學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共8頁北京市海淀區清華附中2024年九上數學開學質量跟蹤監視試題題號一二三四五總分得分批閱人A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）已知（4+）?a=b，若b是整數，則a的值可能是（）A． B．4+ C．4﹣ D．2﹣2、（4分）下列分式中，是最簡分式的是A． B． C． D．3、（4分）為了美化校園環境，加大校園綠化投資．某區前年用于綠化的投資為18萬元，今年用于綠化的投資為33萬元，設這兩年用于綠化投資的年平均增長率為x，則（）A．18（1+2x）＝33 B．18（1+x2）＝33C．18（1+x）2＝33 D．18（1+x）+18（1+x）2＝334、（4分）某社區超市以4元/瓶從廠家購進一批飲料，以6元/瓶銷售.近期計劃進行打折銷售，若這批飲料的銷售利潤不低于20%則最多可以打（）A．六折 B．七折 C．七五折 D．八折5、（4分）如圖，把兩塊全等的的直角三角板、重疊在一起，，中點為，斜邊中點為，固定不動，然后把圍繞下面哪個點旋轉一定角度可以使得旋轉后的三角形與原三角形正好合成一個矩形（三角板厚度不計）（）A．頂點 B．頂點 C．中點 D．中點6、（4分）如圖，在中，，，點D，E分別是AB,BC的中點，連接DE，CD，如果,那么的周長（）A．28 B．28.5 C．32 D．367、（4分）下列四組線段中，可以組成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．3，4，5 C．5，6，7 D．1，，38、（4分）如圖，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點F，CE平分∠BCD，交AD于點E，AB＝7，EF＝3，則BC的長為()A．9 B．10 C．11 D．12二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）如圖，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，過D作DE∥BC交AB于點E，若DE剛好平分∠ADB，且AE＝a，則BC＝_____．10、（4分）如圖，△ABC的頂點都在正方形網格格點上，點A的坐標為（－1，4）．將△ABC沿y軸翻折到第一象限，則點C的對應點C′的坐標是_____．11、（4分）商家花費760元購進某種水果80千克，銷售中有5%的水果正常損耗，為了避免虧本，售價至少應定為_______元/千克．12、（4分）如圖，?ABCD中，∠ABC=60°，E、F分別在CD和BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，則AB的長是．13、（4分）有一個質地均勻的正方體，其六個面上分別寫著直角梯形、等腰梯形、矩形、正方形、菱形、平行四邊形，投擲這個正方體后，向上的一面的圖形是對角線相等的圖形的概率是_______；三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F分別是OB，OD的中點．（1）試說明四邊形AECF是平行四邊形．（2）若AC＝2，AB＝1．若AC⊥AB，求線段BD的長．15、（8分）如圖1，正方形ABCD中，E為BC上一點，過B作BG⊥AE于G，延長BG至點F使∠CFB=45°（1）求證：AG=FG；（2）如圖2延長FC、AE交于點M，連接DF、BM，若C為FM中點，BM=10，求FD的長．16、（8分）五一期間，某商場計劃購進甲、乙兩種商品，已知購進甲商品1件和乙商品3件共需240元；購進甲商品2件和乙商品1件共需130元．（1）求甲、乙兩種商品每件的進價分別是多少元？（2）商場決定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，為滿足市場需求，需購進甲、乙兩種商品共100件，且甲種商品的數量不少于乙種商品數量的4倍，請你求出獲利最大的進貨方案，并確定最大利潤．17、（10分）如圖，在平面直角坐標系中，直線與直線相交于點A.(I)求直線與x軸的交點坐標，并在坐標系中標出點A及畫出直線的圖象；(II)若點P是直線在第一象限內的一點，過點P作PQ//y軸交直線于點Q，△POQ的面積等于60，試求點P的橫坐標.18、（10分）下圖是交警在一個路口統計的某個時段來往車輛的車速情況．應用你所學的統計知識，寫一份簡短的報告，讓交警知道這個時段路口來往車輛的車速情況．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，AC⊥BC，且AB＝10㎝，AD＝6㎝，則OB＝_______________.20、（4分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF=45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM．若AE=1，則FM的長為．21、（4分）已知直線y＝kx+b與y＝2x+1平行，且經過點（﹣3，4），則函數y＝kx+b的圖象可以看作由函數y＝2x+1的圖象向上平移_____個單位長度得到的．22、（4分）某校九年級甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入比賽，兩個班能參加比賽的學生每分鐘輸入漢字的個數，經統計和計算后結果如下表：有一位同學根據上面表格得出如下結論：①甲、乙兩班學生的平均水平相同；②乙班優秀人數比甲班優秀人數多（每分鐘輸入漢字達150個以上為優秀）；③甲班學生比賽成績的波動比乙班學生比賽成績的波動大．上述結論正確的是_______（填序號）．23、（4分）點P（a，b）在第三象限，則直線y＝ax+b不經過第_____象限二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）如圖，在?ABCD中，點E、F在BD上，且BF＝DE．（1）寫出圖中所有你認為全等的三角形；（2）延長AE交BC的延長線于G，延長CF交DA的延長線于H（請補全圖形），證明四邊形AGCH是平行四邊形．25、（10分）如圖，等邊的邊長是4，，分別為，的中點，延長至點，使，連接和．(1)求證：；(2)求的長；(3)求四邊形的面積．26、（12分）兩地相距300，甲、乙兩車同時從地出發駛向地，甲車到達地后立即返回，如圖是兩車離地的距離（）與行駛時間（）之間的函數圖象.（1）求甲車行駛過程中與之間的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍.（2）若兩車行駛5相遇，求乙車的速度.

