第五章平面向量、復數(shù)第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應用1.理解平面向量數(shù)量積的含義.2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE|a||b|cosθ|a||b|cosθ3.平面向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面幾何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.1.有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論已知向量a，b(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.2.平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.常用結(jié)論與微點提醒×解析(1)兩個向量夾角的范圍是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.√√×2.(必修二P34例11改編)設(shè)a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，設(shè)a，b的夾角為θ，則cosθ＝________.

3.(必修二P21例13改編)已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b不共線，若(a＋kb)⊥(a－kb)，則實數(shù)k＝________.考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一數(shù)量積的計算BB解析法一由題意知，感悟提升計算平面向量數(shù)量積的主要方法(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)利用坐標運算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求數(shù)量積.(4)靈活運用平面向量數(shù)量積的幾何意義.CA解析由已知條件得|a＋b|2＝|a－b|2，即a·b＝0.22解析如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，考點二數(shù)量積的應用D解析因為a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ).因為(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.角度1夾角與垂直例2(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，則(

)A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1 C.λμ＝1 D.λμ＝－1D所以c＝－a－b，等式兩邊同時平方得c2＝a2＋b2＋2a·b，即2＝1＋1＋2a·b，解得a·b＝0.法一

a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b，b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b，所以(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，則a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝－a－b＝(－1，－1)，所以a－c＝(2，1)，b－c＝(1，2)，即2a·b＝a2＋b2－3.①由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，結(jié)合①，得3a2－3(a2＋b2－3)＝0，感悟提升訓練2(1)(2022·全國乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，則|a－b|＝(

)A.2 B.3 C.4 D.5D解析由題意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，B解析由題意知a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，(3)(多選)(2024·武漢調(diào)研)設(shè)a，b，c是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是(

)A.若|a＋b|＝|a－b|，則a⊥b B.若|a|＝|b|，則(a＋b)⊥(a－b)C.若a·c＝b·c，則a－b不與c垂直 D.(b·c)a－(a·c)b不與c垂直AB解析a，b，c是三個非零向量，對于A，|a＋b|＝|a－b|兩邊平方得(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，則a⊥b，故A正確；對于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，因為|a|＝|b|，所以(a＋b)·(a－b)＝0，故(a＋b)⊥(a－b)，故B正確；對于C，a·c＝b·c，故a·c－b·c＝(a－b)·c＝0，則a－b與c垂直，故C錯誤；對于D，[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，故(b·c)a－(a·c)b與c垂直，故D錯誤.考點三平面向量與平面幾何感悟提升A課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANA解析(a－b)·(b－2a)＝a·b－2a2－b2＋2a·b＝3a·b－b2－2a2B解析因為平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2，0)，|b|＝1，AC解析因為a，b為單位向量，|3a－5b|＝7，所以(3a－5b)2＝49，即9a2－30a·b＋25b2＝49，5.平面向量a與b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b與向量(1，0)的夾角是鈍角，則b＝(

) A.(－3，－4)

B.(4，3) C.(－4，3) D.(－4，－3)DA7.(多選)下列關(guān)于向量a，b，c的運算，一定成立的是(

)A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c)C.a·b≤|a|·|b| D.|a－b|≤|a|＋|b|ACD解析根據(jù)數(shù)量積的分配律可知A正確；B中，左邊為c的共線向量，右邊為a的共線向量，故B不一定成立；根據(jù)數(shù)量積的定義可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正確；|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正確.8.已知向量a＝(－2，1)，b＝(3，0)，e是與b方向相同的單位向量，則a在b上的投影向量為________.－2e解析設(shè)a與b所成的角為θ，9.(2023·贛州摸底)已知向量a＝(1，2)，b＝(4，k).若(2a－b)⊥(2a＋b)，則實數(shù)k的值為________.±2解析因為a＝(1，2)，b＝(4，k)，所以2a－b＝(－2，4－k)，2a＋b＝(6，4＋k).又(2a－b)⊥(2a＋b)，所以(2a－b)·(2a＋b)