幾何圖形初步訓練（3類易錯+5類壓軸）

01思維導圖

目錄

易錯題型一分類討論思想在線段的計算中的易錯.................................................1

易錯題型二分類討論思想在角的計算中的易錯...................................................5

易錯題型三分類討論思想在旋轉中求角的多解易錯...............................................8

壓軸題型一線段上動點定值問題...............................................................12

壓軸題型二線段上動點求時間問題.............................................................19

壓軸題型三幾何圖形中動角定值問題...........................................................25

壓軸題型四幾何圖形中動角數量關系問題......................................................31

壓軸題型五幾何圖形中動角求運動時間問題....................................................36

02易錯題型

易錯題型一分類討論思想在線段的計算中的易錯

例題：（23-24七年級下?廣東汕頭?期末）已知線段48=5,點C是48所在的直線上的點，BC=2,則/C

的長為—.

【答案】3或7

【知識點】線段的和與差

【分析】本題考查線段的和差計算，分類討論：當點C在線段N2上時，AC=AB-BC；當點C在線段48

的延長線上時，AC=AB+BC,分別進行求解即可.

【詳解】解：當點C在線段N8上時，如圖，

VBC=2,AB=5,

AC=AB-BC=5-2=3；

IlI

ACB

當點C在線段的延長線上時，如圖，

???BC=2.,AB=5,

：.AC=AB+BC=5+2=7,

I||

ABC

綜上所述，4。的值為3或7,

故答案為：3或7.

鞏固訓練

1.（23-24六年級下?山東煙臺?期末）已知B,C是同一直線上的三點，若4B=8cm,8c=4cm,點M

是線段/C的中點，則線段NM的長為.

【答案】2ctn或6cm

【知識點】線段中點的有關計算、線段的和與差

【分析】本題主要考查兩點間的距離，熟練掌握中點的性質是解題的關鍵.應考慮到位置關系的多種可能

性，即可得到答案.

【詳解】解：①當點C在線段48的延長線上時，止匕時/C=/B+8C=12cm,

??,點M是線段/C的中點，

AMAC=6cm；

2

②當點C在線段48上時，此時/C=48-8C=4cm,

???點M是線段NC的中點，

NM=Lc=2cm.

2

故答案為：2cm或6cm.

2.（23-24七年級上?江蘇鹽城?階段練習）如圖，有公共端點P的兩條線段〃尸，NP組成一條折線

M-P-N,若該折線M-P-N上一點。把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個點。叫做這條折線的

“折中點”，已知。是折線N-C-3的“折中點”,E為線4C的中點，。=1,CE=3,則線段3c的長為

【答案】4或8/8或4

【知識點】線段的和與差、線段中點的有關計算

【分析】本題考查了兩點間的距離，中點的定義，解決本題的關鍵是根據題意畫出兩個圖形進行解答?根

據題意分兩種情況畫圖解答即可得出答案.

【詳解】解：①如圖，

?點D是折線A-C-B的“折中點”,

/.AD=DC+CB,

,??點E為線段4。的中點，

/.AE=EC=—AC=3,

2

:.AC=6,

AD=AC-DC=5,

DC+BC=5,

②如圖，

,/CD=1,CE=3,

???點。是折線N-C-3的“折中點”,

:.BD=DC+CA

,?,點E為線段ZC的中點，

AE=EC=-AC=3,

2

AC=6,

:.AC+DC=1,

BD=7,

:.BC=BD+DC=8.

綜上所述，的長為4或8.

故答案為：4或8.

3.（23-23七年級上?黑龍江哈爾濱?開學考試）已知線段28=12,在線段4B上有一點C,且5c=3,點M

是線段/C的一個三等分點，點N為線段8c的中點，則線段的長為.

【答案】8.5或3.5或7.5或4.5

【知識點】線段之間的數量關系、線段中點的有關計算、線段的和與差

【分析】本題主要考查線段中點，〃等分點的計算，根據題意，圖形結合分析，線段的和差運算即可求解,

掌握線段中點的計算方法是解題的關鍵.