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、C【解析】

找出括號中式子的有理化因式即可得．【詳解】解：（4+）×（4-）=42-（）2=16-3=13，是整數，所以a的值可能為4-，故選C本題考查了有理化因式，正確選擇兩個二次根式，使它們的積符合平方差公式的結構特征是解題的關鍵．2、D【解析】

最簡分式的標準是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進行約分．【詳解】A、＝，錯誤；B、＝，錯誤；C、＝，錯誤；D、是最簡分式，正確．故選D．此題考查最簡分式問題，分式的化簡過程，首先要把分子分母分解因式，互為相反數的因式是比較易忽視的問題．在解題中一定要引起注意．3、C【解析】

根據題意可以列出相應的一元二次方程，本題得以解決．【詳解】由題意可得，18（1+x）2＝33，故選：C．本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的一元二次方程，這是一道典型的增長率問題．4、D【解析】

設打x折后銷售利潤不低于20%，根據這批飲料的銷售利潤不低于20%列不等式求解即可.【詳解】設打x折后銷售利潤不低于20%，根據題意得6x－4≥4×20%，解得x≥0.8，所以，最多可以打8折.故選D.此題主要考查了一元一次不等式的應用，根據實際問題中的條件列不等式時，要注意抓住題目中的一些關鍵性詞語，找出不等關系，列出不等式式是解題關鍵．5、D【解析】

運用旋轉的知識逐項排除，即可完成解答.【詳解】A,繞頂點A旋轉可以得到等腰三角形，故A錯誤；B,繞頂點B旋轉得不到矩形，故B錯誤；C，繞中點P旋轉可以得到等腰三角形，故C錯誤；D，繞中點Q旋轉可以得到等腰三角形，故D正確；因此答案為D.本題主要考查了旋轉，解題的關鍵在于具有豐富的空間想象能力.6、C【解析】

根據三角形中位線定理得到AC=2DE=7，AC//DE，根據勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根據線段垂直平分線的性質得到DC=BD，根據三角形的周長公式計算即可．【詳解】∵D，E分別是AB，BC的中點，∴AC=2DE=7，AC//DE，AC+BC=7+24=625，AB=25=625，∴AC+BC=AB，∴∠ACB=90°，∵AC//DE，∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中點，∴直線DE是線段BC的垂直平分線，∴DC=BD，∴△ACD的周長=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=32，故選：C．此題考查三角形中位線定理，線段垂直平分線的性質，勾股定理逆定理，解題關鍵在于求出∠ACB=90°.7、B【解析】

將各選項中長度最長的線段長求出平方，剩下的兩線段長求出平方和，若兩個結果相等，利用勾股定理的逆定理得到這三條線段能組成直角三角形；反之不能組成直角三角形．【詳解】A、∵42+52=41；62=36，

∴42+52≠62，

則此選項線段長不能組成直角三角形；B、∵32+42=9+16=85；52=25，

∴32+42=52，

則此選項線段長能組成直角三角形；

C、∵52+62=61；72=49，

∴52+62≠72，

則此選項線段長不能組成直角三角形；

D、∵12+（）2=3；32=9，

∴12+（）2≠32，

則此選項線段長不能組成直角三角形；故選B此題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解本題的關鍵．8、C【解析】分析：先證明AB=AF=7，DC=DE，再根據EF=AF+DE﹣AD求出AD，即可得出答案．詳解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=7，BC=AD，AD∥BC．∵BF平分∠ABC交AD于F，CE平分∠BCD交AD于E，∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，∠BCE=∠DCE=∠CED，∴AB=AF=7，DC=DE=7，∴EF=AF+DE﹣AD=7+7﹣AD=3，∴AD=1，∴BC=1．故選C．點睛：本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握這些知識的應用，屬于常見題，中考常考題型．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、6a【解析】

