2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)高三上學(xué)期期末教學(xué)數(shù)學(xué)質(zhì)量

檢測試卷

一、填空題（本大題共12小題）

1.若對數(shù)函數(shù)歹=108尸（。＞°且awl）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4,2）,則實(shí)數(shù).

2.直線x-N+l=°的傾斜角.

3.已知復(fù)數(shù)4=3+i,z?=a+4i,aeR若4―2為純虛數(shù)，則上卜

（X2+—）63

4.x的展開式中x的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

5.在V/5C中，BC=5,NB=45。,ZC=105°y則/C=.

6.已知實(shí)數(shù)。、6滿足。+26=1,則3"+爐的最小值為.

7.若等差數(shù)列"J滿足%+。8+%=0,%+陽=1,貝|]%=

8.已知函數(shù)y=/G）的表達(dá)式為卜2戶＞0,則不等式/（X）W1的解集為

X2_JL=1

9.已知雙曲線3的左、右焦點(diǎn)分別為月、網(wǎng),雙曲線上的點(diǎn)P在第一象限,

且質(zhì)與雙曲線的一條漸近線平行，則APF?的面積為.

10.某地要建造一個市民休閑公園長方形4BCD,如圖，邊/B=2km,邊/O=lkm,

其中區(qū)域開挖成一個人工湖，其他區(qū)域為綠化風(fēng)景區(qū).經(jīng)測算，人工湖在公園內(nèi)的

邊界是一段圓弧，且A、。位于圓心。的正北方向，E位于圓心。的北偏東60。方

向.擬定在圓弧尸處修建一座漁人碼頭，供游客湖中泛舟，并在公園的邊DC、C8開

設(shè)兩個門M、N,修建步行道尸朋\PN通往漁人碼頭，且PMLCD、PNLCB,則

步行道PM、PN長度之和的最小值是km.（精確到0.001）

11.已知空間中三個單位向量I、2、3，I2^2331，

、，…1\OP-OA,\=1\OP-OA,\=2\OP-OA\=3人皿，八口一

P為空間中一點(diǎn)，且滿足?'I,?21,?』，則點(diǎn)尸個數(shù)的最大

值為.

12已知在復(fù)數(shù)集中，等式*+%x+a2x+。儼+。（）=（x_Z］）（x_Z2）（x_Z3）（x-Z4）對任意

復(fù)數(shù)X恒成立，復(fù)數(shù)句，z「Z3,Z4在復(fù)平面上對應(yīng)的4個點(diǎn)為某個單位圓內(nèi)接正方

形的4個頂點(diǎn)，飽嗎"，％}<={〃,2024,〃eZ},則滿足條件的不同集合

{。0，4M2M3}個數(shù)為

二、單選題（本大題共4小題）

13.若實(shí)數(shù)。、人滿足/>",下列不等式中恒成立的是（）

A.a>6B.abc.+b2>2abD.

14.設(shè)加、幾為兩條直線，a、僅為兩個平面，且an,=〃.下述四個命題中為假命題

的是（）

A.若加-La,貝！Jm-L〃B.若加〃a,貝！J冽〃〃

C.若加//a且加〃/，則機(jī)〃〃D.若加〃〃，則加//a或加〃用

15.對一組數(shù)據(jù)3,3,3,1,1,5,5,2,4,若任意去掉其中一個數(shù)據(jù)，剩余數(shù)據(jù)

的統(tǒng)計量一定會發(fā)生變化的為（）

A.中位數(shù)B.眾數(shù)C.平均數(shù)D.方差

16.設(shè)函數(shù)>"（x）,"G。）的定義域均為R,值域分別為A、B,

且=0.若集合S滿足以下兩個條件：（1）“UBRS；（2）a（/UB）是有限

集，則稱和了=66）是$_互補(bǔ)函數(shù).給出以下兩個命題：①存在函數(shù)

了=/3,使得k2?。┖褪?%/3是［016］_互補(bǔ)函數(shù)；②存在函數(shù)產(chǎn)g（x）,使得

y=sing（x）和片tang（x）是［0,+8）_互補(bǔ)函數(shù).則（）

A.①②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①②都是假命題

三、解答題（本大題共5小題）

17.已知函數(shù)＞=/（x）的表達(dá)式為/（'"sins,。＞（）.

