高等數(shù)學(xué)下冊(cè)-偏導(dǎo)數(shù)前言1偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)微積分的重要概念,用于研究多元函數(shù)在某一點(diǎn)上沿某個(gè)方向的變化率。2應(yīng)用廣泛物理、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域,例如計(jì)算曲面的切線、求解最大值和最小值問(wèn)題等。3課程目標(biāo)理解偏導(dǎo)數(shù)的概念、計(jì)算方法和應(yīng)用,為后續(xù)學(xué)習(xí)多元函數(shù)積分打下基礎(chǔ)。偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)對(duì)其中一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，其他變量保持不變。它反映了多元函數(shù)在某個(gè)方向上的變化率。例如，對(duì)于一個(gè)有兩個(gè)變量的函數(shù)f(x,y)，它的偏導(dǎo)數(shù)?f/?x表示當(dāng)y保持不變時(shí)，f對(duì)x的變化率。偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則1鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，可以使用鏈?zhǔn)椒▌t，將復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)表示成其組成函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的乘積。2乘積法則對(duì)兩個(gè)函數(shù)的乘積求偏導(dǎo)數(shù)，可以使用乘積法則，將偏導(dǎo)數(shù)表示成兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的和。3商法則對(duì)兩個(gè)函數(shù)的商求偏導(dǎo)數(shù)，可以使用商法則，將偏導(dǎo)數(shù)表示成分子和分母的偏導(dǎo)數(shù)的差。4隱函數(shù)求導(dǎo)對(duì)隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，可以使用隱函數(shù)求導(dǎo)法，將隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)表示成其顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的組合。二階偏導(dǎo)數(shù)概念二階偏導(dǎo)數(shù)是指對(duì)多元函數(shù)進(jìn)行兩次偏導(dǎo)運(yùn)算得到的導(dǎo)數(shù)，例如：計(jì)算可以依次對(duì)不同的變量求偏導(dǎo)，例如：應(yīng)用在多元函數(shù)的極值問(wèn)題、隱函數(shù)求導(dǎo)、微分方程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1定義當(dāng)隱函數(shù)方程不能直接解出y關(guān)于x的表達(dá)式時(shí)，可以通過(guò)對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)來(lái)求解2求導(dǎo)規(guī)則對(duì)等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，然后利用鏈?zhǔn)椒▌t求解y'的表達(dá)式3應(yīng)用可用于求解曲線在某一點(diǎn)處的切線方程、法線方程等復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1鏈?zhǔn)椒▌t適用于求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。2多元函數(shù)當(dāng)自變量為多個(gè)變量時(shí)，需要對(duì)每個(gè)變量求偏導(dǎo)。3應(yīng)用場(chǎng)景廣泛應(yīng)用于物理、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域。高階偏導(dǎo)數(shù)概念二階偏導(dǎo)數(shù)是指對(duì)一個(gè)多元函數(shù)進(jìn)行兩次偏導(dǎo)運(yùn)算得到的導(dǎo)數(shù),是對(duì)函數(shù)變化率的變化率進(jìn)行的測(cè)量符號(hào)用?2f/?x2或fxx表示對(duì)x進(jìn)行二次偏導(dǎo),用?2f/?x?y或fxy表示先對(duì)x偏導(dǎo),再對(duì)y偏導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例1幾何學(xué)偏導(dǎo)數(shù)可用于求解曲面的切平面和法線方向，例如求解曲面的切線方程。物理學(xué)偏導(dǎo)數(shù)可用于描述物理量隨時(shí)間和空間的變化，例如描述溫度場(chǎng)和電場(chǎng)。經(jīng)濟(jì)學(xué)偏導(dǎo)數(shù)可用于分析經(jīng)濟(jì)模型，例如求解利潤(rùn)最大化問(wèn)題和成本最小化問(wèn)題。偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例2物理學(xué)在波動(dòng)方程中，偏導(dǎo)數(shù)用于描述波的傳播速度和方向。天文學(xué)偏導(dǎo)數(shù)用于計(jì)算行星軌道的變化率和火箭的飛行軌跡。經(jīng)濟(jì)學(xué)偏導(dǎo)數(shù)用于分析經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，例如價(jià)格變化對(duì)需求的影響。多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值是函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)取得最大值或最小值。尋找多元函數(shù)的極值是微積分中的重要問(wèn)題，它在許多實(shí)際應(yīng)用中都有重要的意義。例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，我們可以使用多元函數(shù)的極值來(lái)尋找公司的利潤(rùn)最大化點(diǎn)。在物理學(xué)中，我們可以使用多元函數(shù)的極值來(lái)尋找系統(tǒng)的能量最小化點(diǎn)。拉格朗日乘數(shù)法約束條件拉格朗日乘數(shù)法用于在滿足約束條件的情況下尋找多元函數(shù)的極值。