專題07二次函數(shù)中的平移問題

6）???

二次函數(shù)中的平移問題主要是點(diǎn)的平移和圖形的平移：

針對頂點(diǎn)式拋物線的平移規(guī)律是：“左加右減（括號內(nèi)），上加下減”，同時(shí)保持a

不變。

3

1.（2023?上海?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系宜川中，已知直線丁=^%+6與x軸

交于點(diǎn)A,y軸交于點(diǎn)'點(diǎn)C在線段A5上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線M：

y=aY+灰+c經(jīng)過點(diǎn)B.

y

A

X

O

（1）求點(diǎn)A,3的坐標(biāo);

(2)求b,c的值;

⑶平移拋物線M至N,點(diǎn)C,3分別平移至點(diǎn)尸，D,聯(lián)結(jié)8,且8〃X軸，如果

點(diǎn)尸在x軸上，且新拋物線過點(diǎn)3,求拋物線N的函數(shù)解析式.

【答案】⑴A（-8,0）,6（0,6）

3

(2)/?=—,c=6

2

(3)y=得(x-4后)或y=j(x+4匈

3

【分析】⑴根據(jù)題意，分別將x=。,…代入直線受“+6即可求得;

（2）+得到拋物線的頂點(diǎn)式為y=-間？+:機(jī)+6,將取0,6）代入

可求得"7=一高，進(jìn)而可得到拋物線解析式為y="2+；x+6,即可求得6,c；

（3）根據(jù)題意，設(shè)P（p,O）,C（機(jī)+6）,根據(jù)平移的性質(zhì)可得點(diǎn)8,點(diǎn)C向下平

-3

移的距離相同，即列式求得機(jī)=T,?=—,然后得到拋物線N解析式為：

16

y=3（x-02,將3（0,6）代入可得。=±4虛，即可得到答案.

16

3

【詳解】（1）解：：直線了=片+6與X軸交于點(diǎn)A,y軸交于點(diǎn)8,

當(dāng)x=0時(shí)，代入得：y=6,故B（0,6）,

當(dāng)尸。時(shí)，代入得:x=—8,故A（-8,0）,

（2）設(shè)C（m,|+6）,

則可設(shè)拋物線的解析式為：>=。（無-，"）一+j"+6,

:拋物線M經(jīng)過點(diǎn)3,

3

將與（0,6）代入得：am2+—m+6=6,

*.*m0,

,3

..am=——,

4

3

即加=一上_,

4〃

33

；?將根=---代入y=Q（x-m）2+—m+6,

4。''4

3

整理得：y^ax2+-X+6,

3

故b=5，c=6；

（3）如圖：

：CD〃龍軸，點(diǎn)P在無軸上,

二設(shè)尸（P，O）,C（m,^m+6],

???點(diǎn)C,B分別平移至點(diǎn)尸，D,

???點(diǎn)6,點(diǎn)。向下平移的距離相同，

3-一「3八

4【4）

解得：加=-4,

,,3

由（2）知利=---,

4a

,_3

16

；?拋物線N的函數(shù)解析式為：y=A（x-p）2,

將磯0,6）代入可得：p=±40,

???拋物線N的函數(shù)解析式為：y何或y=孤+4可.

【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求拋物線的解析式，平移的性

質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)的平移性質(zhì)求出機(jī)和。的值.

2.（2024上.上海徐匯.九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOv中，第二象限

的點(diǎn)V在拋物線丁=依2（。＞0）上，點(diǎn)/到兩坐標(biāo)軸的距離都是2.

（備用圖）

⑴求該拋物線的表達(dá)式；

⑵將拋物線）=依2（。＞0）先向右平移!■個(gè)單位，再向下平移左僅＞0）個(gè)單位后，所得

新拋物線與X軸交于點(diǎn)4〃?,0）和點(diǎn)8（凡0）,已知相＜〃，且=與y軸負(fù)半軸交

于點(diǎn)C.

①求上的值；

44

②設(shè)直線y=-4左與上述新拋物線的對稱軸的交點(diǎn)為D，點(diǎn)尸是直線y=上位于點(diǎn)

3一

D下方的一點(diǎn)，分別連接CO、CP,如果tanNPa）=：,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

4

【答案】⑴丁=：龍2

⑵、①八百25；②”【〒24-732、）

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，直角三角形的性質(zhì)，熟

練掌握相關(guān)的性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵.

（1）利用待定系數(shù)法，求得。=g,由此得到答案.

（2）①根據(jù)題意得到，平移后的拋物線表達(dá)式為y=-k,根據(jù)已知條件，

令y==0,求出左=告，得至U答案.

②先利用已知條件，求出點(diǎn)C（0,-2）,點(diǎn)。13,一2）由此得到CD〃x軸，過點(diǎn)尸，作

33

P//，〉軸于點(diǎn)//,得到tanNPCO=-=tan/CP”，又tan/POH=—,設(shè)C〃=3x,

44

PH=4x,由此得到答案.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：

點(diǎn)M（—2,2）,點(diǎn)M在拋物線廣加（。＞0）上，

「?2=4a,

解得：。=;，

該拋物線的表達(dá)式為：y=1%2.

