解答題專題突破：概率與統(tǒng)計題型一、離散型隨機變量及其分布列1.密室逃脫是當下非常流行的解壓放松游戲，現(xiàn)有含甲在內(nèi)的7名成員參加密室逃脫游戲，其中3名資深玩家，4名新手玩家，甲為新手玩家.（1）在某個游戲環(huán)節(jié)中，需隨機選擇兩名玩家進行對抗，若是同級的玩家對抗，雙方獲勝的概率均為；若是資深玩家與新手玩家對抗，新手玩家獲勝的概率為，求在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率；（2）甲作為上一輪的獲勝者參加新一輪游戲：如圖，有兩間相連的密室，設(shè)兩間密室的編號分別為①和②.密室①有2個門，密室②有3個門（每個門都可以雙向開），甲在每個密室隨機選擇1個門出去，若走出密室則挑戰(zhàn)成功.若甲的初始位置為密室①，設(shè)其挑戰(zhàn)成功所出的密室號為，求的分布列.解法指導(dǎo):求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟：(1)根據(jù)題中條件確定隨機變量的可能取值；(2)求出隨機變量所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；(3)根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望(在計算時，要注意隨機變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布，可結(jié)合其對應(yīng)的概率計算公式及期望計算公式，簡化計算。)題型二、均值與方差的實際應(yīng)用在校運動會上，只有甲?乙?丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲?乙?丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：）：甲：；乙：；丙：假設(shè)用頻率估計概率，且甲?乙?丙的比賽成績相互獨立（1）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；（2）設(shè)是甲?乙?丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計的數(shù)學期望.2.為倡導(dǎo)節(jié)能環(huán)保，實現(xiàn)廢舊資源再利用，小明與小亮兩位小朋友打算將自己家中的閑置玩具進行交換，其中小明家有2臺不同的玩具車和2個不同的玩偶，小亮家也有與小明家不同的2臺玩具車和2個玩偶，他們每次等可能的各取一件玩具進行交換.（1）兩人進行一次交換后，求小明仍有2臺玩具車和2個玩偶的概率；（2）兩人進行兩次交換后，記為“小明手中玩偶的個數(shù)”，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.3.甲、乙兩人進行象棋比賽，賽前每人有3面小紅旗.一局比賽后輸者需給贏者一面小紅旗；若是平局就不需要給紅旗，當其中一方無小紅旗時，比賽結(jié)束，有6面小紅旗者最終獲勝.根據(jù)以往兩人的比賽結(jié)果可知，在一局比賽中甲勝的概率為，乙勝的概率為（1）設(shè)第一局比賽后甲的紅旗個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）求比賽共進行五局且甲獲勝的概率；（3）若比賽一共進行五局且第一局是乙勝，求此條件下甲最終獲勝的概率（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）.4．在剛剛結(jié)束的巴黎奧運會中，國球選手再創(chuàng)輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險激烈的就是男單決賽，中國選手樊振東對戰(zhàn)日本選手張本智和．比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分．（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到平，此時張本智和連續(xù)發(fā)球2次，然后樊振東連續(xù)發(fā)球2次．根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計，樊振東發(fā)球時他自己得分的概率為0.6，張本智和發(fā)球時樊振東得分的概率為0.5，每次發(fā)球的結(jié)果相互獨立，令人遺憾的是該局比賽結(jié)果，樊振東最終以落敗，求其以該比分落敗的概率；（2）在本場比賽中，張本智和先以領(lǐng)先．根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計，在后續(xù)的每局比賽中樊振東獲勝的概率為，張本智和獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨立．假設(shè)兩人又進行了局后比賽結(jié)束，求的分布列與數(shù)學期望．