湖南省岳陽市汩羅市2024-2025學年九年級上學期開學考試數學試卷注意事項：1.本卷為試題卷，考生應在答題卡上作答，在試題卷、草稿紙上答題無效.2.答題前，考生須將自己的姓名、準考證分別在試題卷和答題卡上填寫清楚.3.答題完成后，請將試題卷、答題卡、草稿紙放在桌子上，由監考老師統一收回.4.本試卷共三道答題，26道小題，滿分120分，時量共120分鐘.一、選擇題（本大題10個小題，每小題3分，共30分，請將每個小題所給四個選項中唯一正確選項的代號填涂在答題卡相應的位置上）1.下列說法正確的是（）A.無理數是無限小數，無限小數是無理數 B.是無理數C.實數包括正實數和負實數 D.帶根號的數都是無理數2.已知，，下列說法正確的是（）A. B.C. D.3.下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.4.下列運算正確的是（）A. B. C. D.5.某校擬派一名跳高運動員參加一項校際比賽，對4名跳高運動員進行了多次選拔比賽，他們比賽成績的平均數和方差如下表，根據表中數據，要從中選擇一名平均成績好，且發揮穩定的運動員參加比賽，最合適的人選是（）甲乙丙丁1691691681686.05.05.019.5A.甲 B.乙 C.丙 D.丁6.下列命題中，判斷錯誤的是（）A.所有定理都有逆命題B.對頂角相等的逆命題是真命題C.兩條平行線被第三條直線所截，內錯角的平分線互相平行D.假命題逆命題不一定是假命題7.如圖，在正方形中，點分別在上，相交于點．若圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為，則的周長為（）A. B. C. D.8.我國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩記數”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數，由圖可知，孩子自出生后的天數是（）A. B. C. D.9.我國古代數學著作《孫子算經》中記載了一個“以繩量木”的問題：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五；屈繩量之，不足一尺．問木長幾何？”譯文為：“現有一根木頭，不知道它的長短．用整條繩子去量木頭，繩子比木頭長4.5尺：將繩子對折后去量，繩子比木頭短1尺．問木頭的長度是多少尺？”設繩子的長度為x尺，則可列方程為（）A. B.C. D.10.如圖所示，一個長為，寬為大長方形中放入①號長為，寬為的長方形和②號邊長為的正方形，若已知兩個陰影部分周長的差，則下列結論可求出的是（）A B. C. D.二、填空題（本答題共8個小題，每小題3分，共24分，請將正確答案寫在答題卡相應的橫線上）11.若x是最小的正整數，y是最小的非負整數，則代數式________．12.若與互為相反數，則_____________________．13.若關于的方程有兩個相等的實數根，則的值是______．14.已知拋物線開口向下，那么的取值范圍是_______．15.某商品標價元，現在打折出售仍可獲利，則這件商品的進價是_____元．16.如圖，武漢起義門城樓BC上有一旗桿AB，從與BC相距20m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為，觀測旗桿底部B的仰角為，則旗桿AB的高度約為____________m．（結果保留小數點后一位，參考數據：，，，≈1.41）．17.我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數書九章》一書中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式，即如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，則該三角形的面積為S=．現已知△ABC的三邊長分別為1，2，，則△ABC的面積為______．18.如圖，直線，點的坐標為，過點作軸的垂線交直線于點，以原點為圓心，長為半徑畫弧交軸于點；再過點作軸的垂線交直線于點，以原點為圓心，長為半徑畫弧交軸于點，…，按此做法進行下去，點的坐標為_________．三、解答題（本大題共8小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題8分，第23、24題每小題9分，第25、26題每題10分，共66分，每個題目都要求在答題卡的相應位置寫出計算、解答或證明的主要步驟）19.計算：．20.先化簡，再求值：（）÷，其中a＝﹣1．21.如圖，一次函數圖象與反比例函數圖象交于點，，與x軸交于點C，與y軸交于點D．（1）求反比例函數與一次函數的解析式；（2）點M在x軸上，若，求點M的坐標．22.中華文明，源遠流長；中華漢字，寓意深廣．為傳承中華優秀傳統文化，某校團委組織了一次全校名學生參加的“漢字聽寫”大賽．