習題12-3

1.求下列二階微分方程的通解。

(1)y"=2x+cosx;(2)xyH=yfIny';

(3)丁〃上=o；(4)

X旃…;

2

⑸/=y(i+y)o

解析：本題考查對于二階微分方程的求解，對于該題，根據二階微分方程的

求解方法進行求解即可。

解：(1)已知y"=2x+cosx,

等式兩邊積分可得y=w+SinX+C),

再對方程積分可得y=--COSX+C,x+C2；

(2)已知外〃=yiny,也就是y〃=XlEX,

X

令y=P(x),y〃=字,

ax

則有些=￡1叱，可得通解包=尸(回=?

dxxdx

cx

故原方程的通解為y=Je'dx=—+C2；

G

(3)已知)，〃一X=0，

x

令V=P(x),y〃=字，

dx

則有叱_￡=0,可得通解@=P(x)=qx，

dxxdx

故原方程的通解為了=，］乂/￥=。/2+。2；

(4)已知二7y〃=y，

()')

令y'=F(y),

則有了1d不P=y,可得通解為z誄/v=P(y)=G，22_'微分方程無解;

(5)已知廣y'Q+y"),

人〃dP

令y'=P(y)，J=~rp>

dy

dp

則有不P=尸(1+尸)，可得通解為案=P(y)=tan(y+CJ，

再分離變量，求積分得通解為sin(y+CJ=G。"

2.驗證下列函數片。)和%a)是否為所給微分方程的解。若是，能否由它們組成

通解？通解如何？

x

(1)y"+y'-2y=0,M(x)=e\y2(x)=2e；

(2)y"+y=0,y,(x)=cosx,y2(x)=sinx；

22x

(3)y,-4y'+4y=0,y(x)=e\y2(x)=xeo

解析：本題考查對于二階微分方程的通解的理解與應用，對于該題，根據微

分方程的通解的性質解答即可。

解：(1)%滿足微分方程y〃+y'_2y=0,

那么X(x)和為(工)是該微分方程的解，

然而X。)和%⑴線性相關，則不能由它們組成通解；

(2)X(x)=COSX,y2(x)=sinx滿足微分方程y"+y=o,

那么X。)和是該微分方程的解，

y/x)和%(6線性無關，所以能由它們組成通解；

(3)y(x)=e2\%(X)=熊”滿足微分方程y〃—4/+”=0,

那么%。)和為(二)是該微分方程的解，

y(工)和%線性無關，所以能由它們組成通解。

3.求下列微分方程的通解。

(1)y"-5y'+6y=0;(2)2y"+y'—y=0;

（3）yn—2yr+y=0;（4）y"+2y'+5y=0;

(5)3y"-2y'-8y=0;(6)y"+y=0;

(7)/+y=o；(8)y"+6yf+13y=0;

(9)4y〃-20y+25y=0;(10)2y"+5y'+2y=0;

22

/ds〃口八dsadsA八

(11)4--8—+55=0；(12)--4—+4v=0；

drdtdrdt

(13)/-2x/3/+3y=0o

解析：本題考查對于二階微分方程的求解，對于該題，根據微分方程的求解

公式以及微分求解方法進行求解即可。

解：(1)己知丫“一5了+6y=0,

特征方程為產-5r+6=0,

特征根為彳=2心=3,

3x

故方程的通解為y=+c2e；

(2)己知2y"+V—y=0,

特征方程為2r24-r-1=0,

特征根為(=-1,弓=—?

22

故方程的通解為y=C—+C2e"；

(3)己知y"—2V+y=0,

特征方程為r2—2r+l=0?

特征根為彳=G=1，

故方程的通解為y=cp+C2xe\

(4)已知y"+2y+5y=0,

特征方程為r2+2r+5=0>

特征根為彳弓=-1+2/，

故方程的通解為y=""(C|COS2X+C2sinlx)；

(5)己知3y"-2y'-8y=0,

特征方程為3/_2r-8=0,

特征根為I=2,弓=——?

