學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共11頁湖南省婁底市漣源市2024年數學九年級第一學期開學監測試題題號一二三四五總分得分批閱人A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）如圖，已知?ABCD中，AE⊥BC于點E，以點B為中心，取旋轉角等于∠ABC，把△BAE順時針旋轉，得到△BA′E′，連接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，則∠DA′E′的大小為（）A．130° B．150° C．160° D．170°2、（4分）如圖，在中，，，AB的垂直平分線交AB于點E，交BC于點F，連接AF，則的度數（）A． B． C． D．3、（4分）若方程有增根，則m的值為（）A．2 B．4 C．3 D．-34、（4分）若分式有意義，則x的取值范圍是A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≠05、（4分）如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點O，AC=6，BD=8，則菱形邊長AB等于（）A．10 B． C．5 D．66、（4分）如圖，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D為斜邊AB上一動點，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F．則線段EF的最小值為（）A．6 B． C．5 D．7、（4分）下列是最簡二次根式的是A． B． C． D．8、（4分）某班名學生的身高情況如下表：身高人數則這名學生身高的眾數和中位數分別是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）要使二次根式有意義，則自變量的取值范圍是___．10、（4分）“同旁內角互補，兩直線平行”的逆命題是_____________________________.11、（4分）如圖，將繞著直角頂點順時針旋轉，得到，連接，若，則__________度．12、（4分））如圖，Rt△ABC中，C=90o，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點D，連接OC，已知AC=5，OC=6，則另一直角邊BC的長為．13、（4分）1955年，印度數學家卡普耶卡（）研究了對四位自然數的一種變換：任給出四位數，用的四個數字由大到小重新排列成一個四位數，再減去它的反序數（即將的四個數字由小到大排列，規定反序后若左邊數字有0，則將0去掉運算，比如0001，計算時按1計算），得出數，然后繼續對重復上述變換，得數，…，如此進行下去，卡普耶卡發現，無論是多大的四位數，只要四個數字不全相同，最多進行次上述變換，就會出現變換前后相同的四位數，這個數稱為變換的核.則四位數9631的變換的核為______.三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）某工廠現有甲種原料263千克，乙種原料314千克，計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品共100件．生產一件產品所需要的原料及生產成本如下表所示：甲種原料（單位：千克）乙種原料（單位：千克）生產成本（單位：元）A產品32120B產品2.53.5200（1）該工廠現有的原料能否保證生產需要？若能，有幾種生產方案？請你設計出來．（2）設生產A、B兩種產品的總成本為y元，其中生產A產品x件，試寫出y與x之間的函數關系，并利用函數的性質說明（1）中哪種生產方案總成本最低？最低生產總成本是多少？15、（8分）如圖，正方形中，是對角線上一個動點，連結，過作，，，分別為垂足．（1）求證：；（2）①寫出、、三條線段滿足的等量關系，并證明；②求當，時，的長16、（8分）如圖，已知反比例函數y=的圖像經過點A（－1，a），過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，△AOB的面積為.（1）求a、k的值；（2）若一次函數y=mx+n圖像經過點A和反比例函數圖像上另一點，且與x軸交于M點，求AM的值：（3）在（2）的條件下，如果以線段AM為一邊作等邊△AMN，頂點N在一次數函數y=bx上，則b=______.17、（10分）如圖所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝（1）求AD的長；（2）求證：△ABC是直角三角形．18、（10分）為了解某校八年級學生每周平均課外閱讀時間的情況,隨機抽查了該校八年級部分學生,對其每周平均課外閱讀時間進行統計,根據統計數據繪制成如圖的兩幅尚不完整的統計圖:（1）本次共抽取了多少人?并請將圖1的條形圖補充完整；（2）這組數據的眾數是________；求出這組數據的平均數；（3）若全校有1500人,請你估計每周平均課外閱讀時間為3小時的學生多少人?B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）方程的根是_____．20、（4分）請你寫出一個有一根為0的一元二次方程：______．21、（4分）一個三角形的底邊長為5，高為h可以任意伸縮．寫出面積S隨h變化的函數解析式_____．22、（4分）試寫出經過點，的一個一次函數表達式：________.23、（4分）如圖所示，已知AB＝6，點C，D在線段AB上，AC＝DB＝1，P是線段CD上的動點，分別以AP，PB為邊在線段AB的同側作等邊△AEP和等邊△PFB，連接EF，設EF的中點為G，當點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的長是_________．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）小明到眼鏡店調查了近視眼鏡鏡片的度數和鏡片焦距的關系，發現鏡片的度數（度）是鏡片焦距（厘米）（）的反比例函數，調查數據如下表：眼鏡片度數（度）…鏡片焦距（厘米）…（1）求與的函數表達式；（2）若小明所戴近視眼鏡鏡片的度數為度，求該鏡片的焦距．25、（10分）為了推動陽光體育運動的廣泛開展，引導學生走向操場，走進大自然，走到陽光，積極參加體育鍛煉，學校準備購買一批運動鞋供學生借用，現從各年的隨機抽取了部分學生的鞋號，繪制了統計圖A和圖B，請根據相關信息，解答下列問題：（1）本次隨機抽樣的學生數是多少？A中值是多少？（2）本次調查獲取的樣本數據的眾數和中位數各是多少？（3）根據樣本數據，若學校計劃購買200雙運動鞋，建議購買35號運動鞋多少雙？26、（12分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于第一、象限內的，兩點，與軸交于點.（1）求該反比例函數和一次函數的解析式；（2）直接寫出當時，的取值范圍；（3）長為2的線段在射線上左右移動，若射線上存在三個點使得為等腰三角形，求的值.

