第1頁/共21頁2023年普通高等學校招生全國統一考試（全國乙卷）文科數學 【答案】C【解析】【分析】由題意首先化簡2+i2+2i3，然后計算其模即可.【詳解】由題意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i，故選：C.2.設全集U={0,1,2,4,6,8}，集合M={0,4,6},N={0,1,6}，則MeUN=()【答案】A【解析】【分析】由題意可得eUN的值，然后計算MeUN即可.【詳解】由題意可得eUN={2,4,8}，則MUeUN={0,2,4,6,8}.故選：A.3.如圖，網格紙上繪制的一個零件的三視圖，網格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積A.24B.26C.28D.30【答案】D【解析】第2頁/共21頁【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結構特征求解其表面積即可.點H,I,J,K為所在棱上靠近點B1,C1,D1,A1的三等分點，O,L,M,N為所在棱的中點，則三視圖所對應的幾何體為長方體ABCD一A1B1C1D1去掉長方體ONIC1一LMHB1之后所得的幾何體，該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，故選：D.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結合誘導公式和兩角和的正弦公式求得上A的值，最后利用三角形內角和定理可得上A的值.【詳解】由題意結合正弦定理可得sinAcosB一sinBcosA據此可得cosA=0,A=，第3頁/共21頁故選：C.5.已知f是偶函數，則a=()A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根據偶函數的定義運算求解.故選：D. 【答案】B【解析】【分析】方法一：以為基底向量表示,，再結合數量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求cos上DEC，進而根據數量積的定義運算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知方法二：如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得第4頁/共21頁故選：B.7.設O為平面坐標系的坐標原點，在區域{(x,y)1≤x2+y2≤4}內隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據題意分析區域的幾何意義，結合幾何概型運算求解.【詳解】因為區域{(x,y)|1≤x2+y2≤4}表示以O(0,0)圓心，外圓半徑R=2，內圓半則直線OA的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對應的圓心角結合對稱性可得所求概率.故選：C.第5頁/共21頁8.函數f(x)=x3+ax+2存在3個零點，則a的取值范圍是()A.【答案】B【解析】【分析】寫出f,(x)=3x2+a，并求出極值點，轉化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】f(x)=x3+ax+2，則f,(x)=3x2+a，若f(x)要存在3個零點，則f(x)要存在極大值和極小值，則a<0， 且當時，f,當故f(x)的極大值為極小值為，故選：B.9.某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為()第6頁/共21頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據古典概率模型求出所有情況以及滿足題意得情況，即可得到概率.【詳解】甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故總數共有6×6=36種，若甲、乙抽到的主題不同，則共有A=30種，則其概率為，故選：A.10.已知函數f(x)=sin(①x+φ)在區間單調遞增，直線x=和為函數y=f(x)的圖像的兩條對稱軸）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據題意分別求出其周期，再根據其最小值求出初相，代入x=—即可得到答案.【詳解】因為f(x)=sin(①x+φ)在區間單調遞增，故選：D.第7頁/共21頁 【答案】C【解析】【分析】法一：令x-y=k，利用判別式法即可；法二：通過整理得(x-2)2+(y-1)2=9，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設x-y=k，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.【詳解】法一：令x-y=k，則x=k+y，代入原式化簡得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4=0，因為存在實數y，則Δ≥0，即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0，故x-y的最大值是，法二：x2+y2-4x-2y-4=0，整理得(x-2)2+(y-1)2=9，法三：由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x-2)2+(y-1)2=9，設x-y=k，則圓心到直線x-y=k的距離k|≤3，故選：C.12.設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是()B..(-1,-4)【答案】D【解析】【分析】根據點差法分析可得kAB.k=9，對于A、B、D：通過聯立方程判斷交點個數，第8頁/共21頁逐項分析判斷；對于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設A(x1,y1),B(x2,y2)，則AB的中點因為A,B在雙曲線上，則兩式相減得所以kAB.k=.對于選項A：可得k=1,kAB=9，則AB:y=9x-8，(-2×72)2-4×72×73=-288<0，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得k=-2,kAB=-，則AB:y=-所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得k=3,kAB=3，則AB:y=3x由雙曲線方程可得a=1,b=3，則AB:y=3x為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：k=4,kAB=，則AB:y=第9頁/共21頁故選：D.)在拋物線C：y2=2px上，則A到C的準線的距離為.【答案】【解析】【分析】由題意首先求得拋物線的標準方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為最后利用點的坐標和準線方程計算點A到C的準線的距離即可.【詳解】由題意可得2=2p×1，則2p=5，拋物線的方程為y2=5x，準線方程為，點A到C的準線的距離為.故答案為：.14.若θ∈,tanθ=，則sinθ-cosθ=. 