71

（i）若函數(shù)的最小正周期為2,求。的值及的單調(diào)增區(qū)間；

⑵若。=2,設(shè)函數(shù)y=g（x）的表達(dá)式為g（x）=/（x）+拓cos2x,求當(dāng)X］習(xí)時，

y=g（x）的值域.

18.如圖，已知N8為圓柱。底面圓°的直徑，04=2,母線長為3,點(diǎn)P為底

面圓。的圓周上一點(diǎn).

（1）若/8。尸=90。，求三棱錐”一尸84的體積；

⑵若NBOP=60。,求異面直線4s與NP所成的角的余弦值.

19.申輝中學(xué)為期兩周的高一、高二年級校園籃球賽告一段落.高一小A、高二小

B分別榮獲了高一年級和高二年級比賽的年級MVP（最有價值球員）.以下是他們在

各自8場比賽的二分球和三分球出手次數(shù)及其命中率.

二分球出手二分球命中率三分球出手三分球命中率

小A100次80%100次40%

小B190次70%10次30%

現(xiàn)以兩人的總投籃命中率（二分球+三分球）較高者評為校MVP（總投籃命中率=總

命中次數(shù);總出手次數(shù)）

（1）小C認(rèn)為，目測小A的二分球命中率和三分球命中率均高于小8,此次必定能評為

校朋KP,試通過計算判斷小C的想法是否準(zhǔn)確？

（2）小。是游戲愛好者，設(shè)置了一款由游戲人物小。、小臺輪流投籃對戰(zhàn)游戲，游戲規(guī)

則如下：①游戲中小。的命中率始終為0.4,小6的命中率始終為0.3,②游戲中投籃

總次數(shù)最多為后（34%420,上eZ）次，且同一個游戲人物不允許連續(xù)技籃.③游戲中若

投籃命中，則游戲結(jié)束，投中者獲得勝利；若直至第左次投籃都沒有命中，則規(guī)定第

二次投籃者獲勝.若每次游戲?qū)?zhàn)前必須設(shè)置“第一次投籃人物”和“人’的值，請解答

以下兩個問題.

（i）若小。第一次投籃，請證明小”獲勝概率大；

（ii）若小6第一次投籃，試問誰的獲勝概率大？并說明理由.

22

乙+乙=1

20.已知橢圓84的左、右焦點(diǎn)分別為片、%過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于

/、3兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限.

（1）若|。/|=&，求點(diǎn)/的坐標(biāo)；

（2）求同+3陽的取值范圍；

（3）若/E'x軸，垂足為￡,連結(jié)BE并延長交橢圓于點(diǎn)C,求V/2C面積的最大值.

21.過曲線y=〃x）上一點(diǎn)尸作其切線，若恰有兩條，則稱尸為“X）的"A類點(diǎn):過

曲線y=/（x）外一點(diǎn)。作其切線，若恰有三條，則稱。為“X）的"B類點(diǎn)，，；若點(diǎn)R為

"X）的"A類點(diǎn)，，或“B類點(diǎn)”，且過&存在兩條相互垂直的切線，則稱及為"X）的"。類

點(diǎn)”.

⑴設(shè)“X）一二,判斷點(diǎn)尸（U）是否為"X）的"A類點(diǎn)，，，并說明理由；

⑵設(shè)〃x）=x3-機(jī)x,若點(diǎn)0（2，°）為〃x）的“3類點(diǎn)，，，且過點(diǎn)°的三條切線的切點(diǎn)橫坐

標(biāo)可構(gòu)成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

/（無）=出

⑶設(shè),證明：丁軸上不存在/（x）的“C類點(diǎn)，，.