（2）①根據(jù)題意得：

1Q

將拋物線y尤,先向右平移!■個(gè)單位，再向下平移％（%＞。）個(gè)單位后的表達(dá)式為：

解得：x=^±\f2k,

②由①拋物線的表達(dá)式為:

3

其對稱軸為x=

則點(diǎn)C(0,—2),

34

當(dāng)％=一時(shí)，y=——x=-2,

23

即點(diǎn)一2)

???點(diǎn)C、。的縱坐標(biāo)相同，

CD〃x軸，

3

則tan/POH=—,

4

3

tan/PCD=—=tanACPH,

4

設(shè)C〃=3x,PH=4x,

在Rt&9尸“中，

解得：戶j

、

則點(diǎn)尸坐標(biāo)為：(2432I.

3.(2024上.上海長寧.九年級統(tǒng)考期末)已知拋物線＞=2/+4丈+1.

(1)用配方法把y=2x2+4x+l化為y=a(x+m)2+k的形式，并寫出該拋物線的開口方

向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如果將該拋物線上下平移，得到新的拋物線經(jīng)過點(diǎn)。,4),求平移后的拋物線的頂點(diǎn)

坐標(biāo).

【答案】(1)該拋物線的開口向上，對稱軸是直線x=-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(T，T)

(2)(T-4)

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)

的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用配方法把一般式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出拋物線的開口方向、

對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)設(shè)平移后的拋物線解析式為y=2(x+l)2T+3代入點(diǎn)(1,4),求得人的值即可求

解.

【詳解】(1)解：y=2x2+4x+l

=2(f+2x+l)-2+l

=2(%+1)2-1,

???該拋物線的開口向上，對稱軸是直線x=-l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(T-1)；

(2)設(shè)平移后的拋物線解析式為y=2(x+iy-1+%,

:新的拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,4),

.?.4=2x22-1+0

解得k=-3,

平移后的拋物線解析式為y=2(》+1)，-4,

...平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(T,-4).

4.(2024上?上海寶山?九年級統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線

y=g無2平移，使平移后的拋物線仍經(jīng)過原點(diǎn)O,新拋物線的頂點(diǎn)為M(點(diǎn)M在第四

象限)，對稱軸與拋物線y=g尤,交于點(diǎn)N,且MV=4.

(1)求平移后拋物線的表達(dá)式；

⑵如果點(diǎn)N平移后的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P,判斷以點(diǎn)。、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形的形狀,

并說明理由；

(3)拋物線y=上的點(diǎn)A平移后的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B,BC±MN,垂足為點(diǎn)C,如果

AABC是等腰三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

［答案］⑴y=］（x_2）~_2；

（2）是正方形，理由見解析；

⑶（4,8）、（2形,4）、（一20,4）、（2,2）.

【分析】（1）由題意得，平移后的拋物線表達(dá)式為：y=^x2+bx,得到點(diǎn)M、N的坐

標(biāo)，進(jìn)而求解；

（2）由題意得到。（0,0）,M（2,-2）,N（2,2）,P（4,0）,證明四邊形OMPN是平行

四邊形，由MN=O尸=4,得到四邊形OMPN是矩形，由NO=NP=2屈,即可得出

結(jié)論；

（3）當(dāng)AB=C4時(shí)，列出等式即可求解；當(dāng)=或AC=BC時(shí)，同理可解.

【詳解】（1）解：由題意得，平移后的拋物線表達(dá)式為：y=^+bx,

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為：,仇-我）

當(dāng)x=—〃時(shí)，=-1^2>即點(diǎn)N卜";

貝I］MN=—b2+—b2=4,

22

解得：6=2（舍去）或。=一2,

則平移后的拋物線表達(dá)式為：y=^x2-2x；

（2）解：四邊形OMPN是正方形，

根據(jù)題意可得。（0,0）,“（2,-2）,N（2,2）,尸（4,0）,

記MN與OP交于點(diǎn)G,則G（2,0）,

AOG=GP=2,MG=NP=2,MN=OP=4,NO=NP=2也,

四邊形OMPN是平行四邊形，

:MN=OP=4,

，四邊形OMPN是矩形，

NO=NP=272,

四邊形OMPN是正方形；

（3）解：設(shè)5aB^a+2,-a2—2^,C^2,—a2-2^j,

可得AB=20，AC=^（a-2）2+22,BC=4，

?AB^AC,2亞=《（a一2?+2?,即/田:。,

解得%=4,%=0（舍去0）,

二.A（4,8）；

②AB=BC,272=7?，

解得4=2^2,%=—25/2,

4（2"4）或A卜2衣4卜

?AC=BC,'（"2）2+22=",

解得［=2,

???4（2,2）；

綜上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4,8）、（20,4）、卜20,4）、（2,2）.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到正方形的性質(zhì)、圖象的平移，等腰

三角形存在問題等，分類求解是解題的關(guān)鍵.

