專題03立體幾何中空間線、面位置關系的判定(2)【方法總結】判斷與空間位置關系有關命題真假的方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質定理進行判斷．(2)借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關系，結合有關定理，進行肯定或否定．(3)借助于反證法，當從正面入手較難時，可利用反證法，推出與題設或公認的結論相矛盾的命題，進而作出判斷．【例題選講】[例1](1)以下四個命題中，①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．正確命題的個數是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①顯然是正確的；②中若A，B，C三點共線，則A，B，C，D，E五點不一定共面；③中構造長方體(或正方體)，如圖所示，顯然b，c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面，故只有①正確．(2)(2019·全國Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線答案B解析如圖，取CD的中點O，連接ON，EO，因為△ECD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD．設正方形ABCD的邊長為2，則EO＝eq\r(3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2．過M作CD的垂線，垂足為P，連接BP，則MP＝eq\f(\r(3),2)，CP＝eq\f(3,2)，所以BM2＝MP2＋BP2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋22＝7，得BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN．連接BD，BE，因為四邊形ABCD為正方形，所以N為BD的中點，即EN，MB均在平面BDE內，所以直線BM，EN是相交直線．(3)(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列直線或平面與平面ACD1平行的是()A．直線A1BB．直線BB1C．平面A1DC1D．平面A1BC1答案AD解析如圖，由A1B∥D1C，且A1B?平面ACD1，D1C?平面ACD1，故直線A1B與平面ACD1平行，故A正確；直線BB1∥DD1，DD1與平面ACD1相交，故直線BB1與平面ACD1相交，故B錯誤；顯然平面A1DC1與平面ACD1相交，故C錯誤；由A1B∥D1C，AC∥A1C1，且A1B∩A1C1＝A1，AC∩D1C＝C，故平面A1BC1與平面ACD1平行，故D正確．故選AD．(4)(2017·全國Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB．∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交．B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．C項，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．D項，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．故選A．(5)已知點E，F分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點，點M，N分別是線段D1E與C1F上的點，則滿足與平面ABCD平行的直線MN有()A．0條B．1條C．2條D．無數條答案D解析如圖所示，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于點N，M，連接MN，由面面平行的性質得MN∥平面ABCD，由于平面KSHG有無數多個，所以平行于平面ABCD的MN有無數多條，故選D．(6)如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點，則直線OM與AC，MN的位置關系是()A．與AC，MN均垂直B．與AC垂直，與MN不垂直C．與AC不垂直，與MN垂直D．與AC，MN均不垂直答案A解析因為DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因為AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因為OM?平面BDD1B1，所以OM⊥AC．設正方體的棱長為2，則OM＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，MN＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，ON＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN．故選A．(7)如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正確結論的序號是________．答案①②③解析由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF．∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC?平面PBC，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF．故①②③正確．(8)如圖，AB是圓錐SO的底面圓O的直徑，D是圓O上異于A，B的任意一點，以AO為直徑的圓與AD的另一個交點為C，P為SD的中點．現給出以下結論：①△SAC為直角三角形；②平面SAD⊥平面SBD；③平面PAB必與圓錐SO的某條母線平行．其中正確結論的序號是________(寫出所有正確結論的序號)．答案①③解析如圖，連接OC，∵SO⊥底面圓O，∴SO⊥AC，C在以AO為直徑的圓上，∴AC⊥OC，∵OC∩SO＝O，∴AC⊥平面SOC，AC⊥SC，即△SAC為直角三角形，故①正確；假設平面SAD⊥平面SBD，在平面SAD中過點A作AH⊥SD交SD于點H，則AH⊥平面SBD，∴AH⊥BD，又BD⊥AD，∴BD⊥平面SAD，又CO∥BD，∴CO⊥平面SAD，∴CO⊥SC，又在△SOC中，SO⊥OC，在一個三角形內不可能有兩個直角，故平面SAD⊥平面SBD不成立，故②錯誤；連接DO并延長交圓O于點E，連接PO，SE，∵P為SD的中點，O為ED的中點，∴OP是△SDE的中位線，∴PO∥SE，即SE∥平面PAB，即平面PAB必與圓錐SO的母線SE平行．故③正確．故正確是①③．(9)如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點M為線段PB的中點．現有結論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長．其中正確的是()A．①②B．①②③C．①D．②③答案B解析對于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴BC⊥PC；對于②，∵點M為線段PB的中點，∴OM∥PA，∵PA?平面PAC，OM?