答案

1.【正確答案】2

［詳解］將點(diǎn)（4,2）代入7=bg，X得2=1嗝4,解得0=2

故2.

2.【正確答案】4

【詳解】設(shè)直線x-〉+l=°的傾斜角為夕招€［0,兀）,

易知直線xr+i=o的斜率為1,

所以tanO=l,

解得4.

71

故4

3.【正確答案】5

Z]—z2=3+i-(u+4i)=3—q_3i

【詳解】

因為4-Z2為純虛數(shù)，所以。=3,

所以Z?=a+4i=3+4i,所以㈤=43?+4?=5

故5.

4.【正確答案】20

【詳解】°+?的展開式中第4+1項為小=《一婷6-*>=或尤56=0,1,2,..,6）,

令12-3左=3o左=3得：V的系數(shù)為以=20.

故20.

5.【正確答案】50

【詳解】在V/8C中，由4=45。，/C=105。，得4=30。，

心如皿3=5后

sinN1

由正弦定理得，2

故5及

2百

6.【正確答案】

【詳解】因為4+2b=l,

所以3"+9〃=3"+3?"22J3"xy=2打儂=2拒

1,1

,ci——,b——

當(dāng)且僅當(dāng)3=39",即24時取等號，

故3"+9〃的最小值為23.

故答案為.2人

7.【正確答案】-7

【詳解】因為數(shù)列｛“"｝為等差數(shù)列,

則%+。8+。9=36=0,即“8=0,

且%+%0=%+。9=1,可得〃9=1,

=q+7d=0=_7

即1%=4+8-=0,解得jd=l

故答案為.-7

8.【正確答案】［一2』

【詳解】因為

若xWO,則,即,解得-24x40；

若x>0,貝ij/Wl,解得0<xWl；

綜上所述：不等式““產(chǎn)1的解集為

故答案為.［一2」］

36

9.【正確答案】

X--=1廠

【詳解】雙曲線3的焦點(diǎn)片（-2，°），工（2,0）,漸近線方程為了=±13%

依題意，直線尸鳥的方程為>=一6（》-2）,

x_3_3V|5373

由［3/-V=3,解得x一才了一丁，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為1'?。?/p>

I3百3百

所以的面積為I'X^---

3G

故三

10.【正確答案】1.172

【詳解】以點(diǎn)。為原點(diǎn)，直線04為V軸建立平面直角坐標(biāo)系，連接0E,

TTTT

八P(2cos0,2sin—

令圓。的半徑為，，則rT=/cos60。，解得r=2,設(shè)62,

PM+PN=2—2sin。+2-2cos6=4-2A/2sin(J+—)>4-2及

因此4,

當(dāng)且僅當(dāng)了時取等號，4-2V2?1.172

所以步行道尸初、取長度之和的最小值是1.172km.

故1.172

11.【正確答案】8

【詳解】由題意得，°4,且|04|=網(wǎng)|=|°聞=1.

以。為原點(diǎn)，分別以。4、%、°4的方向為x軸、丁軸、z軸的正方向建立空間直

角坐標(biāo)系，則西=(1，0,0),就=(0,1,0),兩=(0,0,1)

ULU

設(shè)尸(X,%Z),則。尸=(X,%Z),

.府.珂=國=1所就卜回=2所網(wǎng)=目=3

...x=±l,y=±2,z=±3,

???點(diǎn)P坐標(biāo)可能為Q23),(T，2,3),(1-2,3),(T-2,3),(1,2,-3)；(-1,2-3)；

(1,-2,-3),(-1,-2,-3)(

故點(diǎn)尸個數(shù)的最大值為8.

故8.

