《2022-2023學年高二數學人教A版2019選擇性必修第二冊同步單元測試AB卷（新高考）》

專題4.5等比數列（A）

第I卷選擇題部分（共60分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（2019?陜西?安康市教學研究室二模（文））若一個等比數列的公比為3,且首項為2,則該數列的第4項

為（）

A.18B.36C.54D.162

2.（2022?吉林?長春外國語學校高三期中）等比數列4,x,9,…，則實數x的值為（）

1313

A.-6B.—C.±6D.±—

22

3.（北京市通州區2022-2023學年高一上學期期中考試數學試題）某商品自上市后前兩年價格每年遞增10%,

第三年價格下降了20%,則第三年降價后與上市時價格相比，變化情況是（）

A.下降了2.8%B,增加了2.8%

C.下降了3.2%D.增加了3.2%

4.（2022?湖南.長郡中學高二期中）在數列｛4｝中，0+1=-2%且01=1,則氏=（）

A.2"-2B.（~2）"-2C.2"一D.（-2尸

5.（2022?甘肅省臨跳中學高二階段練習）已知2,a-3,|-。成等比數列，則a的值為（）

A.2B.4C.2或4D.無法確定

6.（2022?四川省成都市新都一中高三階段練習（理））數列｛%｝滿足%+「2%=0,4勺=4,則R的值為

（）

A.2B.-2C.±2D.4

7.（2022.黑龍江?哈爾濱三中高三階段練習）已知等比數列｛%｝的公比q>1,前”項和為,4=1,%+/=6,

則1=（）

A.29B.30C.31D.32

8.（2022?全國?高三專題練習）已知正項等比數列｛q｝前九項和為S”，且4+。3=6,S4+=S3+3,則等比

數列的公比為（）

A.士B.2C.-D.3

23

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.

9.（2022?全國?高二課時練習）下列數列是等比數列的是（）.

A.1,1,1,1,1B.0,0,0,0,...

C.二，一，一j...D.—1,—1,1,—1,...

248

10.（2022?湖北?武漢市鋼城第四中學高二期中）已知數列｛4｝是等差數列，數歹！I｛2｝是等比數列

則下列說法正確的是（）

A.若p,q為實數，則｛。4+式訂是等比數列

B.若數列｛4｝的前幾項和為S“，則S5,Sl0-S5,幾-九成等差數列

C.若數歹式優｝的公比4>1,則數歹￡2｝是遞增數列

D.若數列｛%｝的公差d<0,則數列｛4｝是遞減數列

11.（2022?甘肅?白銀市第九中學高二階段練習）已知等比數列｛%J,%=1,q=2,貝|（）.

，1、

A.數歹！J｛一｝是等比數列

an

B.數列｛上｝是遞增數列

an

C.數列｛log2。/是等差數列

D.數列｛log?凡｝是遞增數列

12.（2022?全國?高三專題練習）已知｛叫為等差數列，滿足2a2-%=1，也｝為等比數列，滿足4=-8,4=64,

則下列說法正確的是（）

A.數列｛4｝的首項比公差多1B.數列｛見｝的首項比公差少1

C.數列也｝的首項為2D.數列出｝的公比為-2

第II卷非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2022?全國?高三專題練習）在等比數列｛%｝中，％=4嗎。=16,則電和％。的等比中項為.

14.（2022?全國?高三專題練習）設等比數列｛%｝滿足/+出=4,%-6=8.則通項公式a?=.

15.（2020?廣東?高三學業考試）設等比數列｛4｝的前"項各為5"，已知4=1,邑=3,則S3=.

16.（2021?河南?安陽37中高一期末）設等比數列｛4｝滿足q+的=3,a2+a3=6,則牝=.

四'解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（2022?全國?高三專題練習）在等比數列｛q｝中，已知?4=4.求：

（1）數列｛4｝的通項公式；

⑵數列忖｝的前5項和

18.（2022?上海?華師大二附中高二期中）已知等差數列｛%｝的前”項和為S“，公差dwO,且冬+&=50，

%,%，%成等比數列.

（1）求公差d的值；

⑵求S“.

19.（2022?甘肅?天水市第一中學高二階段練習）設等比數列｛%｝的前w項和為S,.

⑴若公比4=2,%=96,S?=189,求"；

⑵若S3：邑=3:2,求公比q.

20.（2022?全國?高三專題練習）在數列｛。“｝中，ai—1,an=2anj+n-2

（1）證明：數列｛q+〃｝為等比數列，并求數列｛4｝的通項公式；

⑵求數列｛aw｝的前〃項和Sn.

