第六章離散系統的Z域分析在連續系統中為微分方程，為避免解微分方程的麻煩，用拉普拉斯變換將求解微分方程的問題將轉化為求解代數方程的問題。在離散系統中我們有類似的方法。即Z變換，它也可以將求解差分方程的問題轉化為求解代數方程的問題?！?.1Z變換定義及其收斂域離散信號可以由連續信號抽樣得到：兩邊求雙邊拉普拉斯變換：定義序列f(k)的雙邊Z變換：定義序列f(k)的單邊Z變換：單邊Z變換后是一個關于z的冪級數F(z)是否存在，即F(z)是否等于一有限值，要看級數是否收斂§6.1Z變換定義及其收斂域序列收斂的充分必要條件為使級數收斂的Z的取值范圍稱為收斂域例：f(k)=akε(k)求F(z)及其收斂區。解：

說明：1、Z變換與連續系統中的拉普拉斯變換相對應，也有雙邊與單邊之分。2、Z變換與拉普拉斯變換是有聯系的，它們之間的關系由表明。3、能量有限的有限長序列，單邊Z變換的收斂區為|z|>0。4、有始無終的單邊序列，單邊Z變換的收斂區總是在某一圓外。5、在收斂區中不應包含極點。二、常用序列的Z變換1、單位函數δ(k)2、單位階躍序列ε(k)3、單邊指數序列f(k)=vkε(k)4、單邊正弦和余弦序列sin(βkT)

ε(k)，

cos(βkT)

ε(k)§6.1Z變換定義及其收斂域二、常用序列的Z變換1、單位函數δ(k)收斂區為整個Z平面∞≥|z|≥0。

2、單位階躍序列ε(k)3、單邊指數序列f(k)=vkε(k)4、單邊正弦和余弦序列sin(βkT)

ε(k)，

cos(βkT)

ε(k)同理§6.1Z變換定義及其收斂域所以：§6.1Z變換定義及其收斂域3、尺度變換4、Z域的微分性（時域線性加權）5、卷積定理1、線性性質2、移序性質6、初值定理和終值定理§6.2Z變換的性質1、線性性質若：f1(k)←→F1(z),f2(k)←→F2(z)則：a1f1(k)+a2f2(k)←→a1F1(z)+a2F2(z)

a1，a2為常數。2、移序性質若：f(k)←→F(z)

則：

收斂域保持不變§6.2Z變換的性質例如：3、尺度變換證明：例如：4、Z域的微分（時域線性加權）證明：例：已知

則：這個性質也可以重復使用§6.2Z變換的性質5、卷積定理若：f1(k)←→F1(z),f2(k)←→F2(z)則：f1(k)*f2(k)←→F1(z).F2(z)

證明：

6、初值定理和終值定理終值定理：若F(z)的所有極點位于單位圓內或在z=1處有一個一階極點。則終值定理證明：6、初值定理和終值定理終值定理：若F(z)的所有極點位于單位圓內或在z=1處有一個一階極點。則這是一個二階系統的差分方程的模擬方框圖可見它們沒有本質的區別，只是將單位延時器D改成Z-1，相應的變量改成Z域的變量即可。也可根據H(z)來作z域框圖若將寫成級聯和并聯也可畫出離散系統的級聯型和并聯型模擬方框圖。例：離散系統的方框圖如下，已知系統初值和激勵為y(0)=1,y(1)=2,e(k)=ε(k)。1、求系統函數H(z)，并判別系統是否穩定。2、寫出系統差分方程，并求出系統零輸入的初始條件yzi(0),yzi(1)。3、分別求出系統的零輸入響應yzi(k)和零狀態響應yzs(k)。

系統不穩定。2、差分方程將k=-2,-1代入差分方程

§6.4離散系統的Z域分析Z變換是求解差分方程的工具一、直接求解例1：已知系統的差分方程為系統的激勵和初始條件為：求全響應。

解：差分方程兩邊求Z變換這種方法的實質是：二、從信號分析的角度分析系統將全響應分為零輸入響應和零狀態響應來求，y(k)=yzi(k)+yzs(k)1、基于Z變換的方法。注意在求零輸入響應時應代入不包含激勵引起部分的系統的初始條件

例2：已知系統的差分方程為

系統的初始條件和激勵為：求yzi(k)和yzs(k)

。

解：1、求，令輸入為0，兩邊Z變換2、求，令初始條件為0，兩邊Z變換2、基于系統函數H(z)的方法。(1)、零輸入響應yzi(k)H(z)的極點就是系統的特征根，所以可由極點寫出yzi(k)的一般形式，然后由系統的初始條件確定系數(2)、零狀態響應yzs(k)①、e(k)←→E(z)

②、定義離散系統的系統函數③、Yzs(z)=E(z)?H(z)④、yzs(k)=Z-1[Yzs(z)]例2：已知系統的差分方程為系統的初值和激勵為：

求零輸入響應和零狀態響應。

注意：這里的初始條件是包含了激勵引起的初始條件例2：已知系統的差分方程為系統的初值和激勵為：

求零輸入響應和零狀態響應。

解：確定c1,c2時必須用零輸入的初始條件(3)、H(z)與離散時間系統的穩定性

可以證明離散系統穩定的充分必要條件是單位函數響應h(k)絕對可和：

在實際中通常根據H(z)的極點在Z平面中的位置來判別比較方便?！钊绻鸋(z)的所有極點位于Z平面的單位圓內則系統穩定；☆如在單位圓上僅有一階極點則系統臨界穩定；☆如有極點位于Z平面的單位圓外則系統不穩定。

例3：已知系統的差分方程為（1）求系統的單位函數響應；（2）判斷系統是否穩定；解(1):z變換，令初始條件為零后向差分方程極點2在單位圓外系統不穩定！§6.4離散系統的Z域分析離散時間系統連續時間系統1、分析工具Z變換f(k)?F(z)將差分方程→代數方程L變換f(t)?F(s)將微分方程→代數方程3、復平面中的極點Z平面中的極點：v→

AvkS平面中的極點：λ→

Aeλt