot29+1)

2P

xx=城￡=(M%『(-Pl、_P'3

12

~2p2p~4P2—4/—4/-4

⑵由拋物線的定義外的=M+阿平小陽+一(一9+出一3

-(玉+汽)+(%+5)=再+%+P=(cote?必+言)+(cote?%+5)+p

=cot8(%+%)+2p=cot32pcote+2p=2p(co^0+1)=2p-csWe=^-

sin0

(3)

5"=:。葉回一%|=?](/一%)2=胃(3+%產一4%%=外(2℃°叱)2-4(”2)

二(J4P?cot2夕+4〃2=￡個4P2(co它夕+1)=(J422cse29=,|27?cscq=~2pcsc3

=P?1=P?

2sin。2sin。

(4)設AB的中點為“(/，為)

那么

%-T)=-4=-J----+=-------=-------------=—"+D=j7(COt28+1)

°20222222

又?.?I”l=J5-々)2+(%-為丁-J(%i+%2)2-4Xi/+(%+%產-4%為

=JlpQcot2g+l)]2-4-^-+(2pcot^)2-4(-p2)=y)^2(4cot4^+4cot2^+l)-/92+4p2cot20+4p2

=、4p2cot48+8夕'cot26+422=-^4p2(cot4^+2cot2^+1)=^/4^2(0012^+1)2=|2p(cot20+1)|

=2p(cot20+l)

；.%—(—g=；|AB|

=_￡

這說明，AB的中點到準線/：X——5的距離等于|AS|的一半，即

X—____

以線段AB為直徑的圓的圓心"（X。，光）到準線/：—2的距離等于圓的半

徑.

故以線段AB為直徑的圓與該拋物線的準線相切

N(.)

⑸?.?A&，M),3(%，%),2

%+%%—%M+%%—%

%.%.

k2222

^NA

+P

…9T,2

為一乃%一%（%一內了

于是七4,左NB=--244

pp

(2pcot6)2-4(-/72)4/cotz6+4p2

p2cofe+p2

44=-1

221+《(2應20+1)—/血26+/

:+g/?(2cot26,+l)+^-

故A/ALN3,即ZANB=90。

又???一),"'IF(j,0)

.,.尸C=(—，%),FD=(-p,y2)

于是歹CFD=02+%%=夕2+(_/)=0

FC±FD,即NCF￡>=90°

2pcot0

⑹”1二檔一（一”（。-M+%)2p2+(%+為■)2p2+(?-)2=ylp2+p2cot20

222

=J/(1+cot28)=^(1+cot20)

1mT%一%|=依-％)2=J(M+D2)2-4%%=J(2pcotd)2-4(-/)

=y)4p2cot20+4p2=J4P2(cot26+1)=Zp/cot26+1)

（_p_%+%）（p_0）

這說明，C。的中點N2'2’到點F％一的距離等于的一半，即

N（—匕X±&）F（￡,0）

以線段。為直徑的圓的圓心22到點2的距離等于圓的半

徑.

故以線段為直徑的圓切直線A8于點產

【例題選講】

題型1：拋物線定義的應用

1"是拋物線V=x的焦點，A、8是該拋物線上的兩點，恒司+忸尸|=3,

那么線段AB的中點到》軸的距離為.

1

解：在拋物線K=x中，2P=1,即/2

F（L0）x=-~

,該拋物線的焦點為4',準線方程為4

由此可知，直線A8不垂直于x軸，否那么.+陷=2+二1,與PM+忸司=3

矛盾

設4芯,%），3（X2，%）

d-1+X2

那么線段AB的中點到y軸的距離—2,并且由拋物線的定義，有

M月=%一（—；）=玉+；忸月=%一（—[）=%+]

1。5

于是由|回+|第=3,有-5=3=%+々=萬

5

八一+々=2=5

故線段AB的中點到y軸的距離224

2.設拋物線V=8x的焦點為/，準線為/,點P為該拋物線上一點，出，/,

點A為垂足，如果直線好的斜率為-若，那么母L.

