第29講尺規作圖與定義、命題、定理目錄TOC\o"1-2"\h\u題型過關練 2題型01尺規作圖-作線段 2題型02尺規作圖-作一個角等于已知角 3題型03尺規作圖-尺規作角的和、差 4題型04尺規作圖-過直線外一點作這條線的平行 5題型05尺規作圖-作三角形（含特殊三角形） 7題型06尺規作圖-作角平分線 9題型07尺規作圖-作垂直平分線 10題型08尺規作圖-作三角形的中線與高 11題型09尺規作圖-畫圓 12題型10尺規作圖-過圓外一點作圓的切線 13題型11尺規作圖-找圓心 13題型12尺規作圖-作外接圓 15題型13尺規作圖-作內切圓 15題型14尺規作圖-作圓內接正多邊形 15題型15尺規作圖-格點作圖 16題型16判斷是否命題 18題型17判斷命題真假 18題型18舉反例說明命題為假命題 19題型19寫出命題的逆命題 19題型20反證法證明中的假設 20題型21用反證法證明命題 20真題實戰練 21

題型過關練題型01尺規作圖-作線段1．（2023·山東青島·模擬預測）尺規作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知線段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．2．（2022·山東青島·青島大學附屬中學校考一模）已知：∠α，線段a．求作：矩形ABCD，使對角線的長為a，夾角為∠α．3．（2022·山東青島·統考二模）尺規作圖（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）如圖，已知線段MN=a，AR⊥AK，垂足為A．求作：⊙O，使⊙O4．（2023·新疆烏魯木齊·統考一模）下面是小李設計的“利用直角和線段作矩形”的尺規作圖過程．已知：如圖1，線段a，b，及∠MAN=90°．求作：矩形ABCD，使AB=a，AD=b．作法：如圖2，①在射線AM，AN上分別截取AB=a，AD=b；②以B為圓心，b長為半徑作弧，再以D為圓心，a長為半徑作弧，兩弧在∠MAN內部交于點C；③連接BC，DC．∴四邊形ABCD就是所求作的矩形．根據小李設計的尺規作圖過程，解答下列問題：(1)使用直尺和圓規，依作法補全圖2(保留作圖痕跡)；(2)完成下面的證明．證明：∵AB=DC=a，AD=_____________=b，∴四邊形ABCD是平行四邊形(_)(填推理的依據)．∵∠MAN=90°，∴四邊形ABCD是矩形(______________)(填推理的依據)．題型02尺規作圖-作一個角等于已知角5．（2019·河北·模擬預測）“經過已知角一邊上的一點作“個角等于已知角”的尺規作圖過程如下：已知：如圖（1），∠AOB和OA上一點C．求作：一個角等于∠AOB，使它的頂點為C，一邊為CA．作法：如圖（2），（1）在0A上取一點D（OD＜OC），以點O為圓心，OD長為半徑畫弧，交OB于點E；（2）以點C為圓心，OD長為半徑畫弧，交CA于點F，以點F為圓心，DE長為半徑畫弧，兩弧交于點C；（3）作射線CC．所以∠CCA就是所求作的角此作圖的依據中不含有（）A．三邊分別相等的兩個三角形全等 B．全等三角形的對應角相等C．兩直線平行同位角相等 D．兩點確定一條直線6．（2022·山東菏澤·校聯考模擬預測）已知：∠O及其一邊上的兩點A，B．求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且點C在∠O內部，∠BAC=∠O．7．（2022·陜西寶雞·統考二模）如圖，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．請用尺規作圖法，在AC邊上求作一點P，使∠PBC＝45°．（保留作圖痕跡．不寫作法）題型03尺規作圖-尺規作角的和、差8．（2022下·山東青島·七年級山東省青島市第五十七中學校考期中）已知∠α、∠β，求作∠AOB，使∠AOB=∠α?∠β．9．（2023下·山西晉中·七年級統考期中）如圖，已知∠α，∠β，求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β．（要求：在指定作圖區域用尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

10．（2020下·六年級校考單元測試）已知∠α、∠β，用尺規畫出∠AOB=2∠α-∠β．（不寫作法，標明字母） 11．（2023下·廣東佛山·七年級佛山六中校考階段練習）如圖，已知∠ABC及AB上一點A，(1)利用三角板，過點A作BC的垂線，垂足為點E，此時線段AE的長為點A到直線BC的距離．(2)尺規作圖（保留作圖痕跡）：利用尺規在BC下方以點B為頂點作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．題型04尺規作圖-過直線外一點作這條線的平行12．（2023·河北衡水·校聯考模擬預測）下面四個圖是小明用尺規過點C作AB邊的平行線所留下的作圖痕跡，其中正確的是（

）A． B．C． D．13．（2023·甘肅天水·統考一模）如圖，已知線段MN=a,AR⊥AK，垂足為a．（1）求作四邊形ABCD，使得點B，D分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//AB；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB,CD的中點，求證：直線AD,BC,PQ相交于同一點．14．（2022·湖南長沙·長沙市南雅中學校聯考一模）已知：如圖，直線l，和直線外一點P．求作：過點P作直線PC，使得PC∥l．作法：①在直線l上取點O，以點O為圓心，OP長為半徑畫圓，交直線l于A，B兩點；②連接AP，以點B為圓心，AP長為半徑畫弧，交半圓于點C；③作直線PC．直線PC即為所求作．根據尺規作圖，完成下面的證明：證明：連接BP．∵BC=AP，∴BC=∴∠ABP=∠BPC（________________________）（填推理依據），∴直線PC∥直線l（________________________）（填推理依據）．15．（2022·北京大興·統考二模）下面是小東設計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規作圖過程．已知：直線l和直線l外一點P．求作：直線PQ，使得PQ∥l作法：如圖，①在直線l上任取兩點A，B；②以點P為圓心，AB長為半徑畫弧，以點B為圓心，AP長為半徑畫弧，兩弧在直線l上方相交于點Q；③作直線PQ．直線PQ就是所求作的直線．根據小東設計的尺規作圖過程，(1)使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：∵PA=QB,AB=PQ，∴四邊形PABQ是平行四邊形（___________）（填寫推理的依據）．∴PQ∥AB（______________）（填寫推理的依據）．即PQ∥l題型05尺規作圖-作三角形（含特殊三角形）16．（2023·浙江臺州·統考一模）觀察下列尺規作圖的痕跡，不能判斷△ABC是等腰三角形的是（

）．A． B． C． D．17．（2021·安徽·統考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根據作圖痕跡，可知∠CBD=（

）A．80° B．60° C．45° D．50°18．（2020·山東東營·統考模擬預測）如圖是作ΔABC的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是（

）A．已知兩邊及夾角 B．已知三邊C．已知兩角及夾邊 D．已知兩邊及一邊對角19．（2019·甘肅蘭州·統考一模）已知：∠α，直線l及l上兩點A，B．求作：Rt△ABC，使點C在直線l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．20．（2021·吉林·統考一模）圖1.2是兩張形狀和大小完全相同的方格紙，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，線段AC的兩個端點均在小正方形的頂點上；（1）在圖1中畫出以AC為底邊的等腰直角△ABC，點B在小正方形頂點上；（2）在圖2中畫出以AC為腰的等腰△ACD，點D在小正方形的頂點上，且△ACD的面積為8.題型06尺規作圖-作角平分線21．（2021·山東青島·統考一模）已知∠α，線段a，求作：等腰△ABC，使得頂角∠A=∠α，BC上的高為a．22．（2023·吉林長春·校聯考一模）用尺規作一個角的角平分線，下列作法中錯誤的是（

