高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期九月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?所以.故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，.故選：C.3.展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A.420 B. C.560 D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，故含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D.4.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由，故，則，由得，故，故公差為，故選：C.5.某圓錐母線長(zhǎng)為1，其側(cè)面積與軸截面面積的比值為，則該圓錐體積為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐底面圓半徑為，圓錐高為，依題意，，解得，所以.該圓錐體積為，故選：B.6.已知且，若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗的值域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，則，為增函數(shù)，，而時(shí)，為增函數(shù)，此時(shí)，，不符題意；當(dāng)時(shí)，則，為減函數(shù)，，而時(shí)，為減函數(shù)，此時(shí)，，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)，，則，整理得，，解得；綜上，時(shí)滿足題意.故選：A.7.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，則（）A.2 B.-2 C. D.〖答案〗B〖解析〗，是上的奇函數(shù)，又為奇函數(shù)，則分母上的函數(shù)需為偶函數(shù)，，.故選：.8.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知點(diǎn)在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由橢圓E:x2a不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓的定義知，因?yàn)?，可得，即，可得，所以，所以的面積為，可得，解得，又因?yàn)椋傻?，即，將點(diǎn)代入橢圓的方程，可得，整理得，因?yàn)?，可得，即，解得和（舍去），即橢圓的離心率為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.某科技公司統(tǒng)計(jì)了一款A(yù)pp最近5個(gè)月的下載量如表所示，若與線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則（）月份編號(hào)12345下載量（萬(wàn)次）54.543.52.5A.與負(fù)相關(guān) B.C.預(yù)測(cè)第6個(gè)月的下載量是2.1萬(wàn)次 D.殘差絕對(duì)值的最大值為0.2〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A：因?yàn)?，所以變量與負(fù)相關(guān)，故正確；對(duì)于B：，，，則，解得，故錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，故可以預(yù)測(cè)第6個(gè)月的下載量約為2.1萬(wàn)次，故正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故殘差絕對(duì)值的最大值為0.2，故正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.在上的值域?yàn)椤即鸢浮紹C〖解析〗由函數(shù)的部分圖象可知：，又因?yàn)?，即結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,故A錯(cuò)誤；即所以,故B正確；所以．對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，可得，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，所以，即，故D錯(cuò)誤；故選：BC．11.定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，C.對(duì)任意正實(shí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)D.若在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)極大值點(diǎn)，則的取值范圍是〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，則，，，，可得，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)CD：由選項(xiàng)A可得：當(dāng)時(shí)，，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)，即，例如當(dāng)，則，不合題意，故C錯(cuò)誤；若在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)極大值點(diǎn)，則，所以的取值范圍是，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，若，則______．〖答案〗〖解析〗，因?yàn)?，所以，即，解?13.若雙曲線的離心率為3，則______．〖答案〗〖解析〗由題意，焦點(diǎn)在軸上，.14.兩個(gè)有共同底面的正三棱錐與，它們的各頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，若二面角的大小為，則的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由題意可知：外接球的球心，且平面，即為外接球的直徑，，設(shè)平面，可知為等邊的中心，取的中點(diǎn)，連接，則，可知二面角的平面角為，設(shè)，則，，因?yàn)?，即，又因?yàn)?，且，則，解得，所以的邊長(zhǎng)為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，平面．（1）求的長(zhǎng)；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值解：（1）取中點(diǎn)，連，，由，所以四邊形為平行四邊形，故.由平面，平面，有，所以.又，所以，又，平面，所以平面.由平面，所以.由平面，平面，有，故.又，故.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為，軸的正方向，以過(guò)且與平面垂直向上為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.由，得為正三角形，故.又，.設(shè)平面的法向量，由，即，取，得到平面的一個(gè)法向量.又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)區(qū)間.