為了解本次大賽的成績，校團委隨機抽取了其中名學生的成績作為樣本進行統計，制成如下不完整的統計圖表：頻數頻率分布表成績x（分）頻數（人）頻率根據所給信息，解答下列問題：（1）_______，_______；（2）補全頻數分布直方圖；（3）這名學生成績的中位數會落在_______分數段；（4）若成績在分以上（包括分）為“優”等，請你估計該校參加本次比賽的名學生中成績是“優”等的約有多少人？23.某學校復印任務原來由甲復印社承包，其收費y(元)與復印頁數x(頁)的關系如下表：x(頁)1002004001000…y(元)4080160400…(1)根據表格信息寫出y與x之間的關系式；(2)現在乙復印社表示：若學校每月先付200元的承包費，則可按每頁0.15元收費．乙復印社每月收費y(元)與復印頁數x(頁)之間的關系式為_______________；(3)若學校每月復印頁數在1200頁左右，應選擇哪個復印社？24.如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔海里的島，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的東南方向上的島，求、兩島之間的距離．（結果保留整數）【參考數據：，，】25.如圖，為的直徑，點為圓周上一點，的延長線交的切線于點，的延長線交的切線于點．（1）若，求的度數；（2）證明：；（3）若，，求的長．26.如圖，已知二次函數的圖象經過點，與軸分別交于點，點，點是直線上方的拋物線上一動點.（1）求二次函數的表達式；（2）連接，，并把沿軸翻折，得到四邊形，若四邊形為菱形，請求出此時點坐標；（3）當點運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出此時點的坐標和四邊形的最大面積.

湖南省岳陽市汩羅市2024-2025學年九年級上學期開學考試數學試卷注意事項：1.本卷為試題卷，考生應在答題卡上作答，在試題卷、草稿紙上答題無效.2.答題前，考生須將自己的姓名、準考證分別在試題卷和答題卡上填寫清楚.3.答題完成后，請將試題卷、答題卡、草稿紙放在桌子上，由監考老師統一收回.4.本試卷共三道答題，26道小題，滿分120分，時量共120分鐘.一、選擇題（本大題10個小題，每小題3分，共30分，請將每個小題所給四個選項中唯一正確選項的代號填涂在答題卡相應的位置上）1.下列說法正確的是（）A.無理數是無限小數，無限小數是無理數 B.是無理數C.實數包括正實數和負實數 D.帶根號的數都是無理數【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了實數的分類以及無理數的定義，根據實數的分類以及無理數的定義一一判斷即可．【詳解】解：A．無限不循環小數都是無理數，原說法錯誤，故該選項不符合題意；B．是無理數，正確，故該選項符合題意；C．實數分為正實數．負實數和零，原說法錯誤，故該選項不符合題意；D．帶根號的數不一定都是無理數，例如，，2是有理數，原說法錯誤，故該選項不符合題意；故選：B．2.已知，，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了科學記數法的表示方法，科學記數法的表現形式為的形式，其中，為整數，確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，是非負數，當原數絕對值小于1時，是負數，表示時關鍵是要正確確定的值以及的值．根據即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，故選：D．3.下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉180度，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，據此即可求解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：C．4.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查合并同類項、同底數冪的乘法、冪的乘方、同底數冪的除法，熟練掌握運算性質和法則是解題的關鍵．根據合并同類項法則；同底數冪相乘，底數不變，指數相加；冪的乘方，底數不變，指數相乘；同底數冪相除，底數不變，指數相減，對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、，故此選項不符合題意；B、，故此選項不符合題意；C、，故此選項不符合題意；D、，故此選項符合題意；故選：D．5.某校擬派一名跳高運動員參加一項校際比賽，對4名跳高運動員進行了多次選拔比賽，他們比賽成績的平均數和方差如下表，根據表中數據，要從中選擇一名平均成績好，且發揮穩定的運動員參加比賽，最合適的人選是（）甲乙丙丁1691691681686.05.05.019.5A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】本題考查數據的平均數與方差的意義，解題的關鍵是理解兩者所代表的意義，熟練掌握方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．