5.（2024上?上海黃浦?九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于

點(diǎn)A3.對稱軸為直線x=l的拋物線、=依2+法+。經(jīng)過點(diǎn)43,其與無軸的另一交點(diǎn)

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）將該拋物線平移，使其頂點(diǎn)在線段AB上點(diǎn)尸處，得到新拋物線L,其與直線

y=-尤+3的另一個(gè)交點(diǎn)為。.

①如果拋物線乙經(jīng)過點(diǎn)A,且與X軸的另一交點(diǎn)為。，求線段8的長；

②試問：A"。的面積是否隨點(diǎn)尸在線段AB上的位置變化而變化?如果變化，請說明

理由；如果不變，請求出面積.

【答案】⑴）=T+2X+3；

⑵①CD=2；②ACPQ的面積不變，ACPQ的面積為2.

【分析】(1)先求得A(3,0),8(0,3),利用拋物線的對稱性求得C(-l,0),設(shè)拋物線的

表達(dá)式為y=o(x+l)(x-3),利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)①8=2；②聯(lián)立求得。(租+1,2-7”),利用待定系數(shù)法求得直線CQ的解析式為

y=Nx+X，作「k〃丁軸交直線CQ于點(diǎn)R,求得區(qū)(利二坂+二］,禾(|

772+2m+2Im+2m+2)

用三角形的面積公式，列式計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)解:令x=0,則y=3；令y=0,貝|0=-x+3,解得x=3；

4(3,0),8(0,3),

:對稱軸為直線x=l,其與x軸的另一交點(diǎn)為C,

C(-LO),

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+l)(x-3),

把3(0,3)代入y=a(x+l)(x-3),得3=a(0+l)(0-3),

解得。=-1,

拋物線的表達(dá)式為y=—(x+l)(x—3)=+2x+3；

(2)解：①根據(jù)題意設(shè)新拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(桃3-加)，則新拋物線L的解析式為

y=—(x—77J)2+3—m,

?.?拋物線L經(jīng)過點(diǎn)A,

0=—(3—AM)2+3—m,

解得機(jī)=3(舍去)或加=2,

當(dāng)勿=2時(shí)，新拋物線L的解析式為y=-(元-2)2+1,

令y=0,貝|0=-(無一2)?+1,

解得尤=3或x=1；

???與x軸的另一交點(diǎn)為。(1,0)；

cr)=i-(-i)=2；

②ACP。的面積不變，

:新拋物線L的解析式為y=-(x-mf+3-m,

聯(lián)立得一X+3=—（龍一加J+3—772,整理得X?—（2"Z+l）X+7/l（7〃+l）=0,

解得工=%或尤=m+1;

2(m+L2-m),

設(shè)直線CQ的解析式為y=kx^bx,

z2-m

k=-------

—k+4=0m+2

：，\m+i)k+b=2-m，解得，

l72-m

b=-------

}m+2

???直線CQ的解析式為y==x+二?

m+2m+2

作PR〃》軸交直線CQ于點(diǎn)H,

2-m

?mH---(--m----+--1+l)

m+2

2m—m2+2—m|/

加+2

1/22

=—3m—m+6—2m—2—m+m

2V

」x4=2,

2

...△CPQ的面積不變，ACPQ的面積為2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，坐標(biāo)

與圖形面積，二次函數(shù)圖象的平移，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵.

6.（2024上.上海浦東新?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線

用：,=-尤2+區(qū)+0過點(diǎn)42,2）、點(diǎn)8（0,2）,頂點(diǎn)為點(diǎn)C,拋物線M的對稱軸交x軸于

點(diǎn)D

y木

i

o1x

(1)求拋物線M的表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)AAOP與AACD相似時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

(3)將拋物線加向下平移々＞0)個(gè)單位，得到拋物線N,拋物線N的頂點(diǎn)為點(diǎn)E,再把

點(diǎn)C繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135。得到點(diǎn)R當(dāng)點(diǎn)b在拋物線N上時(shí)，求f的值.

【答案】(l)y=-f+2X+2,點(diǎn)C(l,3)

⑵或(6,0)

⑶”0

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解;

即孚=平，即可求解；當(dāng)ACMPsAaM時(shí)，同

(2)當(dāng)《MPsqif)時(shí)，則=

3v2

理可解;

(3)根據(jù)圖像平移和旋轉(zhuǎn)求出點(diǎn)/+3T-半，，代入函數(shù)解析式求解即可.