解：在拋物線V=8x中，2P=8,即p=4

,該拋物線的焦點為砥2，°),準線方程為彳=-2

由如=-6，/(2,0)可知，直線”的方程為y-0=-6代-2),即

y——yf3x+2A/3

y——y［3x+2-\/3x——2

聯立［x=-2，得［y=4yf3A(-2,4A/3)

于是由PA—于點A知，%=%=40

_(4拘2

將其代入方程＞=8x中，得P8

故由拋物線的定義,有怛h=歸川="-(-2)=6+2=8

3.以w為焦點的拋物線V=4x上的兩點A、8滿足赤=3而，那么弦的

中點到準線的距離為.

解：在拋物線V=4x中，2P=4,即p=2

,該拋物線的焦點為尸(1°,準線方程為x=T

XI

設A(Q),B(x2,y2)

那么弦AB的中點到準線的距離22，并且

A尸=(1一七,一%),FB=(xl-1,y2)

1-%]=3(12_1)%]=-3%2+4

于是由9=3而，有[-％=3巳I%=-3%，

又由#=3而可知，直線AB的斜率存在，不妨設為女

那么直線A8的方程為丁一°=左(％—1),即丁=乙一七

2

<y=4x

聯立〔>=左％一左，得ky-4y-4k^0

-4k.

Viy?==-4

由韋達定理，有k

而％%=-3￡

44

,-3/=-4ny；=myf=9yf=9X-=12

4

21

x-才-12_3T_y2_3_

于是44,2443

-+々+]=：__1+1=之+1=§

故弦的中點到準線的距離2233

題型2：求拋物線的方程

4.設拋物線的頂點在坐標原點，準線方程為彳=-2,那么該拋物線的方程是

解：由所求拋物線的準線方程為彳=-2,可設其方程為產=2小〔。＞0〕

_P_=一2np=4

那么有2

故所求拋物線的方程為V=8x

5.設拋物線的頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上，且焦點到準線的距離為

2,那么該拋物線的方程是.

解：由題設條件可設所求拋物線的方程為產=±2內[。＞0〕或必=±24

[P＞°]

那么由焦準距為2,有。=2

故所求拋物線的方程為V=±4x或必=±分

6.拋物線過點R―3Z,那么該拋物線的標準方程為,其準線

方程為.

解：由所求拋物線過點R—3Z,可設其方程為產=-2內或產=2必

〔P＞。〕

那么有4=6，或9=4。

29

P——P——

于是3或"4

2_4_9

y——xx2———y

故所求拋物線的方程為3或2-

7.拋物線的焦點/在直線A2k4=°上，那么該拋物線的標準方程為

，其準線方程為.

解：在方程工-2丁-4=0中，令彳=0,得'=-2；令y=0,得％=4

于是所求拋物線的焦點為網°廠為或尸（4，。）

〔i〕當所求拋物線的焦點為網°廠4時，據此可設所求拋物線的方程為

x2=~2py（]

2?yJ=2

于是此時所求拋物線的方程為x=-8九其準線方程為」2

[ii）當所求拋物線的焦點為砥4，°）時，據此可設所求拋物線的方程為

y*2=2px(p>0]

——4=>p=8

那么有2

2格一'4

于是此時所求拋物線的方程為y=16x,其準線方程為2

故所求拋物線的方程為-=-盯或V=16%,它們對應的準線方程分別為

y=2,X=~4

8.動圓與圓A：（x-3）?+y2=9外切，且與》軸相切，那么動圓圓心”的軌

跡方程為.

解:設舷（羽，）

那么由動圓M與圓A外切，且與》軸相切，有向l=W+3〔戶。〕

nJ（x-3）2+（y—0）2=|乂+3[XHO]，即9=6（岡+》）㈠工。〕〔*〕

當x>0時，由⑴式，有V=12x；當x<0時，由⑺式，有V=°

2

<y=12x,x>0

故動圓圓心”的軌跡方程為〔V=O，x<°

9.假設拋物線V=2px〔。>0〕的焦點恰好是雙曲線--產=2的右焦點，那

么P=.