【詳解】解：點C在點3右邊，點M是靠近點A的三等分點，如圖所示，

IIIII

AMBNC

.?.4C=AB+BC=12+3=15,

???AM=-AC=-x\5=5

331

BM=AB-AM=12-5=7,

13

：.BN=-BC=-,

22

3

;.MN=BM+BN=”一=85；

2

點M是靠近點5的三等分點，如圖所示，

?iiii

AMBNC

22

,-.=AM=-AC=-x15=10,

33

3

：.BM=AB-AM=12-10=2,BN=—,

2

3

:.MN=2—=35；

2

當點。在點3的坐標，點M是靠近點A的三等分點，如圖所示，

Ilill

AMCNB

：.AC=AB-BC=n-3=9,

???AM=-AC=-x9=3

33f

3

：.CM=AC-AM=9-3=6,CN=—,

2

3

:.MN=CM+CN==6+-=7.5；

2

點M是靠近點。的三等分點，如圖所示,

??ill

AMCNB

22

.?.MAM=-AC=-X9=6,

33

3

：.CM=AC-AM=9-6=3,CN=~,

2

3

;.MN=CM+CN=3—=45；

2

故答案為：8.5或3.5或7.5或4.5.

易錯題型二分類討論思想在角的計算中的易錯

例題：（24-25七年級上?全國?課后作業）在同一平面內，若NBCU=50.5。，Z5OC=10°30\則240。的

大小是.

【答案】61。或40。

【知識點】幾何圖形中角度計算問題

【分析】本題考查了角的計算，分在2408的內部和外部討論即可.

【詳解】解：當OC在的內部時，

???/BOA=50.5°,ABOC=10。30',

??.NAOC=ZAOB-ZBOC=50.5°-10°30z=50°30r-10°30,=40°；

當OC在的外部時，

???/BOA=50.5°,ABOC=10。30',

：.ZAOC=ZAOB+ZBOC=50.5°+10。30'=50。30'+10。30'=61。；

故答案為：61。或40。.

鞏固訓練

1.（22-23七年級下?安徽淮南?開學考試）已知4408=50。，440c=40。，射線O河平分N3OC,則

ABOM=.

【答案】45。或5。/5。或45°

【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算

【分析】本題主要考查了角的和差、角平分的定義等知識點，掌握分類討論思想成為解題的關鍵.

先分兩種情況畫出圖形，再分別運用角的和差求得N3OC，然后根據角平分線的定義即可解答.

【詳解】解：如圖：ZAOB=50°,ZAOC=40°,

ZBOC=ZAOB-ZAOC=10°,

?.?射線ON平分ZBOC,

.-.ZBOM=-ZBOC=5°；

2

ZBOC=ZAOB+ZAOC=90°,

,射線CW平分NBOC,

："BOM=LNBOC=45。.

2

2.（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習）0C是從//O8的頂點。引出的一條射線，若408=80。,

ZAOB=2ZBOC,則ZAOC的度數是°.

【答案】40。或120

【知識點】幾何圖形中角度計算問題

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的有關計算，掌握數形結合以及分類討論思想成為解題的關鍵.

分。。在內部和外部兩種情況，分別畫出圖形，運用角的和差及已知條件計算即可.

【詳解】解：①如圖所示：當OC在內部時，

ZAOB=80°,NAOB=2ZBOC,

.-.Z.BOC=-ZAOB=40°,

2

ZAOC=ZAOB-ZBOC=80°-40°=40°；

②如圖所示：當在2408外部時，

?./。8=80。，ZAOB=2ZBOC,

.■.ZBOC=-ZAOB^40°,

2

ZAOC=ZAOB+ZBOC=80°+40°=120°.

綜上，/NOC的度數是40。或120。.

故答案為：40。或120.

3.（22-23七年級上?廣東茂名?期末）如圖，已知。C是/內部的一條射線，圖中有三個角：ZAOB,

/4OC和N2OC,當其中一個角是另一個角的兩倍時，稱射線0c為的“巧分線”.如果

ZMPN=60°,尸。是的“巧分線”，則/9）0=度.

/二/

OB

PN

【答案】20或30或40

【知識點】幾何圖形中角度計算問題

【分析】本題主要考查角的計算和理解能力.

分3種情況，根據“巧分線”定義即可求解.

【詳解】解：若NMPN=60。,尸。是的“巧分線”，則由“巧分線”的定義可知有三種情況符合題意:

①NNPQ=2ZMPQ,此時ZMPQ=|NMPN=20°；

②ZMPN=24MpQ,止匕時ZMPQ=|ZMPN=30°；

2

③NMPQ=2ZNPQ,此時ZMPQ=-ZMPN=40°；

故答案為：20或30或40.

易錯題型三分類討論思想在旋轉中求角的多解易錯

例題：（24-25七年級上?全國?期末）如圖①，點。在直線N5上，過。作射線00/80。=120。，三角板的

頂點與點。重合，邊。河與08重合，邊ON在直線4B的下方.若三角板繞點。按10。八的速度沿逆時針

方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第s時，直線ON恰好平分銳角N/OC（圖②）.