平面PAC，∴OM∥平面PAC；對于③，由①知BC⊥平面PAC，∴線段BC的長即是點B到平面PAC的距離，故①②③都正確．(10)(多選)已知四棱臺ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均為正方形，其中AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，AA1＝BB1＝CC1＝2，則下列敘述中正確的是()A．該四棱臺的高為eq\r(3)B．AA1⊥CC1C．該四棱臺的表面積為26D．該四棱臺外接球的表面積為16π答案AD解析由棱臺的性質，畫出切割前的四棱錐，如圖所示．由于AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，可知△SA1B1與△SAB的相似比為1∶2，則SA＝2AA1＝4，AO＝2，則SO＝2eq\r(3)，則OO1＝eq\r(3)，故該四棱臺的高為eq\r(3)，A正確；因為SA＝SC＝AC＝4，則AA1與CC1的夾角為60°，不垂直，B錯誤；該四棱臺的表面積為S＝S上底＋S下底＋S側＝2＋8＋4×eq\f(（\r(2)＋2\r(2)）,2)×eq\f(\r(14),2)＝10＋6eq\r(7)，C錯誤；由于上、下底面都是正方形，則四棱臺外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1中，由于OO1＝eq\r(3)，B1O1＝1，則OB1＝2＝OB，即點O到點B與點B1的距離相等，則四棱臺外接球的半徑r＝OB＝2，故該四棱臺外接球的表面積為16π，D正確．故選AD．【對點精練】1．給出下列命題，其中正確的命題為________．(填序號)①如果線段AB在平面α內，那么直線AB在平面α內；②兩個不同的平面可以相交于不在同一直線上的三個點A，B，C；③若三條直線a，b，c互相平行且分別交直線l于A，B，C三點，則這四條直線共面；④若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面；⑤兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形．2．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與直線A1B1，EF，BC都相交的直線()A．不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有無數條3．(多選)如圖，在四面體A－BCD中，M，N，P，Q，E分別為AB，BC，CD，AD，AC的中點，則下列說法中正確的是()A．M，N，P，Q四點共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四邊形MNPQ為梯形4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列命題正確的是()A．AC與B1C是相交直線且垂直B．AC與A1D是異面直線且垂直C．BD1與BC是相交直線且垂直D．AC與BD1是異面直線且垂直5．如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關系是()A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能6．如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線MN與AC所成的角為60°．其中正確的結論為________(把你認為正確結論的序號都填上)．7．如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，EB＝2DC，P，Q分別為AE，AB的中點．則直線DP與平面ABC的位置關系是________．8．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1C與平面A1DC1的位置關系是________．9．如圖，L，M，N分別為正方體對應棱的中點，則平面LMN與平面PQR的位置關系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合10．若P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線的交點為O，M為PB的中點，給出以下四個命題：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA．其中正確的個數是________．11．如圖所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件______時，就有MN∥平面B1BDD1．(注：請填上你認為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)12．若點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線MN∥平面ABC的是()13．(2017·全國Ⅲ)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC14．在下列四個正方體中，能得出異面直線AB⊥CD的是()15．如圖，在三棱錐P－ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC16．(多選)如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是()17．如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結論正確的是()A．MN∥ABB．平面VAC⊥平面VBCC．MN與BC所成的角為45°D．OC⊥平面VAC18．(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，N為底面ABCD的中心，P為線段A1D1上的動點(不包括兩個端點)，M為線段AP的中點，則()A．CM與PN是異面直線B．CM>PNC．平面PAN⊥平面BDD1B1D．過P，A，C三點的正方體的截面一定是等腰梯形19．如圖，在正四面體P—ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC20．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD．(只要填寫一個你認為正確的條件即可)21．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱和六個面的對角線共有24條，其中與體對角線AC1垂直的有________條．22．如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°．正確的為________(把所有正確的序號都填上)．23．(多選)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F，G分別為BC，CC1，BB1的中點，則()A．直線D1D與直線AF垂直B．直線A1G與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為eq\f(9,8)D．點C與點G到平面AEF的距離相等24．(多選)如圖，四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，M為棱PD的中點，N為菱形ABCD的中心，下列結論正確的有()A．