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、C【解析】

根據平行四邊形對角相等、鄰角互補，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可運用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根據旋轉的性質得到∠BA′E′=∠BAE=30°，從而得到答案．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC=60°，∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，∵∠ADA′=50°，∴∠A′DC=10°，∴∠DA′B=130°，∵AE⊥BC于點E，∴∠BAE=30°，∵△BAE順時針旋轉，得到△BA′E′，∴∠BA′E′=∠BAE=30°，∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．故選C．考點：旋轉的性質；平行四邊形的性質．2、D【解析】

先由等腰三角形的性質求出∠B的度數，再由垂直平分線的性質可得出∠BAF=∠B，由三角形內角與外角的關系即可解答．【詳解】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，

∴∠B=（180°-130°）÷2=25°，

∵EF垂直平分AB，

∴BF=AF，

∴∠BAF=∠B=25°．故選D.本題考查的是線段垂直平分線的性質，即線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．3、D【解析】

增根是化為整式方程后產生的不適合分式方程的根．所以應先確定增根的可能值，讓最簡公分母（x?1）＝0，得到x＝1，然后代入化為整式方程的方程算出m的值．【詳解】方程兩邊都乘（x?1），得x=2（x?1）-m，∵原方程有增根，∴最簡公分母（x?1）＝0，解得x＝1，當x＝1時，1=2（1?1）-mm＝-1．故選：D．本題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．4、C【解析】

分式分母不為0，所以，解得.故選：C.5、C【解析】

根據菱形的對角線互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式進行計算即可得解．【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，

∴OA=AC，OB=BD，AC⊥BD，

∵AC=8，BD=6，

∴OA=4，OB=3，

∴AB==1，

即菱形ABCD的邊長是1．

故選：C．考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質和勾股定理的應用，熟記菱形的對角線的關系（互相垂直平分）是解題的關鍵．6、D【解析】

連接CD,判斷四邊形是矩形，得到，在根據垂線段最短求得最小值.【詳解】如圖，連接CD,∵,,∴四邊形是矩形，,由垂線段最短可得時線段的長度最小，∵;∴;∵四邊形是矩形∴故選：.本題考查了矩形的判定和性質，勾股定理和直角三角形中面積的代換，解題的關鍵在于連接CD,判斷四邊形是矩形.7、B【解析】