29F（2,O）X=-E

解：拋物線V=2內的焦點為2,準線方程為2

《―M=1

在雙曲線/一丁二2,即22中，a2=b2=2,c2=a2+b2=2+2=4

.'.a=b=V2,c—2

于是雙曲線--產=2的左、右焦點分別為大(-2,0)、5(2,0)

2F(—0)

又???拋物線曠=2內的焦點2'恰好是點(2,0)

.?心=2

2

故P=4

10.假設拋物線丁=20〔。＞0〕的準線經過雙曲線產-產=1的一個焦點，那

么P=.

解：拋物線V=2內的焦點為2,準線方程為2

在雙曲線廠一y2=1中，a2=b2=1,c2=a2+b-=1+1=2

a=6=1,c=V2

于是雙曲線必7、1的左、右焦點分別為耳(一行，°)、工(后，°)

=上

又???拋物線V=2Px的準線x一萬經過點(一立。)

2

故〃=2后

口.拋物線的焦點是雙曲線16必-99=144的左頂點，那么該拋物線的標準

方程為.

22

土-匕=1

解：在雙曲線16%2-9廿=144，即916中，

/=9萬=Sc?=/+/=9+16=25

a=3,b=4,c=5

于是該雙曲線的左頂點為(—3，。)

因而所求拋物線的焦點為2—3，。)，據此可設所求拋物線的方程為V=-2內

——=—3=>/?=6

那么有2

故所求拋物線的方程為V=T2x

12.拋物線的焦點尸在工軸上，直線丁=—3與該拋物線交于點A,并且

\AF\=5,那么該拋物線的標準方程為.

解：由所求拋物線的焦點在工軸上，可設其方程為產=2內或

y2=-2px〔p>0)

[i)對于拋物線V=2px設A(m,-3),根>。

那么由M=5,有％9=5,即"+勺5①

又...點4〃-3)在拋物線V=2內上

9=2pm②

聯立①、②，得口=1或P=9

于是此時所求拋物線的方程為V=2x或丁=18x

(ii)對于拋物線產=一2內[P>0),設4%-3),n<0

那么由網=5,有勺"=5③

又...點A(〃,-3)在拋物線V=-2內上

:.9=-2pn④

聯立③、④，得。=1或P=9

于是此時所求拋物線的方程為V=-2x或V=_18X

故所求拋物線的方程為V=±2x或/=±18%

題型3：拋物線的性質

13.拋物線C：Jpx〔p>0〕過點A(l,-2),與拋物線C有公共點的直線/

V5

平行于0A〔。為坐標原點〕，并且直線。4與/之間的距離等于彳，那么直

線/的方程為.

解：由拋物線g2內過點A(l,-2),有4=2pnp=2

二拋物線。的方程為V=4x,其焦點為尸(IQ),準線方程為x=T

由直線4GA且外的方程為丁=-2x,即2無+y=0,可設直線/的方程為

2x+y+t

又：平行直線。A：2無+y=0與/：2x+y+"°之間的距離等于5

2

<y=4x

聯立［y=-2XT,得y-+2y+2t^0

1

A=22?-4x1x2?=4-8?>0^?<-

那么由直線/與拋物線C有公共點，有2

于是"T〔舍去”1〕

故直線/的方程為2x+yT=°

14.過拋物線必=2°丁〔。>0〕的焦點作斜率為1的直線/與該拋物線交于4、

8兩點，A、8在％軸上的正射影分別為。、。.假設梯形ABC。的面積為

12V2,那么P=.