直線PB與平面AMC平行B．直線PB與直線AD垂直C．線段AM與線段CM長度相等D．PB與AM所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4)更多精品資料請關注微信公眾號：超級高中生專題03立體幾何中空間線、面位置關系的判定(2)【方法總結】判斷與空間位置關系有關命題真假的方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質定理進行判斷．(2)借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關系，結合有關定理，進行肯定或否定．(3)借助于反證法，當從正面入手較難時，可利用反證法，推出與題設或公認的結論相矛盾的命題，進而作出判斷．【例題選講】[例1](1)以下四個命題中，①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．正確命題的個數是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①顯然是正確的；②中若A，B，C三點共線，則A，B，C，D，E五點不一定共面；③中構造長方體(或正方體)，如圖所示，顯然b，c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面，故只有①正確．(2)(2019·全國Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線答案B解析如圖，取CD的中點O，連接ON，EO，因為△ECD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD．設正方形ABCD的邊長為2，則EO＝eq\r(3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2．過M作CD的垂線，垂足為P，連接BP，則MP＝eq\f(\r(3),2)，CP＝eq\f(3,2)，所以BM2＝MP2＋BP2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋22＝7，得BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN．連接BD，BE，因為四邊形ABCD為正方形，所以N為BD的中點，即EN，MB均在平面BDE內，所以直線BM，EN是相交直線．(3)(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列直線或平面與平面ACD1平行的是()A．直線A1BB．直線BB1C．平面A1DC1D．平面A1BC1答案AD解析如圖，由A1B∥D1C，且A1B?平面ACD1，D1C?平面ACD1，故直線A1B與平面ACD1平行，故A正確；直線BB1∥DD1，DD1與平面ACD1相交，故直線BB1與平面ACD1相交，故B錯誤；顯然平面A1DC1與平面ACD1相交，故C錯誤；由A1B∥D1C，AC∥A1C1，且A1B∩A1C1＝A1，AC∩D1C＝C，故平面A1BC1與平面ACD1平行，故D正確．故選AD．(4)(2017·全國Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB．∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交．B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．C項，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．D項，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．故選A．(5)已知點E，F分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中點，點M，N分別是線段D1E與C1F上的點，則滿足與平面ABCD平行的直線MN有()A．0條B．1條C．2條D．無數條答案D解析如圖所示，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于點N，M，連接MN，由面面平行的性質得MN∥平面ABCD，由于平面KSHG有無數多個，所以平行于平面ABCD的MN有無數多條，故選D．(6)如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點，則直線OM與AC，MN的位置關系是()A．與AC，MN均垂直B．與AC垂直，與MN不垂直C．與AC不垂直，與MN垂直D．與AC，MN均不垂直答案A解析因為DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因為AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因為OM?平面BDD1B1，所以OM⊥AC．設正方體的棱長為2，則OM＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，MN＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，ON＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN．故選A．(7)如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正確結論的序號是________．11．答案①②③解析由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF．∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC?平面PBC，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF．故①②③正確．(8)如圖，AB是圓錐SO的底面圓O的直徑，D是圓O上異于A，B的任意一點，以AO為直徑的圓與AD的另一個交點為C，P為SD的中點．現給出以下結論：①△SAC為直角三角形；②平面SAD⊥平面SBD；③平面PAB必與圓錐SO的某條母線平行．其中正確結論的序號是________(寫出所有正確結論的序號)．答案①③解析如圖，連接OC，∵SO⊥底面圓O，∴SO⊥AC，C在以AO為直徑的圓上，∴AC⊥OC，∵OC∩SO＝O，∴AC⊥平面SOC，AC⊥SC，即△SAC為直角三角形，故①正確；假設平面SAD⊥平面SBD，在平面SAD中過點A作AH⊥SD交SD于點H，則AH⊥平面SBD，∴AH⊥BD，又BD⊥AD，∴BD⊥平面SAD，又CO∥BD，∴CO⊥平面SAD，∴CO⊥SC，又在△SOC中，SO⊥OC，在一個三角形內不可能有兩個直角，故平面SAD⊥平面SBD不成立，故②錯誤；連接DO并延長交圓O于點E，連接PO，SE，∵P為SD的中點，O為ED的中點，∴OP是△SDE的中位線，∴PO∥SE，即SE∥平面PAB，即平面PAB必與圓錐SO的母線SE平行．故③正確．故正確是①③．(9)如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點M為線段PB的中點．現有結論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長．