解：（1）當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為，即.（2）由題意可知：的定義域?yàn)椋遥╥）若，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；（ⅱ）若，令，解得或，①當(dāng)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；③當(dāng)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.17.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且（1）求角A；（2）若為邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積解：（1）因，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因?yàn)?，則，可得，所以.（2）因?yàn)闉榈钠椒志€，則，因?yàn)?，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.18.已知平面內(nèi)一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且該圓被軸截得的弦長(zhǎng)為4，設(shè)其圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）梯形的四個(gè)頂點(diǎn)均在曲線上，，對(duì)角線與交于點(diǎn).（i）求直線的斜率；（ii）證明：直線與交于定點(diǎn).（1）解：設(shè)圓心為，由題意可得：，整理可得，所以曲線的方程為.（2）（i）解：由題意可知：直線的斜率不存在，且不為0，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，可知直線，聯(lián)立方程，消去x可得，由題意可知：，即，且，可得，同理可得：，則，因?yàn)?，則，即，整理可得，由題意可知：點(diǎn)不在直線上，則，即，可得，即，所以直線的斜率；（ii）證明：由（i）可知：，則中點(diǎn)，又因?yàn)?，即，則的中點(diǎn)，即直線，由梯形的性質(zhì)可知：直線與的交點(diǎn)即為直線與的交點(diǎn)，因?yàn)橹本€的斜率，則直線，令可得，即直線與直線交點(diǎn)為，所以直線與交于定點(diǎn).19.有編號(hào)為的個(gè)空盒子，另有編號(hào)為的個(gè)球，現(xiàn)將個(gè)球分別放入個(gè)盒子中，每個(gè)盒子最多放入一個(gè)球．放球時(shí)，先將1號(hào)球隨機(jī)放入個(gè)盒子中的其中一個(gè)，剩下的球按照球編號(hào)從小到大的順序依次放置，規(guī)則如下：若球的編號(hào)對(duì)應(yīng)的盒子為空，則將該球放入對(duì)應(yīng)編號(hào)的盒子中；若球的編號(hào)對(duì)應(yīng)的盒子為非空，則將該球隨機(jī)放入剩余空盒子中的其中一個(gè)．記號(hào)球能放入號(hào)盒子的概率為．（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求；（3）求．解：（1）1號(hào)球放入1號(hào)盒中的概率為,此時(shí)2,3號(hào)球分別放入2,3號(hào)盒中；1號(hào)球放入2號(hào)盒中的概率為,欲使3號(hào)球放入3號(hào)盒中，則2號(hào)球需放入1號(hào)盒中，概率為,1號(hào)球放入3號(hào)盒中時(shí)，此時(shí)3號(hào)球不能放入3號(hào)盒中;綜上所述：.（2）1號(hào)球放入1號(hào),4號(hào)，5號(hào)，,n號(hào)盒中的概率為，此時(shí)3號(hào)球可放入3號(hào)盒中;1號(hào)球放入2號(hào)盒中的概率為,欲使3號(hào)球放入3號(hào)盒中，則2號(hào)球需放入1號(hào)，4號(hào)，5號(hào)，n號(hào)盒中，概率為,1號(hào)球放入3號(hào)盒中時(shí)，此時(shí)3號(hào)球不能放入3號(hào)盒中;綜上所述：.（3）1號(hào)球放入1號(hào)，號(hào)，號(hào)，號(hào)，...,n號(hào)盒中的概率為,此時(shí)k號(hào)球可放入k號(hào)盒中：1號(hào)球放入號(hào)盒中的概率為,此時(shí)2號(hào)，3號(hào)，號(hào)球都可以放入對(duì)應(yīng)編號(hào)的盒中，剩下編號(hào)為的球和編號(hào)為的空盒，此時(shí)j號(hào)盒非空，j號(hào)球在所有空盒中隨機(jī)選擇一個(gè)放入，此時(shí)要讓k號(hào)球放入k號(hào)盒中的放法總數(shù)等效于將編號(hào)為的球，按照題設(shè)規(guī)則放入編號(hào)為的盒中（1號(hào)球仍然隨機(jī)選擇一個(gè)盒子放入）,所以概率為1號(hào)球放入k號(hào)盒中時(shí)，此時(shí)k號(hào)球不能放入k號(hào)盒中：所以,整理得：,①分別用和替換和，可得：,②,由①②式相減，整理得：從而,等于1號(hào)球不放在2號(hào)盒的概率，即.所以.湖北省武漢市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期九月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?所以.故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，.故選：C.3.展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A.420 B. C.560 D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，故含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D.4.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由，故，則，由得，故，故公差為，故選：C.5.某圓錐母線長(zhǎng)為1，其側(cè)面積與軸截面面積的比值為，則該圓錐體積為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐底面圓半徑為，圓錐高為，依題意，，解得，所以.該圓錐體積為，故選：B.6.已知且，若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗的值域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，則，為增函數(shù)，，而時(shí)，為增函數(shù)，此時(shí)，，不符題意；當(dāng)時(shí)，則，為減函數(shù)，，而時(shí)，為減函數(shù)，此時(shí)，，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)，，則，整理得，，解得；綜上，時(shí)滿足題意.故選：A.7.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，則（）A.2 B.-2 C. D.〖答案〗B〖解析〗，是上的奇函數(shù)，又為奇函數(shù)，則分母上的函數(shù)需為偶函數(shù)，，.故選：.8.