溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(五十九)一、選擇題1.過拋物線y=2x2的焦點的直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=()(A)-2 (B)-QUOTE (C)-4 (D)-QUOTE2.(2021·鄭州模擬)設拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是()(A)[-QUOTE,QUOTE] (B)[-2,2](C)[-1,1] (D)[-4,4]3.若以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形面積的最大值為1,則橢圓長軸的最小值為()(A)1 (B)QUOTE (C)2 (D)2QUOTE4.(2021·邢臺模擬)若點O和點F分別為橢圓QUOTE+QUOTE=1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,則QUOTE·QUOTE的最大值為()(A)2 (B)3 (C)6 (D)85.(2021·汕頭模擬)過雙曲線=1(a>0)右焦點F作一條直線,當直線斜率為2時,直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點;當直線斜率為3時,直線與雙曲線右支有兩個不同的交點,則雙曲線離心率的取值范圍為()(A)(QUOTE,5) (B)(QUOTE,QUOTE)(C)(1,QUOTE) (D)(5,5QUOTE)6.(力氣挑戰題)已知拋物線方程為y2=4x,直線l的方程為x-y+4=0,在拋物線上有一動點P到y軸的距離為d1,P到直線l的距離為d2,則d1+d2的最小值為()(A)QUOTE+2 (B)QUOTE+1 (C)QUOTE-2 (D)QUOTE-1二、填空題7.(2021·重慶模擬)過橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左頂點A且斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B,且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F,若QUOTE<k<QUOTE,則橢圓離心率的取值范圍為.8.(2021·長春模擬)設連接雙曲線QUOTE-QUOTE=1與QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的4個頂點的四邊形面積為S1,連接其4個焦點的四邊形面積為S2,則QUOTE的最大值為.9.過拋物線y2=2px(p>0)上確定點P(x0,y0)(y0>0)作兩直線分別交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2),當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時,則QUOTE的值為.三、解答題10.(2021·深圳模擬)已知橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率為QUOTE,短軸的一個端點為M(0,1).直線l:y=kx-QUOTE與橢圓相交于不同的兩點A,B.(1)若|AB|=QUOTE,求k的值.(2)求證:不論k取何值,以AB為直徑的圓恒過點M.11.(2021·銀川模擬)直線l與橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且橢圓的離心離e=QUOTE,又橢圓經過點(QUOTE,1),O為坐標原點.(1)求橢圓的方程.(2)試問:△AOB的面積是否為定值?假如是,請賜予證明;假如不是,請說明理由.12.(力氣挑戰題)已知橢圓x2+QUOTE=1的左、右兩個頂點分別為A,B.曲線C是以A,B兩點為頂點,離心率為QUOTE的雙曲線.設點P在第一象限且在曲線C上,直線AP與橢圓相交于另一點T.(1)求曲線C的方程.(2)設P,T兩點的橫坐標分別為x1,x2,證明:x1·x2=1.(3)設△TAB與△POB(其中O為坐標原點)的面積分別為S1與S2,且QUOTE·QUOTE≤15,求QUOTE-QUOTE的取值范圍.答案解析1.【解析】選D.由y=2x2得x2=QUOTEy,其焦點坐標為F(0,QUOTE),取直線y=QUOTE,則其與y=2x2交于A(-QUOTE,QUOTE),B(QUOTE,QUOTE),∴x1x2=(-QUOTE)·(QUOTE)=-QUOTE.【方法技巧】與動直線相關值的求解技巧解決動直線與圓錐曲線相交的有關值的選擇題、填空題,一般取其特殊位置探究其值即可.2.【解析】選C.設直線方程為y=k(x+2),與拋物線聯立方程組,整理得ky2-8y+16k=0.當k=0時,直線與拋物線有一個交點.當k≠0時,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1且k≠0.綜上-1≤k≤1.3.【解析】選D.設橢圓長半軸長為a,短半軸長為b,a2-b2=c2,由題意,QUOTE·2c·b=1,∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.∴a≥QUOTE.∴長軸的最小值為2QUOTE.4.【解析】選C,設P(x0,y0),則QUOTE+QUOTE=1即QUOTE=3-QUOTE,又∵F(-1,0),∴QUOTE·QUOTE=x0·(x0+1)+QUOTE=QUOTE+x0+3=QUOTE(x0+2)2+2,又x0∈[-2,2],∴(QUOTE·QUOTE)∈[2,6],所以(QUOTE·QUOTE)max=6.5.