）A． B．C． D．23．（2023·江蘇常州·常州實驗初中校考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規作圖得到的射線與AC交于點D，則以下推斷錯誤的是（

）A．BD=BC B．AD=BD C．∠ADB=108° D．CD=24．（2023·陜西·模擬預測）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．(1)作∠ACB的角平分線，交AB于點E（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：AD＝AE．25．（2023·甘肅酒泉·統考一模）如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥DC于點D．(1)用尺規作∠ABC的角平分線，交CD于點E；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)連接AE．求證：四邊形ABCE是菱形．題型07尺規作圖-作垂直平分線26．（2023·山東泰安·統考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通過尺規作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連接CD．若CE=13AE=1，則CD＝_____27．（2023·新疆烏魯木齊·烏魯木齊八一中學校考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，分別以點A，B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點M，N，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠CAD的度數為______28．（2022·遼寧沈陽·統考模擬預測）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，分別以點A，D為圓心，大于12(1)由作圖可知，直線MN是線段AD的________________．(2)求證：四邊形AEDF是菱形．題型08尺規作圖-作三角形的中線與高29．（2021·江西·校聯考模擬預測）如圖，在正方形網格中，△ABC的頂點均在格點上，請僅用無刻度直尺完成以下作圖．（保留作圖痕跡）（1）在圖1中，作△ABC的高AM；（2）在圖2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三條高所在的直線交于一點）30．（2022·浙江舟山·校考一模）在平面直角坐標系中，畫出點A0,2，點B4,0，點C與點A關于（1）連結AB、AC、BC，并畫出△ABC的BC邊上的中線AE．（2）求出△ABE的面積．31．（2022·陜西西安·統考一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，且CD=2BD，請用尺規作圖法，在邊AC上找一點P，使得△PAD的面積等于△BAD的面積（保留作圖痕跡，不寫作法）．題型09尺規作圖-畫圓32．（2022·福建·一模）如圖，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A<45°．(1)請作出經過A、B兩點的圓，且該圓的圓心O落在線段AC上（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）；(2)在（1）的條件下，已知∠BOC=α，將線段AB繞點A逆時針旋轉α后與⊙O交于點E．試證明：B、C、E三點共線．33．（2022·山東青島·校考二模）已知：△ABC．求作：⊙O，使它經過點B和點C，并且圓心O在∠A的平分線上，34．（2023·陜西西安·交大附中分校校考一模）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，請用尺規作圖求作⊙P，使點P在BC上且使⊙P與AC，AB都相切．（不寫作法，保留作圖痕跡）題型10尺規作圖-過圓外一點作圓的切線35．（2023·福建福州·閩清天儒中學校考模擬預測）如圖，點P是⊙O外一點，連接OP交⊙O于點I．(1)過點P作⊙O的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接AB，求證：點I是△ABP的內心．36．（2023·山東·統考一模）請用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．如圖，∠BAC=45°，D，E在AB上，作⊙O經過D，E兩點且與AC相切．題型11尺規作圖-找圓心37．（2023·廣西·統考三模）如圖，要把殘缺的圓片復原，可通過找到圓心的方法進行復原，已知弧上的三點A，B，C．

(1)用尺規作圖法，找出弧BC所在圓的圓心O；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在△ABC中，連接AO交BC于點E，連接OB，當AB=AC=10cm,BC=16cm時，求圖片的半徑R；(3)若直線l到圓心的距離等于25338．（2021·上海奉賢·統考三模）如圖，在單位長度為1的正方形網格中，一段圓弧經過網格的交點A、B、C．（1）請完成如下操作：①以點O為原點、網格邊長為單位長，建立平面直角坐標系；②根據圖形提供的信息，標出該圓弧所在圓的圓心D，并連接AD、CD．（2）請在（1）的基礎上，完成下列填空：①寫出點的坐標：C________、D________；②⊙D的半徑＝________；（3）求∠ACO的正弦值．題型12尺規作圖-作外接圓39．（2023·江西·統考二模）如圖，一個含有30°角的直角三角形內接于圓，點D是AC上的點，AD=2DC，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖．

(1)在圖1中作直角三角形的外心O；(2)在圖2中作直角三角形的內心H．40．（2022·福建龍巖·校聯考一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)作Rt△ABC的外接圓⊙O（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖形中，過點C作⊙O的切線CD，求證：∠A＝∠DCB．題型13尺規作圖-作內切圓42．（2023·陜西渭南·校考一模）如圖，已知△ABC，請用尺規作圖法作出△ABC的內切圓題型14尺規作圖-作圓內接正多邊形43．（2022·陜西·陜西師大附中校考模擬預測）如圖，已知AC為⊙O的直徑．請用尺規作圖法，作出⊙44．（2019·江蘇揚州·校聯考一模）如圖，已知等邊△ABC，請用直尺（不帶刻度）和圓規，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）（1）作△ABC的外接圓圓心O；（2）設D是AB邊上一點，在圖中作出一個等邊△DFH，使點F，點H分別在邊BC和AC上；（3）在（2）的基礎上作出一個正六邊形DEFGHI．45．（2018·山西太原·統考一模）已如：⊙O與⊙O上的一點A（1）求作：⊙O的內接正六邊形ABCDEF；（要求：尺規作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）（2）連接CE，BF，判斷四邊形BCEF是否為矩形，并說明理由．題型15尺規作圖-格點作圖46．（2023·吉林長春·校考模擬預測）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上，僅用無刻度的直尺，在給定的網格中，分別按要求畫圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中的AC邊上找一點D，連結BD，使得△ABD的面積等于△ABC面積的12(2)在圖②中的△ABC的內部找一點E，連結AE、BE，使得△ABE的面積等于△ABC面積的12(3)在圖③中的△ABC的內部找一點F，連結AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面積相等．47．（2023·江蘇鹽城·統考三模）如圖，在6×6的正方形網格中，A、B、C、D均為小正方形的頂點，請僅用無刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡．

(1)在圖1中作出AB邊上的點E，使得BE=4(2)在圖2中作出AC邊上的點F（不與點A重合），連接DF，使得DF=(3)在圖3中作出AB邊上的點G，使得tan∠48．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）用無刻度直尺作圖：

(1)如圖1，在AB上作點E，使∠ACE(2)如圖1，點F為AC與網格的交點，在AB上作點D，使∠ADF(3)如圖2，在BC上作點N，使CN=5(4)如圖2，在AB上作點M，使∠ACM題型16判斷是否命題49．（2022·河北衡水·校考模擬預測）如圖，已知直線l和直線l外一點P，下列說法不正確的是（

）A．過點P有且只有一條直線與直線l平行B．過點P有且只有一條直線與直線l垂直C．在連接點P和直線l上各點的線段中，與直線l垂直的線段最短D．過點P作直線l的垂直平分線，只能作一條50．（2022·廣東東莞·東莞市光明中學校考三模）以下不是命題的是（）A．角平分線上的點到角兩邊的距離相等 B．定理一定是真命題C．畫線段AB=5cmD．全等三角形對應角相等題型17判斷命題真假51．（2023·江蘇泰州·統考一模）下列4個命題中，真命題是（

