專題06找規律題型分類

類推型

經

優

典

楊輝三角型選程序圖周期型

基

提題型歸納

累加型礎遞增型

升

題

題

末尾數字型

II

?經典基礎題

■?

（23-24八年級上?福建泉州?期中）

1.一組數據1;、494、肯16、25言…，請你按這種規律寫出第七個數.

（23-24八年級上?福建廈門?期中）

2.觀察下列一組數，按規律在橫線上填寫適當的數：2,-4,8,-16,32,

-64,_.........

（23-24八年級上?福建莆田?期中）

3.觀察下面的一列數，按規律在橫線上填上適當的數：

-2,4,-8,16,-32,,,.......,第n個數是.

（23-24八年級上?福建福州?期中）

4.按一定規律排列的單項式：%3,-2x5,3/，一4無力5婢，…，第〃個單項式是（）

A.（-1廣）01B.（-1）'加2EC.（-1廣）/"+1D.（-1）""小2

程序圖周期型

（23-24八年級上?福建三明?期中）

5.如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為64,我們發現第一次輸出的結果為32,第

二次輸出的結果為16,……，則第2022次輸出的結果為（）

試卷第1頁，共8頁

A.2B.4C.8D.1

（23-24八年級上?福建南平?期中）

6.如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為12,我們發現第1次輸出的結果為6,第

2次輸出的結果為3,……第2013次輸出的結果為（）

A.3B.6C.4D.8

（23-24八年級上?福建龍巖?期中）

7.如圖是一個運算程序的示意圖，若開始輸入的x值為81,我們看到第一次輸出的結果為

27,第二次輸出的結果為9,則第8次輸出的結果為（）

A.1B.2C.4D.8

（23-24八年級上?福建廈門?期中）

8.按照如圖所示的程序運算，若開始輸入的值為48,我們發現第一次得到的結果為24,第

二次得到的結果為12,…請你探索第2024次得到的結果為：.

（23-24八年級上?福建廈門?期中）

9.（圖形找規律）如圖是由同樣大小的圓按一定規律排列所組成的，其中第1個圖形中有4

個圓，第2個圖形中有8個圓，第3個圖形中有14個圓，第4個圖形中有22個圓……，按

此規律排列下去，第20個圖形中有（）個圓

試卷第2頁，共8頁

第1個圖形第2個圖形第3個圖形第4個圖形

A.422B.412C.402D.392

（23-24八年級上?福建福州?期中）

10.如圖是由同樣大小的圓按一定規律排列所組成的，按此規律排列下去，第9個圖形中圓

的個數是.

第1個圖形第2個圖形第3個圖形第4個圖形

（23-24八年級上?福建泉州?期中）

11.下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規律組成的，按此規律，第（8）個圖形中

面積為1的正方形的個數為.

ooWW

（1）（2）（3）(4)

末尾數字型

（23-24八年級上?福建廈門?期中）

12.觀察下列算式：1=3,32=9,33=27,3,=81,35=243,36=729,37=2187…歸納各計算結果

中個位數字的規律，可得32儂的個位數字是（）

A.1B.3C.9D.7

（23-24八年級上?福建寧德?期中）

13.觀察聯-1=1,22-1=3,2=1=7,24-1=15,2$-1=31,…，歸納各計算結果中的個位數

字的規律，猜測22。24?1的個位數字是（）

A.1B.3C.7D.5

（23-24八年級上?福建龍巖?期中）

14.觀察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,根據

試卷第3頁，共8頁

其中的規律可得70+7〔+7?+…+72。19結果的個位數字是（）

A.9B.7C.1D.0

（23-24八年級上?福建泉州?期中）

15.觀察下列算式：21=2,2?=4,23=8,24=16,2$=32,26=64,27=128,

2^=256…通過觀察，用你所發現的規律得出力的末尾數字是（）

A.2B.4C.6D.8

（23-24八年級上?福建漳州?期中）

16.觀察并找規律：2*=2,2?=4，23=8,24=16,2$=32,26=64,27=128,

2'=256,那么y的個位數是（）

⑵-24八年級上?福建廈門?期中）

17.我國宋代數學家楊輝發現了（。+6）"（"=0』,2,3,…）展開式系數的規律:

(a+6)°=l1展開式系數和為1

(a+bY=a+b11展開式系數和為1+1

(a+by=a2+2ab+b2121展開式系數和為1+2+1

(a+b)i=a3+3a2b+3ab2+b31331展開式系數和為1+3+3+1

(a+b)4=a4+4a3/>+6z72Z>2+4a/>3+6414641展開式系數和為1+4+6+4+1

以上系數三角表稱為“楊輝三角”，根據上述規律，（“+6）8展開式的系數和是（）

A.64B.128C.256D.61

（23-24八年級上?福建福州?期中）

18.我國古代數學的許多創新和發明都位居世界前列，如南宋數學家楊輝（約13世紀）所著

的《詳解九章算術》一書中，用如圖的三角形解釋二項式的展開式的各項系數，此

三角形稱為“楊輝三角”.