其中正確的是()A．①②B．①②③C．①D．②③答案B解析對于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴BC⊥PC；對于②，∵點M為線段PB的中點，∴OM∥PA，∵PA?平面PAC，OM?平面PAC，∴OM∥平面PAC；對于③，由①知BC⊥平面PAC，∴線段BC的長即是點B到平面PAC的距離，故①②③都正確．(10)(多選)已知四棱臺ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均為正方形，其中AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，AA1＝BB1＝CC1＝2，則下列敘述中正確的是()A．該四棱臺的高為eq\r(3)B．AA1⊥CC1C．該四棱臺的表面積為26D．該四棱臺外接球的表面積為16π答案AD解析由棱臺的性質，畫出切割前的四棱錐，如圖所示．由于AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，可知△SA1B1與△SAB的相似比為1∶2，則SA＝2AA1＝4，AO＝2，則SO＝2eq\r(3)，則OO1＝eq\r(3)，故該四棱臺的高為eq\r(3)，A正確；因為SA＝SC＝AC＝4，則AA1與CC1的夾角為60°，不垂直，B錯誤；該四棱臺的表面積為S＝S上底＋S下底＋S側＝2＋8＋4×eq\f(（\r(2)＋2\r(2)）,2)×eq\f(\r(14),2)＝10＋6eq\r(7)，C錯誤；由于上、下底面都是正方形，則四棱臺外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1中，由于OO1＝eq\r(3)，B1O1＝1，則OB1＝2＝OB，即點O到點B與點B1的距離相等，則四棱臺外接球的半徑r＝OB＝2，故該四棱臺外接球的表面積為16π，D正確．故選AD．【對點精練】1．給出下列命題，其中正確的命題為________．(填序號)①如果線段AB在平面α內，那么直線AB在平面α內；②兩個不同的平面可以相交于不在同一直線上的三個點A，B，C；③若三條直線a，b，c互相平行且分別交直線l于A，B，C三點，則這四條直線共面；④若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面；⑤兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形．1．答案①③2．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與直線A1B1，EF，BC都相交的直線()A．不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有無數條2．答案D解析在EF上任意取一點M，直線A1B1與M確定一個平面，這個平面與BC有且僅有1個交點N，當M的位置不同時確定不同的平面，從而與BC有不同的交點N，而直線MN與A1B1，EF，BC分別有交點P，M，N，如圖，故有無數條直線與直線A1B1，EF，BC都相交．3．(多選)如圖，在四面體A－BCD中，M，N，P，Q，E分別為AB，BC，CD，AD，AC的中點，則下列說法中正確的是()A．M，N，P，Q四點共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四邊形MNPQ為梯形3．答案ABC解析由三角形的中位線定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD．對于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四點共面，故A說法正確；對于B，根據等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B說法正確；對于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C說法正確；對于D，由三角形的中位線定理，知MQ∥BD，MQ＝eq\f(1,2)BD，NP∥BD，NP＝eq\f(1,2)BD，所以MQ＝NP，MQ∥NP，所以四邊形MNPQ是平行四邊形，故D說法不正確．4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列命題正確的是()A．AC與B1C是相交直線且垂直B．AC與A1D是異面直線且垂直C．BD1與BC是相交直線且垂直D．AC與BD1是異面直線且垂直4．答案D解析如圖，連接AB1，可得△AB1C為正三角形，可得AC與B1C是相交直線且成60°角，故A錯誤；∵A1D∥B1C，∴AC與A1D是異面直線且成60°角，故B錯誤；BD1與BC是相交直線，所成角為∠D1BC，其正切值為eq\r(2)，故C錯誤；連接BD，可知BD⊥AC，則BD1⊥AC，可知AC與BD1是異面直線且垂直，故D正確．故選D．5．如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關系是()A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能5．答案B解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB．故選B．6．如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線MN與AC所成的角為60°．其中正確的結論為________(把你認為正確結論的序號都填上)．6．答案③④解析AM與CC1是異面直線，AM與BN是異面直線，BN與MB1為異面直線．因為D1C∥MN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，為60°．7．如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，EB＝2DC，P，Q分別為AE，AB的中點．則直線DP與平面ABC的位置關系是________．7．答案平行解析連接CQ，在△ABE中，P，Q分別是AE，AB的中點，所以PQ∥BE，PQ＝eq\f(1,2)BE．又DC∥EB，DC＝eq\f(1,2)EB，所以PQ∥DC，PQ＝DC，所以四邊形DPQC為平行四邊形，所以DP∥CQ．又DP?平面ABC，CQ?平面ABC，所以DP∥平面ABC．8．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1C與平面A1DC1的位置關系是________．8．答案平行解析易證A1C1，A1D都與平面AB1C平行，且A1D∩A1C1＝A1，所以平面AB1C∥平面A1DC1．9．如圖，L，M，N分別為正方體對應棱的中點，則平面LMN與平面PQR的位置關系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合9．答案C解析如圖，分別取另三條棱的中點A，B，C，將平面LMN延展為平面正六邊形AMBNCL，因為PQ∥AL，PR∥AM，且PQ與PR相交，AL與AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR．10．若P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線的交點為O，M為PB的中點，給出以下四個命題：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA．其中正確的個數是________．10．答案①③解析由已知可得OM∥PD，∴OM∥平面PCD且OM∥平面PAD．故正確的只有①③．11．如圖所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件______時，就有MN∥平面B1BDD1．(注：請填上你認為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)11．答案點M在線段FH上(或點M與點H重合)解析連接HN，FH，FN，則FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1．12．若點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線MN∥平面ABC的是()12．答案D解析對于A，因為A，C，M，N分別為所在棱的中點，由正方體的性質知MN∥AC，又MN?平面ABC，AC?平面ABC，所以MN∥平面ABC．對于B，取AC的中點E，連接BE，由條件及正方體的性質知MN∥BE．因為MN?平面ABC，BE?平面ABC，所以MN∥平面ABC．對于C，取AC的中點E，連接BE，由條件及正方體的性質知MN∥BE，因為MN?平面ABC，BE?平面ABC，所以MN∥平面ABC．對于D，連接AM，BN，由條件及正方體的性質知四邊形AMNB是等腰梯形，所以AB與MN所在的直線相交，故不能推出MN∥平面ABC．故選D．13．(2017·全國Ⅲ)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC13．答案C解析如圖，∵A1E在平面ABCD上的射影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴B，D錯；∵A1E在平面BCC1B1上的射影為B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正確；(證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1．又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)，∵A1E在平面DCC1D1上的射影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯．14．在下列四個正方體中，能得出異面直線AB⊥CD的是()14．答案A解析對于A，作出過AB的平面ABE，如圖①，可得直線CD與平面ABE垂直，根據線面垂直的性質知，AB⊥CD成立，故A正確；對于B，作出過AB的等邊三角形ABE，如圖②，將CD平移至AE，可得CD與AB所成的角等于60°，故B不成立；對于C，D，將CD平移至經過點B的側棱處，可得AB，CD所成的角都是銳角，故C和D均不成立．故選A．15．如圖，在三棱錐P－ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC15．答案B解析A中，因為AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC．又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；C中，因為平面BPC⊥平面APC，平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC．又AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能判斷出AP⊥BC，故選B．16．(多選)如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是()16．答案BD解析在A中，AB與CE的夾角為45°，所以直線AB與平面CDE不垂直，故不符合題意；在B中，AB⊥CE，AB⊥DE，CE∩DE＝E，所以AB⊥平面CDE，故符合題意；在C中，AB與EC的夾角為60°，所以直線AB與平面CDE不垂直，故不符合題意；在D中，AB⊥DE，AB⊥CE，DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE，故符合題意．故選BD．17．如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結論正確的是()A．MN∥ABB．平面VAC⊥平面VBCC．MN與BC所成的角為45°D．OC⊥平面VAC17．答案B解析由題意得BC⊥AC，因為VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC．因為AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC．因為BC?平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC．故選B．18．(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，N為底面ABCD的中心，P為線段A1D1上的動點(不包括兩個端點)，M為線段AP的中點，則()A．CM與PN是異面直線B．CM>PNC．平面PAN⊥平面BDD1B1D．過P，A，C三點的正方體的截面一定是等腰梯形18．答案BCD解析由C，N，A三點共線，得CN，PM交于點A，因此CM，PN共面，A錯誤；記∠PAC＝θ，則PN2＝AP2＋AN2－2AP·ANcosθ＝AP2＋eq\f(1,4)AC2－AP·ACcosθ，CM2＝AC2＋AM2－2AC·AMcosθ＝AC2＋eq\f(1,4)AP2－AP·ACcosθ，又AP<AC，CM2－PN2＝eq\f(3,4)(AC2－AP2)>0，所以CM2>PN2，即CM>PN，B正確；在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AN⊥BD，BB1⊥平面ABCD，則BB1⊥AN，BB1∩BD＝B，可得AN⊥平面BDD1B1，AN?平面PAN，從而可得平面PAN⊥平面BDD1B1，C正確；在C1D1上取一點K，使得D1K＝D1P，連接KP，KC，A1C1，易知PK∥A1C1，又在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∥AC，所以PK∥AC，所以PK，AC共面，PKCA就是過P，A，C三點的正方體的截面，它是等腰梯形，D正確．故選BCD．19．如圖，在正四面體P—ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC19．答案D解析因為BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項A正確；在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE?平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因為DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF?平面PDF，從而平面PDF⊥平面PAE．因此選項B，C均正確．20．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD．(只要填寫一個你認為正確的條件即可