【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關計算

【分析】本題考查了角平分線的定義，解題的關鍵是分兩種情況進行討論，分別依據直線ON恰好平分銳角

//OC,得到三角板旋轉的度數，進而得到/的值.

【詳解】解：?.?Z50C=120°,

ZAOC=60°,

當直線CW恰好平分銳角N/OC時，如圖:

N3ON=』NNOC=30。,

2

此時，三角板旋轉的角度為90。-30。=60。,

:1=60°+10°=6；

當ON在NNOC的內部時，如圖:

三角板旋轉的角度為360。-90。-30。=240。，

.?1=240°+10°=24；

，/的值為：6或24.

故答案為：6或24.

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?廣東廣州?期末）在同一平面內，將兩副直角三角板的兩個直角頂點重合，并擺成如圖

所示的形狀.已知乙D=30。，/.E=60°,Z5=ZC=45°,若保持三角板4DE不動，將三角板/8C繞點/

在平面內旋轉.當時，/E/C的度數為一.

【知識點】三角板中角度計算問題、三角形內角和定理的應用

【分析】本題考查了三角板中角度計算問題及三角形內角和，根據題意畫出圖形，再根據角之間的關系結

合三角形內角和即可得出答案.

【詳解】解：當正〃47時，ABIDE,分以下兩種情況：

如圖1所示,

E

C

■：DE}\AC,NE=60°

圖1

ZEAC=ZE=60°；

如圖2所示,

ZCAB=90°

圖2

Z1=NCAB=90°

???ZE=60°

:.NEAB=90°-NE=30°

ZEAC=ZEAB+ZCAB=30°+90°=120°

綜上所述，/E/C的度數為60。或120。

根據答案為：60。或120。.

2.（23-24七年級下?天津和平?期中）在數學研究中，觀察、猜想、實驗驗證、得出結論，是我們常用的幾

何探究方式.請你利用一副含有45。角的直角三角板A8C和含有30。角的直角三角板ADE嘗試完成探究.試

探索；保持三角板48c不動，將45。角的頂點與三角板ADE的60。角的頂點重合，然后擺動三角板8DE,

使得N4BD與N4BE中其中一個角是另一個角的兩倍，請寫出所有滿足題意的zN8E的度

數

圖3

【答案】20。或40。或60°或120°

【知識點】幾何圖形中角度計算問題、三角板中角度計算問題

【分析】本題考查的是角的和差運算.分四種情況分別畫出圖形，再結合角的和差運算可得答案.

【詳解】解：如圖，

?；NABD=2NABE,ZEBD=60°,

ZABE+60°=2ZABE,

：.ZABE=60°；

如圖，

???ZABD=2NABE,ZEBD=60°,

ZEBD=NABE+ZABD=3NABE=60°,

；.ZABE=20。,

如圖，

???ZABE=2ZABD,ZEBD=60°,

ZEBD=NABE+ZABD=NABE+-NABE=60°,

2

ZABE=40°,

如圖,

A

vAABE=2ZABD,AEBD=60°,

ZEBD=NABE-NABD=-NABE=60°,

2

NABE=120°,

綜上：N48E為20。或40。或60。或120。.

故答案為：20。或40。或60。或120。.

03壓軸題型

壓軸題型一線段上動點定值問題

例題：(23-24七年級上?全國?期末)如圖，已知直線/上有兩條可以左右移動的線段：AB=m,CD=n,且

加，〃滿足|加-4|+(〃-8『=0,點跖N分別為4民中點.

III_____________________________I__________I_________]/

AMBCND

⑴求線段的長；

(2)線段4B以每秒4個單位長度向右運動，線段8以每秒1個單位長度也向右運動.若運動6秒后，

MN=4,求此時線段3C的長；

(3)若BC=24,將線段CD固定不動，線段4B以每秒4個單位速度向右運動，在線段向右運動的某一

個時間段/內，始終有兒W+/。為定值.求出這個定值，并直接寫出/在哪一個時間段內.

【答案】(1)線段的長是4,線段CD的長是8

(2)16或8

⑶當7.5白49時，MV+AD為定值，定值為6

【知識點】線段中點的有關計算、絕對值非負性、與線段有關的動點問題、幾何問題(一元一次方程的應

用)

【分析】(1)根據非負數的性質即可得到結論；

(2)若6秒后，在點“左邊時，若6秒后，AT在點N'右邊時，根據題意列方程即可得到結論;

(3)根據題意分類討論于是得到結果.