【詳解】(1)解：由題意得:

c=26=2

解得:

一4+2Z?+c=2c=2

則拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+2x+2,

?；y=-x2+2x+2=-(x-l)2+3

頂點(diǎn)C(l,3)；

(2)解：由(1)知，y=—x~+2x+2=—(x—1)+3,

又：拋物線M的對稱軸交x軸于點(diǎn)D,

；?點(diǎn)”0),

：A(2,2)、8(0,2),C(l,3),0(1,0),

AC=^(2-1)2+(2-3)2=V2>8=3、AD=^(2-l)2+22>

==ZDCA=ZAOD=45°,

又：AAOP與AACD相似,

，點(diǎn)。與點(diǎn)c對應(yīng)，

當(dāng)AQW?AC4￡)時(shí)，

則黑關(guān)，即等舉，

CDCA3V2

解得：OP=6,

即點(diǎn)尸(6,0)；

當(dāng)時(shí)，

貝I]"=絲.gpO￡=W2

ACCDy/23

4

解得：。尸=3，

則點(diǎn)pg,o；

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：或(6,0)；

(3)解：如圖，過點(diǎn)尸作FT_LCE交CE于點(diǎn)T,則NFET=180O-135o=45。,

c

2

設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為：y=-x+2X+2-t,

則CE=t,

在等腰RtZ\￡FT中，EF=EC=t,

則TF=TE=旦,

2

則點(diǎn)尸'+與，,3一t一與t,

\7

將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：3-r-爭=-（1+字產(chǎn)+2（1+爭）+2-,

解得：/=0（舍去）或6,

故f=0.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二

次函數(shù)圖象的平移，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，相似三角形的判定性質(zhì)等知

識，分類求解是解題的關(guān)鍵.

7.（2024.上海楊浦?統(tǒng)考一模）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線

>=62-2辦-3（。工0）與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與>軸交于點(diǎn)

C,拋物線的頂點(diǎn)為。，且AB=4.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)尸是線段BC上一點(diǎn)，如果44c=45。，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶在第（2）小題的條件下，將該拋物線向左平移，點(diǎn)。平移至點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作

EP工直線AP,垂足為點(diǎn)尸，如果tan/PE尸=；,求平移后拋物線的表達(dá)式.

【答案】（1）1y二——2x-3

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為右，根據(jù)對稱軸，AB=4,列式

區(qū)產(chǎn)=1,/-%=4,利用根與系數(shù)關(guān)系計(jì)算確定?值即可.

（2）過點(diǎn)C作ACLMN于點(diǎn)C,交AC右側(cè)的AP的延長線于點(diǎn)交AC左側(cè)的

AP的延長線于點(diǎn)N,利用三角形全等，確定坐標(biāo)，后根據(jù)解析式交點(diǎn)確定所求坐標(biāo)

即可.

（3）設(shè)拋物線向左平移了/個(gè)單位，則點(diǎn)E（l-f,T）,過點(diǎn)尸作x軸的平行線交過點(diǎn)

P和y軸的平行線于點(diǎn)“，交過點(diǎn)E和,軸的平行線于點(diǎn)G,證明

GFGFFF1

RUFGEsRt/HR,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出===~^^=2即可

HFHPFPtanZPEF

求解.

【詳解】（1）解：：拋物線＞=加一2依-3（。NO）與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)8（點(diǎn)A在點(diǎn)8

的左側(cè)），與＞軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為O,且筋=4,

XAXB

^=1,XB-XA=4,

解得同=3,XA=-1,

解得＜7=1,

故拋物線的解析式為y=Y-2了-3.

（2）過點(diǎn)C作ACLMN于點(diǎn)C,交AC右側(cè)的AP的延長線于點(diǎn)

VZ^4C=45°,

???AC=CM,

過點(diǎn)/作軸于點(diǎn)T,

???ZACO=90°-ZECM=ACMT

ZACO=ZCMT

?.?\ZAOC=/CTM,

AC=CM

：.△AOC^ACTM（AAS）,

??.AO=CT,OC=EM,

???拋物線的解析式為y=/_21_3,XB=3,XA=-1,

：.AO=CT=IOC=TM=3,A（-l,0）,C（0,-3）,B（3,0）,

OE=2,TM=3

：.M（3,-2）,

設(shè)AM的解析式為丁=丘+。，3c的解析式為y=p%+4

.[~k+b=Qj3〃+q=0

t，\3k+b=-2'[q=-3'

AW的解析式為y=-gx-；，BC的解析式為y=x-3,

y=x—3

5

x=—

3

解得

(3)：y=x2-2x-3=(x-l)2-4,點(diǎn)0(1),

設(shè)拋物線向左平移了t個(gè)單位，則點(diǎn)E(IT,Y),

過點(diǎn)尸作x軸的平行線交過點(diǎn)尸和y軸的平行線于點(diǎn)H,交過點(diǎn)E和y軸的平行線于

點(diǎn)G,

設(shè)小，一1一寸

???ZEFP=90°,

：.NGFE+NHFP=9。。,

???NGFE+NG跖=90。，

???NGEF=NHFP,

ARuFGE^RtAPHF,

.GEGFEF1_2

■訴一訴一而一tanN尸石廠—'

,?*GE=yp_y^-=——nt——+4,HF=Xp_Xp=——m,GF—Xp—x0—TH—（1一%）,

rm114

HP=yF-yp=--m--+~,

解得：f=T,

"一4=H-4.