21.（2022?四川?遂寧中學高三階段練習（理））已知等差數列｛%｝滿足q=2,前4項和邑=7.

（1）求｛q｝的通項公式；

（2）設等比數列也｝滿足打=%，4=%，數列圾｝的通項公式.

22.（2022.江西南昌?高三階段練習（文））在等比數歹！]｛七｝中，al+a2=5a2=^.

（1）求｛凡｝的通項公式；

3

（2）求數歹jJ｛]a〃+2〃一l｝的前〃項和Sn.

《2022-2023學年高二數學人教A版2019選擇性必修第二冊同步單元測試AB卷（新高考）》

專題4.5等比數列（A）

第I卷選擇題部分（共60分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.（2019?陜西?安康市教學研究室二模（文））若一個等比數列的公比為3,且首項為2,則

該數列的第4項為（）

A.18B.36C.54D.162

【答案】C

【分析】由已知利用等比數列的通項公式即可求解

【詳解】若等比數列｛%｝的首項為的,公比為心則它的通項

由已知可得：4=2,4=3,

則該數列的第4項%=q=2x3,=54.

故選：C.

2.（2022?吉林?長春外國語學校高三期中）等比數列4,x,9,....則實數x的值為（）

A.—6B.—C.+6D.土—

22

【答案】C

【分析】根據等比數列的定義列方程求x即可.

【詳解】因為數列4,x,9,…為等比數列，所以數列4,x,9為等比數列，所以/=4?9,

所以x=±6,C正確，故選：C.

3.（北京市通州區2022-2023學年高一上學期期中考試數學試題）某商品自上市后前兩年價

格每年遞增10%,第三年價格下降了20%,則第三年降價后與上市時價格相比，變化情況

是（）

A.下降了2.8%B.增加了2.8%

C,下降了3.2%D,增加了3.2%

【答案】C

【分析】前兩年的價格按照等比數列計算，第三年的價格按照百分數單位一計算.

【詳解】設上市時的價格為x,則由題意：第二年的價格為（l+10%『x,第三年的價格為

（1+10%）2xx（1-20%）=0.968%,

1-0.968=0.032=3.2%,所以是下降了3.2%；

故選：c.

4.（2022?湖南?長郡中學高二期中）在數列｛4｝中，a,+i=-2a“且4=1,則凡=（）

A.212B.（一2廣2C.D.（-2）"-1

【答案】D

【分析】根據給定的條件，利用等比數列通項公式求解作答.

【詳解】數列｛%｝中，。角=一2%且4=1,因止匕數歹￡4｝是首項為1,公比為-2的等比數歹

所以％=（-2尸.

故選：D

5.（2022?甘肅省臨跳中學高二階段練習）已知2,。-3,|-。成等比數列，則。的值為（）

A.2B.4C.2或4D.無法確定

【答案】A

【分析】根據等比數列的性質進行求解即可.

【詳解】依題意，（a-3）2=2]g-a],故/_6a+9=5-2a,解得。=2.

故選：A

6.（2022?四川省成都市新都一中高三階段練習（理））數列｛q｝滿足2%=0,4知=4,

則“6的值為（）

A.2B.-2C.±2D.4

【答案】C

【分析】由題設可知｛%｝為等比數列，再由等比數列的性質即可求解

【詳角其】4。"=4,則q片。

又因為a“+i-2a“=。，所以a,M=2a”

所以｛%｝為等比數列

axan=a；=4n&=±2

當％〉0時，以=2；當6<0時，4=—2

故選：C

7.（2022.黑龍江?哈爾濱三中高三階段練習）己知等比數列｛%｝的公比q>1,前w項和為5“，

q=l,a2+a3=6,貝465=（）

A.29B.30C.31D.32

【答案】C

【分析】根據給定條件，列式求出公比即可計算作答.

【詳解】等比數列｛%｝的公比4>1,由4=1,%+%=6,得“+/-6=0,解得4=2,

所以S5=-------=31.

51-2

故選：C

8.（2022?全國?高三專題練習）已知正項等比數列｛見｝前"項和為％且q+%=6,

見+生=$3+3,則等比數列的公比為（）

B.2C-ID.3

【答案】A

【分析】先根據〃〃與S“的關系得至US4-S3+%=4+%=3,設出公比，列出方程組，求出公

比.