某公司有意在小明、小紅、小強、小真這4人中隨機選取2人參加面試.面試分為初試和復(fù)試且采用積分制，其中小明和小紅通過初試的概率均為，小強和小真通過初試的概率均為，小明和小紅通過復(fù)試的概率均為，小強和小真通過復(fù)試的概率均為，通過初試考核記6分，通過復(fù)試考核記4分，本次面試滿分為10分，且初試未通過者不能參加復(fù)試.（1）若從這4人中隨機選取2人參加面試，求這兩人本次面試的得分之和不低于16分的概率；（2）若小明和小紅兩人一起參加本次公司的面試，記他們本次面試的得分之和為，求的分布列以及數(shù)學期望.解法指導(dǎo)：利用隨機變量的均值與方差可以幫助我們作出科學的決策，其中隨機變量的均值的意義在于描述隨機變量的平均程度，而方差則描述了隨機變量穩(wěn)定與波動或集中與分散的狀況，品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報的準確與否、機器的性能好壞等很多指標都與這兩個特征量有關(guān)。1、若我們希望實際的平均水平較理想時，則先求隨機變量，的均值。當時，不應(yīng)誤認為它們一樣好，還需要用，來比較這兩個隨機變量的偏離程度。2、若我們希望比較穩(wěn)定時，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近。題型三、正態(tài)分布與標準正態(tài)分布1.某校高三年級在一次數(shù)學測驗中，各位同學的成績，現(xiàn)規(guī)定：成績在的同學為“成績頂尖”，在的同學為“成績優(yōu)秀”，低于90分的同學為“不及格”.（1）已知高三年級共有2000名同學，分別求“成績優(yōu)秀”和“不及格”的同學人數(shù)（小數(shù)按四舍五入取整處理）；（2）現(xiàn)在要從“成績頂尖”的甲乙同學和“成績優(yōu)秀”的丙丁戊己共6位同學中隨機選4人作為代表交流學習心得，在已知至少有一名“成績頂尖”同學入選的條件下，求同學丙入選的概率：（3）為了了解班級情況，現(xiàn)從某班隨機抽取一名同學詢問成績，得知該同學為142分.請問：能否判斷該班成績明顯優(yōu)于或者差于年級整體情況，并說明理由.（參考數(shù)據(jù)：若，則，）解法指導(dǎo)：關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法：(1)熟記，，的值．(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與軸之間面積為1：①正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，從而在關(guān)于對稱的區(qū)間上概率相等；②，．題型四、線性回歸與非線性回歸根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量(百千克)與某種液體肥料每畝的使用量(千克)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示．（1）從散點圖可以看出，可用線性回歸方程擬合與的關(guān)系，請計算樣本相關(guān)系數(shù)并判斷它們的相關(guān)程度；（2）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測液體肥料每畝的使用量為12千克時西紅柿畝產(chǎn)量的增加量．附：．2.某公司對某產(chǎn)品作市場調(diào)查，獲得了該產(chǎn)品的定價（單位：萬元/噸）和一天的銷量噸）的一組數(shù)據(jù)，根據(jù)這組數(shù)據(jù)制作了如下統(tǒng)計表和散點圖.0.331030.16410068350表中.（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適合作為關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果，建立關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；（Ⅲ）若生產(chǎn)1噸該產(chǎn)品的成本為0.25萬元，依據(jù)（Ⅱ）的經(jīng)驗回歸方程，預(yù)計每噸定價多少時，該產(chǎn)品一天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（經(jīng)驗回歸方程中，，）3.注重勞動教育是中國特色社會主義教育制度的重要內(nèi)容，直接決定社會主義建設(shè)者和接班人的勞動精神面貌、勞動價值取向和勞動技能水平.某市開辟特色勞動教育基地，指導(dǎo)學生種植豆角，某同學針對“豆角畝產(chǎn)量的增加量（百千克）與某種液體肥料每畝使用量（千克）之間的關(guān)系”進行研究，得出了與具有線性相關(guān)關(guān)系的結(jié)論．現(xiàn)從勞動基地的豆角試驗田中隨機抽取畝，其畝產(chǎn)增加量與該肥料每畝使用量關(guān)系如下表：某種液體肥料每畝使用量（千克）24568豆角畝產(chǎn)量的增加量（百千克）34455（1）求豆角畝產(chǎn)量的增加量對該液體肥料每畝使用量的線性回歸方程．