~3

4

故方程的通解為y=c,e2v+G-'；

(6)已知y"+y=O,

特征方程為/+1=0，

特征根為

故方程的通解為》=0851+。2金工；

(7)已知y"+y=0,

特征方程為產+尸=0，

特征根為彳=0,弓二-1,

故方程的通解為曠=。|+。2邪”；

(8)已知y"+6y，+l3y=0,

特征方程為r+6r+13=0,

特征根為彳=-3+20=-3-2/,

3x

故方程的通解為y=e'(C}COS2X+C2sin2x)；

(9)已知4y"-20y+25y=0,

特征方程為4,_20r+25=0,

特征根為(=弓，

故方程的通解為y=G5"+G2>”；

(10)已知2y〃+5y+2y=0,

特征方程為2/+5r+2=0,

特征根為斗=一g，弓=—2，

[

2x

故方程的通解為y=C/T+C2e~；

(11)己知4^-^-8當+5s=0,

drdt

特征方程為4產-8廣+5=0,

特征根為r.=1+—=1-?

1222

故方程的通解為s=/(Gcos~+^2si1)；

2

、_Lds人dsA八

(12)d知二T—4-；-+4S=0,

drdt

特征方程為r2-4r4-4=0>

特征根為彳二乃二2,

故方程的通解為S=G*+；

(13)已知)，〃-26y'+3y=0,

特征方程為r-2■r+3=0,

特征根為彳=0=白，

故方程的通解為y=C*+C?xe&o

4.求下列微分方程的特解。

(1)y〃一4了+3y=0,乂1=6,)，［皿=10；

(2)y〃-3"4y=0,心=0?1=-5；

(3)/+4/+29y=0,y|z=0,4。=15；

(4)4?〃+4)，'+尸0,乂2=2,49=0；

(5)2y"+3y=2"了,九0=0,必5=1。

解析：本題考查對于微分方程的特解的求解，對于該題，先求解出微分方程

的通解，然后根據已知條件求解出微分方程的特解。

解：(1)已知y〃-+/+3y=0,

特征方程為廣2一4r+3=0,

特征根為彳=1,弓=3,

故方程的通解為廣Cg'+G/,那么)，'=C/+3C/\

又已知尢o=6,幾尸10,代入可得G=4C=2,

那么y=4/+2*；

(2)已知y〃-3y-4y=0,

特征方程為尸—3r-4=0,

特征根為彳=-L弓二4,

故方程的通解為y=Ge-'+G*，那么y'=—Ge-+4c2*,

又已知九=o,y|.=-5,代入可得G=i,C2=t,

那么

(3)已知y"+4y，+29y=0,

特征方程為/+4廠+29=0,

特征根為彳=-2+5"=-2-5/,

故方程的通解為y="%。COS5X+C2sin5x),

2x2x

那么y'=-2e~(Ctcos5x+C2sin5x)+e~(-5C}sin5x+5C2cos5x),

又已知HE=0,y|E=15,代入可得G=0，G=3,

那么y=3e"'sin5x；

(4)已知4y"+4V+y=0,

特征方程為4r2+4/-+1=0,

特征根為(=-2+5i百二一2—5,，

」_11-l1_l_1

x2x2

故方程的通解為)，—G)六十G—齊，那么)J=--C2xe+C2e

又已知訊句=2,yip=0代入可得G=2,=1,

11

那么y=2e^+xe'；

(5)已知2)產+3丁=2病，

特征方程為2/-2?r+3=0,

特征根為【釬手，

1J6

XX

故方程的通解為)，=C^+C2xe^,

那么"爭，+爭/,.冬，

又已知必=°，)(=0=1，代入可得G=0,。2=1,

怎

那么了=庇2。

5.方程y"+9y=0的一條積分曲線通過點(乃,-1)，且在該點和直線y+1=工-乃相

切，求此曲線。

解析：本題考查對于微分方程的特解的求解，對于該題，先求解出微分方程

的通解，然后根據已知條件進行特解的求解。

解：已知y〃+9y=0,