【答案】-【解析】【分析】根據同角三角關系求sinθ,進而可得結果.又因為tanθ=，則cosθ=2sinθ,且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，解得sinθ=5或sinθ=-（舍第10頁/共21頁故答案為：.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，轉化為截距最值討論即可.【詳解】作出可行域如下圖所示：z=2x-y，移項得y=2x-z，聯立有解得，設A(5,2)，顯然平移直線y=2x使其經過點A，此時截距-z最小，則z最大，故答案為：8.16.已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA丄平【答案】2【解析】【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結合直棱柱的外接球以及求的性質運算求解.【詳解】如圖，將三棱錐S-ABC轉化為直三棱柱SMN-ABC，設△ABC的外接圓圓心為O1，半徑為r，則可得，設三棱錐S-ABC的外接球球心為O，連接OA,OO1，則OA=2,O第11頁/共21頁因為OA2=OO+O1A2，即4故答案為：2.【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題求解；（2）若球面上四點P、A、B、C構成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB=b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，根據4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方體的內切球的直徑為正方體的棱長；（4）球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；（5）利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為)．試驗結果如下：試驗序號i123456789伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi=xi-yi(i=1,2,...,10)，記z1,z2,...,z10的樣本平均數為z，樣本方差為s2.（1）求z，s2；（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯第12頁/共21頁著提高（如果則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）（2）認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.【解析】【分析】（1）直接利用平均數公式即可計算出x,y，再得到所有的zi值，最后計算出方差即（2）根據公式計算出的值，和z比較大小即可.【小問1詳解】z=x-y=552.3-541.3=11，zi=xi-yi的值分別為:9,6,8,-8,15,11,1故s2=(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2=61【小問2詳解】所以認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.18.記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知a2=11,S10=40.（1）求{an}的通項公式；（2）求數列{an}的前n項和Tn.第13頁/共21頁【解析】【分析】（1）根據題意列式求解a1,d，進而可得結果；（2）先求Sn，討論an的符號去絕對值，結合Sn運算求解.【小問1詳解】設等差數列的公差為d，【小問2詳解】*，nn277-)-BP,AP,BC的中點分別為D,E,O，點F在AC上，BF丄AO.（1）求證：EF//平面ADO；【答案】（1）證明見解析第14頁/共21頁【解析】【分析】（1）根據給定條件，證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）作出并證明PM為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【小問1詳解】連接DE,OF，設AF=tAC，則解得，則F為AC的中點，由D,E,O,F分別為PB,PA,BC,AC的中點，于是DE//AB,DE=AB,OF//AB,OF=AB，即DE//OF,DE=OF，則四邊形ODEF為平行四邊形，EF//DO,EF=DO，又EF丈平面ADO,DO平面ADO，所以EF//平面ADO.【小問2詳解】過P作PM垂直FO的延長線交于點M，因為PB=PC,O是BC中點，所以PO丄BC，所以BC丄平面POF，又PM平面POF，所以BC丄PM，又BC∩FM=O，BC,FM平面ABC，所以PM丄平面ABC，即三棱錐P-ABC的高為PM，第15頁/共21頁20.已知函數（1）當a=—1時，求曲線y=f(x)在點(1,f(x))處的切線方程.（2）若函數f(x)在(0,+∞)單調遞增，求a的取值范圍.【解析】【分析】（1）由題意首先求得導函數的解析式，然后由導數的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；（2）原問題即f,(x)≥0在區間(0,+∞)上恒成立，整理變形可得(x+1)ln(x+1)≥0在區間(0,+∞)上恒成立，然后分類討論a≤0,a≥,0<a<三種情況即可求得實數a的取值范圍.【小問1詳解】當a=1時，f第16頁/共21頁【小問2詳解】由函數的解析式可得滿足題意時f,(x)≥0在區間(0,+∞)上恒成立.此時g(x)<g(0)=0，不合題意;即g,(x)在區間(0,+∞)上單調遞增，所以g,(x)>g,(0)=0，g(x)在區間(0,+∞)上單調遞增，g(x)>g(0)=0，滿足題意.當時，h,<0,h在區間上單調遞減，即g,(x)單調遞減，綜上可知：實數a得取值范圍是.【點睛】方法點睛：（1）求切線方程的核心是利用導函數求切線的斜率，求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.（2）由函數的單調性求參數的取值范圍的方法①函數在區間(a,b)上單調，實際上就是在該區間上f,(x)≥0(或f,(x)≤0)恒成立.第17頁/共21頁②函數在區間(a,b)上存在單調區間，實際上就是f,(x)≥0(或f,(x)≤0)在該區間上存在解集.（1）求C的方程；（2）過點(2,3)的直線交C于P,Q兩點，直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N，證明：線段MN的中點為定點.（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）根據題意列式求解a,b,c，進而可得結果；（2）設直線PQ的方程，進而可求點M,N的坐標，結合韋達定理驗證為定值即可.【小問1詳解】由題意可得解得所以橢圓方程為.【小問2詳解】由題意可知：直線PQ的斜率存在，設PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1),Q(x2,y2)，聯立方程+3，消去y得：x2+8kx+16因為A(2,0)，則直線AP:y=第18頁/共21頁同理