探究高考試題明確復習方略——2011年陜西理科數學高考題的分析及啟示西安市田家炳中學（710500）【內容摘要】新課程的高考提出了“三個有利”，有利于推進基礎教育課程改革；有利于中學教學;有利于高校選拔人才。特別是2011年陜西理科數學高考題，融入了教育改革的理念，對中學數學教學具有輻射、導向作用，如果我們能認真研讀高考題中所蘊含的豐富信息，整合考題資源，觀察亮點，發現變化，積極應對，將是一筆豐富的財富。【關鍵詞】分析及啟示回歸教材觀察亮點發現變化積極應對縱觀2011年的陜西理科數學高考題，給人感覺是體現數學本質，凸顯數學思想，強化思維量，控制運算量，突出綜合性，以全新的面貌來體現新課改的理念；試題圖文并茂，文字闡述清晰，圖形設計簡明，無論是在試卷的結構安排方面，還是試題背景的設計方面，都進行了大膽的改革和有益的探索。應當說，本套試題符合陜西高中數學教學的實際學情，有利于高校人才的選拔，是一份很有特色的試題。筆者經仔細分析，做完之后覺得難度較去年有一定提升，但變化不大。其中選擇題、填空題沒有難度大的把關題，解答題中的計算量整體降低，尤其是解析幾何題；考生感覺難度增加較大，主要來自解答題考查順序的調整，導致考生的心理壓力增大，但對課本中余弦定理的證明（實際上是課本必修四第二章第5節從力做的功到向量的數量積中的例2）使許多考生有如骾在喉的感覺。本文從試卷結構、試題背景、新增內容、知識交匯等方面對2011年的陜西數學理科高考題探究如下，并由此得到幾點啟示，愿能明確2012年的迎考復習方略，對今后的高中數學教學有所幫助。試卷結構整套試卷的第1題設計為“有關向量的逆命題”，破除了前幾年傳統的“集合問題”開頭的模式。第7題復數知識也不是以往的單獨命題。第9題線性回歸方程只考查直線的特征而非回歸方程的計算；第11題是一個已知導數求該函數的原函數的問題，但這個問題很簡單，學生利用所學的導數和定積分的知識稍作變化就能很好地處理這個不定積分問題。解答題的布局變動較大，第16題是立體幾何題，第二問直接求兩個空間向量所成的角，與以往命題中的設問有較大的變化；第17題是一道很基礎的解析幾何問題，與以往考試中解析幾何題作為壓軸題比較，有很大的變化，是求具體數值下的弦長；第18題是“敘述并證明余弦定理”，這種考查方式使考生感到很意外，其實這種敘述并證明課本中的定理的命題方式早在1980年的高考中出現過：“敘述并證明換底公式”，沒有引起師生的重視；第19題是一道函數與數列的綜合問題，綜合性強，對于學生解決問題的能力要求較高,但所用的知識與方法卻很基本；第20題為用加法公式求互斥事件的概率問題,要求學生能運用所學的概率知識解決實際問題，題目的情景設置很好；壓軸題第21題是以對數函數與反比例函數為載體但不含參數的試題，問題情景與平時的練習變化不大。正由于解答題順序的改變，會使部分考生產生慌亂，如果在考場上冷靜面對，仔細分析，就會發現運算量的減少會給自己以安慰，過硬的心理素質是取得高分的關鍵。應當說，今年數學試卷新穎靈活的結構模式，是對考生應變能力的一次大檢驗，也會對今后的高中數學教與學帶來深刻的啟示。試題背景選擇題、填空題在保持2010年試題平穩的基礎上，以網上評卷得分、世園會等貼近現實生活的背景命題，給人耳目一新的感覺；第3題將函數抽象關系與圖象結合，考查函數的奇偶性與周期性；第6題的函數零點問題，將根式函數與余弦函數綜合，結構新穎；第7題的集合問題，集合M實質為三角函數y=|cos2x|的值域，集合N為復數的模范圍問題，打破了傳統的單一的知識聯系的命題模式；第8題的程序結構框圖，以高考的網上閱卷評分規則為原始背景，突出實際應用性；第14題與文科第10題的植樹路程問題，接近課本原題，它可轉化為經典的題目：絕對值函數求和的最小值問題；第16題立體幾何的折疊問題，第17題圓的壓縮問題，第19題的切線數列問題，都根植于高中數學教材，均以全新的面貌閃亮登場；第21題雖以常見的函數與導數的應用壓軸，但第二問比較大小，設問基本，求解靈活，第三問求范圍，探究問題，設計新穎。新增內容對三視圖考查的第5題，在去年單體的基礎上，發展為有關組合體的體積計算；第6題里函數的零點或方程根更是結合了函數單調性與圖形的考查；第9題的線性回歸方程首次考查，突出了概念的理解，避免了求方程的復雜運算；第13題依然是考查歸納推理，但由去年的求第5個關系式發展到求一般結論；在第15題的選做題中，不等式選做題由解不等式發展到求參數a的范圍問題；幾何證明題融合了許多基本的基礎知識，突出推理能力；參數方程與極坐標題的幾何背景清楚，也向綜合應用方向發展，即就是說，選考內容明顯地增加了試題的思維難度，但運算量均不大，難度也相當。