PAGE第九章解析幾何第六節雙曲線A級·基礎過關|固根基|1.(2025屆河北九校其次次聯考)已知雙曲線的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1，則下列關于雙曲線說法正確的是()A．虛軸長為4 B．焦距為2eq\r(5)C．離心率為eq\f(\r(13),3) D．漸近線方程為2x±3y＝0解析：選D由題意知，雙曲線eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1的焦點在y軸上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以選項A、B不對；離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),2)，所以選項C不對；由雙曲線的漸近線知選項D正確．故選D．2．(2025屆福建省質檢)已知雙曲線C的中心在坐標原點，一個焦點(eq\r(5)，0)到漸近線的距離等于2，則雙曲線C的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±eq\f(2,3)xC．y＝±eq\f(3,2)x D．y＝±2x解析：選D設雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則由題意，得c＝eq\r(5).雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，所以eq\f(\r(5)b,\r(b2＋a2))＝2.又c2＝a2＋b2＝5，所以b＝2，所以a＝eq\r(c2－b2)＝1，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x，故選D．3．(2025屆江西省八所重點中學聯考)已知點P(3，eq\r(2))為雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)上一點，則它的離心率為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：選B由雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)可得b2＝1.依據點P(3，eq\r(2))在雙曲線上可得eq\f(9,a2)－2＝1，解得a2＝3，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝1＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，解得e＝eq\f(2\r(3),3)，故選B．4．(2025屆惠州調研)設雙曲線的一條漸近線為直線y＝2x，一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點相同，則此雙曲線的方程為()A．eq\f(5,4)x2－5y2＝1 B．5y2－eq\f(5,4)x2＝1C．5x2－eq\f(5,4)y2＝1 D．eq\f(5,4)y2－5x2＝1解析：選C拋物線y2＝4x的焦點為(1，0)，則雙曲線的一個焦點為(1，0)，設雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝2，,12＝a2＋b2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(4,5)，))所以雙曲線的方程為5x2－eq\f(5,4)y2＝1，故選C．5．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點F向兩條漸近線作垂線，垂足分別為M，N，若四邊形OMFN的面積為eq\r(3)，其中O為坐標原點，則該雙曲線的焦距為()A．2 B．eq\r(3)C．3 D．4解析：選D由雙曲線的離心率為2可得，eq\f(c2,a2)＝4，又a2＋b2＝c2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3).因為F(c，0)到漸近線y＝±eq\f(b,a)x的距離d＝|FM|＝|FN|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，所以|OM|＝|ON|＝eq\r(c2－b2)＝a，故S四邊形OMFN＝2S△OMF＝2×eq\f(1,2)ab＝eq\r(3)，得ab＝eq\r(3).又eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以a＝1，b＝eq\r(3)，得c＝2，故該雙曲線的焦距為2c＝4.6．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(\r(10),3)，拋物線D：x2＝2py(p>0)的準線方程為y＝－eq\f(9,2)，若點P(m，1)是拋物線D與雙曲線C的一個公共點，則雙曲線C的標準方程為()A．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,9)－y2＝1C．eq\f(x2,3)－y2＝1 D．eq\f(x2,10)－eq\f(y2,9)＝1解析：選B由已知可得，e2＝eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(10,9)，所以a2＝9b2，即b＝eq\f(1,3)a.由拋物線D：x2＝2py(p>0)的準線方程為y＝－eq\f(9,2)，得－eq\f(p,2)＝－eq\f(9,2)，解得p＝9，所以拋物線D的方程為x2＝18y.由點P(m，1)在拋物線D上，得m2＝18，解得m＝±3eq\r(2).又點P(m，1)在雙曲線C上，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(18,a2)－\f(1,b2)＝1，,b＝\f(1,3)a，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝1.))故雙曲線C的標準方程為eq\f(x2,9)－y2＝1.故選B．7．(2025屆濰坊市高三統一考試)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點到漸近線的距離為eq\r(3)，且離心率為2，則該雙曲線的實軸的長為()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)解析：選C由題意知雙曲線的焦點(c，0)到漸近線bx－ay＝0的距離為eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b＝eq\r(3)，即c2－a2＝3.又e＝eq\f(c,a)＝2，所以a＝1，所以該雙曲線的實軸的長為2a＝2.8．(2025屆大同調研)已知F1，F2是雙曲線M：eq\f(y2,4)－eq\f(x2,m2)＝1的焦點，y＝eq\f(2\r(5),5)x是雙曲線M的一條漸近線，離心率等于eq\f(3,4)的橢圓E與雙曲線M的焦點相同，P是橢圓E與雙曲線M的一個公共點，則|PF1|·|PF2|＝()A．8 B．6C．10 D．12解析：選D由M的一條漸近線方程為y＝eq\f(2\r(5),5)x，得eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2,|m|)，解得m2＝5，所以M的半焦距c＝3.因為橢圓E與雙曲線M的焦點相同，橢圓E的離心率e＝eq\f(3,4)，所以E的長半軸長a＝4.不妨設|PF1|＞|PF2|，依據橢圓與雙曲線的定義有|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝6，|PF2|＝2，所以|PF1|·|PF2|＝12，故選D．9．(2025屆洛陽市高三第一次聯考)設雙曲線C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的右焦點為F，過F作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足分別為M，N，若d是雙曲線上隨意一點P到直線MN的距離，則eq\f(d,|PF|)的值為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,5)C．eq\f(5,4) D．無法確定解析：選B在雙曲線C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1中，a＝4，b＝3，c＝5，右焦點F(5，0)，漸近線方程為y＝±eq\f(3,4)x.不妨設M在直線y＝eq\f(3,4)x上，N在直線y＝－eq\f(3,4)x上，則直線MF的斜率為－eq\f(4,3)，其方程為y＝－eq\f(4,3)(x－5)，設Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(3,4)t))，代入直線MF的方程，得eq\f(3,4)t＝－eq\f(4,3)(t－5)，解得t＝eq\f(16,5)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)，\f(12,5))).由對稱性可得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)，－\f(12,5)))，所以直線MN的方程為x＝eq\f(16,5).