12.【正確答案】10

[詳解]'++電，++%=(X~Z1)(X-Z2)(X-Z3)(X-Z4)

43()2

=X~(zj+Z2+Z3+z4)x+ZZ2+ZjZ3+ZjZ4+z2z3+z2z4+z3z4)x

-(4Z2Z3+Z/2Z4+z2z3z4)x+Z/2Z3Z4

，

0

對比系數(shù)可得a-Z1Z2Z3Z4,a\=-(Z1Z2Z3+Z1Z2Z4+Z2Z3Z4),

a2=z{z2+ZjZ3+ZjZ4+z2z3+z2z4+z3z4a3=-(^+z2+z3+z4)

復(fù)數(shù)4,z2,Z3,Z4在復(fù)平面上對應(yīng)的4個點(diǎn)為某個單位圓內(nèi)接正方形的4個頂點(diǎn)

情況1,四個根兩兩互為共軟復(fù)數(shù)，故圓心在X軸上，設(shè)單位的圓心為（出°）,

V2V2.

之1“正+烏=a-----1---1

不妨設(shè)22222

y/2y/2.V2V2.

z.=a------------------1z.=a-\----1---1

322422,

V2V2.V2V2.V2V2.、

%)=Z1Z2Z3Z4二tZH---H----1a-----1---1a---------1QH---------1---1

22222222

7

、2\2

72.16.

aH---1a---------1

222

77

[(a2-l)+V2ai][(a2-l)-缶i]=(a2-1^+2a2=a4+1

--3

類似計算可得％-(Z1Z2Z3+ZIZ2Z4+Z2Z3Z4)-4fl

2

a2=ZjZ2+4Z3+ZjZ4+z2z3+z2z4+z3z4=6a%=—(4+z2+z3+z4)=-4a

因為^n\\<n<2024,nGZ}

所以。只能為負(fù)整數(shù)，又集合元素的互異性，從而可得〃=-2,-3,-4,-5,-6,此時集合

｛%,%,a2M3｝的個數(shù)為5個，

情況2,四個根有2個為實(shí)數(shù)，另外2個為共鈍復(fù)數(shù)故圓心在工軸上，設(shè)單位的圓心

為3°),

不妨設(shè)4="1,Z2=a+i,z3=a+lfz4=a-if

計算可得。0=^1^2Z3Z4=/T,a\=-(Z122Z3+Z1Z2Z4+Z2Z3Z4)=,

a=ZjZ+zz+ZjZ+zz+zz+zz=6a2%=~(z+z+z+z)=-4a

22x34232434，[234，

因為{%,%,/，a3}u{〃[l<""2024,〃eZ},所以。只能為負(fù)整數(shù)，又集合元素的互異性,

從而可得°=-2，T-4,-5,-6,此時集合{%，％，%%}的個數(shù)為5個，

綜上：滿足條件的不同｛,必，出，4｝的個數(shù)為io.

故10.

13.【正確答案】C

【詳解】對于A,令a=-2,b=-l,滿足/＞凡但。＜6,故A錯誤；

11

對于B,令。=-2,6=-1,滿足/＞匕但“b,故B錯誤；

對于C,因為實(shí)數(shù)。、6滿足/＞/,所以“2+〃-2"0=("-故c正確；

對于D,令a=-2,b=-l,滿足/＞吃但"同，故D錯誤；

故選：C.

14.【正確答案】B

【詳解】對于選項A,因為an/?=〃，所以〃ua,又機(jī)上a,所以加工〃，故選項A

是真命題，

對于選項B,如圖，取平面&BCD為a,平面“「"4為則直線〃為直線/。，取

BB、為直線m,

顯然有冽7/a,但加與〃異面，所以選項B為假命題，

對于選項C,在。內(nèi)任取不在直線〃上的一點(diǎn)M,過私M確定7,則/n&=//,因

為機(jī)//a,所以

同理可得加/〃2,%〃，所以〃4,又4故/"/月，

又/|Ua,an/=",所以4〃"，得到加〃“，故選項C為真命題，

對于選項D,因為夕=〃，所以〃ua,口0,若機(jī)因為加〃〃，則加//a,

若小ua,易知m＜z￡,又加〃“，,所以加〃￡,故選項D為真命題，

故選：B.