）A．正五邊形是中心對稱圖形B．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形C．同位角相等D．函數y=1x中，y52．（2021·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學校考二模）命題“如果x=y，那么x253．（2023·湖南婁底·統考一模）下列命題中是假命題的是（

）A．同位角相等 B．單項式3aC．兩點之間線段最短 D．菱形的對角線互相垂直54．（2023·廣東深圳·校考模擬預測）下列命題是真命題的是（

）A．過一點有且只有一條直線與已知直線平行B．若三條直線a⊥c，bC．相等的弧所對的弦相等D．若一個數的立方根和平方根相同，那么這個數只能是055．（2022·北京海淀·校考模擬預測）下列命題中的假命題是（

）A．對角線互相平分的四邊形是中心對稱圖形B．有一個角是直角的平行四邊形是軸對稱圖形C．對角線互相垂直的平行四邊形是中心對稱圖形D．等邊三角形既是軸對軸圖形，又是中心對稱圖形題型18舉反例說明命題為假命題56．（2020·北京東城·二模）判斷命題“如果n<1，那么nA．12 B．?12 C．057．（2023·浙江寧波·統考一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于DA．△ACE和△BCE B．△C．△CDE和△BCD D．△58．（2023·浙江杭州·校聯考二模）能說明命題“若X2>16，則X>4”是假命題的一個反例可以是______59．（2023·江蘇無錫·校考二模）能說明命題“兩個無理數a、b的和一定是無理數”是假命題的一組a，b的值可以是________．題型19寫出命題的逆命題60．（2023·廣東廣州·統考二模）下列命題的逆命題是假命題的是（

）A．在同一個三角形中，等邊對等角 B．兩直線平行，同位角相等C．兩直線平行，內錯角相等 D．全等三角形的對應角相等61．（2023·山東聊城·統考三模）下列命題的逆命題是真命題的是（）A．平行四邊形的對角線互相平分 B．矩形的對角線相等C．菱形的對角線互相垂直 D．正方形的對角線互相平分且相等62．（2023·安徽滁州·統考二模）命題“如果a，b互為相反數，那么a，b的絕對值相等”的逆命題是____________________________．63．（2023·江蘇揚州·統考一模）請寫出命題“如果a>b，那么a>b”的逆命題是64．（2023·安徽宿州·統考一模）命題“如果3a+3b=0，那么___________．題型20反證法證明中的假設65．（2023·河南鄭州·鄭州外國語中學校考二模）牛頓曾說過：“反證法是數學家最精良的武器之一．”那么我們用反證法證明：“在同一平面內，若a⊥b，c⊥b，則A．a∥b B．c∥b C．a與b相交 D．66．（2020·浙江杭州·模擬預測）用反證法證明“若a⊥b，b⊥c，則A．a與b不平行 B．a⊥b C．a，b都不垂直于c D．a67．（2018·江蘇泰州·統考一模）用反證法證明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．證明該命題的第一個步驟是（）A．假設CD∥EF B．假設AB∥EF C．假設CD和EF不平行 D．假設AB和EF不平行題型21用反證法證明命題68．（2019·河北唐山·校聯考一模）已知△ABC中，AB=AC①∴∠A+∠B②因此假設不成立．∴∠③假設在△ABC中，④由AB=AC，得∠B這四個步驟正確的順序應是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②69．（2020·河北·校聯考二模）求證：兩直線平行，內錯角相等如圖1，若AB//CD，且AB、CD被EF以下是打亂的用反證法證明的過程①如圖2，過點O作直線A'B'②依據理論依據1，可得A'③假設∠AOF④∴∠AOF⑤與理論依據2矛盾，∴假設不成立．證明步驟的正確順序是（

）A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④70．（2023·福建莆田·統考二模）閱讀下列材料：“為什么32證明：假設32那么存在兩個互質的正整數n，m，使得32∵n∴____________________，可設n=2t（t為正整數），則∴_____________，即4t∴__________________，∴m，n因此假設不成立，即32將下列選項依次填入材料中的畫線處，正確的順序是___________．（填上序號）①8t3=2m3； ②n3=2m3真題實戰練1．（2023·遼寧丹東·統考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AB，BC于點E，F，分別以E，F為圓心，以大于12EF長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內交于點P，作射線BP，交AD于點G，交CD的延長線于點H．若AB=AG

A．6 B．8 C．9 D．102．（2023·浙江湖州·統考中考真題）如圖，已知∠AOB，以點O為圓心，適當長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C，D兩點，分別以點C，D為圓心，大于12CD長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于∠AOB內一點P，連接OP，過點P作直線PE∥OA，交OB于點E，過點P作直線PF∥OB，交OA于點F．若

A．123cm2 B．63cm2 C3．（2023·浙江衢州·統考中考真題）如圖，在△ABC中，以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點D，E．分別以點D，E為圓心，大于12DE長為半徑畫弧，交于∠BAC內一點F.連結AF并延長，交BC于點G．連結DG，EG.添加下列條件，不能使

A．AB=AC B．AG⊥BC C．∠4．（2023·海南·統考中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=40°，分別以點B和點C為圓心，大于12BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN，交邊AC于點D

A．40° B．50° C．80° D．100°5．（2023·湖北黃石·統考中考真題）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點B，C為圓心，大于12BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于E，F兩點，EF和BC交于點O；②以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點D；③分別以點D，C為圓心，大于12CD的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M﹐連接AM，AM和CD交于點N，連接ON

A．2 B．52 C．4 D．6．（2023·山東濟南·統考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以點C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點D，再分別以B，D為圓心，以大于12BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交ABA．∠BCE=36° BC．BEAC=5?17．（2023·遼寧·統考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，以點A為圓心，適當長為半徑作弧，分別交AB，AC于點E，F，分別以點E，F

A．35 B．34 C．43 8．（2023·貴州·統考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=5，CD=3．按下列步驟作圖：①以點D為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交DA,DC于E，F兩點；②分別以點E，F為圓心以大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；③連接DP并延長交

A．2 B．3 C．4 D．59．（2023·吉林長春·統考中考真題）如圖，用直尺和圓規作∠MAN的角平分線，根據作圖痕跡，下列結論不一定正確的是（

A．AD=AE B．AD=DF C．DF10．（2023·浙江臺州·統考中考真題）如圖，銳角三角形ABC中，AB=AC，點D，E分別在邊AB，AC上，連接BE，CD．下列命題中，假命題是（

A．若CD=BE，則∠DCB=∠EBC C．若BD=CE，則∠DCB=∠EBC 11．（2023·江蘇無錫·統考中考真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長相等；④正n邊形共有n條對稱軸．其中真命題的個數是（

）A．4 B．3 C．2 D．112．（2023·四川達州·統考中考真題）下列命題中，是真命題的是（

）A．平行四邊形是軸對稱圖形B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上D．在△ABC中，若∠A:∠13．（2023·內蒙古通遼·統考中考真題）下列命題：①a3②?π③圓周角等于圓心角的一半；④將一枚質地均勻的硬幣拋擲一次時，正面朝上是必然事件；⑤在一組數據中，如果每個數據都增加4，那么方差也增加4．其中真命題的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題14．（2023·江蘇鎮江·統考中考真題）如圖，扇形OAB的半徑為1，分別以點A、B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，∠BOP=35°，則AB的長l