直接利用二次根式的性質分別化簡即可得出答案．【詳解】A、，故不是最簡二次根式，故此選項錯誤；B、是最簡二次根式，符合題意；C、，故不是最簡二次根式，故此選項錯誤；D、，故不是最簡二次根式，故此選項錯誤；故選：B．此題主要考查了最簡二次根式，正確化簡二次根式是解題關鍵．8、D【解析】

根據眾數和中位數的定義求解即可．一組數據中，出現次數最多的數就叫這組數據的眾數．把一組數據按從小到大的順序排列，中間的一個數字（或兩個數字的平均數）叫做這組數據的中位數．【詳解】解：由圖可得出這組數據中1.72m出現的次數最多，因此，這名學生身高的眾數是1.72m；把這一組數據按從小到大的順序排列，中間的兩個數字是1.72m、1.72m，因此，這名學生身高的中位數是1.72m．故選：D．本題考查的知識點是眾數以及中位數，掌握眾數以及中位數的定義是解此題的關鍵．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、【解析】

根據被開方數必須是非負數，可得答案．【詳解】解：由題意，得，解得，故答案為：．本題考查了二次根式的意義條件，概念：式子叫二次根式．二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．10、兩直線平行，同旁內角互補【解析】分析：把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．命題“同旁內角互補，兩直線平行”的條件是同旁內角互補，結論是兩直線平行，故其逆命題是兩直線平行，同旁內角互補．詳解：命題“同旁內角互補，兩直線平行”的逆命題是：兩直線平行，同旁內角互補，

故答案為兩直線平行，同旁內角互補．點睛：考查了互逆命題的知識及命題的真假判斷，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．11、70【解析】

首先由旋轉的性質，得△ABC≌△A′B′C，然后利用等腰直角三角形的性質等角轉換，即可得解.【詳解】由旋轉的性質，得△ABC≌△A′B′C，∴AC=A′C，∠BAC=∠B′A′C，∠ACA′=90°，∴∠CAA′=∠CA′A=45°∵∴∠BAC=25°∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=25°+45°=70°故答案為：70.此題主要考查利用全等三角形旋轉求解角度，熟練掌握，即可解題.12、4．【解析】正方形的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理．【分析】如圖，過O作OF垂直于BC，再過O作OF⊥BC，過A作AM⊥OF，∵四邊形ABDE為正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB．∴∠AOM+∠BOF=90°．又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°．∴∠BOF=∠OAM．在△AOM和△BOF中，∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF，OA=OB，∴△AOM≌△BOF（AAS）．∴AM=OF，OM=FB．又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四邊形ACFM為矩形．∴AM=CF，AC=MF=2．∴OF=CF．∴△OCF為等腰直角三角形．∵OC=3，∴根據勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=（3）2，解得：CF=OF=3．∴FB=OM=OF－FM=3－2=4．∴BC=CF+BF=3+4=4．13、6174【解析】

用1的四個數字由大到小排列成一個四位數1．則1-1369=8262，用8262的四個數字由大到小重新排列成一個四位數2．則2-2268=6354，類似地進行上述變換，可知5次變換之后，此時開始停在一個數6174上．【詳解】解：用1的四個數字由大到小排列成一個四位數1．則1-1369=8262，

用8262的四個數字由大到小重新排列成一個四位數2．則2-2268=6354，

用6354的四個數字由大到小重新排列成一個四位數3．則3-3456=3087，

用3087的四個數字由大到小重新排列成一個四位數4．則4-378=8352，

用8352的四個數字由大到小重新排列成一個四位數5．則5-2358=6174，

用6174的四個數字由大到小重新排列成一個四位數6．則6-1467=6174…

可知7次變換之后，四位數最后都會停在一個確定的數6174上．

故答案為6174.本題考查簡單的合情推理．此類題可以選擇一個具體的數根據題意進行計算，即可得到這個確定的數．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）生產A、B產品分別為24件，76件；25件，75件；1件，2件．（2）17920元．【解析】