【詳解】(1)解：?.?何-4|+(〃-8)2=0,

??.|m-4|=0,(“一8『=0,

.?.加=4,〃=8,

.?.45=4,CD=8,

即線段N3的長是4,線段CD的長是8；

(2)解：?.?42=4,CD=8,

.-.MB=-AB=2.,CN=-CD=4,

22

設運動后點新對應點為〃'，點N對應點為V,分兩種情況，

若6秒后，在N'的左側時：MN+NN'=MM'+MN,

.-.MB+BC+CN+NN'=MM'+M'N',即2+8C+4+6xl=6x4+4,

解得EC=16.

若6秒后，AT在V的右側時：MM'=MN+NN'+M'N',

.-.MM=MB+BC+CN+NN'+M'N',

即6x4=2+BC+4+6xl+4,

解得3c=8.

即線段BC的長為16或8；

(3)解：BC=24,AB=4,CZ)=8,

MN=BC+-AB+-CD=24+2+4=30,AD=BC+AB+CD=24+4+S=36,

22

,?,線段8固定不動，線段4B以每秒4個單位速度向右運動，

.?.運動/秒后，MN=|30-4f|,AD-136-4/|,

當0Q7.5時，MN+AD=30-4t+36-4t=66-St；

當7.5W/W9時，MN+AD=4t-30+36-4t=6；

當然9時，MN+AD=4t-30+4t-36=8t-66；

故當7.5W/W9時，AW+4D為定值，定值為6.

【點睛】本題考查非負數的性質，一元一次方程的應用，線段的和差關系，以及數軸上的動點問題，解題

的關鍵是掌握分類討論思想.

鞏固訓練

1.(23-24七年級上?江蘇南通?階段練習)如圖，8是線段4D上一動點，沿/-。”的路線以2cm/s的

速度往返運動1次，C是線段5。的中點，月。=10cm,設點3的運動時間為ts(04t<10).

IIII

ABCD

(1)當f=2時，則線段N3=cm,線段CD=cm；

(2)當t為何值時，AB=CD2

(3)點3從點A出發的同時，點E也從點A出發，以acm/s(0<a<2)的速度向點。運動，若當運動時間f滿

足0V/V5時，線段EC的長度始終是一個定值，求這個定值和。的值.

【答案】⑴4；3

⑵至5或2爭5

(3)。=1,定值為5

【知識點】線段的和與差、線段中點的有關計算、整式加減中的無關型問題

【分析】本題考查線段動點問題，線段中點性質，線段和差關系

(1)根據y2可求出N8的長以及5c的長，再由C是線段AD的中點，即可求得；

(2)分情況討論，當月一。時，存在48=CD；當O—/時，存在48=CD,考慮兩種情況即可；

(3)根據點8和點E的速度，可以大概畫出示意圖，從而表示出線段EC,即可求得.

【詳解】(1)解：,.?4D=10cm,點8以2cm/s的速度運動，

t=2時，AB=4cm,BD=6cm,

???C是線段的中點，

BC=CD=3cm

故答案為：4,3

(2)解：是線段8。的中點，

BC=CD==BD,

2

AB=CD,

：.AB=BC=CD,

???3Z5=10,AB=CD=—cm,

3

當點8從時，

,10o5,、

t=——4-2=—(s)

33V7

當點3從Of4時，

,點5沿的路線需要(10+10)+2=10(s)

故”叫5后?⑸S

綜上所述，當E為35s或亍25s時，AB=CD.

(3)解：如圖,

由題意得：點E的速度是acm/s,點5速度為2cm/s

0<a<2,

???點5在點E右側，

由題意可知AB=2t,AE=at,BD=10-2Z

?,.EB=2t-at

???C是線段AD的中點

BC==BD=5-1

2

即EC=EB+BC=2t-at+5-t

???線段EC的長度始終是一個定值

EC=(1-+5

故1-。=0解得a=l,定值為5

I||II

AEBCD

2.(23-24七年級上?江蘇泰州?期末)【背景知識】

數軸是重要的數學學習工具，利用數軸可以將數與形完美結合.已知結論：數軸上點48表示的數分別為

a、b,則43兩點之間的距離43=|。-耳；線段N8的中點表示的數為等.