【點(diǎn)睛】本題為考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，三角形全等和相似、解直角三角形、圖象

平移等，正確作輔助線是解題的關(guān)鍵.

8.（2024上.上海靜安.九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系x0y中（如圖），已知點(diǎn)

4（一2,0）、8（6,0）、C（0,8）、,2,在同一個(gè)二次函數(shù)的圖像上.

-----------------------------1------------------------?

oi%

（i）請從中選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)坐標(biāo)，求二次函數(shù)解析式；

⑵如果射線班平分/ABC,交y軸于點(diǎn)E,

①現(xiàn)將拋物線沿對稱軸向下平移，頂點(diǎn)落在線段8E的點(diǎn)尸處，求此時(shí)拋物線頂點(diǎn)P的

坐標(biāo)；

②如果點(diǎn)P在射線BE上，當(dāng)△尸3c與△8OE相似時(shí)，請求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

9Q

【答案】⑴丫=-§彳2+9+8

（2）?F（2,2）②止2,4）,②<5）

【分析】（1）把解析式設(shè)為交點(diǎn)式，再把C（0,8）代入解析式中求解即可；

（2）①過點(diǎn)E作3c于H,由角平分線的性質(zhì)得到OE=RE.利用勾股定理求

出3c=10,進(jìn)而利用等面積法求出。E=3,則E（0,3）,求出直線助解析式為

y=x+3,再求出對稱軸為直線x=2,由此即可求出/（2,2）；②先求出

OE=3,OB=6,設(shè)尸（2根,一加+3）,貝l|PC?=5加？+1。心+25,PB2=5m2-30m+45,

分當(dāng)時(shí)，當(dāng)APBCSA￡BO時(shí)，兩種情況根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立方

程求解即可.

【詳解】⑴解:設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x+2）（x—6）（分0）,

把C（0,8）代入y=a（x+2）（x-6）（aH0）中得：a（0+2）（0-6）=8,

2

解得。=-『

99S

二次函數(shù)解析式為y=_耳（彳+2）（x_6）=+§彳+8；

（2）解：①過點(diǎn)后作團(tuán)13（7于H,

?射線8E平分/ABC,EH±BC,EO±AB,

：.OE=HE,

???8(6,0)、C(0,8),

???"=&06=6,

-*?^C=VOC2+OB2=10^

?Sgoc=S/^BCE+SgoE，

：.-OBOC=-OEOB+-BCHE,

222

.\-x6x8=3OE+5OE,

2

OE=3,

：.石（0,3）,

設(shè)直線BE解析式為y=kx+b,

?J6左+b=0

u[b=3'

k=--

：.<2,

b=3

.?.直線班解析式為y=+3,

9Q

..?二次函數(shù)解析式為了=-§/+：龍+8,

8

，對稱軸為直線了=-一=2,

--x3

3

在丫=—1無+3中，當(dāng)x=2時(shí)，y=2,

F（2,2）；

②：E（0,3）,3（6,0）,

Z.OE=3,OB=6,

設(shè)尸（2帆一加+3）,

...PC2=（2/?z-0）2+（-m+3-8）2=5z/r+10m+25,

PB2=（2/n-6）2+（-m+3-0）2=5m2-30m+45,

當(dāng)APBCS—BE時(shí)，則喋=黑=2,

PCOE

.5m2-30m+45

,,9=4,

5m之+10m+25

***5m2-30m+45=20m2+40m+100,

?**3m2+14m+11=0,

解得機(jī)=-1或（舍去），

；.P（-2,4）；

當(dāng)APBCS^EBO時(shí),則黑=!|二，

nC（JD2

.5m2+10m+251

??-----------------------—―,

1004

m2+2m=0,

解得〃z=-2或〃?=0（舍去），

尸（＜5）；

綜上所述，P(-2,4)或尸(Y5).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的

性質(zhì)，一次函數(shù)與幾何綜合等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

9.(2024上.上海青浦?九年級統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線

y=#+原+1過點(diǎn)4(1,2)和點(diǎn)5(2,1),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求。、》的值和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，當(dāng)ZPCB=ZACB時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，平移該拋物線，使其頂點(diǎn)在射線8上，設(shè)平移后的拋物線的頂

點(diǎn)為點(diǎn)、D,當(dāng)△CDP與ACAP相似時(shí)，求平移后的拋物線的表達(dá)式.

【答案】（l）a=—1,6=2,C（O,1）,

⑵*3,-2）；

（3）y=-（x-9）2+10.

【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；

（2）證明448=45。=/PCB,則直線CP的表達(dá)式為丁=-尤+1,即可求解；

（3）當(dāng)△（?￡＞「與ACIP相似時(shí)，證明/APC=NCZ）P,得至ACR4sACDP,

則PC2=ACCD,即可求解；

本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形相似、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用.