特征方程為r+9=0,

=

特征根為彳=3Ar2-3,，

故方程的通解為丁=Gcos3x+C2sin3x,

那么y'=-3C|sin3x+3C2cos3x,

根據題意有乂-=-1,Ma=1，代入可得C,=1,C2=-1，

那么y=cos3xsin3x。

6.一質點的加速度為。=-2吁5s,以初速%=12加/s由原點出發，試求質點的運

動方程。

解析；本題考查對于微分方程的特解的求解，對于該題，先求解出微分方程

的通解，然后根據已知條件進行特解的求解。

解：已知a=-2u—5s,

特征方程為產+2r+5=0,

特征根為4=一1+2。的=-l-2i,

故方程的通解為s=e-'(Gcos2t+C2sin2。,

那么v=(Gcos2/+Gsin2f)+e'(-2csin2t+2GcosIt),

根據題意有=0,4^=12,代入可得C,=0,C=6,

If-V'/-V2

那么s=6e~'sin2t。

7.求下列非齊次方程的特解。

(1)y-4/+3y=i：(2)2/+5/=5X2-2X-1；

(3)=(4)/-2y=4x2/；

(5)yn+2y,+5y=f(x),若/(x)等于1.x3-2x+42.213.COS%；

2x

(6)/-4/+4y=8eo

解析：本題考查對于非齊次方程的特解的求解，對于該題，根據非齊次方程

的特解的求解方法進行求解即可。

解：(1)已知y"-4y'+3y=1,

那么設方程的特解為Y=a，代入可得4=,，

3

那么方程的特解為y=L

3

(2)已知2y"+5y'=5f-2x-l,

那么設方程的特解為y=a?+法2+6,

則有『=3ar2+2bx,K*=6ov,

帶入原方程可得6or+5(3加+2fcv)=59-2工-1,

對比系數可得〃力=-3,c=工，

3525

那么方程的特解為Y=l.v3—3/+二x；

3525

(3)已知

相應其次微分方程的特征方程為產+/=o,尸-ai,r2=ait

。不是特征根，故設特解為y=

那么有Y'=aceax,V〃=ca^e^,

代入原方程可得《?*+故2/?=泮,對比系數可得c=J_,

2a2

那么方程的特解為y=_[e奴；

2a2

(4)已知y"-2y=4/爐,

相應其次微分方程的特征方程為2=0,彳=-^當=0,

1不是特征根，故設方程的特解為Y=ax2ex+bxex+cex,

那么有『二以%'+(2Q+與函+(b+c)ex,

n2xxx

Y=axe+(4a+b)xe+(2a+2〃+c)ef

彳弋入原方程可得一g1*+(4a+(2。+2/?-c)e'=4fe”,

對比系數可以解得a=—4,Z?=—16,c=—40,

那么方程的特解為丫=16xd—40";

(5)已知y"+2y'+5y=f(x),

相應其次微分方程的特征方程為r+2r+5=0,/;=-1-2"=-1+2i,

1.若"X)等于丁_2工+4,

設方程的特解為Y=ax'+bx2-\-cx+d>

2H

=3ax+2bx+cfY=6ax+2b,

代入原方程可得6以+2/?+2(3加+次+(?)+5(加+加+以+")=工3一2匯+4,

對比系數可得。="=4

125625

那么方程的特解為丫于一黑一粉十爵

2.若“X）等于2/',

由于3不是特征根，那么設方程特解為丫=四八，

則有X=3aen，/*=9aeix,

代入原方程可得9ae3x+6aeyx+5ae3x=2e3x,

對比系數可得a=-L,那么方程特解為丫=_1/1

1010

3.若“X）等于C0SX,

由于i不是特征根，那么設方程特解為y=acosx+bsinx,

則有丫’=-asinx+bcosx,丫”=-acosx-bsinxf

代入原方程可得

—acosx—bsinx+2(—asinx+bcosx)+5(acosx+bsinx)=cosx?