【知識運用】

(1)點48表示的數分別為。、b,若。與-g互為倒數，6與-7互為相反數.則48兩點之間的距離為

;線段N3的中點表示的數為

【拓展遷移】

（2）在（1）的條件下，動點尸從點A出發以每秒3個單位的速度沿數軸向左運動，動點。從點3出發以

每秒5個單位的速度沿數軸向左運動，點M是線段尸。的中點.

①點M表示的數是（用含/的代數式表示）；

②在運動過程中，點4P、。中恰有一點是另外兩點連接所得線段的中點，求運動時間入

③線段尸0、N"的長度隨時間/的變化而變化，當點。在點尸左側時，是否存在常數掰，使加尸0+/M為

定值？若存在，求常數附及該定值；若不存在，請說明理由.

74

【答案】（1）12；1；（2）①1-4/；②1.5或亍；③存在，m=-2,此時定值〃?尸。+加/=18.

【知識點】數軸上兩點之間的距離、線段中點的有關計算、數軸上的動點問題

【分析】（1）根據題意，求出。、b,再根據結論解答即可求解；

（2）①根據題意，表示出f秒后點P、。表示的數，再根據線段中點計算公式求解即可；

②根據線段中點計算公式分三種情況解答即可求解；

③根據兩點之間的距離公式求出尸0、AM,得到加尸。+/"=（2加+4卜-12加-6,當2加+4=0時即可求出

常數加的值，進而求出定值.

【詳解】解：（1）?."與互為倒數，方與-7互為相反數，

a——5,6=7,

.?.^B=|-5-7|=12；

線段N8的中點表示的數為受J=l；

故答案為：12；1；

（2）①t秒后，點P表示的數為-5-3f,點。表示的數為7-5/,

???點M是線段尸。的中點，

???點M表示的數是；"=1-書,

故答案為：l-4f；

②當點尸為4。中點時,則2（-5-3/）=7-5/-5,

解得/=-12,不合，舍去；

當點A為尸、。中點時，則2x（-5）=-5-3/+7-5/,

解得1=1.5；

當點。為尸、/中點時，則2x（7-5t）=-5-3/5,

解得"寧24；

24

???運動時間t的值為1.5或7；

③當點。在點尸左側時，P0=-5-3、（7-5/）=2/12,NM=-5-（l-?）=4-6,

mPQ+AM=Z?J（2Z-12）+4Z-6=（2m+4）Z-12m-6,

當2機+4=0時，

/.m=—2,

止匕時，定值〃/Q+/M=-12x（-2）-6=18.

【點睛】本題考查了數軸上兩點間的距離計算公式，線段中點計算公式，掌握兩點間的距離計算公式和線

段中點計算公式是解題的關鍵.

3.（23-24七年級上?江蘇泰州?階段練習）【閱讀材料】若數軸上兩點/、8所表示的數分別為。和6（點/

在點8的左側），則有①/、8兩點的中點表示的數為笠^；②N、8兩點間的距離為48=6-。.

【解決問題】

數軸上兩點42所表示的數分別為a和人且滿足|。+2|+伍-8『=0,

（1）直接寫出/、3兩點的中點C表示的數為:

（2）若數軸上有一點D,且/。+2。=16,則點。在數軸上對應的數為；

【拓展思考】

若數軸上兩點/、3所表示的數分別為。和b（點/在點5的左側），點C為線段N5上一點（點。不與4

B重合），當/C:BC=1:2時，稱點C為線段N3的左三等分點；當/C:8C=2:1時，則稱點C為線段N8

的右三等分點.

（3）①如圖，若點C為線段N8的左三等分點，則點C表示的數為：;（用含a、b的代數式表示），

ACB

11

-------a------------------------1-b---------------?

②在【解決問題】（1）的條件下，點廠以每秒1個單位的速度從原點。出發向右運動，同時，點M從點/

出發以每秒3個單位的速度向左運動，點N從點2出發，以每秒6個單位的速度向右運動，點尸為線段〃尸

的左三等分，點0為ON的中點.設運動時間為/秒，試探究下列結論：隨著，的變化，是否存在加，使得

河+。尸-機尸。的值為定值，若存在，求出加的值，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)3(2)-5或11；(3)①+②存在，加=］，理由見解析

【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、線段中點的有關計算、數軸上的動點問題、絕對值非負性

【分析】本題考查了數軸上兩點間距離，數軸上線段的中點對應的數的表示，數軸上動點的問題，絕對值

得非負性的應用，一元一次方程的應用，熟練利用一元一次方程解決數軸上動點問題是解題關鍵.