【詳解】（1）由題意得：

a+b+l=2a=-1

4a+26+l=l'解得:

b=2

當(dāng)x=0時(shí)，y=l,則C（0,l）,

CL——1

（2）由（1）得:

b=2

拋物線解析式為y=-Y+2x+1①,

由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)知，3C〃x軸，

由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)知，ZACB=45°=ZPCB,

則直線CP的表達(dá)式為：＞=r+l②，

聯(lián)立①②得：-犬+1=-尤2+2x+l,解得：x=0（舍去）或3,

，x=3時(shí)，，=-2,

則點(diǎn)尸（3,—2）；

（3）由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得直線AC的表達(dá)式為：y=*+l,

故設(shè)點(diǎn)D(m,m+l)(m>0),

由點(diǎn)尸、D、C、A的坐標(biāo)得，PC2=18,AC=四,CD=-Jim-

當(dāng)△(?￡>尸與AC4P相似時(shí)，

VZACP=ZDCP,NCPA手NCPD,

則ZAPC=ZCDP,

：.ACPAS^CDP,

n.CPAC

CDPC

即PC2ACCD,

即18=應(yīng)*"〃，

解得：m=9,

則點(diǎn)0(9,10),

則拋物線的表達(dá)式為：y=-(%-9)2+10.

10.(2024上?上海松江.九年級統(tǒng)考期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線

y=32+bx+c(a>0)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)。(0,0)、點(diǎn)A(l,3a),此拋物線的對稱軸與x軸交

于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為B.

yk

(1)求拋物線的對稱軸；

(2)如果該拋物線與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為。，且—ADC的正切值為2,求。的值；

(3)將這條拋物線平移，平移后，原拋物線上的點(diǎn)4B分別對應(yīng)新拋物線上的點(diǎn)E、

P.聯(lián)結(jié)上4,如果點(diǎn)尸在y軸上，PA//x^，且NEPA=NCBO,求新拋物線的表達(dá)

式.

【答案】⑴直線x=-1

⑵。=2

⑶、=*?+乎

【分析】該題主要考查了二次函數(shù)綜合，涉及知識點(diǎn)主要有解直角三角形，二次函數(shù)

的圖象和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判斷，函數(shù)平移等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以

上知識點(diǎn)；

(1)將。(0,0)、41,3〃)代入解析式再求解即可；

AN

(2)過A作⑷軸，根據(jù)tanNAOC=2=——，求解即可；

DN

(3)由(1)算出3(-1,a),C(-1,O),再根據(jù)點(diǎn)P在y軸上，尸A〃x軸，作

軸于K,得出BK=AP=1,NALP=NBZX,證明VAPL絲V3KL,得出PL=LK=2a,

pjnr1

又結(jié)合平移得出tanNPAL=——=2%在△3CO中，tanZCBO=——=—,由

APBCa

12口/尸泣=1皿/。5。歹!］方程解出4=變，即可求解；

2

【詳角軍】(1)Qy=ax2+bx+cxt0(0,0),

c=0,

又過A(l,3〃)，

a+b+c=3a,

..Z?—2a,

y=ax2+bx+c的對稱軸為直線％=—~—=——=—1,

2a2a

(2)由(1)矢口b=2a,c=0,

..玉=0,%2=—2,

.R-2,0),

過A作ANJ_x軸，

DN=1-(-2)=3,

...tanNAZ)C=2=——,

DN

：.AN=2DN=6,

..3cl——6,

a=2.

(3)由(1)得，y=ax2+2ax=a(^x2+2x+l—=a(x+l)2—a,

.**,對稱軸為直線％=-1,

???點(diǎn)尸在y軸上，軸,

作軸于K,

/.BK=AP=1,

設(shè)AB交y軸于L,

/.P(0,3<7),

.?.AALP=/BLK,

又ZAPL=/BKL=94。,

sNAPL^BKL,

PL=LK,

又PK=3a—(—a)=4-a,

PL=LK=2a,

???PL=LK=2a,

又由平移知EP〃AB,

???ZEPA=ZPAL,

tan/PAL==2a,

AP

OC1

又在△區(qū)CO中，tanZCBO=——=一，

BCa

Q/CBO=/EPA,

：.ZPAL=ZCBO,

tanNPAL=tan/CBO,

.2?！?

a

2a2-1,

,21

..a二一,

2

e—e

a=------------,

22

,_V2

..6Z-----,

2

.??二次函數(shù)解析式為"孝一+血一

???新拋物線解析式為y=變無2+逑.

22

11.(2024上.上海金山.九年級統(tǒng)考期末)已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線

y=ad+灰+。過點(diǎn)A(—l,0)、3(3,0)、C(0,-3).

i-

IIII______1111A

01*

(1)求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)戶的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)。在拋物線對稱軸上，々40=90。，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)拋物線的對稱軸和x軸相交于點(diǎn)M，把拋物線平移，得到新拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)。,

QB=QM,Q。的延長線交原拋物線為E,QO=OE,求新拋物線的表達(dá)式.

