6.4求和方法（提升）一、單選題1．（2021·浙江高三月考）設數列的前項和為，已知，若對恒成立，則實數的范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由條件得，于是可得，又，即，累加得到，由對恒成立，得，即，由得，故選：B2．（2021·重慶北碚區·西南大學附中）設數列的前項和是，令，稱為數列，，…，的“超越數”，已知數列，，…，的“超越數”為2020，則數列5，，，…，的“超越數”為（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】D【解析】數列，，…，的“超越數”為，則，所以，故數列5，，，…，的“超越數”為：．故選：D．3．（2021·全國高三課時練習）將等比數列按順序分成1項，2項，4項，…，項的各組，再將公差為2的等差數列的各項依次插人各組之間，得到數列：，，，，，，，，，，…，數列的前項和為．若，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，，，等比數列的公比．令，則，，所以數列的前100項中含有數列的前6項，含有數列的前94項，故．故選：D．4．（2021·全國高三專題練習（文））已知函數，且，則（）A． B．0 C．100 D．10200【答案】A【解析】若為偶數，則，，所以，所以數列的偶數項是首項為，公差為的等差數列；若為奇數，則，，所以，所以數列的奇數項是首項為，公差為4的等差數列.所以.故選：A5．（2021·全國高三專題練習）設[x]表示不超過x的最大整數，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知數列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，則＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2)．又a1＝1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝，則.所以.所以.故選：A6．（2021·山西運城市·高三開學考試（理））已知函數在上的最小值是，，設的前項和為，若對，恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，所以.令得：.由得：；由得：.所以在上單減，在上單增，所以在處取得極小值，也是最小值.所以，所以，所以.因為對，恒成立，所以，解得：或.故選：C7．（2021·浙江高三開學考試）設數列滿足，若，且數列的前項和為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得,∵,∴,則可得數列為常數列，即,∴∴,∴.故選:D8．（2021·沙坪壩·重慶一中高三月考）已知，若數列的前項和是，設，設，當且僅當時，不等式成立，則實數的范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：當時，，當時，，當時，不滿足，所以，當時，，當時，，所以，所以，因為是遞增的，當時，不等式成立，所以，所以，解得，故選：D9．（2021·四川（文））定義函數，其中表示不超過的最大整數，例如：，，.當時，的值域為.記集合中元素的個數為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以在各個區間中的元素個數分別為：，所以當時，的值域為，集合中元素個數為：，所以，所以，故選：D.10．（2021·全國（文））已知數列滿足()，且中任何一項都不為，設數列的前項和為，若，則的值為（）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以，即，所以，，所以，所以.故選：D.二、多選題11．（2021·全國高三專題練習）（多選題）已知數列的前項和為，，，數列的前項和為，則下列選項正確的為（）A．數列是等差數列B．數列是等比數列C．數列的通項公式為D．【答案】BCD【解析】解：由即為，可化為，由，可得數列是首項為2，公比為2的等比數列，故A錯誤，B正確；則，即，故C正確；又，可得，故D正確.故選：BCD．12．（2021·吉林松原·高三月考）在數學課堂上，為提高學生探究分析問題的能力，教師引導學生構造新數列：現有一個每項都為1的常數列，在此數列的第項與第項之間插入首項為2，公比為2，的等比數列的前項，從而形成新的數列，數列的前項和為，則（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】設介于第個1與第個1之間或者為這兩個1當中的一個，則從新數列的第1個1到第個1一共有項，從新數列的第1個1到第個1一共有項，所以，解得，而，所以，故A正確，B錯誤；，令，則，，，所以，故D正確，C錯誤，故選：AD.13．（2021·湖南）已知數列滿足，，，，則（）A．為等差數列B．為常數列C．D．若數列滿足，則數列的前100項和為100【答案】ABD【解析】，當時，，兩式相加得：，則是公差為4的等差數列，故A正確；上面兩式相減得，則為常數列，故B正確；，所以數列是首項為1，公差為2的等差數列，即，故C不正確；，由可知數列是常數列，，，故D正確.故選：ABD14．（2021·河北衡水中學高三月考）（多選題）已知數列滿足，其前項和為，且，則下列說法正確的是（）A．為定值 B．為定值C．為定值 D．有最大值【答案】BCD【解析】當，由已知條件可得，所以，，則，所以，，，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，此時取得最大值.故選：BCD.15．（2021·全國高三專題練習）如圖，已知點是平行四邊形的邊的中點，為邊上的一列點，連接交于，點滿足，其中數列是首項為的正項數列，是數列的前項和，則下列結論正確的是（）A． B．數列是等比數列C． D．【答案】AB【解析】為中點，，即，三點共線，，又，，化簡得：，，是以為首項，為公比的等比數列，B正確；，，C錯誤；則，A正確；，D錯誤.故選：AB.16．（2021·全國高三專題練習）已知等差數列的前項和為，若，，則（）A．