15.【正確答案】D

【詳解】數(shù)據(jù)由小到大排列為：1,1,2,3,3,3,4,5,5,其中位數(shù)、眾數(shù)、平均

數(shù)都為3,

去掉數(shù)據(jù)1,剩余數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)都不變；去掉數(shù)據(jù)3,剩余數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，

ABC不是；

若任意去掉其中一個數(shù)據(jù)，剩余數(shù)據(jù)的波動性發(fā)生變化，方差一定發(fā)生變化，D是.

故選：D

16.【正確答案】A

【詳解】對于①，取k/3的值域為°4）,

故尸2/⑸6（2,16）昨log2/（x）6（0,2）>

令5=［0,16］,北（2,16）,衣（0,2）,

滿足NUBRS和0（/U2）是有限集，

從而k2小）和y=logj（x）是［0,16］互補(bǔ)函數(shù)，①正確；

對于②，取，=g（x）是增函數(shù)，'=g（x）,由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)，

只需考慮"sin/和ktan/即可，

色，工］y=sinZe-^-,1

先讓kg（x）的值域包含］4'2人則y=tanf>l,L2）,

那么接下來考慮讓IJ的部分被了=5111/和了=122取得，

—,1arctan,—

因為y=tanf的值域沒有12所以/的值域中沒有L24J,

r.rt也［后）

smarctan---,----

所以y=sint的值域沒有L<））,

arctan

所以考慮讓V=tanf的值域中有

arctanarctanarctan

則才的值域有LL、〃……，

依次類推，按照這樣的方式構(gòu)造下去，

可以得到滿足題意的>=g（x）,②正確.

故選：A

7TklL7Lkll,

---1--,--1--

17.【正確答案】（1）。=4,單調(diào)增區(qū)間為L8282」

⑵HM

2兀兀

【詳解】（1）因為所以解得幻=4,

f(x)=sin4x

ITJTJIJI左兀k

-F2kji<4x<—+2kit,kGZ----+—<x<一+—,kQZ

令2-----------------2，解得8282

7iku7iku

—l--,—l---,kGZ

故單調(diào)遞增區(qū)間為8282

g(x)=sin2x+V3COS2x=2sin12x+]

(2)0=2,

c兀714兀一31

XG0,—2x+一￡3'3],故sin2x+-G

-2」時,3I3j

（2》+方卜卜6，2]

g(x)=2sin

所以

18.【正確答案】（1）4；

273

⑵5.

【詳解】（1）依題意，/4,平面4P5,由/8。尸=90。，得

LPB=*OP=；X4X2=4

APDA%-P3N=%-尸"=!SANPB=[X4X3=4

所以三棱錐“一084的體積PBA<A<33

（2）過點(diǎn)尸作圓柱°a的母線期，連接4HJ

則必///4邛=/4,于是四邊形/尸々4為平行四邊形，AR"AP,

因此是異面直線48與2尸所成的角或其補(bǔ)角，

由/80尸=60°,得N/I。尸=120。，AP=20Acos30°=2A/3；PB=OB=2

則46=/P=2GA[B=+次=,3?+42=5

由理,平面/心，得P\B=S#+PB2=F/=屈,

22A

AXP;+AXB-PXB12+25-132/3

cosZP{A}B=

在“出8中,24R&B2x2庠5—5

2V3

所以異面直線48與4尸所成的角的余弦值為T

p

19.【正確答案】（1）不正確

（2）（i）證明見解析，（ii）答案見解析，理由見解析;