【答案】⑴尸23-3,(1,-4)

⑵(LD

(3)y-x2-4x-l

【分析】(1)利用待定系數(shù)法解得該拋物線解析式，并將其轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可確定

點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)。(1,相)，根據(jù)勾股定理可得A產(chǎn)=20,AD2=m2+4,

PD2=m2+8m+16,在口以凡叨中，由勾股定理可得AP?+AD?=陽?，然后代入求

值，即可獲得答案；

(3)首先過點(diǎn)。作MB于點(diǎn)根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)確定點(diǎn)”為

MB中點(diǎn)，易得〃(2,0)；過點(diǎn)E作EGLx軸于點(diǎn)G,證明AOEG0A由全等三

角形的性質(zhì)可得OG=OH=2,EG=QH,易知點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-2,進(jìn)而確定點(diǎn)

E(—2,5),點(diǎn)。(2,-5),然后根據(jù)平移的性質(zhì)，即可獲得答案.

【詳解】(1)解：將點(diǎn)解TO)、8(3,0)、C(0,-3)代入拋物線、=冰2+6無+c,

0=a-b+c4=1

可得<0=+3Z?+c解得,b=-2,

-3=cc=-3

/.該拋物線的表達(dá)式為y=--2x-3,

又：y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

???頂點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,-4);

(2)如下圖，

根據(jù)題意，點(diǎn)。在拋物線對稱軸上，ZPAD=9Q°,

設(shè)點(diǎn)。(1,根)，

?/A(-l,0),P(1T),

AP2=[1-(-1)]2+[0-(-4)]2=20,AD2=m2+[1-(-1)]2=m2+4,

PD2=[m—(―4)|2=m2+8m+16,

在RtA"。中，由勾股定理可得AP'AD?=PZ)2,

BP20+m2+4=m2+8租+16,

解得機(jī)=1,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(U);

(3)如下圖，

,原拋物線>=/-2》-3=0-1)2-4,

.,?其對稱軸為x=l,

AM(l,0),

???新拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)Q,QB=QM,

過點(diǎn)。作于點(diǎn)a,則即點(diǎn)H為MB中點(diǎn),

V5(3,0),"(1,0),

H(2,0),

二O//=2,

過點(diǎn)E作EG_Lx軸于點(diǎn)G,

VZOGE=ZOHQ=90°,ZGOE=ZHOQ,QO=OE,

：.“OEG沿OQH(AAS),

AOG=OH=2,EG=QH,

.??點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-2,

2

/.yE=(-2)-2x(-2)-3=5,

E(-2,5),

/.EG=QH=5,

Q(2,-5),

???把原拋物線y=Y-2x-3=(x-ir-4平移，得到新拋物線，

???新拋物線解析式為y=（X-2）2-5=--4.L1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、利用二次函數(shù)解決幾何問

題、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是運(yùn)

用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題.

0???

1.（2023上?上海嘉定?九年級統(tǒng)考期末）已知平面直角坐標(biāo)系拋物線

y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-3,0）和B（0,-3）兩點(diǎn).

（1）求拋物線的表達(dá)式;

（2）如果將這個(gè)拋物線向右平移上（左＞0）個(gè)單位，得到新拋物線經(jīng)過點(diǎn)8,求上的值.

【答案】⑴y=/+2x-3

(2)左=2

【分析】本題考查了二次函數(shù)的解析式求解以及二次函數(shù)的平移，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性

即可.

（1）將點(diǎn)4（-3,0）和3（0,-3）代入y=Y+法+c即可求解；

（2）由（1）得y=（x+l）2-4,設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為y=（x+l-左）、4,將點(diǎn)

3（0,-3）代入即可求解.

【詳解】（1）解：將點(diǎn)4（-3,0）和3（0,-3）代入yuf+fox+c得：

j9-3Z?+c=0

|c=-3

b=2

解得

c=—3

???拋物線的表達(dá)式是：y=d+2x-3.

(2)解:由(1)配方得：y=(x+l)2-4

根據(jù)題意可設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為y=(x+l-k)2-4

?/y=(x+l-k)2一4經(jīng)過點(diǎn)B(0,-3)；

-3=(1—4y_4

解得：K=。，k2=2

'：k>0

:?k=2.

2.(2023上?上海浦東新?九年級校考階段練習(xí))已知拋物線丁=辦2+桁+。如圖所示,

請結(jié)合圖像中所給信息完成以下問題：

(1)求拋物線的表達(dá)式：

(2)若該拋物線經(jīng)過一次平移后過原點(diǎn)。，請寫出一種平移方法，并寫出平移后得到的

新拋物線的表達(dá)式.

