2024四年級下冊數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第十八講圖形的運動（二）

第十八講圖形的運動（二）

第一部分：趣味數(shù)學(xué)

旋轉(zhuǎn)變換法：讓圖動起來

劉徽，生于公元250年左右，東漢三國后期魏國人，是中國古代杰出的數(shù)學(xué)家，也是中國

古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一。

劉徽的數(shù)學(xué)成就大致為兩方面：一是清理中國古代數(shù)學(xué)體系并奠定了它的理論基礎(chǔ)。二是

在繼承的基礎(chǔ)上提出了自己的創(chuàng)見。在“九章算術(shù)注”中，劉徽發(fā)展了中國古代“率”的思想

和“出入相補”原理。用“率”統(tǒng)一證明“九章算術(shù)”的大部分算法和大多數(shù)題目，用“出入

相補”原理證明了勾股定理以及一些求面積和求體積的公式。

所謂出入相補原理，簡單地說，就是指：一個平面圖形從一處移至他處，面積不變，假如

把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來圖形的面積，因而圖形轉(zhuǎn)移前后各部分面

積的和、差有簡單的相等關(guān)系。立體的情形也是這樣。舉個簡單的例子，如圖：

把兩張邊長為10厘米的正方形紙片放在桌面上，使一張紙片的一個頂點放在另一正方形

的中心位置0處。試問，被這兩張正方形紙片所覆蓋的那部分的面積是多少？兩個正方形面積

的和是100+100=200（平方厘米），如果能將它們重疊部分的面積算出，覆蓋的面積就知道

To

重疊部分是一個形狀可以隨意改變的四邊形，它的位置不定，形狀也不定，能算出它的面

積嗎？

能！只要將正方形紙片繞0點旋轉(zhuǎn)到兩邊與下面正方形紙片兩邊垂直的位置（如圖2）。

由于兩張圖中的三角形面積是相等的，所以所求部分的面積就是100+4=25（平方厘米）。于

是，被這兩張紙片覆蓋的那部分桌面的面積是200—25=175（平方厘米）。

這種讓圖動起來的方法，就是研究幾何圖形的常用的方法——旋轉(zhuǎn)變換法。

第二部分：奧數(shù)小練

A【例題1】畫出已知圖形關(guān)于直線a的軸對稱圖形.

【思路導(dǎo)航】根據(jù)軸對稱圖形的特征，對稱點到對稱軸的距離相等，對稱點的連線垂直

于對稱軸，在對稱軸的右邊畫出左圖的關(guān)鍵對稱點，連結(jié)即可.

作軸對稱圖形如下:

練習(xí)1：

1.選擇：

（1）下面不是軸對稱圖形的是（）。

△C.2D.O

A.(1)(2)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)D.(1)(4)

（3）亮亮已經(jīng)畫出蜻蜓身體左側(cè)的兩只翅膀，可以用（）的方法畫出蜻蜓身體右側(cè)

的兩只翅膀。

A.平移B.旋轉(zhuǎn)C.軸對稱圖形

（4）”'這個圖案是從紙張（）上剪下來的。

A.B.C.D.

2.畫出下圖所有的對稱軸。

3.請你用三種不同的方法分別在圖中添畫一個小正方形，使它成為一個軸對稱圖形。

【例題2】填一填。

(1)①向（）平移了（)格;

(2)②向（）平移了（)格;

【思路導(dǎo)航】先找清楚方向，看原圖到現(xiàn)在的圖是向哪個方向平移的，然后在原圖中選

擇一個點，找出這個點在后來圖中的位置，然后數(shù)出這兩個點之間的小格數(shù)即可.

上、2；左、4；右、6.

練習(xí)2：

1.看圖填一填:

（1）㈡向平移了格.

（2）L一向平移了格.

（3）?向平移了格.

（2）圖3小房子先向右平移格，再向平移格得到圖4.

3.畫出把三角形向右平移5格后，再向下平移5格的圖形.

■【例題3】判斷對錯：一個圖形在方格圖中先向右移動5格，再向上移動3格，然

后向左移動3格，向下移動5格，再向右移動2格就回到原處了.（）

【思路導(dǎo)航】一個圖形在方格圖中先向右移動5格，再向上移動3格，然后向左移動3

格，向下移動5格，再向右移動2格，這個圖形相當(dāng)于在原位置向右移動4格，再向下移動

2格；原題敘述錯誤.