新課程里的新增內容，框圖、三視圖、定積分與幾何概率、合情推理、概率與統計，以及選做題里的三個試題的設計，完全吻合于陜西考試說明的界定。傳統知識的設計也做了一定的調整，在保證主干的同時，盡量覆蓋常用的數學知識與方法，特別是對數列解答題的設計，回避了以往考查遞推數列的熱點，降低了難度。四、知識交匯對傳統的二項式定理考查的第4題，也融入了指數函數及其指數運算；第6題的算法框圖問題，將數求和的基本框圖緊密地與算術平均值進行結合，不落俗套；第7題交匯了集合、三角函數、絕對值、復數和不等式等知識；第11題在考查了函數的復合運算的基礎上，也融合了簡單的積分運算和解方程等思想方法，將定積分與幾何概率自然地融合在一起，雖是一道小題，但體現了數學大知識——積分；第12題一元二次方程的整數解里整合了充要條件；第19題集函數、切線、數列通項與求和于一體；第21題將函數、導數與不等式的綜合運用考查到了極致！五、復習方略

2011年陜西高考理科數學試題對我們有以下三點啟示：第一點啟示：18題余弦定理的證明方法多樣,不只局限于課本中的向量方法,在教學中如果能按新課程的教學理念組織學生認真研究,從各種不同的角度提出解決問題的方法并給以解決,學生應該可以很好地解決此題,但事實上我們很多的課堂是對此一帶而過,直奔定理的應用,這是典型的應試教育教學方式,是對數學證明中追求理性精神的背叛。該題再一次提醒我們教學要回歸教材,教學要讓學生經歷一個從提出問題到解決問題再回到應用所學知識解決問題的完整的過程,不能只注重知識的應用而忽視知識發生、發展的過程。這提示我們在以后的教學中要注重基本知識的學習,淡化技巧的演練,回歸到數學學習的原點,讓學生在數學學習過程中要感受到數學學習帶給他們追求理性精神的快樂，而不是做題、做題、再做題，帶給學生的痛苦與無助。第二點啟示：解析幾何問題考查的知識與方法到位，但運算量明顯下降，這樣命題，對于今后減輕學生過重的學業負擔提出一個很好的解決方法。這提示我們要回歸教材,注重通性通法，淡化方法技巧，避免繁瑣的運算，使學生真正從題海戰術中解放出來。如果連教材都不能讀懂、理解、吃透，卻整天忙于搞題海戰術，那勢必會舍本逐木、事倍功半，“即使在耗費大量時間后掌握了一些方法技巧，但遺憾的是這些技巧一般是命題者要刻意回避的，因為高考要考查的是考生對教材的領悟和把握，是考生的知識體系和能力結構，是考生對通性通法的理解和掌握”。第三點啟示：據不完全統計，不少試題源于課本而高于課本，如第17題解析幾何第一問“求軌跡方程”來源于選修2-1第三章圓錐曲線與方程閱讀材料2中“圓與橢圓”，第二問求弦長與選修2-1習題3-4A組第7題相同；第18題敘述并證明余弦定理既為必修五第二章解三角形第1節內容，又是必修四第二章第5節從力做的功到向量的數量積中的例2；第20題概率題的背景與選修2-3復習題二第2題一致等。張奠宙教授曾告訴我們“記憶通向理解，速度贏得效率，嚴謹形成理性，重復依靠變式”，這些都提示我們在復習過程中要緊扣考綱要求，不失時機地回歸教材，堅持“以本為綱、抓綱務本”，加強對典型例題、習題及變式問題的過手復習，盡可能地實現課本資源利用的最大化，深入研究每一道例（習）題，做到將例題、習題“變化”，鞏固“雙基”；將例題、習題“類化”，展現通性通法；將例題、習題“一般化”，培養思維的概括能力；將例題、習題“深化”，培養思維的廣闊性和深刻性等；從學生思維發展的最近點出發，引領學生深刻理解課本知識，強化知識重點、彌補知識弱點和盲點，挖掘教材所蘊含的數學思想、數學方法和數學精髓，更有效地促進學生數學知識網絡和方法體系的構建，使知識和能力產生良性遷移，達到弄通一題帶動一串之效果，進而摒棄題海戰術，提高課堂教學效益，提高教學質量，更有效地提高學生的復習效率。另外對于教材中的基本概念、性質、限制條件、圖形等基礎知識要細讀，尤其要重視教材中的“閱讀材料”、“課題學習”、“探究活動”、“問題與思考”、“注意”等的復習，不能在復習中留下盲點。今年的陜西省高考數學試卷，沖破了傳統的命題組卷模式的束縛，探索了新的試卷結構，這對市場流行的模擬卷是一次致命的打擊，有利于引導高三數學教學回歸課本，回歸基礎——基本知識、基本技能、基本思想方法，基本活動經驗；對立體幾何試題與解析幾何試題命制的大膽嘗試，力求降低運算量，彰顯空間想象能力和坐標思想、向量方法的考查，體現了學科知識的本質，與課標的基本要求接軌。考題“敘述并證明余弦定理”的出現，有利于引導復習教學回歸課本，重視教材，挖掘教材。獨具匠心的新穎題、經典題、應用題、綜合題，把課改的理念——旨在培養學生分析問題和解決問題的能力和運用數學的能力落在實處。總之，2011年的陜西省數學試題，通過新穎靈活的謀篇布局，真正實現了“多想少算”，全卷沒有一道較大運算量的試題，但思維量較過去的試題有較大的提升