【答案】⑴y=—尤~—2x+3

(2)將拋物線向下平移3個(gè)單位，y=-d-2x

【分析】(1)由題意可設(shè)拋物線的解析式為y="(x-l)(x+3),把(0,-3)代入上式,

即可求解；

(2)把拋物線表達(dá)式化為一般式y(tǒng)=-/-2x+3,根據(jù)平移的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：由題意可得，拋物線過點(diǎn)。,0),(-3,0),(0,-3)

???設(shè)拋物線的解析式為：j=?(x-l)(x+3),

把(。,-3)代入，可得3a=-3,

解得：。=一1,

2

拋物線的解析式為：y=—(x—l)(x+3)=-X-2X+3；

(2)由(1)得y=—x2—2x+3,

二將拋物線向下平移3個(gè)單位，得y=-2無，

得到該拋物線經(jīng)過一次平移后過原點(diǎn)。，

3.(2022?上海?統(tǒng)考中考真題)已知：>=：尤2+公+。經(jīng)過點(diǎn)4(-2,-1),3(0,—3).

⑴求函數(shù)解析式；

(2)平移拋物線使得新頂點(diǎn)為尸(山,〃)(相>0).

①倘若人。朋=3,且在x=左的右側(cè)，兩拋物線都上升，求上的取值范圍；

②P在原拋物線上，新拋物線與J7軸交于Q,NBPQ=120。時(shí)，求尸點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(i)y=；--3

⑵①文2

②尸的坐標(biāo)為(2石，3)

【分析】(1)把人(-2,-1),3(0,-3)代入〉=；必+法+。，求解即可；

(2)①由y=g/-3,得頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),即點(diǎn)2是原拋物線的頂點(diǎn)，由平移得拋

物線向右平移了相個(gè)單位，根據(jù)ZOPB=：x3〃z=3,求得相=2,在》=上的右側(cè)，兩拋

物線都上升，根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求出々取值范圍；

111

②把尸(m,〃)代入-3,得加2-3,則尸(m,—m2-3),從而求得新

拋物線解析式為：y=(x-m)2+n=yx2-nuc+m2-3,則。(0,m2-3),從而可求得BQ=加2,

222

BP=m+(1〃/_3+3)2=m2+lm\PQ2=〃/+[(1/_3)_(/_3)了=m+^,即可

得出BP=PQ,過點(diǎn)P作尸C，y軸于C,則尸C=M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BC=

；BQ=gn/,NBPC=；NBPQ=；xl20°=60°,再根據(jù)tan/BPC=tan60°=

12

BC2m

=5即可求出，"值，從而求出點(diǎn)P坐標(biāo).

PC-\m\

【詳解】(1)解：把A(-2,-1),3(0,-3)代入丫=：/+版+。，得

—1=2—2。+。6=0

解得:

—3=cc=—3’

2

???函數(shù)解析式為：J=1X-3;

(2)解：(1)^=—x2—3,

；?頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),即點(diǎn)8是原拋物線的頂點(diǎn)，

???平移拋物線使得新頂點(diǎn)為尸(S〃)(m>0).

二拋物線向右平移了:九個(gè)單位，

x

S^OPB——3根=3,

??〃z=2,

???平移拋物線對稱軸為直線x=2,開口向上，

??,在x=左的右側(cè)，兩拋物線都上升，

又??,原拋物線對稱軸為y軸，開口向上，

②把P(m,n)代入y=g%2—3,得行g(shù)4-3,

1

/.P(m,—m~9-3)

2

根據(jù)題意，得新拋物線解析式為：^1(x-m)2+n=1x2-mx+m2-3,

A2(0,m2-3),

VB(0,-3),

BQ=m2,BP2=m2+(^m2—3+3)2=m2+m4,

PQ2=機(jī)2+[(gm2—3)—(m2—3)]2=m2+m4,

:.BP=PQ,

如圖，過點(diǎn)尸作尸軸于C,則尸C二|m|,

?；BP=PQ,PC.LBQ,

BC=1BQ=Jm2,ZBPC=|ZBPQ=gx120°=60°,

2

1OT

：.tanZBPC=tan60°=B￡=2_=也,

PC-\m\~

解得：m=±2V3(舍去負(fù)數(shù))，

m2—3=3,

2

故P的坐標(biāo)為(26，3).

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的平移，拋物線的性質(zhì)，解直

角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，本題屬拋物線綜合題目，屬中考常考試題目，難度一

般.

4.(2023上?上海普陀?九年級統(tǒng)考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系尤2y中(如圖)，已知

拋物線y=?+x+c經(jīng)過4(-2,0)和8(0,4),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.

1-

llllIlli111

-\Q1%

-1-

⑴求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑵將拋物線、="2+尤+。先向右平移2個(gè)單位，再向下平移加(機(jī)＞0)個(gè)單位后得

到的新拋物線與y軸交于點(diǎn)P(O,-I),新拋物線的頂點(diǎn)為；

①求新拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)M'的坐標(biāo);

②點(diǎn)N是新拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】(1)y=-#+彳+4,小