M2尸（0,4y=--

解：拋物線x=29py的焦點為2,準線方程為‘2

F（0,E）y--^=l-（x-0）

由直線/的斜率為1,且過點2可知，直線/的方程為‘2

P

y=x-\——

即2

設4芯,%)，B(x2,y2)

x1=2py

<y=x+K

22

聯立〔2,得%-2px-p=0解得：%=p+叵p,x2=p-42p

丁.小^^*一小平GF=匕#^（L）

又..S梯形ABCD：

_x+x+p

x2?(七一后p=3j^p2=12后

一~Y~

p?=4

又夕＞0

故2=2

15.過點M（°，6）且與拋物線V=-12x有一個公共點的直線方程為

解：顯然，點“（°，6）在拋物線V=T2x外

（1）當所求直線的斜率不存在時，

顯然，過點M（°，6）且與拋物線V=-12x有一個公共點的直線方程為％=o

12）當所求直線的斜率存在時，不妨設其斜率為左

那么由其過點〃（°，6）可知，所求直線的方程為y-6=g-0）,即丁=辰+6

聯立,'=一12x,得上2工2+（12左+12）工+36=0[*）

y=kx+6

〔i〕彳發設左=0,那么由〔*〕式，有12x+36=0=x=—3

而此時所求直線的方程為y=6

即此時所求直線與拋物線V=T2x的唯一公共點為（_3,6）,滿足題意

于是當k=0時，所求直線的方程為丁=6

〔ii〕假設左力0,那么對〔*〕式，由所求直線與拋物線僅有一個公共點,

有

2

△=（12左+12）2—4x左2x36=144左2+288左+144-144Z:=288左+144=0

k=,滿足題意

2

于是當女工0時，所求直線的方程為y=-gx+6

故所求直線的方程為x=0或y=6或丁=-gx+6

16.以拋物線。的頂點為圓心的圓交。于A、8兩點，交C的準線于。、E兩

點。|A同=4四，|。閭=2石，那么。的焦點到準線的距離為.

解：設拋物線。的方程為產=2力〔”>0）

p（P.0）X=-P.

那么其焦點為2',準線方程為2

J-2）=P

于是拋物線C的焦點到準線的距離為22

由拋物線的對稱性可知，A、B兩點關于x軸對稱，。、E兩點也關于x軸

對稱

設A8與％軸交于點G,OE與x軸交于點”

|AG|=||A^=|x4V2=2V2|DH|=||DE|=|x2V5=5/5

那么

設以拋物線C的頂點為圓心的圓的半徑為r

那么1aH網=「

在尺血汨。中，。河=口用圻，即/彳①

設A（無A，力）

那么由gG|=20知，|L|=|AG]=2四，代入方程y2=2px中，得

（2揚284

Y-_____-.....-_

*2P2pP,

\0G\=—

即P

在及AAGO中，I網=|附+|時,即‘一S揚+（]）一"方②

2

---^-3=0^>/-1277-64=022

①-②，得4P',解得：P=K或P=-4（舍

去）

又P>°

故。=4,即C的焦點到準線的距離為4

2

17.正方形A3。的兩個頂點A、8在拋物線》=無上，。、。兩點在直線乙

丁=%+4上，那么正方形ABC。的面積為.

解：在拋物線v=x中，2P=i,即”=a

???該拋物線的焦點為"準線方程為"=一1

由明00與CO所在直線/的方程為y=%+4,即無-y+4=0,可設直線的

方程為*_y+c=o,艮0y=x+c

設4(%,%),3(尤2，%)

1

<y-x

聯立得X2+(2C-1)X+C2=0

2c-l,°

%]+%2=------1—2c

_2_2

玉12-1-C

由韋達定理，有

2

于是IAa=J1+MB|X1-%2I=+,J(X]一％2尸=』1+%-7(X1+X2)-4%1%2

=71+12-7(1-2C)2-4C2=V2-Jl—4c=J2-8c

又平行直線AB："y+c=O與CD:x-y+4=0之間的距離

,,|c-4l|c-4|

BC\=,11=朋

117i+(-D2V2

|c-41,----,

?,^1=V2^8C=>C2-8C+16=4-16C

J2,gpC2+8C+12=0解得：。=一2或

c=-6

于是|AB|=72-8X(-2)=/=3日或|AB|=72-8x(-6)=而=5后

故S正方形ABCD=(3近y=18或S正方形ABCD=(5痣了=50,即正方形480的面積為

18或50.

題型4：與拋物線有關的最值問題

18.假設拋物線產=2川；〔p>0〕上的動點。到焦點的距離的最小值為1,

那么。=.