試卷第4頁，共8頁

5+6)°...............0

(。+6)'..........。?

(。+6)2.....①②①

("6)3...........①③③①

伍+6)，……①④⑥④①

("bp…①⑤⑩⑩⑤①

根據“楊輝三角”請計算（。+6戶的展開式中第三項的系數為（）

A.2021B.2020C.191D.190

（23-24八年級上?福建泉州?期中）

19.楊輝三角又稱貿憲三角，是二項式系數在三角形中的一種兒何排列，如圖，觀察下面的

楊輝三角.

1

11

121

1331

14641

15101051

(Q+“=a+b

a+6)2=/+2ab+b2

(〃+6)3=/+3a2b+3ab2+b3

32234

(〃+bp=/+4ab+6ab+4ab+b

按照前面的規律，則（q+b）5=_.

（23-24八年級上?福建莆田?期中）

20.楊輝三角是中國古代數學杰出的研究成果之一.如圖所示是一種變異的“楊輝三角”:

試卷第5頁，共8頁

1

34

789

15161718

3132333435

則從上往下數第6行，左邊第二個數是一

累加型

（23-24八年級上?福建南平?期中）

21.如圖，正方形的邊長均是訪以圖①、②、③呈現的規律類推，圖中所有圓的周長的

和是（）

（23-24八年級上?福建廈門?期中）

22.有一列數滿足可=1,%=2,%-%=0，。4-。2=2,。5-。3=0，&-。4=2,

按此規律進彳亍下去，貝!]4+%+4---Haioo=-

（23-24八年級上?福建福州?期中）

23.“數形結合”是一種重要的數學思維，觀察下面的圖形和算式:

1=1=I2

1+3=1=2?

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

解答下列問題：請用上面得到的規律計算：1+3+5+7+...+89=

試卷第6頁，共8頁

（23-24八年級上?福建漳州?期中）

24.觀察下列算式，你發現了什么規律？

12=lx2x32+2,=2x3x52+22+32=3x4x7

666

（1）根據你發現的規律，計算下面算式的值：F+2?+3?+4?+52=

（2）請用一個含〃的算式表示這個規律：『+2?+32+.?.+/=；

（23-24八年級上?福建泉州?期中）

25.觀察下列等式，并探索規律：

1+3=2?=4

1+3+5=3?=9

1+3+5+7=42=16

1+3+5+7+9=5?=25

⑴請回答：1+3+5+7+9+11=」

（2）請回答：1+3+5+7+...+（2〃-1）=_（在5且〃為正整數）；

（3）請用上述規律計算：41+43+45+...+77+79

（23-24八年級上?福建福州?期中）

26.二，1…是一組有規律的數，我們如何求這些連續數的和呢？

26122030

【閱讀理解】

試卷第7頁，共8頁

=1--

6

_5

~6

根據上面得到的啟發完成下面的計算：

⑴根據規律，上是第_個數；

156

⑵請直接寫出計算的結果：白+白+二…+”—力=-;

1x22x33x42024x2025

⑶根據已給條件計算下列各式的值：三2=1-。1三21三12=131

1x333x5355x757

11111

^1x33x55x72021x20232023x2025

^1111111

=1x32x43x54x65x7…17x1918x20

試卷第8頁，共8頁

【分析】本題是一道找規律的題目，考查了數字的變化類型，分別找出分子與分母的變化規

律是解此題的關鍵.正負間隔出現，分母是連續的奇數，分子為連續自然數的平方，則第〃

2

項為(-1)用/n^.

2”+1

【詳解】解：第1個數為:，

2

第2個數為-土?=-4

55

第3個數為匯=2,

77

第4個數為-￡=-曳，

99

第5個數為紀=工，

1111

以此類推可知，第"個數為為(-1)"+1.

???第7個數為(-l)7+1x^—=—.

'72x7+115

49

故答案為：—.

2.128

【分析】觀察數字的變化發現規律即可得解.

【詳解】解：觀察一■組數：2,-4,8,-16,32,-64,...

發現規律：

第n個數是(-1)n+1><2n,

所以第7個數是28=128.

故答案為：128.

