數學必修三知識點歸納演講人：-11CONTENTS集合與函數概念基本初等函數與函數應用導數概念及運算法則導數在函數研究中應用三角函數與恒等變換解三角形與平面向量初步目錄集合與函數概念PART集合的定義集合是數學中的基本概念，是由一些確定的、不同的元素所組成的整體。集合的表示方法常用大寫字母表示集合，如A、B、C等，元素用小寫字母表示，如a、b、c等。常用表示方法有列舉法、描述法和區間表示法。集合的性質集合具有確定性、無序性和互異性。集合及其表示方法集合的包含關系若集合A的所有元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。集合間基本關系與運算集合的交、并、補運算交集是指兩個集合中都有的元素組成的集合；并集是指兩個集合中所有元素組成的集合；補集是指全集中不屬于某個集合的元素組成的集合。集合的運算性質滿足交換律、結合律、分配律等基本性質。函數是一種特殊的二元關系，表示一個變量與另一個變量之間的依賴關系。函數的定義函數通常用解析式、圖像和表格等方式表示。函數的表示方法包括定義域、值域、單調性、奇偶性等。函數的性質函數及其性質回顧0203形如y=x^a（a為常數）的函數，其中a為冪指數。冪函數形如y=log_a(x)（a>0且a≠1）的函數，其中a為底數，x為真數。對數函數形如y=a^x（a>0且a≠1）的函數，其中a為底數，x為指數。指數函數包括正弦函數、余弦函數、正切函數等，具有周期性、奇偶性等性質。三角函數常用初等函數介紹02基本初等函數與函數應用PART指數函數y=ax（a>0，a≠1）是一種重要的基本初等函數，表示自變量x的a次冪。指數函數具有增長性、乘法定理、冪的運算性質等特性，在自然科學、工程技術等領域有廣泛應用。指數函數對數函數y=logax（a>0，a≠1）是指數函數的反函數，表示以a為底數x的對數。對數函數具有運算性質、換底公式、對數函數的單調性等特性，在解決數學和實際問題中具有重要作用。對數函數指數函數與對數函數VS冪函數y=xα（α為常數）是一類重要的函數，包括二次函數、三次函數等。冪函數的圖像和性質隨著α的變化而變化，例如當α>0時，冪函數在(0,+∞)上是增函數；當α<0時，冪函數在(0,+∞)上是減函數。圖像特征冪函數的圖像通常經過原點，并且隨著α的變化而變化。當α為正整數時，冪函數的圖像是光滑的曲線；當α為負數時，冪函數的圖像會出現拐點或漸近線。冪函數冪函數及其圖像特征零點存在性定理如果函數在區間[a,b]上連續，且f(a)與f(b)異號，則函數在(a,b)內至少有一個零點。這個定理是尋找函數零點的重要方法，也是證明函數存在性的基礎。應用函數零點存在性定理及應用零點存在性定理可以用于解決方程的解的存在性問題，也可以用于證明一些數學命題。例如，可以利用零點存在性定理證明介值定理、最大值最小值定理等。02函數模型及其應用舉例應用舉例函數模型在經濟學、物理學、工程學等領域有廣泛應用。例如，在經濟學中，可以利用函數模型描述供需關系、成本效益等；在物理學中，可以利用函數模型描述運動規律、電磁場分布等。函數模型函數模型是描述現實世界中變量之間關系的重要工具。通過建立函數模型，我們可以更好地理解現象的本質和規律，并進行預測和控制。03導數概念及運算法則PART導數定義導數表示函數在某一點的變化率，是函數局部性質的描述。具體定義為：設函數y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義，若極限lim(Δx→0)[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx存在，則稱此極限為f(x)在x0處的導數，記作f'(x0)或df(x0)/dx。幾何意義函數在某一點的導數即為該點處切線的斜率，反映了函數在該點附近的變化趨勢。導數定義和幾何意義對數函數若f(x)=log_a(x)（a>0且a≠1），則f'(x)=1/(x*lna)。特別地，當a=e時，f'(x)=1/x。常數函數若f(x)=c（c為常數），則f'(x)=0。冪函數若f(x)=x^n（n為實數），則f'(x)=nx^(n-1)。