15．（2023·湖南益陽·統考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=4，以A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接DE，分別以D，E為圓心，以大于12DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線AF，交DE于點M，過點M作MN∥AB

16．（2023·遼寧沈陽·統考中考真題）如圖，直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點E，

（1）點E為圓心，以任意長為半徑作弧交射線EB于點M，交射線EF于點N；（2）分別以點M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑作弧，兩弧在∠BEF（3）作射線EP交直線CD于點G；若∠EGF=29°，則∠BEF=17．（2023·天津·統考中考真題）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，等邊三角形ABC內接于圓，且頂點A，B均在格點上．

（1）線段AB的長為____________；（2）若點D在圓上，AB與CD相交于點P．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出點Q，使△CPQ為等邊三角形，并簡要說明點Q的位置是如何找到的（不要求證明）_______________________________________．18．（2023·四川成都·統考中考真題）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交AB，AC于點M，N；②以點D為圓心，以AM長為半徑作弧，交DB于點M'；③以點M'為圓心，以MN長為半徑作弧，在∠BAC內部交前面的弧于點N'：④過點N'作射線DN'交BC于點E．若△BDE

三、解答題19．（2023·湖北襄陽·統考中考真題）如圖，AC是菱形ABCD的對角線．

(1)作邊AB的垂直平分線，分別與AB，AC交于點E，F（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接FB，若∠D=140°，求20．（2023·江蘇鹽城·統考中考真題）如圖，AB=AE，BC=(1)求證：AC=(2)用直尺和圓規作圖：過點A作AF⊥CD，垂足為21．（2023·江蘇·統考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠

(1)尺規作圖：作⊙O，使得圓心O在邊AB上，⊙O過點B且與邊AC相切于點(2)在（1）的條件下，若∠ABC=60°,AB=4，求22．（2023·山東青島·統考中考真題）用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：△ABC求作：點P，使PA=PC，且點P在△ABC

23．（2023·青海·統考中考真題）如圖，∠CAE是△ABC的一個外角，AB=AC，CF∥BE.

(1)尺規作圖：作∠CAE的平分線，交CF于點D（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形.24．（2023·黑龍江哈爾濱·統考中考真題）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，線段AB和線段CD的端點均在小正方形的頂點上．(1)在方格紙中畫出△ABE，且AB=BE，∠ABE為鈍角（點(2)在方格紙中將線段CD向下平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后得到線段MN（點C的對應點是點M，點D的對應點是點N），連接EN，請直接寫出線段EN的長．______25．（2023·江西·統考中考真題）如圖是4×4的正方形網格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中作銳角△ABC，使點C在格點上；(2)在圖2中的線段AB上作點Q，使PQ最短．26．（2023·吉林長春·統考中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作△ABC，點C在格點上．

(1)在圖①中，△ABC的面積為92(2)在圖②中，△ABC的面積為5(3)在圖③中，△ABC是面積為5227．（2023·浙江金華·統考中考真題）如圖，為制作角度尺，將長為10，寬為4的矩形OABC分割成4×10的小正方形網格．在該矩形邊上取點P，來表示∠POA的度數．閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：作法（如圖）結論

①在CB上取點P1，使C∠P1OA=45°，點P②以O為圓心，8為半徑作弧，與BC交于點P2∠P2OA=30°，點P③分別以O,P2為圓心，大于OP2長度一半的長為半徑作弧，相交于點E,F，連結EF與…④以P2為圓心，OP2的長為半徑作弧，與射線CB交于點D，連結OD交AB…(1)分別求點P3(2)用直尺和圓規在該矩形的邊上作點P5，使該點表示37.5°

第29講尺規作圖與定義、命題、定理答案解析題型過關練題型01尺規作圖-作線段1．（2023·山東青島·模擬預測）尺規作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知線段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．【答案】見解析【分析】作直線l及l上一點A；過點A作l的垂線；在l上截取AB=m；作BC=n；即可得到△ABC．【詳解】解：如圖所示：△ABC為所求．注：（1）作直線l及l上一點A；（2）過點A作l的垂線；（3）在l上截取AB=m；（4）作BC=n．【點睛】本題考查作圖——復雜作圖，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．2．（2022·山東青島·青島大學附屬中學校考一模）已知：∠α，線段a．求作：矩形ABCD，使對角線的長為a，夾角為∠α．【答案】見解析【分析】根據矩形的性質及線段、角及線段中點的作圖方法作圖即可．【詳解】作法：①作直線MN與PQ交于點O，使∠QON=∠α②分別以線段a的兩端G、H為圓心，以大于12a③以點O為圓心，以12④連接A、B、C、D則四邊形ABCD即為所求作的矩形． 【點睛】本題考查了線段的作圖、角的尺規作圖以及矩形的性質，熟練掌握作圖的步驟以及矩形的性質是解題的關鍵．3．（2022·山東青島·統考二模）尺規作圖（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）如圖，已知線段MN=a，AR⊥AK，垂足為A．求作：⊙O，使⊙O分別與AK、AR相切，圓心O與點A的距離等于a．【答案】作圖見詳解【分析】以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AR、AK于點B、C，再以BC為圓心，以大于12BC的長度為半徑作弧，交于點D，連接AD并延長，即為∠RAK的平分線；以點A為圓心，a的長度為半徑作弧，交AD于點O，點O即為所求圓的圓心；以點O為圓心，任意長為半徑作弧，交AR于點E、F，再分別以E、F為圓心，以大于12【詳解】解：作圖如下：【點睛】本題主要考查了尺規作圖-復雜作圖，涉及的知識點包括利用尺規作圖作角平分線、作垂線、作線段等于已知線段等，解題關鍵是熟練掌握尺規作圖基本方法．4．（2023·新疆烏魯木齊·統考一模）下面是小李設計的“利用直角和線段作矩形”的尺規作圖過程．已知：如圖1，線段a，b，及∠MAN=90°．求作：矩形ABCD，使AB=a，AD=b．作法：如圖2，①在射線AM，AN上分別截取AB=a，AD=b；②以B為圓心，b長為半徑作弧，再以D為圓心，a長為半徑作弧，兩弧在∠MAN內部交于點C；③連接BC，DC．∴四邊形ABCD就是所求作的矩形．根據小李設計的尺規作圖過程，解答下列問題：(1)使用直尺和圓規，依作法補全圖2(保留作圖痕跡)；(2)完成下面的證明．證明：∵AB=DC=a，AD=__________________________=b，∴四邊形ABCD是平行四邊形(______________________)(填推理的依據)．∵∠MAN=90°，∴四邊形ABCD是矩形(_)(填推理的依據)．【答案】(1)見解析(2)BC，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形【分析】（1）根據要求作出圖形即可；（2）根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可．【詳解】（1）解：如圖，矩形ABCD即為所求；（2）證明：∵AB=DC=a，AD=BC=b，∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形），∵∠MAN=90°，∴四邊形ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）．故答案為：BC，兩組對邊分別相等的四邊形的平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【點睛】本題考查了作線段，矩形的性質與判定定理，掌握矩形的性質與判定定理是解題的關鍵．題型02尺規作圖-作一個角等于已知角5．（2019·河北·模擬預測）“經過已知角一邊上的一點作“個角等于已知角”的尺規作圖過程如下：已知：如圖（1），∠AOB和OA上一點C．求作：一個角等于∠AOB，使它的頂點為C，一邊為CA．作法：如圖（2），（1）在0A上取一點D（OD＜OC），以點O為圓心，OD長為半徑畫弧，交OB于點E；（2）以點C為圓心，OD長為半徑畫弧，交CA于點F，以點F為圓心，DE長為半徑畫弧，兩弧交于點C；（3）作射線CC．所以∠CCA就是所求作的角此作圖的依據中不含有（）A．三邊分別相等的兩個三角形全等 B．全等三角形的對應角相等C．兩直線平行同位角相等 D．兩點確定一條直線【答案】C【分析】根據題意知，作圖依據有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性質和兩點確定一條直線，直接判斷即可．【詳解】解：由題意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正確；結合該全等三角形的性質對應角相等，故B正確；作射線CG，利用兩點確定一條直線，故D正確；故選：C．【點睛】本題考查作一個角等于已知角和三角形全等的判定與性質，解題關鍵是明確作圖原理，準確進行判斷．6．（2022·山東菏澤·校聯考模擬預測）已知：∠O及其一邊上的兩點A，B．求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且點C在∠O內部，∠BAC=∠O．【答案】見解析【分析】先在∠O的內部作∠DAB=∠O，再過B點作AD的垂線，垂足為C點．【詳解】解：如圖，Rt△ABC為所作．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．7．（2022·陜西寶雞·統考二模）如圖，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．請用尺規作圖法，在AC邊上求作一點P，使∠PBC＝45°．（保留作圖痕跡．不寫作法）【答案】詳見解析【分析】根據尺規作圖法，作一個角等于已知角，在AC邊上求作一點P，使∠PBC＝45°即可．【詳解】解：作法：（1）以點C為圓心，以任意長為半徑畫弧交AC于D，交BC于E，（2）以點B為圓心，以CD長為半徑畫弧，交BC于F，（3）以點F為圓心，以DE長為半徑畫弧，交前弧于點M，（3）連接BM，并延長BM與AC交于點P，則點P即為所求．如圖，點P即為所求．【點睛】本題考查了作圖——基本作圖．解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．題型03尺規作圖-尺規作角的和、差8．（2022下·山東青島·七年級山東省青島市第五十七中學校考期中）已知∠α、∠β，求作∠AOB，使∠AOB=∠α?∠β．【答案】見解析【分析】如圖，作∠AOC=α，在∠AOC的內部作∠BOC=β，∠AOB即為所求．【詳解】解：如圖，∠AOB即為所求．．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，解題的關鍵是理解題意，熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．9．（2023下·山西晉中·七年級統考期中）如圖，已知∠α，∠β，求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β．（要求：在指定作圖區域用尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見解析【分析】根據做一個角等于已知角的方法∠AOC=∠β，∠BOC=∠α，再利用尺規作∠AOB=∠α+∠β即可解答．【詳解】解：如圖所示∠AOB=∠α+∠β，