根據角平分線的定義得到∠ABD＝∠CBD，根據平行線的性質得到∠ADE＝∠C，∠EDB＝∠CBD，求得∠C＝30°，根據含30°角的直角三角形的性質即可得到結論．【詳解】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠EDB＝∠CBD，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠EDB，∴∠CBD＝∠C，∴∠ABC＝2∠C，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ADE＝30°，∵AE＝a，∴DE＝2a，∵∠EDB＝∠DBC，∠DBE＝∠EBD，∴BE＝DE＝2a，∴AB＝3a，∴BC＝2AB＝6a．故答案為：6a．本題考查角平分線的定義、平行線的性質、及含30°角的直角三角形的性質，熟練掌握30°角所對的直角邊等于斜邊一半的性質是解題關鍵．10、（3，1）【解析】

關于y軸對稱的點的坐標的特征：橫坐標互為相反數，縱坐標相同.【詳解】由題意得點C（－3，1）的對應點C′的坐標是（3，1）．考點：關于y軸對稱的點的坐標本題屬于基礎題，只需學生熟練掌握關于y軸對稱的點的坐標的特征，即可完成.11、1．【解析】

解：設售價至少應定為x元/千克，依題可得方程x（1-5%）×80≥760，解得x≥1故答案為1．本題考查一元一次不等式的應用．12、1【解析】

根據平行四邊形性質推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四邊形ABDE，推出DE=DC=AB，根據直角三角形性質求出CE長，即可求出AB的長．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB=CD.∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形.∴AB=DE=CD，即D為CE中點.∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°.∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°.∴∠CEF=30°.∵EF=，∴CE=2∴AB=113、【解析】【分析】先求出總的情況和對角線相等的情況，再根據概率公式可求得.【詳解】因為，出現的圖形共有6種情況，對角線相等的有（等腰梯形，正方形，矩形）3這情況，所以，P（對角線相等）=故答案為：【點睛】本題考核知識點：概率.解題關鍵點：掌握概率的求法.三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）見解析；（2）BD＝2．【解析】

（1）在平行四邊形ABCD中，AC與BD互相平分，OA=OC，OB=OD，又E，F為OB，OD的中點，所以OE=OF，所以AC與EF互相平分，所以四邊形AECF為平行四邊形；

（2）首先根據平行四邊形的性質可得AO=CO，BO=DO，再利用勾股定理計算出BO的長，進而可得BD的長．【詳解】（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵E，F為OB，OD的中點，∴OE＝OF，∴AC與EF互相平分，∴四邊形AECF為平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AC＝2，∴AO＝2，∵AB＝1，AC⊥AB，∴，∴BD＝．此題主要考查了平行四邊形的判定與性質，關鍵是掌握平行四邊形對角線互相平分．15、（1）證明見解析；（2）25．【解析】試題分析：（1）證明：過C點作CH⊥BF于H點∵∠CFB=45°∴CH=HF∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°∴∠BAG=∠FBE∵AG⊥BFCH⊥BF∴∠AGB=∠BHC=90°在△AGB和△BHC中∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC∴△AGB≌△BHC∴AG=BH，BG=CH∵BH=BG+GH∴BH=HF+GH=FG∴AG=FG(2)∵CH⊥GF∴CH∥GM∵C為FM的中點∴CH=12GM∴BG=1∴BG=25，GM=45（1分）∴AG=∴HF=25∴CF=25×2過B點作BK⊥CM于K∵CK=12CM=12過D作DQ⊥MF交MF延長線于Q∴△BKC≌△CQD∴CQ=BK=3DQ=CK=10∴QF=310－210=10∴DF=10+10考點：三角形和正方形點評：本題考查三角形和正方形的知識，解本題的關鍵是熟練掌握三角形和正方形的一些性質，此題難度較大16、（1）甲商品每件進價30元，乙商品每件進價70元；（2）甲商品進80件，乙商品進20件，最大利潤是1200元．【解析】