(1)利用絕對值，乘方的非負性求出a,b值的大小再利用題中給出的方法求出結果即可；

(2)由題意可知，。點可能在N點左側，也可能在2點右側，根據/。+8。=16列出方程求解即可；

(3)①設C點為他，則NC為〃?-。，BC^jb-m,根據點C為線段N8的左三等分點，列式結算即可；②

45

由題意得，,N:S+6t,F:t,。：4+3%,得出AW=%+10,OF=t,

PQ=g+果根據跖的值為定值，進行求解即可.

【詳解】解：?.?卜+2|+僅一8)2=0,

「.〃+2=0-且b—8=0,

/.a=—2,b=8,

■-A,8兩點的中點表示的數為*=^^=3,

故答案為：3；

(2)設點。表示的數為x,

■：AD+BD=16

當點。在點N左邊時，-2-x+8-x=16,

解得：x=-5,

當點。在點3右邊時，x-(-2)+x-8=16,

解得：x=ll,

點為-5或11；

(3)①設C點為機，則4c為"?-a,BC為b-m,

???點C為線段AB的左三等分點，

AC:BC=(僅一a):(b-優)=1:2,

b-m=2(m-a),

角牟得加+g,

???點C表示的數為

②存在.理由如下：

45

由題意得，M:-2-3t,N:8+6%,F:t,P:-飛一個,Q:4+3t,

:.MN=9t+10OF=t,PQ=—t+—,

f33

MN+OF-mPQ=^10-^-+10-^-m,

???隨著，的變化，上式的值為定值，

1415

/.10--m=0解得加="y.

壓軸題型二線段上動點求時間問題

例題：（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習）【新知理解】如圖①，點C在線段上，圖中共有三條

線段48、/C和5C,若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段的“巧

點”.

（1）線段的中點這條線段的“巧點”（填“是”或“不是”）；

（2）若48=12cm,點C是線段48的巧點，則NC最長為cm；

【解決問題】

（3）如圖②，已知48=12cm,動點尸從點A出發，以2cm/s的速度沿48向點3勻速移動；點。從點5出

發，以lcm/s的速度沿8/向點A勻速移動，點P、。同時出發，當其中一點到達終點時，運動停止，設移

動的時間為1s）.當/為何值時，P為A、。的巧點？說明理由.

III

ACB

圖①

??

AB

圖②

??

AB

圖②備用圖

??

AB

圖②備用圖

1212

【答案】（1）是；（2）8；（3）當/為3s或萬s或gs時，尸為A、。的巧點

【知識點】幾何問題（一元一次方程的應用）、與線段有關的動點問題、線段的和與差、線段中點的有關計算

【分析】本題考查了線段的相關計算，與線段有關的動點問題，一元一次方程的應用.

（1）根據“巧點”的定義解答即可；

2

（2）點C為線段的巧點，則工。最長時，滿足/C=2BC,即=即可求解;

（3）根據“巧點”的定義，分為/尸=2P0或尸0=2N尸或4>=尸。，三種情況，分別計算即可求解.

【詳解】（1）解：???點C在線段N5上，點。為線段46的中點，

AB=2AC,

.??點C是線段48的的“巧點”，

故答案為：是.

（2）解：點C在線段N5上，點C為線段的巧點，

???則/C最長時，滿足/C=23C,

2

即

/.AC-8cm,

故答案為：8.

（3）解：f秒后，AP=2t,AQ=12—/,PQ=AQ—AP=12—/—2/=12—3f,

為A、0的巧點

.?.42=2尸0或2。=24尸，或NP=P。，

當4P=2尸。時，2t=2（12-3。，

解得：t=3,

當尸0=24?時，12-3f=2x2t,

解得："（12

當/P=P。時，12-3f=2f,

解得：/=?12,

1212

二當才為3s或7s或《s時，P為A、。的巧點.

鞏固訓練

1.（23-24七年級上?陜西咸陽?期末）【問題背景】如圖，尸是線段上一點，^5=18cm,C,。兩動點分

別從點尸，3同時出發沿射線AP向左運動，其中一點到達點/處即兩動點均停止運動.

【問題探究】（1）點C,。的速度分別是lcm/s,2cm/s

①若4P=8cm,當動點C,。運動了2s時，求CD的長度；

②若經過f秒，點C到達4尸中點時，點D也剛好到達AP的中點，求才的值；

【問題解決】（2）動點C,。的速度分別是lcm/s,3cm/s,點C,。在運動時，總有PD=34C,求/P的

長度.