【點睛】本題考查了利用尺規作一個角等于已知角的方法以及利用尺規作角的和差，掌握尺規作圖法是解題的關鍵．10．（2020下·六年級校考單元測試）已知∠α、∠β，用尺規畫出∠AOB=2∠α-∠β．（不寫作法，標明字母）【答案】見解析【分析】根據用尺規作圖作角等于已知角作圖即可．【詳解】解：分別以∠α、∠β的頂點為圓心，任意長度為半徑作弧，分別交∠α、∠β的邊于P、Q、M、N；作射線OB，以O為圓心，以相同長度為半徑作一個優弧，交射線OB于點C，以C為圓心，PQ的長度為半徑作弧，交優弧于點D，作射線OD，再以D為圓心，PQ的長為半徑作弧，交優弧（∠DOB外部）于點E，作射線OE，然后以E為圓心，MN的長為半徑作弧，交優弧（∠EOB內部）于點A，作射線OA，如圖所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即為所求． 【點睛】此題考查的是用尺規作圖作角等于已知角，掌握用尺規作圖作角等于已知角是解決此題的關鍵．11．（2023下·廣東佛山·七年級佛山六中校考階段練習）如圖，已知∠ABC及AB上一點A，(1)利用三角板，過點A作BC的垂線，垂足為點E，此時線段AE的長為點A到直線BC的距離．(2)尺規作圖（保留作圖痕跡）：利用尺規在BC下方以點B為頂點作∠CBD，使得∠CBD=2∠ABC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據垂線的定義，作出圖形即可；（2）以點B為圓心，已任意長為半徑畫弧，交AB于點F，交BC于點G，再以點G為圓心，以FG長為半徑，在BC的下方畫弧，與之前的弧交于點H，再以點H為圓心，以FG長為半徑，在點H下方畫弧，與第一個弧交于點K，連接BK，并延長至點D，即可得出∠CBD=2∠ABC．【詳解】（1）解：如圖，線段AE即為所求，此時線段AE的長為點A到直線BC的距離．（2）解：如圖，∠CBD即為所求，【點睛】本題考查作圖—復雜作圖，垂線，點到直線的距離，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．題型04尺規作圖-過直線外一點作這條線的平行12．（2023·河北衡水·校聯考模擬預測）下面四個圖是小明用尺規過點C作AB邊的平行線所留下的作圖痕跡，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據平行線的判定，結合尺規作圖方法即可判斷．【詳解】解：若要過點C作AB的平行線，則應過點C作一個角等于已知角，由作圖可知，選項A符合題意，故選A．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線的判定．13．（2023·甘肅天水·統考一模）如圖，已知線段MN=a,AR⊥AK，垂足為a．（1）求作四邊形ABCD，使得點B，D分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//AB；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB,CD的中點，求證：直線AD,BC,PQ相交于同一點．【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據AB=a，點B在射線AK上，過點A作AB=a；根據等邊三角形性質，得AB=BC=AC，分別過點A、B，a為半徑畫圓弧，交點即為點C；再根據等邊三角形的性質作CD，即可得到答案；（2）設直線BC與AD相交于點S、直線PQ與AD相交于點S'，根據平行線和相似三角形的性質，得ADS'【詳解】（1）作圖如下：四邊形ABCD是所求作的四邊形；（2）設直線BC與AD相交于點S，∵DC//AB，∴△SBA∽△SCD，∴SA設直線PQ與AD相交于點S'同理S'∵P，Q分別為AB,CD的中點，∴PA=12∴PA∴S'∴S'∴ADS∴S'∴點S與S'重合，即三條直線AD,BC,PQ【點睛】本題考查了尺規作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形等基礎知識，解題的關鍵是熟練掌握推理能力、空間觀念、化歸與轉化思想，從而完成求解．14．（2022·湖南長沙·長沙市南雅中學校聯考一模）已知：如圖，直線l，和直線外一點P．求作：過點P作直線PC，使得PC∥l．作法：①在直線l上取點O，以點O為圓心，OP長為半徑畫圓，交直線l于A，B兩點；②連接AP，以點B為圓心，AP長為半徑畫弧，交半圓于點C；③作直線PC．直線PC即為所求作．根據尺規作圖，完成下面的證明：證明：連接BP．∵BC=AP，∴BC=∴∠ABP=∠BPC（________________________）（填推理依據），∴直線PC∥直線l（________________________）（填推理依據）．【答案】AP，等弧所對的圓周角相等，內錯角相等，兩直線平行【分析】連接BP，由圓中等弦對等弧，根據圓周角定理得到∠ABP=∠BPC，再根據平行線的判定定理：內錯角相等，兩直線平行即可得到結論．【詳解】證明：連接BP，如圖所示：∵BC=AP，∴BC=∴∠ABP=∠BPC（等弧所對的圓周角相等），∴直線PC∥直線l（內錯角相等，兩直線平行）．【點睛】本題考查尺規作圖與幾何證明綜合，涉及到尺規作圖、圓的性質、圓周角定理和平行線的判定，熟練掌握尺規作圖及內錯角相等，兩直線平行是解決問題的關鍵．15．（2022·北京大興·統考二模）下面是小東設計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規作圖過程．已知：直線l和直線l外一點P．求作：直線PQ，使得PQ∥l．作法：如圖，①在直線l上任取兩點A，B；②以點P為圓心，AB長為半徑畫弧，以點B為圓心，AP長為半徑畫弧，兩弧在直線l上方相交于點Q；③作直線PQ．直線PQ就是所求作的直線．根據小東設計的尺規作圖過程，(1)使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：∵PA=QB,AB=PQ，∴四邊形PABQ是平行四邊形（___________）（填寫推理的依據）．∴PQ∥AB（______________）（填寫推理的依據）．即PQ∥l【答案】(1)見解析(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；平行四邊形的兩組對邊分別平行．【分析】（1）根據題目告訴的作圖方法進行作圖即可；（2）利用平行四邊形的性質與判定證明即可．【詳解】（1）解：如圖所示，直線PQ就是所求作的直線．（2）證明：∵PA=QB，AB=PQ∴四邊形PABQ是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．∴PQ∥AB（平行四邊形的兩組對邊分別平行）．即PQ//l．【點睛】本題考查了尺規作圖，平行四邊形的性質與判定，熟練掌握相關性質定理是解題的關鍵．題型05尺規作圖-作三角形（含特殊三角形）16．（2023·浙江臺州·統考一模）觀察下列尺規作圖的痕跡，不能判斷△ABC是等腰三角形的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據基本的作圖方法，結合等腰三角形的判定，逐一進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、根據一個角等于已知角的作法可知∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，不符合題意，選項錯誤；B、根據垂直平分線的作法可知AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合題意，選項錯誤；C、根據過直線外一點作平行線的作法可知，AC∥BD，∠ACB=∠CBD，根據角平分線的作法可知，∠ABC=∠CBD，∴∠ABC=∠ACB，△ABC是等腰三角形，不符合題意，選項錯誤；D、不能判斷△ABC是等腰三角形，符合題意，選項正確，故選D．【點睛】本題考查了作圖—復雜作圖，等腰三角形的判定等知識，掌握基本作圖方法是解題關鍵．17．（2021·安徽·統考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根據作圖痕跡，可知∠CBD=（