（1）設生產A產品x件，則生產B產品（100﹣x）件．依題意列出方程組求解，由此判斷能否保證生產．（2）設生產A產品x件，總造價是y元，當x取最大值時，總造價最低．【詳解】解：（1）假設該廠現有原料能保證生產，且能生產A產品x件，則能生產B產品（100﹣x）件．根據題意，有，解得：24≤x≤1，由題意知，x應為整數，故x＝24或x＝25或x＝1．此時對應的100﹣x分別為76、75、2．即該廠現有原料能保證生產，可有三種生產方案：生產A、B產品分別為24件，76件；25件，75件；1件，2件．（2）生產A產品x件，則生產B產品（100﹣x）件．根據題意可得y＝120x+200（100﹣x）＝﹣80x+20000，∵﹣80＜0，∴y隨x的增大而減小，從而當x＝1，即生產A產品1件，B產品2件時，生產總成本最底，最低生產總成本為y＝﹣80×1+20000＝17920元．本題是方案設計的題目，考查了一次函數的應用及一元一次不等式組的應用的知識，基本的思路是根據不等關系列出不等式（組），求出未知數的取值，根據取值的個數確定方案的個數，這類題目是中考中經常出現的問題，需要認真領會．15、（1）見解析；（2）①GE2＋GF2＝AG2，證明見解析；②的長為或．【解析】

（1）根據正方形的性質得出△DGE和△BGF是等腰直角三角形，可得GE＝DG，GF＝BG，結合AB＝BD即可得出結論；（2）①連接CG，由SAS證明△ABG≌△CBG，得出AG＝CG，證出四邊形EGFC是矩形，得出CE＝GF，由勾股定理即可得出GE2＋GF2＝AG2；②設GE＝CF＝x，則GF＝BF＝6?x，由①中結論得出方程求出CF＝1或CF＝5，再分情況討論，由勾股定理求出BG即可．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴△DGE和△BGF是等腰直角三角形，∴GE＝DG，GF＝BG，∴GE＋GF＝（DG＋BG）＝BD，∴GE＋GF＝AB；（2）①GE2＋GF2＝AG2，證明：連接CG，如圖所示：在△ABG和△CBG中，，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四邊形EGFC是矩形，∴CE＝GF，∵GE2＋CE2＝CG2，∴GE2＋GF2＝AG2；②設GE＝CF＝x，則GF＝BF＝6?x，∵GE2＋GF2＝AG2，∴，解得：x＝1或x＝5，當x＝1時，則BF＝GF＝5，∴BG＝，當x＝5時，則BF＝GF＝1，∴BG＝，綜上，的長為或．本題是一道四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理及解一元二次方程等知識，通過作輔助線，構造出全等三角形是解題的關鍵．16、（1），；（2）；（3）.【解析】

（1）根據點A的坐標以及三角形的面積公式即可求出a值，再根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出k的值；（2）根據反比例函數解析式可求出點C的坐標，由點A、C的坐標利用待定系數法即可求出直線AM的解析式，令線AM的解析式中y=0求出x值，即可得出點M的坐標，再利用勾股定理即可求出線段AM的長度；（3）設點N的坐標為（m，n），由等邊三角形的性質結合兩點間的距離公式即可得出關于m、n的二元二次方程組，解方程組即可得出n與m之間的關系，由此即可得出b值．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴把A點的坐標為，代入得；（2）∵在反比例函數的圖象上，∴，∴，∴，將，代入y=mx+n中，得,解得：,∴直線AM解析式為：，當時，，∴，在中，，，∴；（3）設點N的坐標為（m，n），∵△AMN為等邊三角形，且AM=，A(-1，)，M（2，0）,∴，解得：，∵頂點N（m，n）在一次函數y=bx上，∴b=.本題考查了三角形的面積公式、反比例函數圖象上點的坐標特征、勾股定理以及解二元二次方程組，解題的關鍵是：（1）求出點A的坐標；（2）求出點M的坐標；（3）根據等邊三角形的性質找出關于m、n的二元二次方程組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據等邊三角形的性質利用兩點間的距離公式找出點的橫縱坐標之間的關系是關鍵．17、（1），（2）見解析．【解析】