【點睛】本題考查了規律型：數字的變化類，解決本題的關鍵是根據數字的變化尋找規

律.

3.64-128(―2產

【分析】根據題目中數字的變化特點，可以求得第n個數的表示方法，本題得以解決.

【詳解】解：???一列數為：-2,4,-8,16,-32,

這列數的第n個數可以表示為：(一2尸，

答案第1頁，共13頁

當n=6時，(-2)6=64,

當n=7時，(-2)7=-128,

故答案為64,-128,(一2尸.

【點睛】本題考查數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現題目中數字變化的特

點.

4.C

【分析】本題考查了數字的變化類，分別從符號、系數與指數三個方面找規律，再計算即

可.

【詳解】解：解："=(一1廣?！?

-2x5=(-lf2X*,

3x7=(-lf3X2X3+1,

一4立=(_1廣4鏟4包,

5/=(-1廣5/5+1

由上可知，第"個單項式是：(-1廣。無2角.

故選：C.

5.D

【分析】先計算前幾次輸出的結果，進行歸納推理得出一般性的規律即可確定第2022次輸

出的結果.

【詳解】解：若開始輸入的工值為64,

第1次輸出的結果為32,

第2次輸出的結果為16,

第3次輸出的結果為8,

第4次輸出的結果為4,

第5次輸出的結果為2,

第6次輸出的結果為1,

第7次輸出的結果為4,

第8次輸出的結果為2,……

答案第2頁，共13頁

除了前面三次外，以后的每項都是按4,2,1的順序，輸出結果循環出現，

由（2022-3）+3=673,

故第2022次輸出的結果為1；

故選：D.

【點睛】此題考查了代數式求值、數字規律探索，理解理解題意、弄清程序框圖是解答此題

的關鍵.

6.D

【分析】此題考查了規律型：數字的變化類，代數式求值，弄清題中的運算程序是解本題的

關鍵.把x=12代入運算程序中計算，以此類推得到第2013次輸出的結果即可.

【詳解】解：把x=12代入得：1xl2=6,

把x=6代入得：1x6=3,

把x=3代入得：3+5=8,

把x=8代入得:葭8=4,

把x=4代入得：gx4=2,

把x=2代入得：：x2=l,

把x=l代入得：1+5=6,

以此類推，以6,3,8,4,2,1循環，

?「2013+6=335…3,

.12013次輸出的結果為8.

故選：D

7.A

【分析】此題考查了代數式求值，以及程序框圖的計算，把x=81代入程序中計算，根據輸

出條件確定出第8次輸出結果即可.

【詳解】解：把x=81代入，

第1次結果為：$81=27,

第2次結果為：；x27=9,

第3次結果為：；X9=3,

答案第3頁，共13頁

第4次結果為：1x3=l,

第5次結果為：1+2=3,

第6次結果為：；x3=l,

第7次結果為：1+2=3,

第8次結果為：1x3=l.

故選：A.

8.1

【分析】按照程序將每次得到的結果重復輸入，尋找結果之間的規律，從而找出2024次時

的結果.

本題考查了數字類規律探索，根據數據找出規律是解題的關鍵.

【詳解】按照程序，每次得到結果如下：

第1次：24,

第2次：12,

第3次：6,

第4次：3,

第5次：8,

第6次：4,

第7次：2,

第8次：1,

第9次：6,

第10次:3,

第11次：8,

第12次：4,

第13次：2,

第14次：1

根據以上結果以可發現，從第3次開始，結果按6、3、8、4、2、1每6個結果為一個周期

進行循環，

答案第4頁，共13頁

2024-20

,?---------337,

6

.?.到2024次時，結果為循環中第6個數，結果為1,

故答案為：1.

9.A

【分析】本題考查圖形的變換規律，根據圖形的排列規律得到第〃個圖形中圓的個數是

〃(〃+1)+2是解決本題的關鍵.

根據圖形得出第"個圖形中圓的個數是"("+D+2進行解答即可.

【詳解】解：因為第1個圖形中一共有lx(l+D+2=4個圓，

第2個圖形中一共有2x(2+l)+2=8個圓，

第3個圖形中一共有3x(3+l)+2=14個圓，

第4個圖形中一共有4x(4+l)+2=22個圓；

可得第〃個圖形中圓的個數是加+1)+2；

所以第20個圖形中圓的個數20x(20+1)+2=422,

故選A.

10.92

【分析】本題考查了圖形的變化規律，根據圖形得出第〃個圖形中圓的個數是"("+1)+2,

據此即可求解，根據已知圖形找到變化規律是解題關鍵.