預(yù)測該液體肥料每畝使用量為12千克時，豆角畝產(chǎn)量的增加量為多少百千克？（2）若豆角畝產(chǎn)量的增加量不低于5百千克的試驗田稱為“優(yōu)質(zhì)試驗田”，現(xiàn)從抽取的5畝試驗田中隨機選出畝，記其中優(yōu)質(zhì)試驗田的數(shù)量為，求的分布列和數(shù)學期望．參考公式：，．參考數(shù)據(jù)：，.4.近年來，因使用過久?工作壓力大等因素導(dǎo)致不少人出現(xiàn)了睡眠問題.某媒體為了了解出現(xiàn)睡眠問題者的年齡分布，調(diào)查了200名成年人的睡眠時間，得到如下列聯(lián)表：90后非90后合計23：00前入睡308023：00后入睡合計100200（1）完成列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析能否認為“23：00前入睡”與“是90后”有關(guān)聯(lián)？（2）隨著出現(xiàn)睡眠問題人群的增加，及社會對睡眠健康重視程度的加深，有助提高睡眠質(zhì)量的產(chǎn)品受到消費者推崇，記年的年份代碼依次為1，2，3，4，5，下表為年中國睡眠經(jīng)濟市場規(guī)模及2024年中國睡眠經(jīng)濟市場規(guī)模（單位：千億元）預(yù)測，年份代碼12345市場規(guī)模3.84.24.55.05.3根據(jù)上表數(shù)據(jù)求關(guān)于的回歸方程.參考公式：，其中.回歸方程，其中參考數(shù)據(jù)：.解法指導(dǎo)：1、線性回歸分析問題的類型及解題方法：(1)求線性回歸方程：①利用公式求出回歸系數(shù)，；②利用回歸直線過樣本中心點求系數(shù)；(2)利用回歸方程進行預(yù)測：把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值；(3)利用回歸直線判斷正、負相關(guān)：決定正相關(guān)函數(shù)負相關(guān)的系數(shù)是；(4)回歸方程的擬合效果可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當越接近1時，兩變量的線性相關(guān)性越強。2、非線性回歸經(jīng)驗回歸方程的求法：(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)作出散點圖；(2)根據(jù)散點圖，選擇恰當?shù)臄M合函數(shù)；(3)作恰當?shù)淖儞Q，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求經(jīng)驗回歸方程；(4)在(3)的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)的變換，即可得非線性經(jīng)驗回歸方程。題型五、獨立性檢驗及應(yīng)用1.為了了解某校學生每天課后自主學習數(shù)學的時間（分鐘/每天）和他們的數(shù)學成績（分）的關(guān)系，學校數(shù)學組老師進行了一些調(diào)研，得到以下數(shù)據(jù).學習時間2030405060數(shù)學成績59728297110（1）已知與之間的關(guān)系可用線性回歸模型進行擬合，并求出關(guān)于的回歸直線方程，并由此預(yù)測每天課后自主學習數(shù)學時間為85分鐘時的數(shù)學成績（結(jié)果精確到整數(shù)）；（參考數(shù)據(jù)：，）（2）由于新高考改革，對于同學們自主學習提出了更高的要求，所以某校提倡學生周日下午學生返校自習，實施一段時間后，抽樣調(diào)查了200位學生.按照是否參與周日自習以及成績是否有進步，統(tǒng)計得到列聯(lián)表.依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨立性檢驗，分析“周日自習與成績進步”是否有關(guān)（結(jié)果精確到0.01）.沒有進步有進步合計參與周日自習30130160未參與周日自習202040合計50150200附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8282.某校為了解本校學生課間進行體育活動的情況，隨機抽取了60名男生和60名女生，通過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：60名女生中有10人課間經(jīng)常進行體育活動，60名男生中有20人課間經(jīng)常進行體育活動.（1）請補全列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷性別與課間經(jīng)常進行體育活動是否有關(guān)聯(lián)；課間不經(jīng)常進行體育活動課間經(jīng)常進行體育活動合計男女合計（2）以樣本頻率作為概率的值，在全校的學生中任取4人，記其中課間經(jīng)常進行體育活動的人數(shù)為，求的分布列、數(shù)學期望和方差.