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知點(diǎn)在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由橢圓E:x2a不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓的定義知，因?yàn)?，可得，即，可得，所以，所以的面積為，可得，解得，又因?yàn)?，可得，即，將點(diǎn)代入橢圓的方程，可得，整理得，因?yàn)椋傻茫矗獾煤停ㄉ崛ィ礄E圓的離心率為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.某科技公司統(tǒng)計(jì)了一款A(yù)pp最近5個(gè)月的下載量如表所示，若與線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則（）月份編號(hào)12345下載量（萬(wàn)次）54.543.52.5A.與負(fù)相關(guān) B.C.預(yù)測(cè)第6個(gè)月的下載量是2.1萬(wàn)次 D.殘差絕對(duì)值的最大值為0.2〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A：因?yàn)?，所以變量與負(fù)相關(guān)，故正確；對(duì)于B：，，，則，解得，故錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，故可以預(yù)測(cè)第6個(gè)月的下載量約為2.1萬(wàn)次，故正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故殘差絕對(duì)值的最大值為0.2，故正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.在上的值域?yàn)椤即鸢浮紹C〖解析〗由函數(shù)的部分圖象可知：，又因?yàn)椋唇Y(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,故A錯(cuò)誤；即所以,故B正確；所以．對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，可得，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，所以，即，故D錯(cuò)誤；故選：BC．11.定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，C.對(duì)任意正實(shí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)D.若在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)極大值點(diǎn)，則的取值范圍是〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，且，則，，，，可得，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)CD：由選項(xiàng)A可得：當(dāng)時(shí)，，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)，即，例如當(dāng)，則，不合題意，故C錯(cuò)誤；若在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)極大值點(diǎn)，則，所以的取值范圍是，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，若，則______．〖答案〗〖解析〗，因?yàn)椋裕矗獾?13.若雙曲線的離心率為3，則______．〖答案〗〖解析〗由題意，焦點(diǎn)在軸上，.14.兩個(gè)有共同底面的正三棱錐與，它們的各頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，若二面角的大小為，則的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由題意可知：外接球的球心，且平面，即為外接球的直徑，，設(shè)平面，可知為等邊的中心，取的中點(diǎn)，連接，則，可知二面角的平面角為，設(shè)，則，，因?yàn)椋矗忠驗(yàn)?，且，則，解得，所以的邊長(zhǎng)為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，平面．（1）求的長(zhǎng)；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值解：（1）取中點(diǎn)，連，，由，所以四邊形為平行四邊形，故.由平面，平面，有，所以.又，所以，又，平面，所以平面.由平面，所以.由平面，平面，有，故.又，故.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為，軸的正方向，以過(guò)且與平面垂直向上為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.由，得為正三角形，故.又，.設(shè)平面的法向量，由，即，取，得到平面的一個(gè)法向量.又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)區(qū)間.解：（1）當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為，即.（2）由題意可知：的定義域?yàn)?，且，（i）若，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；（ⅱ）若，令，解得或，①當(dāng)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；③當(dāng)，即時(shí)，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.17.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且（1）求角A；（2）若為邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積解：（1）因，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因?yàn)椋瑒t，可得，所以.（2）因?yàn)闉榈钠椒志€，則，因?yàn)椋瑒t，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.18.已知平面內(nèi)一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且該圓被軸截得的弦長(zhǎng)為4，設(shè)其圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）梯形的四個(gè)頂點(diǎn)均在曲線上，，對(duì)角線與交于點(diǎn).（i）求直線的斜率；（ii）證明：直線與交于定點(diǎn).（1）解：設(shè)圓心為，由題意可得：，整理可得，所以曲線的方程為.（2）（i）解：由題意可知：直線的斜率不存在，且不為0，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，可知直線，聯(lián)立方程，消去x可得，由題意可知：，即，且，可得，同理可得：，則，因?yàn)椋瑒t，即，整理可得，由題意可知：點(diǎn)不在直線上，則，即，可得，即，所以直線的斜率；（ii）證明：由（i）可知：，則中點(diǎn)，又因?yàn)椋矗瑒t的中點(diǎn)，即直線，由梯形的性質(zhì)可知：直線與的交點(diǎn)即為直線與的交點(diǎn)，因?yàn)橹本€的斜率，則直線，令可得