指數函數若f(x)=a^x（a>0且a≠1），則f'(x)=a^x*lna。特別地，當a=e時，f'(x)=e^x。基本初等函數導數公式復合函數求導法則若y=f(u)，u=g(x)，則dy/dx=dy/du*du/dx，即復合函數的導數等于內層函數導數與外層函數導數之積。隱函數求導法則對于無法顯式表示為y=f(x)的隱函數，可通過對方程兩邊同時求導來求解dy/dx。復合函數、隱函數求導法則高階導數概念及計算高階導數計算可通過逐次求導或利用已知的高階導數公式進行計算。高階導數反映了函數在高次逼近時的變化率，對于研究函數的性態具有重要意義。高階導數定義若f'(x)的導數存在，則稱f'(x)的導數為f''(x)，即二階導數；依次類推，可定義三階、四階等高階導數。04導數在函數研究中應用PART導數與函數單調性的關系在一個區間內，若函數的導數大于0，則函數在該區間內單調遞增；若函數的導數小于0，則函數在該區間內單調遞減。利用導數判斷函數單調性的步驟1.求出函數的導數；2.判斷導數在給定區間內的符號；3.根據導數的符號確定函數的單調性。利用導數判斷函數單調性VS通過求解一階導數為0的點（駐點）以及不可導點，來確定函數的極值點，并結合二階導數的符號來判斷是極大值還是極小值。利用導數求函數最值在閉區間上，函數的最大值和最小值必然在區間端點或駐點處取得，因此可以通過比較這些點的函數值來確定函數的最值。利用導數求函數極值利用導數求函數極值和最值曲線在某點的切線斜率等于該點處的導數值。切線斜率已知切點(x0,f(x0))和切線斜率（即導數f'(x0)），可以利用點斜式方程y-y0=k(x-x0)求出切線方程。切線方程曲線在某點切線方程求解通過導數的符號和大小，可以判斷函數圖像的升降、凹凸以及拐點等特征，從而較為準確地繪制出函數圖像。導數在函數圖像繪制中的應用結合一階導數和二階導數的性質，可以全面分析函數的單調性、極值點、拐點以及函數圖像的凹凸性等，進而深入理解函數的本質特征。利用導數分析函數性態函數圖像繪制和分析05三角函數與恒等變換PART通過坐標系中任意角與單位圓的交點，定義正弦、余弦、正切等三角函數。任意角三角函數定義包括定義域、值域、周期性和奇偶性等。三角函數的基本性質如30°、45°、60°等特殊角度的三角函數值。特殊角的三角函數值任意角三角函數定義及性質0203平方關系如sin2θ+cos2θ=1等，揭示同一角度下不同三角函數之間的關系。同角三角函數基本關系式02商數關系如tanθ=sinθ/cosθ等，通過商數關系可以方便地求出其他三角函數值。03互補角關系如sin(90°-θ)=cosθ等，揭示互補角之間三角函數的關系。誘導公式和兩角和與差公式誘導公式通過誘導公式可以將任意角度的三角函數轉化為已知角度的三角函數，從而簡化計算。兩角和與差公式如sin(α+β)、cos(α+β)等，揭示兩個角度和或差的三角函數與單個角度三角函數之間的關系。和差化積公式將兩角和與差的三角函數轉化為單個角度的三角函數乘積形式。圖像變換通過平移、伸縮等變換，可以得到不同三角函數的圖像及其性質。三角函數的單調性研究三角函數在不同區間內的單調性，有助于確定函數的增減趨勢。三角函數的最值通過分析三角函數圖像，可以確定函數在給定區間內的最大值和最小值。三角函數的對稱性三角函數具有周期性對稱特點，通過研究對稱性可以更好地理解函數圖像和性質。三角函數圖像和性質分析06解三角形與平面向量初步PART正弦定理應用利用正弦定理解決已知兩角一邊求另一邊或一角的問題，如測量山峰高度、航海問題等。余弦定理應用正弦定理和余弦定理應用借助余弦定理求解三角形任意一邊長度或角度，適用于已知兩邊及其夾角的情況，如計算物理中的力的合成等。02三角形面積公式S=1/2*a*b*sinC，其中a、b為兩邊長度，C為兩邊夾角。求解方法根據已知條件，利用三角形面積公式求解三角形面積，或結合其他公式（如正弦定理、余弦定理）求解未知量。三角形面積公式及求解加法、減法、數乘，以及向量共線、平行、垂直等關系的判斷。向量運算在直角坐標系中，向量可用坐標表示，方便進行計算和求解。向量坐標表示具有大小和方向的量，在平面內可用有向線段表示。平面向