【詳解】解：由圖可得，第1個圖形中一共有41+1)+2=4個圓，

第2個圖形中一共有2x(2+l)+2=8個圓，

第3個圖形中一共有3x(3+l)+2=14個圓，

第4個圖形中一共有4x(4+l)+2=22個圓，

...第“個圖形中一共有“5+1)+2個圓，

...第9個圖形中圓的個數為9x(9+l)+2=92,

故答案為：92.

11.44

【分析】本題考查看圖找規律，根據圖形得到規律進行相加計算即可.

答案第5頁，共13頁

【詳解】2+3+4+…+8+9=44（個），

故答案為：44.

12.B

【分析】本題考查了有理數的乘方運算，數字規律，根據題意，可得3"（〃是正整數）中個位

數每4次循環一次，由此即可求解.

【詳解】解：根據題意，3"（〃是正整數）中每4次，個位數循環一次，

.?.2025+4=506……1,即循環506次后的下一個，

.?.32。25的個位數字是3,

故選：B.

13.D

【分析】本題主要考查了數字類的規律探索，觀察可以發現，21-…2"-1這一列數

的個位數字是每4個數字為一個循環，個位數字為1,3,7,5依次出現，再由

2024+4=506,可得2?。24T的個位數字與24-1=15的個數數字相同，即為5.

【詳解】解：：2'-1=1,

22-1=3,

23-1=7,

24-1=15，

2$-1=31,

-1=63,

以此類推，21-1,22-1,…2"-1這一列數的個位數字是每4個數字為一個循環，個位數字為

1,3,7,5依次出現，

???2024+4=506,

...22。24T的個位數字是5.

故選：D.

14.D

【分析】本題主要考查了數字類的規律探索，根據題意可得7°、7i、72、73…7"…這一列數的個

數數字是每4個數為一個循環，個數分子分別為1,7,9,3,則每個循環內，四個數的個

位數字之和為1+7+9+3=20,再求出數的總個數除以4的余數即可得到答案.

答案第6頁，共13頁

【詳解】解：7°=1,

71=7,

72=49,

73=343,

7'=2401,

75=16807,

以此類推可知，7°、7i、72、73…7”…這一列數的個數數字是每4個數為一個循環，個數分子分

別為1,7,9,3,

.?.每個循環內，四個數的個位數字之和為1+7+9+3=20,

?.?（2019+1）+4=505,

..，7°+71+72+--+72019結果的個位數字是0,

故選：D.

15.A

【分析】首先發現2"的個位是2,4,8,6四個一循環，再根據基運算的性質得

819=（23）'9=257,57=4x14+1,則它的個位數字是2.

【詳解】解：等式右邊的個數數字分別為，2,4,8,6,2,4,8,6....,體現數字的重復

性，周期為4,

..-819=（23）19=257,

而57=4x14+1,

.??曖的末位數字和2的個位數相同，即為2.

故選：A.

【點睛】本題考查的是數字類的變化規律，首先發現2"的個位是2,4,8,6四個一循環的

規律，再結合幕運算的性質分析計算是解本題的關鍵.

16.B

【分析】先根據題意得到這一列數的個位數字是2、4、8、6進行循環出現的，然后根據2014

除以4的商的情況求解即可.

【詳解】解：21=2,個位數字是2,

22=4,個位數字是4,

答案第7頁，共13頁

23=8,個位數字是8,

24=16,個位數字是6,

25=32,個位數字是2,

26=64,個位數字是4,

27=128,個位數字是8,

2“256,個位數字是6,

???可以得到這一列數的個位數字是2、4、8、6進行循環出現的，

?■?20184-4=504...2,

2

...22018的個位數字與2的個位數字相同，即4,

故選B.

【點睛】本題主要考查了數字類的規律，正確理解題意找到規律是解題的關鍵.

17.C

【分析】由楊輝三角可得(。+6)”展開式的系數和為2"，從而可求解.本題主要考查數字的

變化規律，解答的關鍵是得到(a+b)”展開式的系數和為：2".

【詳解】解：由題意得：(〃+6)°展開式的系數和為：1=2°;

(4+6)|展開式的系數和為：1+1=2=2、

(a+6)2展開式的系數和為：1+2+1=4=2,;

(a+b)3展開式的系數和為：1+3+3+1=8=2,；

(a+6)4展開式的系數和為：1+4+6+4+1=16=2"；

…，

，(a+6)"展開式的系數和為：2",

」.(a+b)8展開式的系數和為：28=256.

故選：C.