B．數列是公比為8的等比數列C．若，則數列的前2020項和為4040D．若，則數列的前2020項和為【答案】CD【解析】由等差數列的性質可知，，故A錯誤；設的公差為，則有，解得，，故，，則數列是公比為的等比數列，故B錯誤；若，則的前2020項，故C正確；若，則的前2020項和，故D正確．故選:CD．三、填空題17．（2021·全國高三（理））已知數列的各項均為正數，，，，數列的前項和為，若對任意正整數都成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析數列的各項均為正數(舍去)數列是以為首項，以為公比的等比數列.數列的前項和為,單調遞增，單調遞減單調遞增，又的取值范圍是故答案為：18．（2021·全國高三專題練習（文））設函數，定義，其中，，則__________.【答案】【解析】對于函數，有，即，解得，對任意的，，則，因為，所以，因此，.故答案為：.19．（2021·重慶北碚區·西南大學附中高三開學考試）設數列滿足，，，數列前n項和為，且（且）．若表示不超過x的最大整數，，數列的前n項和為，則的值為___________．【答案】2023【解析】當時，，，，，從第2項起是等差數列.又，，，，，當時，，（），當時，.又，.故答案為：2023.20．（2021·江蘇南京·高三月考）函數在點處的切線記為，直線，及軸圍成的三角形的面積記為，則__________.【答案】【解析】因為，所以在點處的切線的斜率為，所以切線方程為，即的方程為，令，得，所以：，令，得，由得，直線，的交點坐標為，所以直線，及軸圍成的三角形的面積為，所以，則.故答案為：.21．（2021·山東菏澤市·高三）已知正項數列的前n項和為，且，則不超過的最大整數是_____________．【答案】88【解析】解：，時，，，解得．時，，代入可得：，化為：，可得數列為等差數列，首項為1，公差為1，，解得．，時，右邊成立）即，所以，∴所以，所以不超過的最大整數是88.故答案為：8822．（2021·云南曲靖·高三（文））已知正項數列滿足且，令，則數列的前項的和等于___________.【答案】【解析】由可得，因為，所以，即，所以數列是以為首項，公比為的等比數列，所以，所以，則的前項的和等于，令，前項的和為，則，，兩式相減可得：，所以，所以前項的和為，故答案為：.23．（2021·江西南昌十中高三月考（文））已知數列{an}對任意的n∈N*都滿足，，則數列{bn}的前n項和為_________．【答案】【解析】解：由可得：，兩式相減得：，即，，又當時，有，解得也適合，；，設數列的前項和為，．24．（2021·全國高三專題練習（理））已知，記數列的前n項和為，且對于任意的，，則實數t的最大值是________.【答案】162【解析】由題知，，則，又對于任意的，，則，即，由，當時等號成立，則實數t的最大值是162.故答案為：162四、解答題25．（2021·重慶北碚區·西南大學附中）已知各項都為正數的數列滿足，.（1）求的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，可得，因為各項都為正數的數列，可得，所以，即，所以為首項為，公比為的等比數列，所以數列的通項公式為.（2）由題意，可得，則的前項和為.26．（2021·浙江高三專題練習）已知公差不為0的等差數列的首項a1為a(a∈R)，設數列的前n項和為Sn，且，，成等比數列.（1）求數列{an}的通項公式及Sn；（2）記An=++…+，Bn=+…+，當n≥2時，試比較An與Bn的大小.【答案】（1），；（2）當a＞0時，An＜Bn；當a＜0時，An＞Bn【解析】（1）設等差數列的公差為d，因為，，成等比數列，所以，即，因為d≠0，所以d=a1=a，所以，.（2）因為，所以，所以An=++…+，因為，所以，所以，所以為等比數列，且首項為，公比為，所以Bn=+…+，因為當n≥2時，，所以，又由題意可知，所以當a＞0時，An＜Bn；當a＜0時，An＞Bn.27．（2021·樂清市知臨中學高三月考）已知數列和滿足，，且.（1）求數列和的通項公式；（2）設數列的前項和為，求滿足的正整數的值.【答案】（1），；（2）或.【解析】（1）對任意的，，則，且，所以，數列是等比數列，且首項和公比均為，故，，因為，所以，；（2）設數列的前項和為，則，所以，，上式下式，得，所以，，，則，由可得，整理可得，解得，因為，故或.28．（2021·全國高三月考（文））已知正項數列的前項和為，且滿足，，成等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）請從以下三個條件中任意選擇一個，求數列的前n項和Tn，.條件Ⅰ：設數列滿足；條件Ⅱ：設數列滿足；條件Ⅲ：設數列滿足.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】解：（1）因為，，成等差數列，所以.當時，，兩式相減得.因為該數列是正項數列，所以，即，所以數列是公差為的等差數列，且當時，，得，所以.（2）若選擇條件Ⅰ：數列滿足，所以，當為偶數時，，當為奇數時，.所以.若選擇條件Ⅱ：數列滿足，利用乘公比錯位相減法，可得①，②，①②得，則.若選擇條件Ⅲ：數列滿足，則.29．（2021·山東青島·高三開學考試）已知等差數列的首項為，公差為，在中每相鄰兩項之間都插入兩個數，使它們和原數列的項一起構成一個新的等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，，…，，…是從中抽取的部分項按原來的順序排列組成的一個等比數列，，，令，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）設數列的首項為，公差為d，則，所以，所以；（2）由，，則，，所以等比數列的公比為3，所以，又因是等差數列的第項，所以，所以，所以，所以，則，，兩式相減得所以.30．（2021·山東日照·高三開學考試）我國南宋時期的數學家楊輝，在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖的三角形解釋二項和的乘方規律．此圖稱為