（1）依據∠ADC＝90°，利用勾股定理可得AD＝；（2）依據勾股定理的逆定理，可得BC2+AC2＝AB2，即可得到△ABC是直角三角形．【詳解】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝；（2）證明：由上題知AD＝，同理可得BD＝，∴AB＝AD+BD＝5，∵32+42=52，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根據圖形判斷出所求的邊所在的直角三角形是解題的關鍵．18、（1）60人，圖見解析；（2）眾數是3，平均數是2.75；（3）500人.【解析】

（1）根據統計圖中的數據可以求得本次共抽取了學生多少人，閱讀3小時的學生有多少人，從而可以將條形統計圖補充完整；（2）根據統計圖中的數據可以求得眾數和平均數；（3）根據統計圖中的數據可以求得課外閱讀時間為3小時的學生有多少人．【詳解】解：（1）由圖2知閱讀時間為2小時的扇形圖圓形角為90°，即閱讀時間為2小時的概率為，再根據圖1可知閱讀2小時的人數為15人，所以本次共抽取了15÷=60名學生，閱讀3小時的學生有：60-10-15-10-5=20（名），補充完整的條形統計圖如下圖所示；（2）由條形統計圖可得，這組數據的眾數是3，這組數據的平均數是：；（3）1500×=500（人），答：課外閱讀時間為3小時的學生有500人．本題考查條形統計圖、扇形統計圖、用樣本估計總體、加權平均數、眾數，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、，．【解析】方程變形得：x1+1x=0，即x（x+1）=0，可得x=0或x+1=0，解得：x1=0，x1=﹣1．故答案是：x1=0，x1=﹣1.20、【解析】

根據一元二次方程定義，只要是一元二次方程，且有一根為0即可.【詳解】可以是，=0等.故答案為：本題考核知識點：一元二次方程的根.解題關鍵點：理解一元二次方程的意義.21、【解析】

直接利用三角形面積求法得出函數關系式．【詳解】解：∵一個三角形的底邊長為5，高為h可以任意伸縮，∴面積S隨h變化的函數解析式為：S＝h?5＝h．故答案為S＝h．此題主要考查了函數關系式，正確記憶三角形面積是解題關鍵．22、y=x+1【解析】

根據一次函數解析式，可設y=kx+1，把點代入可求出k的值；【詳解】因為函數的圖象過點（1，2），所以可設這個一次函數的解析式y=kx+1，把（1，2）代入得：2=k+1，解得k=1，故解析式為y=x+1此題考查一次函數解析式，解題的關鍵是設出解析式；23、1【解析】

分別延長AE，BF交于點H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出點G為PH的中點，則G的運動軌跡為△HCD的中位線MN，再求出CD的長度，運用中位線的性質求出MN的長度即可．【詳解】解：如圖，分別延長AE，BF交于點H，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE∴四邊形EPFH為平行四邊形，∴EF與HP互相平分，∵點G為EF的中點，∴點G為PH的中點，即在P運動的過程中，G始終為PH的中點，∴G的運動軌跡為△HCD的中位線MN，∵CD=6-1-1=4，∴MN==1，∴點G移動路徑的長是1，故答案為：1．本題考查了等邊三角形及中位線的性質，以及動點的問題，是中考熱點，解題的關鍵是得出G的運動軌跡為△HCD的中位線MN．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（1），；（2）該鏡片的焦距為．【解析】

（1）根據圖表可以得到眼鏡片的度數與焦距的積是一個常數，因而眼鏡片度數與鏡片焦距成反比例函數關系，即可求解；（2）在解析式中，令y=500，求出x的值即可．【詳解】（1）根據題意，設與的函數表達式為把，代入中，得∴與的函數表達式為．（2）當時，答：該鏡片的焦距為．考查了反比例函數的應用，正確理解反比例函數的特點，兩個變量的乘積是