18.D

【分析】本題考查數字類規律探究，據圖可得，(a+?”的第三項系數為

1+2+3+…-2)+("-1),進而求出(a+b)2°的展開式中第三項的系數即可.

【詳解】解：由圖可知：(。+6丫的第三項系數為3=1+2；

答案第8頁，共13頁

（。+盯的第三項系數為6=1+2+3；

（。+6）5的第三項系數為10=1+2+3+4；

.?.（”+6）"的第三項系數為1+2+3+…+,

.?.（4+6）2°的展開式中第三項系數為1+2+3+…+19=190.

故選：D.

19.a5+5a"b+10a3Z>2+1Qa2b3+5ab"+b5

【分析】本題考查了完全式的〃次方，也是數字類的規律題，結合對應“楊輝三角”，根據圖

形可得結果.首先根據圖形中數字找出對應的規律，再表示展開式：對應（。+6）”中，相同字

母。的指數是從高到低，相同字母6的指數是從低到高.

【詳解】解：根據題意可得（a+6）5=/+5/6+10//+10。2/+5。//+/,

故答案為：a5+5a4b+l0a3b2+l0a2b3+5ab4+b5.

20.64

【分析】本題主要考查了數字類的規律題，根據題意可知第6行左邊第1個數為26-1,由此

可得第6行第2個數為2,-1+1=26,據此求解即可，正確找到規律是解題的關鍵.

【詳解】解：由第1行左邊第1個：1=21-1，

第2行左邊第1個：3=22-1,

第3行左邊第1個：7=23-1,

第4行左邊第1個：15=2「1,

第5行左邊第1個：31=2$-1,

???第6行左邊第1個：26-1,

貝IJ第6行第2個數為2。一1+1=26=64,

故答案為：64.

21.B

【分析】本題考查了與圖形有關的規律題，根據題意得，先從圖中找出每個圖中圓的面積,

從中找出規律，再計算周長和.掌握圓的周長，根據題意找出規律是解題的關鍵.

【詳解】解：根據圖形發現：

第一個圖中，圓的周長為萬。；

答案第9頁，共13頁

第二個圖中，所有圓的周長之和是:"”4=23；

以此類推，則第3個圖中所有圓的周長之和為:萬"9=3領：

所以圖中所有圓的周長的和是：萬a+2萬a+3萬a=6萬a.

故選：B.

22.2600

【分析】本題考查了數字變化規律，解題的關鍵是由已知條件得出%，?，。3…，陽。.

根據等式推出%，%,生…，％00的規律，再求和即可

【詳解】解：?.,4=1,-2=2,a4-a2=2,

a3=L&=4,

InJ理可得%—1,a?—2,CI3—1,。彳—4,—1,=6...,QQ—100,

貝｛J%+%+%+…+4oo=1+2+1+4+1+6+…+1+100,

=lx50+（2+100）x50x|=2600,

故答案為：2600.

23.2025

【分析】根據規律解答即可

本題考查了數的規律計算，正確探索規律是解題的關鍵.

【詳解】解：1=1=〃=]—

"3=1=22[*]2

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=4?=（『）-

1+3+5+7+9=25=52」上笄

答案第10頁，共13頁

故1+3+5+7+…+89=［^—J=45J2025.

故答案為：2025.

uu2?3+3n2+n

24.55----------------

6

【分析】本題考查了含有乘方的有理數的混合運算，整式的混合運算，根據材料提示，找出

計算規律即可求解，

（1）根據材料提示，找出規律計算即可；

（2）由材料、（1）中的規律，整式的混合運算進行計算即可求解.

【詳解】解：（1）根據材料提示可得，12+22+32+42+52=---=55；

O

（2）根據材料提示可得，12+22+3*..+/「（.+1卜［-+（〃+1）］=2“3+3/+/

66

故答案為：①55；②2/+獷+”.

6

25.（1）36

⑵“2

（3）1200

【分析】本題主要考查了數字類的規律：

（1）觀察可知從1開始的連續的奇數之和等于奇數個數的平方，據此規律求解即可；

（2）根據（1）所求可得答案；

2

（3）分另1J求出1+3+5+7+...+77+79=4（）2=1600,i+3+5+7+...+39=20=400,兩式

相減即可得到答案.

【詳解】⑴解：1+3=2、4

1+3+5=32=9

1+3+5+7=4?=16

1+3+5+7+9=5?=25,

以此類推，可知1+3+5+7+...+（2〃-1）=,

???1+3+5+7+9+11=62=36,

故答案為：36；

（2）解：由（1）可得1+3+5+7+...+（2〃-1）="2；

答案第11頁，共13頁

故答案為:n2;

(3)