）A．80° B．60° C．45° D．50°【答案】D【分析】由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可求出．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=1由作圖痕跡可知BC=BD，∴∠BDC=∠BCD=65°．∴∠CBD=180°?∠BDC?∠BCD=180°?65°?65°=50°．故選D．【點睛】本題考查等腰三角形的性質和三角形內角和定理，根據作圖痕跡得出BC=BD是解答本題的關鍵．18．（2020·山東東營·統考模擬預測）如圖是作ΔABC的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是（

）A．已知兩邊及夾角 B．已知三邊 C．已知兩角及夾邊 D．已知兩邊及一邊對角【答案】C【分析】觀察ΔABC的作圖痕跡，可得此作圖的條件.【詳解】解：觀察ΔABC的作圖痕跡，可得此作圖的已知條件為：∠α，∠β，及線段AB,故已知條件為：兩角及夾邊，故選C.【點睛】本題主要考查三角形作圖及三角形全等的相關知識.19．（2019·甘肅蘭州·統考一模）已知：∠α，直線l及l上兩點A，B．求作：Rt△ABC，使點C在直線l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．【答案】見解析【分析】先作∠DAB=α，再過B點作BE⊥AB，則AD與BE的交點為C點．【詳解】解：如圖，△ABC為所作．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．20．（2021·吉林·統考一模）圖1.2是兩張形狀和大小完全相同的方格紙，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，線段AC的兩個端點均在小正方形的頂點上；（1）在圖1中畫出以AC為底邊的等腰直角△ABC，點B在小正方形頂點上；（2）在圖2中畫出以AC為腰的等腰△ACD，點D在小正方形的頂點上，且△ACD的面積為8.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；【分析】（1）由題可知，點B滿足BA=BC,∠ABC=90°這兩個條件，BA=BC說明點B在AC的垂直平分線上，∠ABC=90°說明點B在以AC為直徑的圓上，故可作AC的垂直平分線及以AC為直徑的圓，其交點即為所求；（2）由題可知，點D滿足CA=CD，故可以C為圓心，【詳解】解；（1）作AC的垂直平分線，作以AC為直徑的圓，垂直平分線與圓的交點即為點B；（2）以C為圓心，AC為半徑作圓，格點即為點D；【點睛】本題主要考查了利用線段垂直平分線的性質及圓的性質作圖，正確理解題意并知曉作圖依據是解題的關鍵.題型06尺規作圖-作角平分線21．（2021·山東青島·統考一模）已知∠α，線段a，求作：等腰△ABC，使得頂角∠A=∠α，BC上的高為a．【答案】見解析【分析】先作一等角，然后利用三線合一的性質作角的平分線，取長為a，再過此點作垂線交∠MAN的兩邊于B，C．【詳解】作法：(1)作∠MAN=∠α，(2)作∠MAN的平分線AP，并在射線AP上截取AD=a，(3)過點D作直線BC⊥AD分別交∠MAN的兩邊于B，C，則△ABC為所求的三角形．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質、尺規作圖，解決此題的關鍵是熟悉作等角，作角平分線，過已知點作垂線的尺規作圖．22．（2023·吉林長春·校聯考一模）用尺規作一個角的角平分線，下列作法中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據作圖軌跡及角平分線的定義判斷即可得出答案．【詳解】A、如圖，由作圖可知：OA=OC,AB=BC，又∵OB=OB，∴△OAB?△OCB，∴∠AOB=∠COB，∴OB平分∠AOC．故A選項是在作角平分線，不符合題意；B、如圖，由作圖可知：OA=OB,OC=OD，又∵∠COB=∠AOD，∴△OBC?△OAD，∴OA=OB，∠OAD=∠OBC，∠OCB=∠ODA，∴AC=BD，∵∠CEA=∠BED,∠ECA=∠EDB，∴△AEC?△BED，∴AE=BE，∵∠EAO=∠EBO,OA=OB，∴△OAE?△OBE，∴∠AOE=∠BOE，∴OE平分∠AOB．故B選項是在作角平分線，不符合題意；C、如圖，由作圖可知：∠AOB=∠MCN,OC=CD，∴CD∥OB,∠COD=∠CDO，∴∠DOB=∠CDO，∴∠COD=∠DOB，∴OD平分∠AOB．故C選項是在作角平分線，不符合題意；D、如圖，由作圖可知：OA=BC,OC=AB，又∵OB=OB，∴△AOB?△CBO，∴∠AOB=∠OBC,∠COB=∠ABO,故D選項不是在作角平分線，符合題意；故選：D【點睛】本題考查了角平分線的作圖，全等三角形的性質與判定，掌握以上知識是解題的關鍵．23．（2023·江蘇常州·常州實驗初中校考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規作圖得到的射線與AC交于點D，則以下推斷錯誤的是（