29F(^,0)x=-R

解：拋物線丁=2內的焦點為2,準線方程為2

設。(蒼y)

依耳=^(x-^)2+(y-0)2=卜—px+a+y2

力R4V乙Vr

又?.?點Qa丁)在拋物線V=2Px上

y2=2px

\QF\=^x2-px+^-+2px=^x2+px+-^-=J(x+§2=x+~~

又xNO,P>0

ppp

一例-x+萬-x+丁萬，當且僅當I時，例取得最小值，且[以LV

R=1

于是有2

故P=2

注：由此題可見，拋物線的頂點到其焦點的距離最小。以后在遇到相關問

題時，這個結論可以直接用。

19.直線4：以-3y+6=0和直線仇x=-1,那么拋物線V=4x上一動點p到

直線丸和直線4的距離之和的最小值為,此時點尸的坐標為

解：在拋物線V=4x中，2P=4,即p=2

,該拋物線的焦點為尸（1°,準線方程為x=T

記點P到直線乙和直線,2的距離分別為4、4

[1)求〔4+d2]min

由拋物線的定義知，點P到直線4的距離42=戶同

于是4+4=4+司

顯然，4+阿的最小值即為點網1,0）到直線生4x-3y+6=0的距離

于是V42+325

即動點P到直線4和直線,2的距離之和的最小值為2.

[2）求點P的坐標

設過點尸（L°）且垂直于直線生4龍-3y+6=°的直線為/

333

y-0=——(x-1)y=——x+—

那么/的方程為4，即.44

,2=4%

<331

y=—xH—xp=—八

聯立〔44,得9尤2—82X+9=0解得：9或號=9〔舍去)

故9'3,即當動點P到直線4和直線4的距離之和取得最小值2時，點P

（T

的坐標為9,3.

20.定長為3的線段的端點A、3在拋物線產=》上移動，尸是該拋物線

的焦點，A、B兩點到準線的垂線分別是AC、BD,那么線段的中點”

到〉軸的距離的最小值是,此時點”的坐標為.

1

解：在拋物線工.中，2P=1,即/2

F（L0）x=--

,該拋物線的焦點為4',準線/的方程為4

作時VJU于點N

那么有

又由拋物線的定義,<IAFHIACI,\BFHBD\

ii3

.■\MN\=-(\AF\+\BF\-)>-\AI^=-

\MN\=xM=xM+^-

而44

1、3、315

X_|___>--------SJQ>.............-.....

于是有"4一2"-24-4,當且僅當弦A3過拋物線的焦點尸時,

vx1=9

“="成立，即此時點“至/軸的距離為最小，并且"mm4

為求點”的坐標，下面我們求為

由|明=3、%]◎可知，直線AB的斜率存在，不妨設為左

F(—,0)y-0=A:(x--)y=kx-—k

那么由直線AB過點4可知，其方程為,4,即，4

設B（x2,y2）

那么2

y2=x

<=k

聯立J-X4,得4ky2-4y-k^Q

—k1

由韋達定理，有」24人4

于曰有（%+%>='；+'；+2%必=玉+工2+2義（一；）=2x〃-1=2X|-1=2

V2=1.v=+立

=4%=2,即為2"2

5(5土烏

即當點M至心軸的距離取得最小值4時，點”的坐標為4'2.