練習(xí)3：

1.判斷：

（1）一個［p,在方格紙上向下平移5格后變成了C。（）

（2）把一個圖形向左平移8格，就是兩個圖形間相距8格。（）

2.選擇：

（1）一個圖形先向上平移3格，再向左平移5格，然后向下平移4格，最后向右平移5

格，圖形（）。

A.會回到原來的位置B.在原來位置的正上方

C.在原來位置的正下方D.在原來位置的正右方

（2）一個圖形先向右平移9格，再向上平移6格，然后向右平移1格，最后向左平移10

格，圖形（）。

A.會回到原來的位置B.在原來位置的正上方

C.在原來位置的正下方D.在原來位置的正右方

3.如下圖，圖形（1）怎樣拆分，怎樣平移得到圖形（2）?

【例題4］：如圖是一塊矩形/皿的場地，/左102q/仄51勿，從A.8兩處入口中的

路寬都為1勿,兩小路匯合處路寬為2加,其余部分種植草坪,則草坪的面積是多少？

【思路導(dǎo)航】本題可以把左邊和右邊的部分進行平移，使它們向中間平移，將陰影部分

的草坪正好可以拼成一個長方形，然后根據(jù)題意求出長和寬，最后可求出面積。

【答案】這個長方形的長為102-2=100（米），這個長方形的寬為：51-1=50（米），

因此，草坪的面積=50X100=5000（平方米）.

練習(xí)4：

1.下面長方形是由兩個邊長為10cm的正方形拼成的，求圖中陰影部分的面積。

2.一條白色的正方形手帕，它的邊長是18厘米，手帕上橫豎各有兩道黑條，如圖中陰影

所示，黑條寬都是2厘米，問：這條手帕白色部分的面積是多少？

3.下圖是邊長為4厘米的正方形，求正方形中陰影部分的周長。

【例題5】：如左下圖所示，5張同樣大小的紙板部分重疊著，每張紙板都是邊長

為6厘米的正方形，重疊部分的邊長是正方形紙板的邊長的一半，求重疊后圖形的周長。

【思路導(dǎo)航】解答此類題目的關(guān)鍵是，要善于觀察，分析和推理，合理利用“平移

法”，“分解法”，“合并法”等，把復(fù)雜的圖形，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的圖形解答。這道題可

以運用平移的方法，得出此圖形外輪廓的長實際是3個邊長是6厘米的正方形的長，如右上

圖，由此得出答案。

1.先求出在水平方向上，所有線段的長度和，除第一個正方形外，水平方向上面露在外

面的其余正方形的長是邊長的一半，下面的同上面的相同；

2.再求出豎直方向上所有線段的長度和，除第一個正方形外，豎直方向左面露在外面的

其余正方形的長是邊長的一半，右面的同左面的相同；

3.最后即可求出圖形外輪廓的周長。

【答案】

在水平方向上，所有線段的長度和：

(6+64-2X4)X2

=(6+12)X2

=18X2

=36(厘米)

豎直方向上所有線段的長度和也同樣是36厘米，重疊后圖形的周長是：36+36=72(厘

米)

練習(xí)5：

1.有4張同樣大小的正方形紙，如下圖所示重疊放置。每張紙的邊長都是8厘米，每兩

張正方形紙重疊部分的邊長是正方形紙邊長的一半，重疊后圖形的周長是多少厘米?

2.下圖由8個邊長都是2厘米的正方形組成，求這個圖形的周長。

3.下圖中的每一小段的長度都相等，求圖形的周長。

第三部分：數(shù)學(xué)史話

移動過的上海音樂廳

上海音樂廳位于市中心黃浦區(qū)延安路，建于1930年，原名南京大戲院。為配合延安路高

架的拓寬建設(shè)，2003年4月15日上午10時，上海音樂廳平移工程開始，先在原地頂升1.7

米，然后向南移動66.46米，再在新址往上頂升1.68米。6月17日，平移工程完成，上海音

樂廳以嶄新的面貌出現(xiàn)在世人面前。

參考答案：

練習(xí)1：

1.CBCD

2.這是一個圓和正方形的組合圖形，圓有無數(shù)條對稱軸，正方形有4條對稱軸，因為它

們組合在了一起，所以它們的對稱軸條數(shù)為正方形對稱軸的條數(shù)-

如下圖所示:

3.依據(jù)軸對稱圖形的含義，即在平面內(nèi)，如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部

分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，據(jù)此即可完成作圖。

練習(xí)2：

1.右，5；上，4；左，7

2.4,左，6；7,下，4

3.根據(jù)平移作圖的方法作圖即可.把AABC的各頂點向右平移5格