附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中.3.2024年7月26日，第33屆夏季奧林匹克運動會在法國巴黎正式開幕.人們在觀看奧運比賽的同時，開始投入健身的行列.某興趣小組為了解成都市不同年齡段的市民每周鍛煉時長情況，隨機從抽取200人進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：年齡周平均鍛煉時長合計周平均鍛煉時間少于4小時周平均鍛煉時間不少于4小時50歲以下406010050歲以上（含50）2575100合計65135200（1）試根據(jù)的獨立性檢驗，分析周平均鍛煉時長是否與年齡有關(guān)？精確到0.001；（2）現(xiàn)從50歲以下的樣本中按周平均鍛煉時間是否少于4小時，用分層隨機抽樣法抽取5人做進一步訪談，再從這5人中隨機抽取3人填寫調(diào)查問卷.記抽取3人中周平均鍛煉時間不少于4小時的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式及數(shù)據(jù)：，其中4.某高中學校為了解學生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學（其中男生30名，女生30名）在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567男生人數(shù)12456543女生人數(shù)45564321合計5791110864（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”.請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷能否認為性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系.性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題.以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；（3）若將一周參加體育鍛煉的次數(shù)為6次或7次的同學稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：0.10.050.012.7063.8416.6355.已知某學校為提高學生課外鍛煉的積極性，開展了豐富的課外活動，為了解學生對開展的課外活動的滿意程度，該校隨機抽取了350人進行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：性別課外活動合計滿意不滿意男150100250女5050100合計200150350（1）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為該校學生對課外活動的滿意情況與性別因素有關(guān)聯(lián)？（2）從這350名樣本學生中任選1名學生，設(shè)事件A＝“選到的學生是男生”，事件B＝“選到的學生對課外活動滿意”，比較和的大小，并解釋其意義，附：010.050.012.7063.8416.635題型六、條件概率、全概率公式有編號為的個空盒子（，），另有編號為的個球（，）將個球分別放入個盒子中，每個盒子最多放入一個球.放球時，先將1號球隨機放入個盒子中的其中一個，剩下的球按照球編號從小到大的順序依次放置，規(guī)則如下：若球的編號對應(yīng)的盒子為空，則將該球放入對應(yīng)編號的盒子中；若球的編號對應(yīng)的盒子為非空，則將該球隨機放入剩余空盒子中的其中一個.記號球能放入號盒子的概率為.（1）求；（2）當時，求；（3）求.解法指導(dǎo)：1、條件概率：一般地，設(shè)，為兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．2、全概率公式：；3、貝葉斯公式：一般地，當且時，有題型七、概率與統(tǒng)計圖表的綜合應(yīng)用1.從某校高二年級隨機抽取100名學生的期中考試的數(shù)學成績進行研究，發(fā)現(xiàn)他們的成績都在分之間，將成績分為五組，，，，，畫出頻率分布直方圖，如圖所示：（1）若該校高二年級有750名學生，估計該年級學生的數(shù)學成績不低于80分的學生有多少名？并估計高二段學生的數(shù)學成績的中位數(shù)；（2）用分層抽樣的方法在區(qū)間中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看作一個總體，從中抽取2名學生的數(shù)學成績，求這兩名學生中至少有一人的數(shù)學成績在區(qū)間的概率.2.某品牌國產(chǎn)電動車近期進行了一系列優(yōu)惠促銷方案．既要真正讓利于民，更要保證品質(zhì)兼優(yōu)，工廠在車輛出廠前抽取了100輛汽車作為樣本進行單次最大續(xù)航里程的測試．現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）．