ACPDB

9

【答案】(1)①8cm；②"3；(2)-cm

【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、與線段有關的動點問題、線段中點的有關計算

【分析】本題考查了線段上動點問題、線段中點的有關計算、一元一次方程的實際應用.

(1)①先根據線段的和差計算2尸，再根據運動時間得出CP、BD,然后根據線段的和差即可得出答案;

②先根據運動時間得出CP=t,BD=2t,再根據線段的中點得出AP=2CP,BP=2BD,然后根據AB=18歹

方程求解即可得出答案；

(2)設運動時間為乙則==況，得出AD=3尸C,再根據線段的和差及等量代換得出尸8=3/P,

從而得出答案.

【詳解】(1)①?."=18"=8

BP=AB-AP=10

C,D運動了2s

:.CP=2,BD=2x2=4

CD=CP+BP-BD=2+10-4=Scm；

②根據題意得，CP=t,BD=2t

???點C為4P的中點，點。為AP的中點

AP=2CP,BP=2BD

2t+2x2t=1S

t=3；

(2)設運動時間為則==

:.BD=3PC

???PD=3AC

:.PB=PD+BD=3PC+3AC=3(PC+AC)=3AP

19

...AP=-AB=-cm.

42

2.(24-25七年級上?吉林長春?階段練習)如圖，直線/上有/、B兩點,45=6,/上有兩個動點尸、Q.點

P從點/出發，以每秒g個單位長度的速度沿直線/向右運動，同時點。從點3出發，以每秒g個單位長度

的速度沿直線/向右運動.設運動時間為r(秒).

APBQC

-------------------------------------1-----------/

(1)請用含/的代數式表示線段總的長.

(2)當點3是線段尸。的中點時，求f的值.

(3)運動過程中，點P和點0能否重合？若能重合，幾秒后重合？

(4)運動過程中，線段尸。與線段/。的長度能否相等？若能相等請求出f值，若不能請說明理由.

【答案】⑴當/⑵時，PB=6一;f；當。⑵時，PB=gt—6

60

⑵了

⑶能重合，20

(4)Z=120s

【知識點】用代數式表示式、幾何問題(一元一次方程的應用)、數軸上兩點之間的距離、線段中點的有關計

算

【分析】(1)根據題意，點P每秒g個單位長度，點尸運動到點2需要用時間為6+g=12(s),當芯12s時，

f秒過后，點P運動的路程為g/,結合48=6,得1+P2=6,得到

PB=6-g；當心12s時，t秒過后，點尸運動的路程為夕，結合42=6,得4B+PB=P4,得至+%=

即必=、6.

(2)設點P、0出發f秒鐘后，點8是線段尸。的中點.根據題意得到等量關系：8尸=時列式計算即可；

(3)假設點尸、。出發，秒鐘后，點尸和點。重合，則42+3。=4尸，列式計算即可；

(4)需要分類討論：當點尸在點。左側和右側兩種情況下的f的值.

【詳解】(1)解：根據題意，點尸的速度為每秒1個單位長度，點P運動到點8需要用時間為

6+g=12(s),當/12s時，/秒過后，點尸運動的路程為?，

,/AB=6,

+PB=6,

2

：.PB=6--t；

2

當012s時，f秒過后，點尸運動的路程為gf,

AB=6,AB+PB=PA,

.-.6+PB=^t^PB^~t-6.

（2）解：根據題意，點尸每秒g個單位長度，點P運動到點8需要用時間為6+g=12⑸,

當芯12s時，/秒過后，點尸運動的路程為

AB=6,

+PB-6,

2

.-.PB=6--t；

2

???點0從點3出發，以每秒g個單位長度的速度沿直線/向右運動.

秒過后，點0運動的路程為=

??,點3是線段p。的中點.

BP=BQ,

解得f=j，

即點尸、0出發亍秒鐘后，點2是線段尸。的中點.

（3）解：假設點A。出發f秒鐘后，點尸和點。重合，則+=

,11

6H—t=-t.

52

解得：t=20；

故點尸、。出發20秒鐘后，點P和點0重合.

（4）解：當點尸在點。左側時，線段尸。與線段工。的長度不可能相等.

當點尸在點。右側時，設點尸、0出發f秒鐘后，線段尸。與線段的長度相等，根據題意，得

6+==L/6+”,

5215J

解得：?=120.

當f=120s時，線段P。與線段幺。的長度相等.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，線段的中點，線段的和差，數軸，列代數式，解題關鍵是要讀

懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解.

3.（22-23七年級上?江蘇宿遷?階段練習）如圖1,已知線段NE=48cm,點8、C、。在線段4。上，且

ABBC.CD:DE=.