根據平均數與方差的意義解答即可．【詳解】解：甲、乙的平均數比丙、丁大，應從甲和乙中選，甲的方差比乙的大，乙的成績較好且狀態穩定，應選的是乙．故選：B．6.下列命題中，判斷錯誤的是（）A.所有定理都有逆命題B.對頂角相等的逆命題是真命題C.兩條平行線被第三條直線所截，內錯角的平分線互相平行D.假命題的逆命題不一定是假命題【答案】B【解析】【分析】本題考查命題與定理，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．根據命題，定理的定義，逆命題的定義一一判斷即可．【詳解】解：、所有定理都有逆命題，正確，本選項不符合題意；B、對頂角相等的逆命題是相等的角是對頂角，是假命題，原說法錯誤，本選項符合題意；C、兩條平行線被第三條直線所截，內錯角的平分線互相平行，正確，本選項不符合題意；D、假命題的逆命題不一定是假命題，例如相等的角是對頂角是假命題，而此命題的逆命題是對頂角相等，是真命題，因此原說法正確，不符合題意．故選：B．7.如圖，在正方形中，點分別在上，相交于點．若圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為，則的周長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先計算出正方形的面積，再由比例求出空白部分的面積，通過證明△BCE≌△CDF可求解S△BCH，∠BHC=90°，再由勾股定理及完全平方公式可求解BH+CH的長，即可求出△BCG的周長﹒【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，BC=CD=AB=4，∠BCE=∠CDF=90°，∴S正方形ABCD=16．∵S陰影：S正方形ABCD=3：4，∴S陰影=×16=12，∴S空白=16-12=4．在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴S△BCH=S四邊形EDFH=2，∠HBC=∠DCF．∵∠DCF+∠HCB=90°，∴∠HBC+∠HCB=90°，∴∠BHC=90°，∴BH2+CH2=BC2=16，BH?CH=4，∴(BH+CH)2=BH2+CH2+2BH?CH=16+2×4=24，∴BH+CH=2，∴△BCH的周長為BH+CH+BC=2+4，故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，完全平方公式的變形求值及面積的和差相關知識，關鍵是證明兩個三角形全等，得到△BCH面積．8.我國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩記數”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數，由圖可知，孩子自出生后的天數是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題側重考查探究規律，乘方的知識，找準規律是解決此題的關鍵．在七進制中，可以表示為．【詳解】解：∵由圖可得圖中的數字是，∴根據七進制的規律可知，孩子自出生后的天數為．故選：C．9.我國古代數學著作《孫子算經》中記載了一個“以繩量木”的問題：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五；屈繩量之，不足一尺．問木長幾何？”譯文為：“現有一根木頭，不知道它的長短．用整條繩子去量木頭，繩子比木頭長4.5尺：將繩子對折后去量，繩子比木頭短1尺．問木頭的長度是多少尺？”設繩子的長度為x尺，則可列方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查一元一次方程的應用，根據“用整條繩子去量木頭，繩子比木頭長4.5尺，將繩子對折后去量，繩子比木頭短1尺”，可得出木頭的長度是或尺，結合木頭的長度不變，即可列出關于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：∵用整條繩子去量木頭，繩子比木頭長4.5尺，∴木頭的長度是尺；∵將繩子對折后去量，繩子比木頭短1尺，∴木頭的長度是尺，∴根據題意得可列出方程，即．故選A．10.如圖所示，一個長為，寬為的大長方形中放入①號長為，寬為的長方形和②號邊長為的正方形，若已知兩個陰影部分周長的差，則下列結論可求出的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了整式的加減，熟練掌握整式的加減運算法則是解題的關鍵．先利用代數式表示出兩陰影部分的周長，再利用整式的加減運算表示出兩個陰影部分周長的差，然后利用已知兩個陰影部分周長的差可對各選項進行判斷．【詳解】解：∵左邊的陰影部分為長方形，其長為，寬為，右邊的陰影部分為長方形，其長為，寬為，∴兩個陰影部分周長的差為，∴當已知兩個陰影部分周長的差時，可求出．故選：C二、填空題（本答題共8個小題，每小題3分，共24分，請將正確答案寫在答題卡相應的橫線上）11.若x是最小的正整數，y是最小的非負整數，則代數式________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查正整數、非負整數以及有理數的計算，根據最小的正整數x是1，最小的非負整數y是0，由此代入代數式計算即可．【詳解】解：由題意得，，∴．故答案：．12.若與互為相反數，則_____________________．【答案】