目標(biāo)函數(shù)引入拉格朗日乘子，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。求解方程對(duì)拉格朗日函數(shù)求偏導(dǎo)，并聯(lián)立方程組。極值判斷解方程組得到候選點(diǎn)，代入目標(biāo)函數(shù)判斷極值。微分方程的基本概念定義包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式稱(chēng)為微分方程分類(lèi)根據(jù)未知函數(shù)的個(gè)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的階數(shù)、方程的類(lèi)型等進(jìn)行分類(lèi)求解尋找滿足微分方程的函數(shù)，即微分方程的解變量分離法1步驟1：分離變量將微分方程改寫(xiě)為如下形式：f(x)dx=g(y)dy2步驟2：積分對(duì)等式兩邊分別積分，得到：∫f(x)dx=∫g(y)dy+C3步驟3：解出y將積分結(jié)果化簡(jiǎn)，得到y(tǒng)關(guān)于x的表達(dá)式。齊次微分方程定義若微分方程可寫(xiě)成dy/dx=f(y/x)的形式，則稱(chēng)為齊次微分方程。求解通過(guò)代換u=y/x，將方程化為關(guān)于u的一階可分離變量微分方程。應(yīng)用齊次微分方程在物理、工程和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。線性微分方程1一階線性微分方程形如dy/dx+P(x)y=Q(x)2高階線性微分方程形如a_n(x)y^(n)+a_{n-1}(x)y^(n-1)+...+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)3常系數(shù)線性微分方程系數(shù)a_i為常數(shù)4變系數(shù)線性微分方程系數(shù)a_i為x的函數(shù)雅可比行列式n變量數(shù)多元函數(shù)的雅可比行列式由n個(gè)變量組成。m函數(shù)數(shù)雅可比行列式用于描述多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。全微分定義多元函數(shù)全微分是指函數(shù)在一點(diǎn)的增量可以近似地用各偏導(dǎo)數(shù)乘以自變量增量之和表示。公式全微分公式為：df=?f/?xdx+?f/?ydy+...+?f/?zdz。應(yīng)用全微分在微積分學(xué)和物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，例如求解微分方程、計(jì)算函數(shù)的增量。應(yīng)用舉例1-熱傳導(dǎo)導(dǎo)熱熱量從高溫物體傳遞到低溫物體的過(guò)程。例如，將金屬棒的一端放在火焰上加熱，熱量會(huì)沿著金屬棒傳遞到另一端。對(duì)流流體（如空氣或水）的運(yùn)動(dòng)將熱量從一個(gè)地方傳遞到另一個(gè)地方的過(guò)程。例如，暖氣片散熱。輻射熱量通過(guò)電磁波傳遞的過(guò)程。例如，太陽(yáng)的熱量通過(guò)輻射到達(dá)地球。應(yīng)用舉例2-電磁學(xué)麥克斯韋方程組偏導(dǎo)數(shù)在麥克斯韋方程組中起著至關(guān)重要的作用，該方程組描述了電場(chǎng)和磁場(chǎng)的相互作用。電磁波偏導(dǎo)數(shù)用于推導(dǎo)出電磁波的傳播速度和波長(zhǎng)，以及電磁場(chǎng)的變化規(guī)律。應(yīng)用舉例3-經(jīng)濟(jì)學(xué)供需模型偏導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)分析商品的價(jià)格和供求之間的關(guān)系，例如通過(guò)偏導(dǎo)數(shù)求解商品的彈性系數(shù)，從而判斷價(jià)格變化對(duì)供求的影響。邊際效用偏導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)分析消費(fèi)者對(duì)商品的邊際效用，即消費(fèi)者對(duì)商品的額外消費(fèi)帶來(lái)的效用增量。通過(guò)偏導(dǎo)數(shù)可以得到邊際效用遞減規(guī)律。經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)偏導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)分析經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型，例如通過(guò)偏導(dǎo)數(shù)分析資本積累、技術(shù)進(jìn)步等因素對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響。總結(jié)回顧1偏導(dǎo)數(shù)概念偏導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)對(duì)其中一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，反映了函數(shù)在該變量方向上的變化率。2計(jì)算規(guī)則偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算遵循與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)類(lèi)似的規(guī)則，但需要固定其他變量。3應(yīng)用場(chǎng)景偏導(dǎo)數(shù)廣泛應(yīng)用于優(yōu)化、物理、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域，例如求解多元函數(shù)的極值、描述物理量的變化。思考題1設(shè)f(x,y)在點(diǎn)(a,b)處可微，證明：f(x,y)在點(diǎn)(a,b)處連續(xù)。思考題2對(duì)于多元函數(shù)的極值問(wèn)題，我們應(yīng)該如何判斷其極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)？思考題3設(shè)f(x,y)在點(diǎn)(a,b)處連續(xù)，且對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)都存在。問(wèn)f(x,y)在點(diǎn)(a,b)處是否可微？思考題4對(duì)于多元函數(shù)的泰勒公式，如何理解其幾何意義？并舉例說(shuō)明。思考題5請(qǐng)解釋偏導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，例如在經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域。參考文獻(xiàn)高