注：當設出直線與曲線的交點坐標后，交點既在直線上，又在曲線上，即

交點的坐標不僅滿足直線方程，也滿足曲線方程，這一點在解題時，要格

外注意。

21.直線/的方程為公+3丁+46=0,P是拋物線上一動點，那么當點

P到直線/的距離最短時，點P的坐標為,這個最短距離為

解：在拋物線/二64%中，2。=64,即。=32

???該拋物線的焦點為網16,0),準線方程為x=-16

y2=64%

V

聯立、4x+3y+46=0得y2+48y+736=0

vA=482-4x1x736=2304-2944<0

；?直線/與拋物線相離

于是點P到直線/的最短距離為平行于直線,且與該拋物線相切的直線到直

線/的距離，此時點P即為切點

設與直線/：4無+3y+46=0平行且與拋物線V=64x相切的直線方程為

4x+3y+c=0

y1=64x

<

聯立［4x+3y+c=0,得y2+48^+16c=0

令△=482-4xlxl6c=4x16(12x3-c)=64(36-c)=0,得0=36

于是由/+48y+576=0,即⑶+24)2=0,有y=-24

.(-24)2

將其代入>2=(a4x中，得X—64—V

故P(9,-24),其到直線/：4x+3y+46=0的最短距離

|4x9+3x(-24)+46|_10_

cl—,=——2

A/42+325

即當點P到直線/的距離最短時，點P的坐標為(9廠24),這個最短距離為2.

注：拋物線上的點到直線的最短距離，就是與直線平行且與拋物線相切的

直線到直線的距離，即切點到直線的距離。

題型5：與拋物線的焦點弦有關的問題

22.斜率為1的直線/經過拋物線V=4x的焦點，并與該拋物線交于A、8兩

點，那么線段的長為.

解：在拋物線V=4x中，2P=4,即p=2

,該拋物線的焦點為尸(1°,準線方程為x=T

由直線/的斜率為L且過點尸(2可知,直線/的方程為即

y=x-l

設A5,%),B(x2,y2)

2

<y=4x

聯立[y=xT,得尤2—6尤+1=0

-6

%]+%2=-~——6

11

xx=一=I

由韋達定理，有1t21

〔法一)故

|AB—+ki~|—%21=Jl+k[?"(X]—v)~=Jl+kJ-"(X]+x,)~一4西々

=V1+12-V62-4xl=V2-V32=V64-8

[法二)|AB|=|AF|+|BF|=[X1-(-1)]+[X2-(-1)]=(X1+%2)+2=6+2=8

23.過拋物線^=2內〔。＞0〕的焦點/作傾斜角為I的直線，交拋物線于

AF\

A、8兩點，點A在％軸上方，求陽.

29F(《,0)x=-U

證：拋物線丁=2內的焦點為2,準線方程為2

n

???直線A8的傾斜角為々

??^AB=1

F(—,0)y-0=l?(x--)y=x-—

于是由直線AB過點2可知，其方程為2,即2

y2=2px

<

y=X-P-

聯立〔2,得/-2py-p2=0解得

衛生巨三三

2x1r

又?.?點A在x軸上方

yA=p+^p,%=。-?

過點A作AAUx軸于點4,過點B作班」y軸于點B'

,

那么|"'|=%=2+^J|BB|=-yB=42p-p

AF___+島_6+\_(后+1，

故由AAAN?ABBN,有跳7\BB'41p-pV2-1(V2-1)(V2+1)

=3+2后=3+2行

2-1

注：有時，當把直線方程與曲線方程聯立后的方程化為關于)的一個一元

二次方程比化為關于x的一個一元二次方程要好：一是計算簡便，二是更

容易得出結果.

24.點P在直線/：，=龍-1上，假設存在過點P的直線交拋物線>=必于A、

8兩點，且西=初，那么稱點P為“好點〃，那么以下結論中正確的選項

是.

A.直線/上不存在好點

B.直線/上僅有兩個點是“好點〃

C.直線/上有且僅有一個點是“好點〃

D.直線/上有無窮多個點是“好點”

y=x2

<

解：聯立得/-尤+1=。

?..A=(-l)2-4xlxl=-3<0

2

二直線/：y=x—1與拋物線y=_r相離

又?.?麗=Q

.?.|詞=|陣胴

112lI,這說明點A是線段PB的中點

設A(m,〃)，P(x,x-1)

那么B(2m-x,2n-x+1)

于是由4人〃)、B(2m-x,2n-x+V)兩點在拋物線丁=必上,有

n=m2

<

2n-x+l=(2m-x)2

=>x2-(4m-l)x+2m2-1=0〔*j

對于方程〔*〕A=[—(4m—I)]2—4xlx(2m2—1)=16m2—8m+1—8m2+4

=8m2—8m+5=8(m--^)2+3>0

?,?方程(*)恒有實數解

故直線/上有無窮多個點是“好點〃

25.過拋物線產=2內的焦點/作互相垂直的兩條直線，分別交拋

物線的準線于P、0兩點，又過P、。兩點分別作拋物線的對稱軸。尸的平

行線，交拋物線于“、N兩點，證明：M、F、N三點共線.