）A．BD=BC B．AD=BD C．∠ADB=108° D．CD=【答案】D【分析】根據作圖過程可得BD平分∠ABC，然后根據等腰三角形的性質即可解決問題．【詳解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=12根據作圖過程可知：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=12∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故選項C成立；∵∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC，故選項A成立；∵∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD，故選項B成立；沒有條件能證明CD=12故選：D．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，等腰三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．24．（2023·陜西·模擬預測）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．(1)作∠ACB的角平分線，交AB于點E（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：AD＝AE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）按照角平分線的作圖步驟作圖即可．（2）證明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【詳解】（1）解：如圖所示，CE即為所求．（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分線，CE是∠ACB的角平分線，∴∠ABD=12∠ABC∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．【點睛】本題考查尺規作圖、全等三角形的判定與性質，熟練掌握角平分線的作圖步驟以及全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．25．（2023·甘肅酒泉·統考一模）如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥DC于點D．(1)用尺規作∠ABC的角平分線，交CD于點E；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)連接AE．求證：四邊形ABCE是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據角平分線的作圖步驟作圖即可；（2）由角平分線的定義和平行線的性質求出∠CBE=∠BEC，可得BC=EC，求出AB=EC，可得四邊形ABCE為平行四邊形，再結合AB＝BC，可證得四邊形ABCE為菱形．【詳解】（1）解：如圖所示．（2）證明：∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE=∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC，∴∠CBE=∠BEC，∴BC=EC，∵AB=BC，∴AB=EC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∵AB=BC，∴平行四邊形ABCE為菱形．【點睛】本題考查尺規作圖、角平分線的定義、平行線的性質、等腰三角形的判定、平行四邊形的判定以及菱形的判定，熟練掌握尺規作角平分線的步驟以及菱形的判定定理是解答本題的關鍵．題型07尺規作圖-作垂直平分線26．（2023·山東泰安·統考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通過尺規作圖得到的直線MN分別交AB，AC于D，E，連接CD．若CE=13AE=1【答案】6【分析】先求解AE，AC，再連結BE，證明AE=BE,AD=BD,利用勾股定理求解BC，AB，從而可得答案．【詳解】解：∵CE=1∴AE=3,AC=4,如圖，連結BE,由作圖可得：MN是AB的垂直平分線，∴AE=BE=3,AD=BD,∵∠ACB=90°,∴BC=3∴AB=4∴CD=故答案為：6【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖與性質，勾股定理的應用，二次根式的化簡，熟悉幾何基本作圖與基本圖形的性質是解本題的關鍵．27．（2023·新疆烏魯木齊·烏魯木齊八一中學校考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，分別以點A，B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點M，N，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠CAD的度數為【答案】50°/50度【分析】根據作圖可知DA=DB，∠DAB=∠B=20°，根據直角三角形兩個銳角互余，可得∠CAB=70°，根據∠CAD=∠CAB?∠DAB即可求解．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°，由作圖可知MN是AB的垂直平分線，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=20°，∴∠CAD=∠CAB?∠DAB=70°?20°=50°，故答案為：50°．【點睛】本題考查了基本作圖，垂直平分線的性質，等邊對等角，直角三角形的兩銳角互余，根據題意分析得出MN是AB的垂直平分線，是解題的關鍵．28．（2022·遼寧沈陽·統考模擬預測）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，分別以點A，D為圓心，大于12(1)由作圖可知，直線MN是線段AD的______．(2)求證：四邊形AEDF是菱形．【答案】(1)垂直平分線(2)見詳解【分析】（1）根據線段垂直平分線的尺規作圖可直接得出答案；（2）由題意易得∠AOF=∠AOE=90°,∠FAO=∠EAO,AF=DF，然后可證△AOF≌△AOE，則有OF=OE，進而問題可求證．【詳解】（1）解：由題意得：直線MN是線段AD的垂直平分線；故答案為：垂直平分線；（2）證明：∵直線MN是線段AD的垂直平分線，∴∠AOF=∠AOE=90°,AO=DO,AF=DF，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠FAO=∠EAO，∵AO=AO，∴△AOF≌△AOE（ASA），∴OF=OE，∵AO=DO，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵AF=DF，∴四邊形AEDF是菱形．【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的尺規作圖、全等三角形的性質與判定及菱形的判定，熟練掌握線段垂直平分線的尺規作圖、全等三角形的性質與判定及菱形的判定是解題的關鍵．題型08尺規作圖-作三角形的中線與高29．（2021·江西·校聯考模擬預測）如圖，在正方形網格中，△ABC的頂點均在格點上，請僅用無刻度直尺完成以下作圖．（保留作圖痕跡）（1）在圖1中，作△ABC的高AM；（2）在圖2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三條高所在的直線交于一點）【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）格點△ABC中AB=AC且垂直，以AB、AC為邊作正方形，連接對角線AM即可得到BC的高AM；（2）在正方形網格中，m×n格的對角線與n×m格的對角線互相垂直，AB是1×4格的對角線，那么4×1格的對角線與之垂直，又需過點C，所以如圖所示的CF⊥AB交AB與點H，同理AC是4×3格的對角線，那么3×4格的對角線與之垂直，又需過點B，所以如圖所示的BE⊥AC交AC與點D，又三角形的三條高所在的直線交于一點，所以連接AG并延長交BC與點N，即AN為所求．【詳解】（1）如圖1，∵格點△ABC中AB=AC且垂直，∴以AB、AC為邊作正方形，連接對角線AM即AM⊥BC（2）如圖2，∵AB是1×4格的對角線∴過點C且是4×1格的對角線即為如圖所示的CF，∴CF⊥AB同理AC是4×3格的對角線，∴過點B且是3×4格的對角線即為如圖所示的BE∴BE⊥AC∵三角形的三條高所在的直線交于一點∴連接AG并延長交BC與點N，即AN為所求．【點睛】本題主要考查了求作格點三角形的高線問題，主要方法有：構造特殊形狀，如：正方形，菱形，利用對角線垂直的性質作高；正方形網格中，m×n格的對角線與n×m格的對角線互相垂直；三角形的三條高所在的直線交于一點，掌握以上的作圖方法是解題的關鍵．30．（2022·浙江舟山·校考一模）在平面直角坐標系中，畫出點A0,2，點B4,0，點C與點A關于（1）連結AB、AC、BC，并畫出△ABC的BC邊上的中線AE．（2）求出△ABE的面積．【答案】（1）見解析；（2）4【分析】（1）標出點A0,2，點B4,0，依據軸對稱的性質，即可得到點（2）根據三角形面積計算公式，即可得到△ABE的面積S的值．【詳解】解：∵點C與點A關于x軸對稱且A0,2∴C如下圖所示，依次在圖中畫出點A、點B與點C并連接即可，又∵AE是BC邊上的中線，∴E如圖所示，連接AE即可；（2）S【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系基礎，解題的關鍵是學會利用軸對稱性質求坐標及面積．31．（2022·陜西西安·統考一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，且CD=2BD，請用尺規作圖法，在邊AC上找一點P，使得△PAD的面積等于△BAD的面積（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】見解析【分析】根據CD=2BD，可得S△ADC=2S△ABD，，在邊AC上找一點P，使△PAD的面積等于△BAD的面積，即找到AC的中點即可，即作AC的垂直平分線交AC于點【詳解】如圖，點P即為所求，【點睛】本題考查了三角形中線的性質，作垂直平分線，掌握垂直平分線的作法是解題的關鍵．題型09尺規作圖-畫圓32．（2022·福建·一模）如圖，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A<45°．(1)請作出經過A、B兩點的圓，且該圓的圓心O落在線段AC上（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）；(2)在（1）的條件下，已知∠BOC=α，將線段AB繞點A逆時針旋轉α后與⊙O交于點E．試證明：B、C、E三點共線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）只需要作AB的垂直平分線，其與AC的交點即為圓心O，由此作圖即可；（2）先由圓周角定理求出∠BAC=12α，再由旋轉的性質求出∠CAE=【詳解】（1）解：如圖所示，圓O即為所求；（2）解：如圖所示，連接CE，OE，∵∠BOC=α，∴∠BAC=1由旋轉的性質可知∠BAE=α，∴∠CAE=∠BAE?∠BAC=1∴∠COE=2∠CAE=α，在△OBC和△OEC中，OB=OE∠BOC=∠EOC=α∴△OBC≌△OEC（SAS），∴∠OCE=∠OCB=90°，∴∠OCB+∠OCE=180°，∴B、C、E三點共線．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的尺規作圖，畫圓，圓周角定理，旋轉的性質，全等三角形的性質與判定等等，熟知性格知識是解題的關鍵．33．（2022·山東青島·校考二模）已知：△ABC．．求作：⊙O，使它經過點B和點C，并且圓心O在∠A的平分線上，【答案】見詳解．【分析】要作圓，即需要先確定其圓心，先作∠A的角平分線，再作線段BC的垂直平分線相交于點O，即O點為圓心．【詳解】解：根據題意可知，先作∠A的角平分線，再作線段BC的垂直平分線相交于O，即以O點為圓心，OB為半徑，作圓O，如下圖所示：【點睛】此題主要考查了學生對確定圓心的作法，要求學生熟練掌握應用．34．（2023·陜西西安·交大附中分校校考一模）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，請用尺規作圖求作⊙P，使點P在BC上且使⊙P與AC，AB都相切．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】詳見解析【分析】作∠BAC的角平分線AP交BC于點P，以P為圓心，BP為半徑作⊙P即可．【詳解】解：如圖，⊙P即為所求作．【點睛】本題考查作圖-應用與設計，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．題型10尺規作圖-過圓外一點作圓的切線35．（2023·福建福州·閩清天儒中學校考模擬預測）如圖，點P是⊙O外一點，連接OP交⊙O于點I．(1)過點P作⊙O的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接AB，求證：點I是△ABP的內心．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先作OP的垂直平分線，交OP于一點，再以這個點為圓心，以該點到O點的距離為半徑畫弧線交⊙O于點A，B，連接PA，PB即可；（2）先證明RtΔAOP≌RtΔBOP，得到PA=PB,∠API=∠BPI，從而證得PI平分∠APB，進一步得到OP垂直平分AB，再證明∠OAD=∠API，最后根據∠OAI=∠OIA證得∠DAI=∠PAI，得到AI平分∠BAP，即可證得點I是△ABP的內心．【詳解】（1）解：如圖所示，PA，PB圓為所求作的⊙O的兩條切線，其中切點分別為A，B．（2）證：連接AI,BI,OA,OB，記AB與OP的交點為D．由（1）得PA,PB都是⊙O的切線，切點分別為A，B，∴OA⊥PA,OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴∠OAD+∠DAP=90°．∵OA=OB,OP=OP，∴RtΔAOP≌RtΔBOP，∴PA=PB,∠API=∠BPI，即PI平分∠APB，∴點O，P在線段AB的垂直平分線上，即OP垂直平分AB．∴∠ADP=90°，∴∠OAD+∠API=90°，∴∠OAD=∠API．∵OA=OI，∴∠OAI=∠OIA，即∠DAI+∠OAD=∠PAI+∠API，∴∠DAI=∠PAI，即AI平分∠BAP，∴點I是△ABP的內心．【點睛】本題考查尺規作圖、圓的切線的性質和三角形內心的判定，解題的關鍵是熟練掌握相關知識．36．（2023·山東·統考一模）請用直尺、圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．如圖，∠BAC=45°，D，E在AB上，作⊙O經過D，E兩點且與AC相切．【答案】見解析【分析】先作AE的垂直平分線得到中點P，則以AE為直徑可作⊙P，再過D點作AB的垂線交⊙P于Q點，接著在AC上截取AF=AQ，然后過F點作AC的垂線交DE的垂直平分線于O點，則以O點為圓心，OF為半徑作圓即可．【詳解】如圖，⊙O為所作．【點睛】本題考查了作圖?復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理、切線的判定與性質．題型11尺規作圖-找圓心37．（2023·廣西·統考三模）如圖，要把殘缺的圓片復原，可通過找到圓心的方法進行復原，已知弧上的三點A，B，C．