AlE\

/>'

圖I圖2

⑴3C=cm,CD=cm.

（2）已知動點M從點A出發，以2cm/s的速度沿/-B-C-。-E向點E運動；同時動點N從點E出發，以

lcm/s的速度沿向點A運動，當點M到達點E后立即以原速返回，直到點N到達點A,運

動停止；設運動的時間為J

①求:為何值，線段的長為12cm；

②如圖2,現將線段/E折成一個長方形（點A、E重合），請問：是否存在某一時刻，以點A、B、

M、N為頂點的四邊形面積與以點C、D、M、N為頂點的四邊形面積相等，若存在，求出f的值；若不

存在，請說明理由.

【答案】（1）16,8

(2)①f=12s或20s或36s；②存在，t=Ss

【知識點】幾何問題（一元一次方程的應用）、線段n等分點的有關計算、與線段有關的動點問題

【分析】本題主要考查了與線段有關的動點問題，線段等分點的相關計算，列一元一次方程解決實際問題

等知識，解決問題的關鍵是弄清運動的過程和畫出圖形.

（1）根據比值列方程或直接列乘積式求得結果；

（2）①分為相遇前，相遇后以及M點返回三種情形，通過線段圖列方程求得；②分為相遇前（點M在

上，N在4。上），此時CM=/N即可列出方程求得，當加■點返回時，點河在4。上，點N在8c上，止匕

時/M=CN,列出方程求得，

21

【詳解】（1）解：8c=48x--------------=l6cm,CD=48x--------------=8。《,

1+2+1+21+2+1+2

故答案是：16,8；

48

（2）①當河、N第一次相遇時，，=m=16s,

48

當“到達￡點時，t=—=24s,

如圖1,

圖1

當0</<16時，21+12+，=48,

??t—12,

如圖2,

[112

當12<f<24時，2，-12+1=48,

."=20,

如圖3,

圖3

當24<f<48時，?=2?-48+12,

=36,

綜上所述：f=12s或20s或36s；

②如圖4,

/㈤

B

當0<，<16時,

由4N=CA/得，24-2/=/,

t=8,

如圖5,

當24Wf<32時，2t-48=1-24,

.?"=24,此時不構成四邊形，舍去

綜上所述：t=Ss.

壓軸題型三幾何圖形中動角定值問題

例題：(2023秋?湖南懷化?七年級統考期末)已知如圖CW是48OC的平分線，是//OC的平分線,

ZAOC=28°,ZCOB=42°

⑴求NMON的度數.

(2)當射線OC在乙4。3的內部線繞點。轉動時，射線。M、ON的位置是否發生變化？說明理由.

(3)在(2)的條件下，的大小是否發生變化？如果不變，求其度數；如果變化，說出其變化范圍.

【答案】(1)35。

(2)發生變化，理由見解析

⑶不變，ZMON=35°

【分析】(1)根據角平分線的定義得出/CON=l48OC,/COM=：//OC,進而根據

22

ZMON=ZCON+ZCOM=1(ZBOC+ZAOC)即可求解；

(2)根據乙40M=」NNOC,則0c轉動時同樣在動，同理ON也在動；

2

(3)根據(1)的結論即可求解.

【詳解】(1)解：???ON是40C的平分線，。河是乙40C的平分線，ZAOC=28°,ZCOB=42°

ZCON=-ZBOC,ZCOM=-ZAOC,

22

AMON=ZCON+ZCOM=；(ZBOC+zL4OC)=1(28°+42°)=35°

(2)解：-.-ZAOM^-ZAOC,

2

??.oc轉動時0M同樣在動，

同理ON同樣轉動；

(3)NMCW不變同樣35。；

解：當射線。。在N40B的內部線繞點。轉動時，

???ON是/30C的平分線，（W是乙4OC的平分線，ZAOC=28°,ZCOB=42°

ZCON=-ZBOC,ZCOM=-ZAOC,

22

ZMON=ZCON+ZCOM=；（Z8OC+ZAOC）=^（28°+42°）=35°.

【點睛】本題考查了角平分線的定義，幾何圖形中角度的計算是解題的關鍵.

鞏固訓練

1.（2022秋?陜西延安?七年級校考期末）已知乙403=110。，ZCOD=40°,OE平分NAOC,。尸平分

ZBOD.

（1）如圖，當03、OC重合時，求尸的值；

（2）若NCOD從上圖所示位置繞點O以每秒3。的速度順時針旋轉f