【詳解】因為邑+%=Ss+3,

所以—S3+%=。4+“2=3

%q+q/=3

設公比為q（9>0）,可得:

%+a4—6

兩式相除得：q=；

故選：A

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個

選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得

0分.

9.（2022?全國?高二課時練習）下列數列是等比數列的是（）.

A.1,1,1,1,1B.0,0,0,0,...

C.~1—，—r...D.—1，—1,1,—1,...

248

【答案】AC

【詳解】解：A選項，由等比數列的定義可知，該數列首項為1,公比為1的等比數列，故

A正確；

B選項，由等比數列的定義可知，等比數列的每一項都不能為0,一定不是等比數列，故B

錯誤；

C選項，由等比數列的定義可知，首項為公比為g的等比數列，故C正確；

D選項，由等比數列的定義可知，==故不是等比數列，故D錯誤.

q%

故選：AC.

10.（2022?湖北?武漢市鋼城第四中學高二期中）已知數列｛4,｝是等差數列，數歹支包｝是等比

數列（〃eN*）,則下列說法正確的是（）

A.若p,q為實數，貝乂。。“+血｝是等比數列

B.若數列｛%｝的前”項和為S“，則S5,Sl0-S5,幾-1成等差數列

C.若數列圾｝的公比4>1,則數列圾｝是遞增數列

D.若數列｛5｝的公差d<0,則數列｛%｝是遞減數列

【答案】BD

【分析】由等差、等比數列及其前〃項和性質直接判斷可得.

【詳解】取P=1,4=0，%="，顯然A不正確；由等差數列片段和性質知B正確;取么=-2",

易知q=2>l,但也〃｝為遞減數列，故C不正確；若d<0,則由等差數列定義知

an+l~an=d<0,故數列｛4｝是遞減數列，D正確.

故選：BD.

11.（2022?甘肅?白銀市第九中學高二階段練習）已知等比數列｛%｝,%=1,4=2，則（）.

,1,

A.數歹i」｛一｝是等比數列

/

,1,

B.數列｛一｝是遞增數列

an

C.數列｛log?凡｝是等差數列

D.數列｛log?%｝是遞增數列

【答案】ACD

,1、

【分析】求出數列｛一｝與｛log?4｝的通項公式，再判斷是否是等比或等差數列；等差數列的

an

單調性決定于公差的正負，等比數列的單調性決定于首項的正負和公比與1的大小.

.11,1、

【詳解】由%=1,4=2得0,=2"\—=布，所以數歹M—｝是等比數列且為遞減數列，

故A正確B不正確；

log2??=7i-l,數列口鳴%｝是遞增的等差數列，故C,D正確.

故選：ACD.

12.（2022?全國?高三專題練習）已知｛%｝為等差數列，滿足2出-%=1,｛2｝為等比數歹U,

滿足4=-8,%=64,則下列說法正確的是（）

A.數列｛%｝的首項比公差多1B.數列｛〃“｝的首項比公差少1

C.數列也｝的首項為2D.數列也｝的公比為-2

【答案】AD

【分析】根據等差數列與等比數列的通項公式求各基本量，進而判斷各選項.

【詳解】設｛%｝的公差為d，由2-1，

得2（q+d）—（q+3d）=1,化簡得q-4=1,

所以A正確，B錯誤.

設也｝的公比為4,由%=4-8,得好_2,化簡得4=-2,

“3

所以C錯誤，D正確，

故選：AD.

第II卷非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2022?全國?高三專題練習）在等比數列｛%｝中，2=4,4。=16,則出和《。的等比中項

為.

【答案】±8

【分析】根據等比中項的知識求得正確答案.

【詳解】設出與%。的等比中項為G,

因為%=4,=16,所以G?=4x16=64,所以G=±8.

故答案為：±8

14.（2022.全國?高三專題練習）設等比數列｛%｝滿足6+%=4,%-q=8.則通項公式

【答案】3"T

【分析】把數列的項，分別用表示出來，列出方程，即可得到結果.

【詳解】設｛%｝的公比為4,則4=囚尸.

由已知得=t，解得4=1,4=3,所以的通項公式為a“=3"）

\axq-ax=Q

故答案為：3"T

15.（2020?廣東?高三學業考試）設等比數列｛為｝的前八項各為S“，已知弓=1,邑=3,則邑=

【答案】7

【分析】根據條件求出等比數列的公比，再求出火,根據前〃項和的定義計算即可.