（1）根據購進甲商品1件和乙商品3件共需240元，甲商品2件和乙商品1件共需130元可以列出相應的方程組，從而可以求得甲、乙兩種商品每件的進價分別是多少元；

（2）根據題意可以得到利潤與購買甲種商品的函數關系式，從而可以解答本題．【詳解】（1）設商品每件進價x元，乙商品每件進價y元，得解得：，答：甲商品每件進價30元，乙商品每件進價70元；（2）設甲商品進a件，乙商品（100﹣a）件，由題意得，a≥4（100﹣a），a≥80，設利潤為y元，則，y＝10a+20（100﹣a）＝﹣10a+2000，∵y隨a的增大而減小，∴要使利潤最大，則a取最小值，∴a＝80，∴y＝2000﹣10×80＝1200，答：甲商品進80件，乙商品進20件，最大利潤是1200元．本題考查一次函數的應用、二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質和不等式的性質解答．17、(I)見解析；(II)點的橫坐標為12.【解析】

(I)將直線與直線聯立方程求解，即可得到點A的坐標,然后可以在坐標系中標出點A；求出直線與x軸的交點B，連接AB即是直線y2.(II)用x表示出PQ的長度和Q點的橫坐標，根據△POQ的面積等于60，用等面積法即可求出點Q的橫坐標.【詳解】(I)在中，令，則，解得：,∴與軸的交點的坐標為.由解得.所以點.過、兩點作直線的圖象如圖所示.(II)∵點是直線在第一象限內的一點，∴設點的坐標為，又∥軸，∴點.∴.∵，又的面積等于60，∴，解得：或（舍去）.∴點的橫坐標為12.本題主要是考查了一次函數.18、見解析【解析】

根據圖形中的信息可得出最高速度與最低速度，其中速度最多的車輛有多少等等，最后組織語言交代清楚即可.【詳解】由圖可得：此處車輛速度平均在51千米/小時以上，大多以53千米/小時或54千米/小時速度行駛，最高速度為53千米/小時，有超過一半的速度在52千米/小時以上，行駛速度眾數為53.本題主要考查了統計圖的認識，熟練掌握相關概念是解題關鍵.一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、4cm【解析】

在?ABCD中∵BC=AD=6cm，AO=CO，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴AC==8cm，∴AO=AC=4cm；故答案為4cm．20、2.5【解析】試題分析：∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三點共線，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，在△DEF和△DMF中，DE=DM∠EDF=∠FDM∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4﹣x）2=x2，解得：x=52，∴FM=5考點：1.旋轉的性質；2.全等三角形的判定與性質；3.正方形的性質．21、1【解析】

依據直線y=kx+b與y=2x+1平行，且經過點（-3，4），即可得到直線解析式為y=2x+10，進而得到該直線可以看作由函數y=2x+1的圖象向上平移1個單位長度得到的．【詳解】∵直線y=kx+b與y=2x+1平行，∴k=2，又∵直線經過點（-3，4），∴4=-3×2+b，解得b=10，∴該直線解析式為y=2x+10，∴可以看作由函數y=2x+1的圖象向上平移1個單位長度得到的．故答案為：1．本題主要考查了一次函數圖象與幾何變換，解決問題的關鍵是利用待定系數法求得直線解析式．22、①②③．【解析】

根據平均數、方差和中位數的意義，可知：甲乙的平均數相同，所以①甲、乙兩班學生的平均水平相同．根據中位數可知乙的中位數大，所以②乙班優秀的人數比甲班優秀的人數多．根據方差數據可知，方差越大波動越大，反之越小，所以甲班學生比賽成績的波動比乙班學生比賽成績的波動大．

故答案為①②③．本題考查統計知識中的中位數、平均數和方差的意義．要知道平均數和中位數反映的是數據的集中趨勢，方差反映的是離散程度．23、一【解析】

點在第三象限的條件是：橫坐標為負數，縱坐標為負數.進而判斷相應的直線經過的象限【詳解】解：∵點P（a，b）在第三象限，∴a＜0，b＜0，∴直線y＝ax+b經過第二、三、四象限，不經過第一象限，故答案為：一．此題主要考查四個象限的點坐標特征：第一象限正正，第二象限負正，第三象限負負，第四象限正負.掌握直線經過象限的特征即可求解二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（1）△ABE≌△CDF；△AED≌△CFB；△ABD≌△CDB；（2）詳見解析【解析】

（1）因為ABCD是平行四邊形，AD∥BC，因此∠ADE＝∠CBF，又知DE＝BF，D＝BC那么構成了三角形ADE和CBF全等的條件（SAS）因此△AED≌△CFB．同理可得出△ABE≌△CDF，△ABD≌△CDB．（2）要證明四邊形AGCH是個平行四邊形，已知的條件有AB∥CD，只要證得AG∥CH即可得出上述結論．那么就需要證明∠AEB＝∠DFC，也就是證明△ABE≌△CDF，根據AB∥CD．∴∠ABD＝∠CDB．這兩個三角形中已知的條件就有AB＝CD，BE＝DF（BE＝DF+EF＝DE+EF＝DF），又