對比系數可得a=L/?=~!~,

510

那么方程的特解為yCOSX+—sinx;

510

(6)己知y"-4y+4y=8e2x,

相應其次微分方程的特征方程為/*2—4r+4=0,彳=弓=2,

2是特征方程的二重根，故設特解為丫=以2/1

那么F=2ax2e2x+2axe2x,Y〃=4ax2e2x+Saxe2x+2ae2x,

代入原方程可得

4加*+8麻廬+2。消一4(2加/+2axe2x)+4ax2e2x=8e2r,

對比系數可得。=4,

那么方程的特解為y=

8.求下列非齊次方程的通解。

(1)y”—79+6y=4;(2)/+y=4?；

(3)/-2/-3y=6e2r；(4)y"+2y'+y=3e7；

nr

(5)y+2y+5y=^-cos2x;(6)y"—7y'+6y=sinx

(7)y"+4y=2sin2x;(8)y"+9y=4cos3x;

(9)y"-4y'+4y=/(x),若/(x)等于1.e'x2.3e2x3.2sinxcosx4.

e~x+3e2v+2sinx?cosx;

(10)yH+y=f(x),若f{x}等于1.X2.COSX3.e2xcos3x4.

x+cosx+e2xcos3x。

解析：本題考查對于二階非齊次線性微分方程的求解，對于該題，先求解出

二階齊次線性微分方程的通解，然后進行特解的求解。

解：(1)已知y"-7V+6y=4,

相應其次微分方程的特征方程為r2-7r+6=0,彳=1/=6,

因此相應其次微分方程的通解為+的產，

則設該方程的特解為y=G,代入可得y=g,

那么>=02、+。2?6*+|；

(2)已知了+廣4「，

相應其次微分方程的特征方程為/+1=0,fj="=T,

因此相應其次微分方程的通解為c,COSX+GsinX,

則設該方程的特解為Y=ax3+加+5+d,

n

那么V=3加+2Z?x+c,Y=6ax+2bf

代入方程可得6批+2b+ar3+以+d=4r\

對比系數可得a=4,c=-24,/?=d=0?

那么方程的特解為K=4^-24x,

那么方程通解為y=Gcosx+Gsinx+dJ_24X；

(3)已知了〃-2了-3"6。2”，

相應其次微分方程的特征方程為r2-2r-3=O,彳=-"=3,

因此相應其次微分方程的通解為c/r+C/x,

由于2不是特征根，則設該方程的特解為丫=。/1

那么F二2四2"那=4-2、

代入方程可得4〃*-3優2’二。］，

對比系數可得。=-2,

那么方程的特解為丫=-2吠，

3x2x

方程的通解為y=C—+C2e-2e；

(4)已知y〃+2y'+y=3eT,

相應其次微分方程的特征方程為r2+2r+l=O,彳=5=-1,

因此相應其次微分方程的通解為Ge-、。2配一、，

由于-1是二重特征根，則設該方程的特解為丫=?2-、，

那么V'二-ax2e~x+2axe~x,Yn=ax2e-x-4ove-v+2aex,

代入方程可得加e"-^axex+2ae~x+2(-ax2e'x+2axe~x)+ax2e~x=3e~x,

對比系數可得a=3,

2

3

那么方程的特解為y=

方程的通解為y=+Cxe~x+-x2e-x；

22

(5)已知y"+2y'+5y=—?cos2x，

相應其次微分方程的特征方程為尸+2尸+5=0,7；=-1+21,7；=-1-2/

因此相應其次微分方程的通解為1（0期2"。2加21）,

由于2i不是特征根，則設該方程的特解為y=〃cos2x+加in2x,

那么Y'=-2asin2x+2/?cos2x,Y"=-4^/cos2x-4^sin2x,

代入方程可得

71

-4acos2x-4/?sin2x+2(-2〃sin2x+2加so2x)+5(cos2x+/?sin2x)=-ycos2x,

對比系數可得a=—4)=—也，

3417

71142.

那么方程的特解為Y=-：^cosx-■—sinx,

3417

71142

方程的通解為y=cos2x+C2sin2x)--cosx--p^sinx；

(6)已知y"—7y+6y=sinx,

相應齊次微分方程的特征方程為r2-7r+6=0,q="=6,

6

因此相應其次微分方程的通解為。仔、+C2e\

由于t?不是特征根，則設該方程的特解為y=a8sx+)sinx,

那么Y"=-asinx+Z?cosx,y"=-acosx—力sinx,

代入方程可得

—acosx一力sinx—7(—asinx+bcosx)+6(acosx+Z?sinx)=sinx，

對比系數可得°=工為=色，

7474

75

那么方程的特解為y='cosx+2sinx,

7474

75

x6x

方程的通解為y=Cxe+C2e+—cosx+—sinx；

(7)己知y"+4y=2sin2x,

2

相應齊次微分方程的特征方程為r+4=0,r}=2Z,r2=-2i,

因此相應其次微分方程的通解為C,cos2x+Gsin2x,

由于萬是特征根，則設該方程的特解為丫二次2代,

2iK2iKH2Lr2Lx

為口么y'=2abce+ae,Y=-4axe+4aief

2ix

代入方程可得Tore?"+4a舊次+4are"=2e,

對比系數可得。=-■!■"