(1)用尺規作圖法，找出弧BC所在圓的圓心O；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在△ABC中，連接AO交BC于點E，連接OB，當AB=AC=10cm,BC=16cm時，求圖片的半徑R；(3)若直線l到圓心的距離等于253【答案】(1)見解析(2)25(3)相切【分析】（1）分別作AB、AC的垂直平分線，二者的交點O即為圓心；（2）根據題意可得AE⊥BC，則BE=CE=8cm，利用勾股定理求出AE=6cm，進而利用勾股定理求出半徑R即可；（3）根據直線到圓的距離等于半徑，即可知直線l與圓相切．【詳解】（1）解：如圖所示，點O即為所求；

（2）解：∵AB=AC，∴AE⊥BC，∴BE=CE=1在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=A∴OE=OA?AE=R?6在Rt△OBE中，由勾股定理得OB∴R2解得R=25∴所求圓的半徑為253（3）解：∵直線l到圓心的距離等于253，且圓的半徑為25∴直線l與圓相切，故答案為：相切．【點睛】本題主要考查了確定圓心的位置，垂徑定理，勾股定理，直線與圓的位置關系等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．38．（2021·上海奉賢·統考三模）如圖，在單位長度為1的正方形網格中，一段圓弧經過網格的交點A、B、C．（1）請完成如下操作：①以點O為原點、網格邊長為單位長，建立平面直角坐標系；②根據圖形提供的信息，標出該圓弧所在圓的圓心D，并連接AD、CD．（2）請在（1）的基礎上，完成下列填空：①寫出點的坐標：C_____、D_____；②⊙D的半徑＝_____；（3）求∠ACO的正弦值．【答案】（1）答案見解析；（2）①6,2，2,0，②25；（3）3【分析】（1）根據點的坐標表示，C的坐標即可得到，首先作出弦AB與BC的中垂線，中垂線的交點就是D，即可確定點D的坐標；（2）①根據（1）中的平面直角坐標系直接填空；②在直角△AOD中，利用勾股定理即可求解；（3）連接AC、OC．過C作CH⊥AO于點H，過點A作AM⊥CO于點M，利用△AOC的面積等積轉換求得AM的長度，然后在Rt△AMC中利用正弦函數的定義求得∠ACO的正弦值．【詳解】解：（1）作弦AB與BC的中垂線，中垂線的交點就是D，在直角坐標系中，點D的在該坐標系中的位置如圖所示：（2）解：①根據圖示知，C（6，2），D（2，0），故答案為：（6，2