專題01相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應用難點在于過分割點(將線段分割的點)作平行線構造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點在模考中無論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2022·湖南懷化·中考真題）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝2，則S△ABC＝_____．

例2．（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習）如圖，在三角形紙片中，，，，若沿的垂直平分線線前下，則的長為．例3．（2021·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，，垂足為，，，四邊形和四邊形均為正方形，且點、、、、、都在的邊上，那么與四邊形的面積比為______．例4.（2023.綿陽市九年級期中）如圖，在中，點分別在上，且．（1）求證：；（2）若點在上，與交于點，求證：．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·廣東·九年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點，連接AC，BE交于點F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14例2．（2023·黑龍江·哈爾濱九年級階段練習）如圖，，，分別交于點G，H，則下列結論中錯誤的是（

）A． B． C． D．例3．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在四邊形中，對角線與相交于點O，記的面積為，的面積為．（1）問題解決：如圖①，若AB//CD，求證：（2）探索推廣：如圖②，若與不平行，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應用：如圖③，在上取一點E，使，過點E作交于點F，點H為的中點，交于點G，且，若，求值．例4．（2022·江蘇鎮江·九年級期末）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數學家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內容是：如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關知識證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點A作，交DF的延長線于點G，則有，，∴．請用上述定理的證明方法解決以下問題：(1)如圖（3），△ABC三邊CB，AB，AC的延長線分別交直線l于X，Y，Z三點，證明：．(2)如圖（4），等邊△ABC的邊長為2，點D為BC的中點，點F在AB上，且，CF與AD交于點E，則AE的長為________．(3)如圖（5），△ABC的面積為2，F為AB中點，延長BC至D，使，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為________．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結論：AF=AG例1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點D為邊上任一點，交于點E，連接相交于點F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．例2．（2020·浙江·杭州啟正中學九年級期中）如圖，中，中線，交于點，交于點．（1）求的值．（2）如果，，請找出與相似的三角形，并挑出一個進行證明．例3.（2023·安徽·九年級期中）圖，，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點O作EF∥AB分別交BC、AD于點E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點，DE交OC于點M，作MN∥OB交OA于一點N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．課后專項訓練1．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．2．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，中，點E、F分別在邊AB、AC上，．若，，，則______．3．（2022·遼寧阜新·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點，且，與相交于點，若的面積是，則的面積是______．4．（2022·湖北荊門·中考真題）如圖，點G為△ABC的重心，D，E，F分別為BC，CA，AB的中點，具有性質：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為_____．5．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖，在中，點分別在邊上，且，與四邊形的面積的比為__________．6．（2021·遼寧營口·中考真題）如圖，矩形中，，，點E是邊上一點，，連接，點F是延長線上一點，連接，且，則_________．7．（2021·內蒙古·中考真題）如圖，在中，，過點B作，垂足為B，且，連接CD，與AB相交于點M，過點M作，垂足為N．若，則MN的長為__________．8．（2021·湖南郴州·中考真題）下圖是一架梯子的示意圖，其中，且．為使其更穩固，在，間加綁一條安全繩（線段），量得，則________．9．（2022·陜西渭南·八年級期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F是AE的中點，CF交BE于點G，若，則___．10．（2021·廣西玉林·中考真題）如圖，在中，在上，，．（1）求證：∽；（2）若，求的值．11．（2022·湖北隨州·九年級期末）請閱讀下列材料，并完成相應的任務．梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀時的希臘數學家兼天文學家，著有幾何學和三角學方面的許多書籍．梅涅勞斯發現，三角形各邊（或其延長線）被一條不過任何一個頂點也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會與一條邊的延長線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長線都相交）．他進行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）：設D，E，F依次是△ABC的三邊AB，BC，CA或其延長線上的點，且這三點共線，則滿足．這個定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線DE交△ABC的邊AB于點D，交邊AC于點F，交邊BC的延長線與點E．過點C作CM∥DE交AB于點M，則，（依據），∴＝，∴BE?AD?FC＝BD?AF?EC，即．情況②：如圖2，直線DE分別交△ABC的邊BA，BC，CA的延長線于點D，E，F．…（1）情況①中的依據指：；（2）請你根據情況①的證明思路完成情況②的證明；（3）如圖3，D，F分別是△ABC的邊AB，AC上的點，且AD:DB＝CF:FA＝2:3，連接DF并延長，交BC的延長線于點E，那么BE:CE＝．12．（2022·吉林·中考真題）下面是王倩同學的作業及自主探究筆記，請認真閱讀并補充完整．【作業】如圖①，直線，與的面積相等嗎？為什么？解：相等．理由如下：設與之間的距離為，則，．∴．【探究】(1)如圖②，當點在，之間時，設點，到直線的距離分別為，，則．證明：∵(2)如圖③，當點在，之間時，連接并延長交于點，則．證明：過點作，垂足為，過點作，垂足為，則，∴．∴．∴．由【探究】（1）可知，∴．(3)如圖④，當點在下方時，連接交于點．若點，，所對應的刻度值分別為5，1.5，0，的值為．13．（2023·江蘇連云港·校考三模）【閱讀材料】教材習題：如圖，、相交于點，是中點，，求證：是中點．

問題分析：由條件易證，從而得到，即點是的中點方法提取：構造“平行字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種常用方法

請運用上述閱讀材料中獲取的經驗和方法解決下列問題．【基礎應用】已知中，，點在邊上，點在邊的延長線上，連接交于點．(1)如圖1，若，，求證：點是的中點；(2)如圖2，若，，探究與之間的數量關系；【靈活應用】如圖3，是半圓的直徑，點是半圓上一點，點是上一點，點在延長線上，，，，當點從點運動到點，點運動的路徑長為______，掃過的面積為______．14．（2023·福建·統考中考真題）閱讀下列材料，回答問題任務：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測量長度略小于）和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點處，對其視線可及的，兩點，可測得的大小，如圖3．

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度，其測量及求解過程如下：測量過程：（ⅰ）在小水池外選點，如圖4，測得，；（ⅱ）分別在，，上測得，；測得．求解過程：由測量知，，，，，∴，又∵①___________，∴，∴．又∵，∴②___________．故小水池的最大寬度為___________．(1)補全小明求解過程中①②所缺的內容；(2)小明求得用到的幾何知識是___________；(3)小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得．請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度，寫出你的測量及求解過程．要求：測量得到的長度用字母，，表示，角度用，，表示；測量次數不超過4次（測量的幾何量能求出，且測量的次數最少，才能得滿分）．15.（2022長寧一模）已知,在△ABC中,,點是射線上的動點,點是邊上的動點，且,射線交射線于點．（1）如圖1,如果,求S△ADES（2）聯結,如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長；（3）當點在邊上時,聯結,求線段的長．16．（2023·上海市徐匯中學九年級期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點E在對角線AC上，且滿足AE＝2EC，點F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點M，交直線BC于點N．（1）當CF＝2時，求線段BN的長；（2）若設CF＝x，△BNE的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請直接寫出x的值．17．（202