2

那么方程的特解為丫=-1cos2x,

9

方程的通解為y=Gcos2x+Csin2x--cos2x；

22

(8)已知y"+9y=4cos3x,

相應齊次微分方程的特征方程為r2+9=0,彳=3i百=一夕,

因此相應其次微分方程的通解為GCOS3X+C2sin3x,

由于-3i是特征根，則設該方程的特解為丫=(辦+份/匕

那么y'=3aixeiLx+(a+bi)e3ix,YH=-9axe3ix+(6ai-3加,

代入方程可得-9are3￡v+(6ai-3))e3k+9(ar+b)e3ix=4ie3Ll,

對比系數可得a=』,b=0,

3

那么方程的特解為丫=—sin3x,

3

2

+

方程的通解為y=Gcos3x+C2sin3x；

(9)已知y”—4y，+4y=/(x),

相應齊次微分方程的特征方程為r2-4/+4=0,4=弓=2,

因此相應其次微分方程的通解為G/'+CzXe?',

1.若f{x}等于e~xf

設方程特解為y=a""，則丫'=一叱。YH=ae-x,

代入原式可得ae-x+4ae-s+4aex=e：,

對比系數可得a=L,那么方程特解為丫=26-',

99

則方程的通解為)，=a/、+CM*+/,

2.若"X)等于3小

設方程特解為Y=(ax2+hx+c)e2x,

貝ijYl=(2ax2+2bx+2c+lax+b)e2x,

Y"=(4ar2+4bx+4c++4/?4-2a)e2x,

oa

代入原式對比系數可得。=；/=c=0,那么方程特解為丫=

2x2x22x

則方程的通解為y=C,e+C2xe+-xe,

3.若/(x)等于2sinx?cosx，

設方程特解為Y=fzcos2x+Z?sin2x,

/口么Y'=2(-asin2x+Z>cos2x),Y=cos2x+bsin2x),

代入原式對比系數可得。=Lb=O,

那么方程特解為y=1cos2x,

8

2rlx

則方程的通解為y=C,e+C2xe+|cos2x,

4.若/(x)等于+2sinxcosx,

根據微分方程性質可得方程的通解為

2r2xx22x

y=C,e+C2xe+^e-+-|xe+"cos2x；

(10)已知y〃+y=/(x),

相應齊次方程的特征方程為，+1=0,4=T,「i,

則方程的通解為Gcosx+Gsinx,

1.若/(x)等于],

設方程特解為丫=如2+區+。，

則有丫'=2"+。，丫〃=2。，代入原式對比系數可得。=l*=c=0,

那么方程特解為丫=心

方程通解為y=C[Cosx+C2sinx+x,

2.若等于8sx

設方程特解為Y=(ax+b)eLx,

則有V=(aix+bi+a)eix,Yn=(-ax-b+2ai)eix,

代入原式對比系數可得。=Lb=O,

2

那么方程特解為y=^sinx,

2

V,

方程通解為y=C]Cosx+C2sinx+/sinx,

3.若/(x)等于言cos3xf

設方程特解為丫=ae2x(bcos3x+csin3x),

則有(2bcos3x+2csin3x-3bsin3x+3ccos3x),

Y'=ae2x(-5bcos3x-5csin3JC-12Z;sin3x+12ccos3x),

代入原式對比系數可得a=',》=-l,c=3,

40

那么方程特解為y='*(3sin3/-cos3x),

40

方程通解為y=Gcosx+C2sinx+右(3sin3x-cos3x),

4.若等于X+COSX+/Xcos3x,

則根據微分方程性質可得

X12t

y=Gcosx+C2sinx+x++—sinx+—^(3sin3x-cos3x)?