設P(m，n)，則d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m－\f(16,5)))，eq\f(m2,16)－eq\f(n2,9)＝1，即n2＝eq\f(9,16)(m2－16)，則|PF|＝eq\r(（m－5）2＋n2)＝eq\f(1,4)|5m－16|，故eq\f(d,|PF|)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m－\f(16,5))),\f(1,4)|5m－16|)＝eq\f(4,5)，故選B．10．(2025屆鄭州市第一次質量預料)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，實軸長為6，漸近線方程為y＝±eq\f(1,3)x，動點M在雙曲線左支上，點N為圓E：x2＋(y＋eq\r(6))2＝1上一點，則|MN|＋|MF2|的最小值為()A．8 B．9C．10 D．11解析：選B由題意，知2a＝6，則a＝3，又由eq\f(b,a)＝eq\f(1,3)，得b＝1，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(10)，則F1(－eq\r(10)，0)．依據雙曲線的定義知|MF2|＝2a＋|MF1|＝|MF1|＋6，所以|MN|＋|MF2|＝|MN|＋|MF1|＋6＝|EN|＋|MN|＋|MF1|＋5≥|F1E|＋5＝eq\r(（\r(10)）2＋（－\r(6)）2)＋5＝9，故選B．11．(2025屆昆明市高三診斷測試)已知點P(1，eq\r(3))在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線上，F為雙曲線C的右焦點，O為原點，若∠FPO＝90°，則雙曲線C的方程為________．解析：設雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，由漸近線過點P(1，eq\r(3))，得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，且|OP|＝2.焦點到漸近線的距離是b，即|PF|＝b，在Rt△OPF中，|OF|2＝|OP|2＋|PF|2，即c2＝22＋b2.又c2＝a2＋b2，所以a＝2，b＝2eq\r(3)，所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝112．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率的取值范圍是(1，2]，其左、右焦點分別為F1，F2，若M是該雙曲線右支上一點，則eq\f(|MF1|,|MF2|)＝________．解析：設eq\f(|MF1|,|MF2|)＝λ(λ>1)，則|MF1|＝λ|MF2|，由雙曲線的定義知|MF1|－|MF2|＝2a，所以|MF2|＝eq\f(2a,λ－1)，由題意知|MF2|≥c－a，即eq\f(2a,λ－1)≥c－a，解得e≤eq\f(2,λ－1)＋1.因為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率的取值范圍是(1，2]，所以eq\f(2,λ－1)＋1＝2，解得λ＝3，即eq\f(|MF1|,|MF2|)＝3.答案：3B級·素養提升|練實力|13.(2024年天津卷)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l.若l與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|＝4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)解析：選D由題意，可得F(1，0)，直線l的方程為x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.將x＝－1代入y＝±eq\f(b,a)x，得y＝±eq\f(b,a)，所以點A，B的縱坐標的肯定值均為eq\f(b,a).由|AB|＝4|OF|可得，eq\f(2b,a)＝4，即b＝2a，即b2＝4a2，故雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(5).故選D．14．(2024年全國卷Ⅲ)雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點．若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為()A．eq\f(3\r(2),4) B．eq\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2) D．3eq\r(2)解析：選A設點P在第一象限，依據題意可知c2＝6，所以|OF|＝eq\r(6).又tan∠POF＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以等腰三角形PFO底邊OF上的高h＝eq\f(\r(6),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以S△PFO＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(2),4).15．(2024年全國卷Ⅱ)設F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)解析：選A如圖，由題意知，以OF為直徑的圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)①，x2＋y2＝a2②，①－②得x＝eq\f(a2,c)，則以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2的相交弦PQ所在直線的方程為x＝eq\f(a2,c)，所以|PQ|＝2eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))\s\up12(2)).由|PQ|＝|OF|，得2eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))\s\up12(2))＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝eq\r(2)，故選A．16．(2024年全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，則雙曲線C的離心率為________．解析：解法一：因為eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，如圖．所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因為eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以點A為F1B的中點，又點O為F1F2的中點，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA.因為直線OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan∠BF1O＝eq\f(a,b)，tan∠BOF2＝eq\f(b,a).因為tan∠BOF2＝tan2∠BF1O，所以eq\f(b,a)＝eq\f(2×\f(a,b),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))\s\up12(2))，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝2.解法二：因為eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B．又eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以A為F1B的中點，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B．又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2為等邊三角形．由F2(c，0)可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，因為點B在直線y＝eq\f(b,a)x上，所以eq\f(\r(3),2)c＝eq\f(b,a)·eq\f(c,2)，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2.答案：217．(2025屆四川五校聯考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過原點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，若∠AF2B＝60°，△ABF2的面積為eq\r(3)a2，則雙曲線的漸近線方程為________________．解析：解法一：如圖，連接AF1，BF1，則由雙曲線的對稱性得四邊形AF2BF1是平行四邊形，設|AF2|＝x，則|BF1|＝x，則|BF2|＝x＋2a，由題意可知，S△ABF2＝eq\f(1,2)x·(x＋2a)·eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)a2，解得x＝(eq\r(5)－1)a或x＝(－eq\r(5)－1)a(舍去)，則|BF2|＝(eq\r(5)＋1)a.在△BF1F2中，由余弦定理得4c2＝(eq\r(5)－1)2a2＋(eq\r(5)＋1)2a2－2(eq\r(5)－1)(eq\r(5)＋1)a2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，