（2）根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認為該款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計算第（1）問中樣本標準差s的近似值為50，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，現(xiàn)從該款汽車的生產(chǎn)線任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率．（3）某線下銷售公司現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，贏大獎，送車?！被顒?，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，指揮車模在方格圖上行進，若車模最終停在“幸運之神”方格，則可獲得購車優(yōu)惠券8萬元；若最終停在“贈送車?！狈礁駮r，則可獲得車模一個．已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是0.5，車模開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，車模向前移動一次．若擲出正面，車模向前移動一格，若擲出反面，車模向前移動兩格，直到移到第4格（幸運之神）或第5格（贈送車模）時游戲結(jié)束．若有6人玩游戲，每人參與一次，求這6人獲得優(yōu)惠券總金額的期望值．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，解法指導(dǎo)：1、概率與統(tǒng)計圖表的綜合應(yīng)用題關(guān)鍵點：(1)從題目條件或統(tǒng)計圖表給出的信息，提煉出所需要的信息；(2)①進行概率與統(tǒng)計的正確計算；②此類問題中的概率大多是古典概型、條件概率，求解時注意運用對立事件的概率。2、頻率分布直方圖：(1)頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法①．②，，．③頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于1．(2)頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算：①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)．②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．設(shè)中位數(shù)為，利用左(右)側(cè)矩形面積之和等于0.5，即可求出．③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和，即有，其中為每個小長方形底邊的中點，為每個小長方形的面積．題型八、概率與其他知識的交匯應(yīng)用1.已知新同學小王每天中午會在自己學校提供的、兩家餐廳中選擇就餐，小王第1天午餐時隨機選擇一家餐廳用餐、如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.8；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.4，如此往復(fù).（1）求小王第2天中午去餐廳用餐的概率;（2）求小王第天中午去餐廳用餐的概率；（3）已知:若隨機變量服從兩點分布，且，則.記前次（即從第1次到第次午餐）中小王去餐廳用午餐的次數(shù)為，求.2.某商場為促銷設(shè)計了一項回饋客戶的抽獎活動，抽獎規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個紅球和4個黑球的袋中任意抽取一個，若第一次抽到紅球則獎勵50元的獎券，抽到黑球則獎勵25元的獎券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎券數(shù)額是上一次獎券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎勵25元的獎券，記顧客甲第n次抽獎所得的獎券數(shù)額的數(shù)學期望為．（1）求及的分布列．（2）寫出與的遞推關(guān)系式，并證明為等比數(shù)列；（3）若顧客甲一共有6次抽獎機會，求該顧客所得的所有獎券數(shù)額的期望值．（考數(shù)據(jù)：?）3.中國涼都·六盤水，是全國唯一用氣候特征命名的城市，其轄區(qū)內(nèi)有牂牁江及烏蒙大草原等景區(qū)，每年暑假都有大量游客來參觀旅游．為了合理配置旅游資源，文旅部門對來牂牁江景區(qū)游覽的游客進行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，其中的人選擇只游覽牂牁江，另外的人選擇既游覽牂牁江又游覽烏蒙大草原．每位游客若選擇只游覽群牁江，則記1分；若選擇既游覽牂阿江又游覽烏蒙大草原，則記2分．假設(shè)游客之間的旅游選擇意愿相互獨立，視頻率為概率．