【解析】【分析】先因式分解，然后根據相反數的定義得出，整體代入即可求解．【詳解】解：∵與互為相反數，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解的應用，相反數的應用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．13.若關于的方程有兩個相等的實數根，則的值是______．【答案】9【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：①，方程有兩個不相等的實數根，②，方程有兩個相等的實數根，③，方程沒有實數根．由題意得出，求解即可．【詳解】解：關于的方程有兩個相等的實數根，，解得：，故答案為：．14.已知拋物線開口向下，那么的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，解一元一次不等等知識點，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解決此題的關鍵．根據二次函數圖象開口向下求出，再計算求解即可．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，解得：，故答案為：．15.某商品標價元，現在打折出售仍可獲利，則這件商品的進價是_____元．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元一次方程的應用，設這件商品的進價是元，根據題意列出方程即可求解，根據題意找到等量關系是解題的關鍵．【詳解】解：設這件商品的進價是元，由題意得，，解得，∴這件商品的進價是元，故答案為：．16.如圖，武漢起義門城樓BC上有一旗桿AB，從與BC相距20m的D處觀測旗桿頂部A的仰角為，觀測旗桿底部B的仰角為，則旗桿AB的高度約為____________m．（結果保留小數點后一位，參考數據：，，，≈1.41）．【答案】【解析】【分析】先在中，解直角三角形可得，再在中，解直角三角形可得的長，然后根據即可得．【詳解】解：由題意，在中，，中，，則，故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關鍵．17.我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數書九章》一書中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式，即如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，則該三角形的面積為S=．現已知△ABC的三邊長分別為1，2，，則△ABC的面積為______．【答案】1【解析】【分析】把題中的三角形三邊長代入公式求解.【詳解】∵S=，∴△ABC的三邊長分別為1，2，，則△ABC的面積為：S==1，故答案為1．【點睛】本題考查二次根式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用題目中的面積公式解答．18.如圖，直線，點的坐標為，過點作軸的垂線交直線于點，以原點為圓心，長為半徑畫弧交軸于點；再過點作軸的垂線交直線于點，以原點為圓心，長為半徑畫弧交軸于點，…，按此做法進行下去，點的坐標為_________．【答案】【解析】【分析】根據的坐標和函數解析式，求得的長度，再由此可求得的坐標，依次類推，即可求出點A3、A4探究規律利用規律即可解決問題．【詳解】解：在Rt△OA1B1中，，，∴點A2的坐標為（2，0）．同理，可得出：點A3的坐標為（4，0），點A4的坐標為（8，0），由此可知An的坐標為，A2020的坐標為．故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、勾股定理以及規律型中點的坐標，根據一次函數圖象上點的坐標特征結合勾股定理，求出點A2、A3、A4的坐標并找到規律是解題的關鍵．三、解答題（本大題共8小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題8分，第23、24題每小題9分，第25、26題每題10分，共66分，每個題目都要求在答題卡的相應位置寫出計算、解答或證明的主要步驟）19.計算：．【答案】6【解析】【分析】本題主要考查了實數混合運算，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．根據算術平方根的定義，立方根定義，二次根式性質和零指數冪的運算方法進行計算即可．【詳解】解：原式．