【詳解】由題意，邑=4+%=3,g=2,公比4=?=2,

/.a3=a2q=4,邑=%+%+/=1+2+4=7；

故答案為：7.

16.（2021.河南?安陽37中高一期末）設等比數列｛%｝滿足4+g=3,a2+a3=6,貝i]&=

【答案】32

【分析】由等比數列的通項公式列方程組即可求解.

【詳解】設等比數列｛。加的公比為q,

?.?〃/+〃2=3,〃2+。3=6,

fa+=3

：?八、/解得q=1，4=2.

55

貝I]a6=aiq—2=32.

故答案為：32.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.（2022?全國?高三專題練習）在等比數列｛%｝中，已知％=；,g=4.求：

⑴數列｛%｝的通項公式；

（2）數列｛4｝的前5項和S5.

【答案】⑴4=2"-2

⑵號

4

【分析】（1）根據已知條件求解出％應，則｛%｝的通項公式可求；

（2）根據等比數列前”項和公式求解出$5即可.

【詳解】（1）設數列｛4｝的公比為4，

因為4=；,%=4,所以%/=4,所以4=2,

所以。“=2”2；

（2）因為｛%｝為等比數列且4=2,

所以｛叫為等比數列，首項為必=；且公比為d=4,

所以[（I）341.

$5=下1=丁

18.（2022.上海?華師大二附中高二期中）已知等差數列｛%｝的前”項和為S“，公差dwO,

且53+65=5。，4,4，小成等比數列.

⑴求公差d的值；

(2)求S“.

【答案】（1）2

(2)n2+2n

【分析】（1）根據等比數列定義可得。：=4出，利用6,d表示出已知的等量關系，解方程

組即可求得結果;

（2）利用等差數列求和公式可直接得到結果.

⑴

\,日，，。］3等比數列，*,?&='

c3x27_5x47__

號+邑=503。［H-------d+jet,H--------d=50q=3

2

由得：22,解得:

3(q+3J)2=q(q+12d)d=2

公差d=2.

⑵

n(n-l)

由（1）得：s,=na+d=3〃+〃1)="+2〃.

xT~

19.（2022?甘肅?天水市第一中學高二階段練習）設等比數列｛4,｝的前”項和為S”.

⑴若公比4=2,”“=96,5?=189,求〃;

(2)若S3：S2=3:2,求公比q.

【答案】（1）6

(2)1或-;

【分析】（1）根據已知條件列方程，化簡求得".

（2）根據已知條件列方程，化簡求得4.

(1)

〃〃二〃廠2〃“二96

依題意a.1-2"

S.=一=4(2"-1)=189

1-2

由于qwO,所以兩式相除得壽-=型,189?2?1=96（2〃-1）,

2n-\189、）

189?2〃T=192-2"T—96,3?2"T=96,2〃T=32=25,〃—1=5,〃=6.

(2)

2

依題意a,+學a,+/a,=35,即%+%q+a/_l+q+q_3

%+axq1+42

2/-q-1=0,解得<?=1或4=-；.

20.(2022?全國?高三專題練習)在數列｛%｝中，ai=\,an=2an,i+n-2(?>2).

⑴證明：數歹叫為+4為等比數列，并求數列｛%｝的通項公式;

（2）求數列｛〃〃｝的前〃項和Sn.

【答案】（1）證明見解析，an=T-n

+1

（2）Sn=2"-1+；+%eN*）

【分析】（1）根據定義法證明｛為+可是等比數列，然后求出數列｛%+“｝的通項公式即可得

到｛凡｝的通項公式

（2）根據｛4｝數列通項的特點先分組，再采用公式法求和即可

an+n_+n-2)+n2。〃]+2〃-2

【詳解】（1）明：因為=2,

a?.i+(?-!)an_t+n-l〃〃一1+九一1

數列｛an+n]是首項為田+1=2,公比為2的等比數列，

那么a"+”=2-2"T=2",即an=2"-n.

(2)由(1)知。"=2"—〃，S”=(21+2,+2,+…2")—(1+2+3+…+〃)

_2x(l-2n)nx(n+V)2?+in+?+4

(jieN")

~1^222

21.（2022?四川?遂寧中學高三階段練習（理））己知等差數列｛4｝滿足%=2,前4項和$4=7.

⑴求｛%,｝的通項公式；

⑵設等比數列圾｝滿足仇=/，%=%，數列也｝的通項公式.

【答案】⑴4"+g

（2也=27或，=—（—2廣

【分析】（1）設等差數列｛%