（1）從游客中隨機抽取2人，記這2人的合計得分為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）從游客中隨機抽取個人，記這個人的合計得分恰為分的概率為，求；（3）從游客中隨機抽取若干人，記這些人的合計得分恰為分的概率為，隨著抽取人數(shù)的無限增加，是否趨近于某個常數(shù)？若是，求出這個常數(shù)；若不是，請說明理由．4.現(xiàn)有n枚質(zhì)地不同的游戲幣，向上拋出游戲幣后，落下時正面朝上的概率為.甲、乙兩人用這n枚游戲幣玩游戲.（1）甲將游戲幣向上拋出10次，用表示落下時正面朝上的次數(shù)，求的期望，并寫出當為何值時，最大（直接寫出結(jié)果，不用寫過程）；（2）甲將游戲幣向上拋出，用表示落下時正面朝上游戲幣的個數(shù)，求的分布列；（3）將這枚游戲幣依次向上拋出，規(guī)定若落下時正面朝上的個數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝，請判斷這個游戲規(guī)則是否公平，并說明理由.5.如圖，已知正四棱錐的體積為，高為.（1）求平面與平面的夾角的余弦值；（2）現(xiàn)有一螞蟻從點處等可能地沿各條棱向底面勻速移動，已知該螞蟻每秒移動1個單位，求2秒后該螞蟻與點的距離的分布列及期望.解法指導(dǎo)：概率統(tǒng)計常與排列組合、函數(shù)、數(shù)列等知識交匯考查。求解此類問題要充分理解題意，根據(jù)題中已知條件，聯(lián)系所學知識對已知條件進行轉(zhuǎn)化。這類問題的命題方向總的來說有兩大類：1、所給問題是以集合、函數(shù)、立體幾何、數(shù)列、向量等知識為載體的概率問題，求解時需要利用相關(guān)知識把所給問題轉(zhuǎn)化為概率模型，然后利用概率知識求解；2、所給問題是概率問題，求解時有時需要把所求概率轉(zhuǎn)化為某一變量的該函數(shù)，然后利用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識進行求解；或者把問題轉(zhuǎn)化為與概率變量有關(guān)的數(shù)列遞推關(guān)系，再通過構(gòu)造特殊數(shù)列求通項或求和。題型九、利用概率解決決策類問題1.甲?乙?丙三位同學進行乒乓球比賽，約定賽制如下：每場比賽勝者積2分，負者積0分；比賽前根據(jù)相關(guān)規(guī)則決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空；積分首先累計到4分者獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.已知甲與乙比賽時，甲獲勝的概率為，甲與丙比賽時，甲獲勝的概率為，乙與丙比賽時，乙獲勝的概率為.（1）若，求比賽結(jié)束時，三人總積分的分布列與期望；（2）若，假設(shè)乙獲得了指定首次比賽選手的權(quán)利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優(yōu)指定策略.2.我國自主研發(fā)的某種產(chǎn)品，其厚度越小，則該種產(chǎn)品越優(yōu)良，為此，某科技研發(fā)團隊經(jīng)過較長時間的實驗研發(fā)，不斷地對該產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)進行改造提升，最終使該產(chǎn)品的優(yōu)良厚度達到領(lǐng)先水平，并獲得了生產(chǎn)技術(shù)專利；（1）在研發(fā)過程中，對研發(fā)時間上(月)和該產(chǎn)品的厚度進行統(tǒng)計，其中1~7月的數(shù)據(jù)資料如下：x月1234567y（nm）99994532302421現(xiàn)用作為關(guān)于的回歸方程類型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并估計該產(chǎn)品的最小厚度約為多少？（2）某企業(yè)現(xiàn)有3條老舊的該產(chǎn)品的生產(chǎn)線，迫于競爭壓力，決定關(guān)閉并出售生產(chǎn)線.現(xiàn)有以下兩種售賣方案可供選擇：方案一：直接售賣，則每條生產(chǎn)線可賣6萬元；方案二：先花22萬元購買技術(shù)專利并對老舊生產(chǎn)線進行改造，使其達到生產(chǎn)領(lǐng)先水平后再售賣.已知在改造過程中，每條生產(chǎn)線改造成功的概率均為，且相互獨立.若改造成功，則每條生產(chǎn)線可賣20萬元；若改造失敗，則賣價為0萬元.①設(shè)3條老舊生產(chǎn)線中改造成功的生產(chǎn)線條數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；②請判斷該企業(yè)應(yīng)選擇哪種售賣方案可能更為有利？并說明理由.參考數(shù)據(jù)：設(shè)，.；參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和縱截距的最小二乘法估計的計算公式