—=60%

【詳解】（1）由題意小A總出手200次，命中120次，命中率為：200

——=68%>60%

小8總出手200次，命中136次，命中率為200,

故小5獲校Mb,所以小C的想法不正確；

（2）（i）證明：若第一次投籃人物為小a,k℃&20,keZ）,

小。獲勝的概率為心，小獲勝的概率為1一5，

貝UPa>0.4+0.7xo.6x0.4=0.568>0.5>1—月

所以若小。第一次投籃，小。獲勝概率大，

（ii）若第一次投籃人物為小6,M3"V20#eZ）,

小6獲勝的概率為片，小。獲勝的概率為J片，

則^,=0.3+0.3x（0.7x0.6）+---0.3x（0.7x0.6）m

k-7

——,^e{4,6,8,10,12,14,16,18,20}

m=\

—,Z:e{3,5,7,9,ll,13,15,17,19)

其中12

P=—（l-0.42m+1）

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：29''隨著機(jī)的增大而增大,

計算可得：/（2）<0,5</（3）（

所以當(dāng)加23也就是74h20時，々>65>1-笈，

當(dāng)機(jī)<3也就是34人（6時，-耳,

綜上：若小人第一次投籃，*e{345,6}時，小。獲勝概率大,

心困74無420,左團(tuán)時，小6獲勝概率大

20.【正確答案】⑴/G亞）

⑵2*灼

⑶9

【詳解】（1）由橢圓方程可知：”=2J=2,=2,則耳（-2,0）,乙（2,0）,

設(shè)直線。4:J=b,k>0,"Go,No）,不。>0,%>。，

%=也

'立+近=18

可得〔84,解得1+2左2,

=V6k1=L,k=

，解得22,

則君=、即…。=丁。=3所以的陵）

(2)因為力片=(-2-^0,-^0),AF2=(2_/,,

可得/+3/=(4一4x0,-4%),

西+3補(bǔ)J(4—4j+(4%y=4&+需-2凝+1

則

22]

&+為=1yo=4--x^,xe(O,2V2)

因為84，則，°2°o°V)

可得|麗+3麗/4,+4一；另一2%+1=4.

“片+3陽的取值范圍為壓瓦4石）

所以

由題意可知：/（%，%），8（-工0,一歹o）,E（%o,O）,

^AC%K_必+%

k=江,kec=^-=-k，KBC~

西+x

則X。，工0，且再一/0

-4--=1

8

2222

=1司一/?弘一Jo'o

I8

因為點(diǎn)4c均在橢圓上,則,兩式相減得84

22

必一夕0_必一為￡

7rik^C?^BC

整理可得芯—X。再一工0玉+X。2,即2,

J_

則2,即心。?左二T,可知

k-—k

k

tanZABC=2

V+2

1+kx—k\AC\=\AB\t^AABC=

又因為2則

22

SABC=-\AB\-\AC\=-x-^-l^l=lx—^x4|Oy4|

可得V4BC面積的21112k2+2112k2+2I1

=2k16”）

k2+2+2k4+5k2+2

設(shè)…，則（）W+5d2）2

當(dāng)0〈左＜1時，/'（后）＞°；當(dāng)左＞1時，/'⑹＜°；

可知//）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+8）內(nèi)單調(diào)遞減，則'/）4'°）一，，

“232

16x—二—

所以V/3C面積的最大值為99.

1.數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解;

2.構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不

等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時需先換元后再求最值）.

21.【正確答案】（1）是，理由見解析；

（2）2；

（3）證明見解析.

1,2

【詳解】（1）函數(shù)/⑴=L點(diǎn)尸在“X）上，求導(dǎo)得-

_J_=_2__=_2_

設(shè)切點(diǎn)為（凡/（。）），切線方程為'?2"JX：即'-

由切線過R1J）,得/-3。+2=0,（。-1）2（。+2）=0,解得0=1或°=一2,

cC13

y——2x+3,y=—xH—,、

因此切線方程為-44,所以點(diǎn)尸為/r（x）的“A類點(diǎn)”.

（2）函數(shù)一加x,求導(dǎo)得/''（x）=3x2-機(jī)，設(shè)切點(diǎn)為億/