2°F(R,0)x=-P

證：拋物線y=2內的焦點為2,準線方程為2

設N?,%)

那么

于是"=(—，％),FQ=(-p,y2)

又...FP1FQ

FPFQ=(-p,%)(-p,%)=/+%%=0

于是有力上=一盧

_0--_%_%_2-_2孫_2P

KMF~——2-22-2一■

E—XX--P%—p-%+%乂%+%

y21122P2

Of=乂=%==2py?=2P

n-n-2-22—2-

P._xx_￡y2P%-P%+%%%+%

2222^p-2

一^MF=^NF

故"、尸、N三點共線

注：為證三點共線，只需證明三點中任意兩點連線的斜率相等。此外，為

證兩直線平行，也可轉化為證明兩直線斜率相等。

26.拋物線V=2px〔。＞0)的焦點為尸，經過點尸的直線交該拋物線于4、

8兩點，點。在該拋物線的準線上，并且8°卜軸，證明：直線AC必經過坐

標原點。.

2F(R,O)X=-K

證：拋物線V=29內的焦點為2,準線方程為2

[i)當A8不垂直于x軸時，設其斜率為上

F(—,0)y-0=k(x--)y=kx--pk

那么由直線AB過點2可知，其方程為,2,即，2

設號,

C(——,?2)

那么2

y2=2px

聯立>=&一5'、得ky2-2py-kp2=0

由韋達定理，有

2

2.”

k=「°JP

KOA~2—t4=2P

9--01P

又...2p

???koA=k℃,這說明，A、。、C三點共線

故此時直線A。經過坐標原點。

A(T，P)B(g—p)C(一一p)

(ii)當AB垂直于X軸時,乙、乙

:-koA=koc,這說明，A、。、C三點共線

故此時直線A。也經過坐標原點。

綜上可知，直線AC總經過坐標原點。

題型6：與拋物線有關的綜合問題

27.拋物線C：V=4x的焦點為/，直線y=2x-4與拋物線C交于A、B兩

點，那么cos/AKB=.

解：〔法一〕在拋物線V=4x中，2P=4,即p=2

,該拋物線的焦點為尸(1，°),準線方程為x=T

2

<y=4x

聯立［y=2x-4,得/―5尤+4=0解得：x=l或x=4

y=2xl-4=-2或y=2x4-4=4

不妨令A(4,4),5(1,-2)

那么|入耳=V(4-l)2+(4-0)2=A/32+42=5,\BF\=7(1-1)2+(-2-0)2="=2

\AB\=^/(4-1)2+[4-(-2)]2=A/32+62=V45=375

cos/A一」"丁忸廠［的125+4-45=*4

故由余弦定理，有2\AF\-BF\2x5x2205

〔法二)由法一知，44,4),5(1,-2),砥1,0)

于是E4=(3,4),FB=(0-2)

FAFB3x0+4x(—2)-84

故cosZAFB=

FAFBA/32+42-7O2+(-2)25x25

y=-x2-1

28.拋物線J2,直線/：y證明：c上不存在關于直線/對

稱的兩個不重合的點.

12

P(m,—m—1)y=-x2-l

證：設2是拋物線C：■2上任意一點

121,

P(m,—m—1)0(—m—1,rri)

那么點2關于直線/：丁二'的對稱點為2

111

Q(—m9—l,m)y=—x92—1P(m,—m27—1)

假設點2是拋物線g2上不與點2重合的點

m=—(―m2—I)2—1

那么22,并且2

22

m=—(―m-I)-149

由22，有根—4m—8m—4=0

=^>m4—4(m+11=0即(m2+2m+2)(m2—2m—2)=0

又m2+2m+2=(m+1)2+l>0

/.m2—2m—2