20.先化簡，再求值：（）÷，其中a＝﹣1．【答案】，-1【解析】【分析】先算括號內的減法，再把除法變成乘法，求出結果，最后代入求出即可．【詳解】解：原式＝＝＝＝，當a＝﹣1時，原式＝．【點睛】本題考查了分式的混合運算，對于分式的混合運算，應注意運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號內的．此外，也應仔細觀察式子的特點，靈活選擇簡便的方法計算，如使用運算律、公式等．21.如圖，一次函數圖象與反比例函數圖象交于點，，與x軸交于點C，與y軸交于點D．（1）求反比例函數與一次函數的解析式；（2）點M在x軸上，若，求點M坐標．【答案】（1）反比例函數解析式為，一次函數的解析式為（2）M點的坐標為或【解析】【分析】（1）設反比例函數解析式為，將代入，根據待定系數法，即可得到反比例函數解析式，將代入求得的反比例函數，解得a的值，得到B點坐標，最后根據待定系數法即可求出一次函數解析式；（2）求出點C的坐標，根據求出，分兩種情況：M在O點左側；M點在O點右側，根據三角形面積公式即可解答．【小問1詳解】解：設反比例函數解析式為，將代入，可得，解得，反比例函數的解析式為，把代入，可得，解得，經檢驗，是方程的解，，設一次函數的解析式為，將，代入，可得，解得，一次函數的解析式為；【小問2詳解】解：當時，可得，解得，，，，，，，M在O點左側時，；M點在O點右側時，，綜上，M點的坐標為或．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數和反比例函數，一次函數與三角形面積問題，熟練求出是解題的關鍵．22.中華文明，源遠流長；中華漢字，寓意深廣．為傳承中華優秀傳統文化，某校團委組織了一次全校名學生參加的“漢字聽寫”大賽．為了解本次大賽的成績，校團委隨機抽取了其中名學生的成績作為樣本進行統計，制成如下不完整的統計圖表：頻數頻率分布表成績x（分）頻數（人）頻率根據所給信息，解答下列問題：（1）_______，_______；（2）補全頻數分布直方圖；（3）這名學生成績的中位數會落在_______分數段；（4）若成績在分以上（包括分）為“優”等，請你估計該校參加本次比賽的名學生中成績是“優”等的約有多少人？【答案】（1），（2）見解析（3）（4）人【解析】【分析】本題考查讀頻數（率）分布直方圖的能力和利用統計圖獲取信息的能力及概率公式，熟悉相關的知識是解題的關鍵；利用統計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．也考查了利用樣本估計總體．（1）根據頻率頻數總數求解可得；（2）根據所求m的值即可補全頻數分布直方圖；（3）根據中位數的定義，先把數值按小到大排序或者大到小排序，取中間位置的數值即為中位數；（4）用總人數乘以樣本中優等生人數所占比例即可．【小問1詳解】解：本次調查的總人數為；則；；故答案為：，；【小問2詳解】頻數分布直方圖如圖所示：【小問3詳解】名學生成績的中位數是第、個成績的平均數，而第、個數均落在；∴這名學生成績的中位數會落在分數段；故答案為：；【小問4詳解】∵（人）；∴估計該校參加本次比賽的名學生中成績“優”等的約有人．23.某學校的復印任務原來由甲復印社承包，其收費y(元)與復印頁數x(頁)的關系如下表：x(頁)1002004001000…y(元)4080160400…(1)根據表格信息寫出y與x之間的關系式；(2)現在乙復印社表示：若學校每月先付200元承包費，則可按每頁0.15元收費．乙復印社每月收費y(元)與復印頁數x(頁)之間的關系式為_______________；(3)若學校每月復印頁數在1200頁左右，應選擇哪個復印社？【答案】（1）y＝0.4x(x≥0且x為整數)．（2）y＝0.15x＋200(x≥0且x為整數)．（3）若學校每月復印頁數在1200頁左右，應選擇乙復印社．【解析】【分析】（1）待定系數法設一次函數關系式，把任意兩點代入，求得相應的函數解析式，看其余點的坐標是否適合即可．（2）根據乙復印社每月收費=承包費+按每頁0.15元復印費用，可得相應的函數解析式；（3）先畫出函數圖象，找到交點坐標，即可作出判斷．【詳解】（1）設解析式為y=kx+b，將（100，40），（200，80）代入得，解得．故y=0.4x（x＞0且為整數）；（2）乙復印社每月收費y（元）與復印頁數x（頁）的函數關系為：y=0.15x+200（x≥0且為整數）．（3）在同一坐標系中畫出兩函數圖象，如下圖，由圖形可知每月復印頁數在1200左右應選擇乙復印社．【點睛】本題主要考查用待定系數法求一次函數關系式，并會用一次函數研究實際問題，具備在直角坐標系中的作圖能力．注意自變量的取值范圍不能遺漏．24.如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔海里的島，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的東南方向上的島，求、兩島之間的距離．（結果保留整數）【參考數據：，，】【答案】海里【解析】【分析】過點作于點，根據銳角三角函數即可求出、兩島之間的距離．【詳解】