9.設質量為機的物體在沖擊力作用下得到初速%在一水平面上滑動，作用于物

體的摩擦力為-加，問物體能滑多遠(其中女為比例系數)？

解析；本題考查對于微分方程的應用，對于該題，根據動能定理建立等式并

求解。

解：根據動能定理有竺-=Fs=Zws,

2

那么可得$=近。

2k

10.物體由靜止狀態開始運動，其規律為x"+ox/=g(其中a,g為常數)，求I與/

的函數關系。

解析：本題考查對于微分方程的理解與應用，對于該題，根據已知條件求解

微分方程得到函數關系。

解：己知x"+?V=g,

齊次方程的特征方程為/+ar=0,4=0,4=-4,

則其通解為G+Ge-"，

設方程特解為乂=42+@+〃，則X'=2/?r+c,X〃=?,

代入方程對比系數可得b=0,c=&,d=0,

a

那么方程特解為*=&，

a

a,

則方程通解為x=G+C2e-+&f,

a

又已知物體由靜止狀態開始運動，可得x=C(ep-1)+區人

a

11.質點作直線運動，其加速度為〃=-s+cosr,且當f=o時，S=OR=I,求該質

點的運動方程。

解析：本題考查對于為微分方程的求解，對于該題，根據微分方程的求解方

法進行求解即可。

解：已知。=-s+cosZ,也就是s〃+s=cos/,

對應齊次方程的特征方程為，+1=0,

方程通解為Gcost+C2sinr,

設方程特解為S=(m+b)e",

那么S'=(ait+bi+a)elt,S"=(-at-b+2ai)e't,

代入原式對比系數可得。=Lb=0,

2

那么方程特解為5=」4型，

2

則方程通解為s=Gcosf+Csinr+—sinr,

2

又已知當f=0時，s=0H=l,代入可得G=0,。2=1，

那么s=sinf+\sinf。

2

12.求下列各種類型的微分方程的通解。

(1)y+-^-=e-x;

1+x

(2)yr+yx=X；

(3)(1+42)了+丫(工一71^?)=0；

(4)t2ds+2tsdt=e'dt;

(5)孫'=4(4+6)；

(6)2xyy"=2y2+y]y4+x4；

(7)xy"+y=Inx;

(8)yyff-2(y)2=0；

(9)yn-nfy=e~,nx-

(10)y'xlnx+y=21nx;

(11)2y+y=/(x-l)；

(12)y"+3yr+2y=sin2x+2cos2x;

v-2x

(13)/+5y+6y=^4-e0

解析：本題考查對于微分方程的求解，對于該題，根據微分方程的求解方法

進行求解即可。

解：(1)己知了+上=濟，

1+X

那么y=e」|+產(，/+工"A+(7)

=---(fe*(1+x)dx+C)

1+xJ

9

=1(e-K(2Ix)IC)

l+x

(2)已知y，+yx=x,

那么y=e^xdx(jx^ul\lx+C)

1.1^2

=e°(Jxe^dx+C)

-lx21^2

=e2(e24-C);

-i-v2

=\+Ce2

____h2

(3)(1+x2)y+yU-Vl+JC2)=o=>y+-A*=0,

l+x

那么y=Ce」I=Ce后舊=Ce而=C(.+1)；

VI+x2

(4)t2ds+2tsdt=e'dt=>st2=e*+C=>s=，4c;

r

(5)孫'=4(4+6)；

(6)2xyyr=2y2+y]y4^x4；

/\〃，]〃yinx

(7)xy+y=lnx=>y+—=---

xx

7=—(flnxdr+Cj)=—(Alnx-x+CJ=In1+6,

y

xJxXX

y=xlnx-2x+GInx+G；

(8)?〃-2()/)2=0ny學_2(獷=0

dy

dyf,dy'2dy

ny^--2y=0=>—=--

.dyy'y

=>In/=21ny+C

ny1=Gy?==C、dx

y

=^>—=Clx+C2

Jv

1

=>y=--------

Ctx+C2

（9）已知y〃一加2y=e

其次微分方程特征方程為＞=0，彳=-