【思路點撥】結合圖象探究e滿足的關系即可.【解析】選B.由題意結合雙曲線的圖象可知漸近線的斜率k滿足2<k<3,所以4<k2<9?4<e2-1<9?QUOTE<e<QUOTE.6.【思路點撥】畫出圖象,通過圖象可知點P到y軸的距離等于點P到焦點F的距離減1,過焦點F作直線l的垂線,此時d1+d2最小,依據拋物線方程求得F的坐標,進而利用點到直線的距離公式求得d1+d2的最小值.【解析】選D.如圖所示,由拋物線的定義知,|PF|=d1+1,∴d1=|PF|-1,d1+d2=d2+|PF|-1,明顯當直線PF垂直于直線x-y+4=0時,d1+d2最小,此時d2+|PF|為F到直線x-y+4=0的距離.由題意知F點的坐標為(1,0),所以(d2+|PF|)min=QUOTE=QUOTE.∴(d1+d2)min=QUOTE-1.7.【解析】由題意知:B(c,QUOTE),∴k=QUOTE=QUOTE=1-e.又QUOTE<k<QUOTE,∴QUOTE<1-e<QUOTE,解得QUOTE<e<QUOTE.答案:(QUOTE,QUOTE)8.【思路點撥】將QUOTE用a,b表示,利用基本不等式求最值.【解析】S1=QUOTE·2a·2b=2ab,S2=QUOTE·2QUOTE·2QUOTE=2(a2+b2),QUOTE=QUOTE(a>0,b>0),∴QUOTE=QUOTE≤QUOTE(當且僅當a=b時取等號).答案:QUOTE9.【解析】設直線PA的斜率為kPA,PB的斜率為kPB,由QUOTE=2px1,QUOTE=2px0,得kPA=QUOTE=QUOTE,同理kPB=QUOTE,由于PA與PB的斜率存在且傾斜角互補,因此QUOTE=-QUOTE,即y1+y2=-2y0(y0>0),那么QUOTE=-2.答案:-210.【解析】(1)由題意知QUOTE=QUOTE,b=1,∴a=QUOTE,∴橢圓的方程為QUOTE+y2=1.由QUOTE得(2k2+1)x2-QUOTEkx-QUOTE=0.設A(x1,y1),B(x2,y2).則x1+x2=QUOTE,x1x2=-QUOTE.∴|AB|=QUOTE·|x1-x2|=QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE,化簡得23k4-13k2-10=0,即(k2-1)(23k2+10)=0,解得k2=1,∴k=±1.(2)∵QUOTE=(x1,y1-1),QUOTE=(x2,y2-1),∴QUOTE·QUOTE=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2-QUOTEk(x1+x2)+QUOTE=-QUOTE-QUOTE+QUOTE=0.∴不論k取何值,以AB為直徑的圓恒過M點.11.【解析】(1)∵QUOTE∴a=2,b=1,∴橢圓的方程為QUOTE+x2=1.(2)①當直線AB斜率不存在時,即x1=x2,y1=-y2,由已知m·n=0,得4QUOTE-QUOTE=0?QUOTE=4QUOTE,又A(x1,y1)在橢圓上,所以QUOTE+QUOTE=1?|x1|=QUOTE,|y1|=QUOTE,S△AOB=QUOTE|x1||y1-y2|=QUOTE|x1|·2|y1|=1,三角形的面積為定值.②當直線AB斜率存在時,設AB的方程為y=kx+t,由QUOTE?(k2+4)x2+2ktx+t2-4=0,必需Δ>0,即4k2t2-4(k2+4)(t2-4)>0,得到x1+x2=QUOTE,x1x2=QUOTE,∵m⊥n,∴4x1x2+y1y2=0?4x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,代入整理得:2t2-k2=4,S=QUOTE×QUOTE|AB|=QUOTE|t|QUOTE=QUOTE=QUOTE=1,所以三角形的面積為定值.12.【解析】(1)依題意可得A(-1,0),B(1,0).設雙曲線C的方程為x2-QUOTE=1(b>0),由于雙曲線的離心率為QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即b=2.所以雙曲線C的方程為x2-QUOTE=1.(2)設點P(x1,y1),T(x2,y2)(xi>0,yi>0,i=1,2),直線AP的斜率為k(k>0)(易知k存在),則直線AP的方程為y=k(x+1),聯立方程組QUOTE整理,得(4+k2)x2+2k2x+k2-4=0,解得x=-1或x=QUOTE,所以x2=QUOTE.同理可得x1=QUOTE.所以x1·x2=1.(3)由(2)得QUOTE=(-1-x1,-y1),QUOTE=(1-x1,-y1).由于QUOTE·QUOTE≤15,所以(-1-x1)(1-x1)+QUOTE≤15,即QUOTE+QUOTE≤16.由于點P在雙曲線上,則QUOTE-QUOTE=1,所以QUOTE+4QUOTE-4≤16,即QUOTE≤4.由于點P是雙曲線在第一象限內的一點,所以1<x1≤2.由于S1=QUOTE|AB||y2|=|y2|,S2=QUOTE|OB||y1|=QUOTE|y1|,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=(4-4QUOTE)-(QUOTE-1)=5-QUOTE-4QUOTE.由(2)知x1·x2=1,即x2=QUOTE.設t=QUOTE,則1<t≤4,QUOTE-QUOTE=5-t-QUOTE.設f(t)=5-t-QUOTE,則f′(t)=-1+QUOTE=QU